6.1平方根、立方根 （第2课时 立方根）（教学课件）数学新教材沪科版七年级下册

6.1平方根、立方根 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 第6章 实数 第2课时 立方根 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 了解立方根的概念，会用立方运算求一个数的立方根. 2. 了解开立方与立方互为逆运算，能用立方根运算求某些数的立方根. 3. 学会用计算器计算一个数的立方根或立方根的近似值. 情景导入 要做一个容积是的正方体木箱，如图，问它的棱长是多少？ 设正方体木箱的棱长为 xdm，根据题意，有 x3= 这是已知一个数的立方，求这个数的问题. 新知探究 一般地，如果一个数的立方等于a，那么这个数叫做a的立方根，也叫做三次方根，记作，读作“三次根号a”，其中a叫做被开方数，3叫做根指数. 求一个数的立方根的运算叫做开立方. 开立方与立方互为逆运算.根据这种关系，可以求出一些数的立方根. 在上面问题中，因为43=64，所以4是64的立方根，即=4. 例题讲解 课本例题 例4 求下列各数的立方根： （1）27； （2）-64； （3）0. 解:（1）因为33=27，所以27的立方根是3，即=3. （2）因为（-4）3=-64，所以-64的立方根是-4，即=-4. （3）因为03=0，所以0的立方根是0，即=0. 一般地， 对吗？ 对 立方根的性质 一般地，互为相反数的两个数，它们的立方根也互为相反数，即 . 变式练习 求下列各数的立方根： (1) － 125； (2)2 ； (3) － 1. 解：（1）因为( －5) 3=－125， 所以 －125 的立方根是 －5，即=－5. （2）因为 2 = ，而 ( )3= ， 所以 2 的立方根是 ，即= . （3）因为(－1) 3=－1， 所以 －1 的立方根是 －1，即=－1. 例题讲解 补充例题 例 已知 和 互为相反数， 且 x ≠ 0，y ≠ 0，求 的值 . 解题秘方：根据立方根互为相反数，可得被开方数互为相反数，建立 x 与 y 之间的等量关系求解 . 解：因为 和 互为相反数， 所以 3y － 1 和 1 － 2x 互为相反数， 所以(3y － 1) +(1 － 2x) =0， 所以 3y=2x. 又因为 x ≠ 0， y ≠ 0，所以 = . 概念归纳 正数的立方根是正数；负数的立方根是负数；0 的立方根是 0. 因此只有互为相反数的两个数，它们的立方根才能互为相反数，即互为相反数的两个数的立方根互为相反数 . 平方根与立方根的比较 平方根 立方根 区别 个数不同 一个正数有两个平方根，它们互为相反数；负数没有平方根 一个正数有一个正的立方根；一个负数有一个负的立方根 表示方法不同 非负数 a 的平方根表示为± ，“ ”的根指数为 2，可以省略不写 数 a 的立方根用“”表示，这里的根指数 3不能省略 被开方数的取值范围不同 在 ± 中，被开方数 a是非负数，即 a ≥ 0 在 中，被开方数 a 是任意数 联系 ①都与相应的乘方运算互为逆运算；② 0 的立方根和平方根都是 0 例题讲解 课本例题 例5 用计算器求下列各数的立方根（精确到0.01）： （1）；（2）7.797；（3）-17.456；（4）. 解:（1）在计算器上依次按键： SHIFT 2 =， （2） （3） （4）在计算器上依次按键： SHIFT （ 137 ÷ 398 ） =， 即可得 利用计算器可以求一个数的立方根或它的近似值 变式练习 用计算器求下列各数的立方根： (1) 7(精确到 0.01)；(2) 100 (精确到0.01)； (3) －13.27 (精确到0.001). 解： （1）依次按键 SHIFT 7 = ， 显示1.912 931 183. 所以 1.91. （2）依次按键 SHIFT 1 0 0 = ， 显示4.641 588 834. 所以 ≈ 4.64. （3）依次按键 SHIFT 1 3 · 2 7 = ， 显示2.367 501 744. 所以≈ 2.368， 所以 ≈ － 2.368. 课堂练习 1. 填表 1 8 27 64 5 6 7 8 9 10 a 1 2 3 4 125 216 343 512 729 1000 2. 求下列各数的立方根： 3. 用计算器计算（精确到0.1）： 分层练习 知识点1 立方根的概念及性质 1. 下列说法正确的是( ) D A. 一个正数的立方根有两个，它们互为相反数 B. 负数没有立方根 C. 任何数的立方根都是非负数 D. 正数有一个正的立方根，负数有一个负的立方根，0的立 方根是0 基础题 2. [2024宿州期末] 下列说法正确的是( ) D A. 等于 B. 都是27的立方根 C. 的算术平方根是2 D. 的立方根是 3. 下列计算正确的是( ) B A. B. C. D. 4. 若,则 的立方根是( ) A. B. C. D. A 5.一个正数的两个平方根是 和，则 的立方 根为___. 2 【点拨】因为一个正数的两个平方根是和 ，所 以，解得.所以 . 所以.所以 .因为8的立方根为 2，所以 的立方根为2. 6.若一个数的立方根等于这个数的算术平方根，则这个数是 ______. 0或1 知识点2 立方根的相关计算 7. 的立方根是___. 2 8. 小明在作业本上做了4道题： ； ； ； . 其中他做对的题目有( ) C A. 1道 B. 2道 C. 3道 D. 4道 9. 如果，那么与 的关系是( ) B A. B. C. D. 不能确定 10. [2024南宁期末] 如图，由27个完全相同的小 正方体组成的大正方体的体积为27，则小正方 体的棱长是( ) A A. 1 B. 3 C. 9 D. 27 11.[2024重庆沙坪坝区期中] 计算： （1） ； 【解】原式 . （2） . 原式 . 知识点3 用计算器求一个数的立方根 12.用计算器进行计算，依次按键 的结果是___. 13. 利用计算器计算： _____ 精确到 . 1 0.86 易错点 考虑问题不全面而漏解 14.的算术平方根等于它的立方根，则 ___________ _____. 或 15. [2024临沂模拟] 正整数，分别满足 ， ，则 ( ) A A. 1 B. 2 C. D. 4 【点拨】因为正整数，分别满足 ， ，且， ， 所以，.所以， . 所以 . 综合应用题 16.已知的算术平方根是3，的立方根是2， 是 的整数部分. （1）求，， 的值； 【解】因为，即 ， 所以的整数部分为2，即 . 因为 的算术平方根是3，所以，解得 . 又因为 的立方根是2，所以，解得 . （2）求 的立方根. 【解】因为，， ， 所以 . 所以 的立方根为3. 17. [2024石家庄期末] 请根据如图所示的对话内容解答下列问题： （1）求大正方体木块的棱长； 【解】因为 ， 所以大正方体木块的棱长为 . （2）求截得的每个小正方体木块的棱长. 【解】设截得的每个小正方体木块的棱长为 ，根据题 意，得，解得 . 所以截得的每个小正方体木块的棱长为 . 18.[2024安庆期中] 阅读理解，观察下列式子： ； ； ； ；… 根据上述等式反映的规律，回答如下问题： （1）根据以上式子的规律，写出一个类似的等式：_______ _________________________________________； （答案不唯一） （2）由等式①②③④所反映的规律，可归纳出这样一个结论：对于任意 两个有理数， ，若__________，则 ；反之也成立； （3）根据上述结论，若与 的值互为相反数，求 的值. 【解】因为与 的值互为相反数，所以 ，解得 . 19.[2024江门校级月考] 据说，我国数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54 872的立方根. 华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥秘，你知道他是怎 样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小龙的探究过程，请补充完整： （1）口算并填空： 的个位数字为___； 5 创新拓展题 （2）求 . ①由,，可以确定 是个____位数； ②由54 872的个位上的数是2，可以确定 的个位上的数是___； 两 8 ③如果划去54 872后面的三位872得到数54，而 , ， 可以确定 的十位上的数是___，由此求得 ____； 3 38 （3）已知：17 576也是一个整数的立方，请用类似的方法求出其立方根. 【解】①由， ，可以确定 是个两位数； ②由17 576的个位上的数是6，可以确定 的个位上的数是6； ③如果划去17 576后面的三位576得到数17，而 ， ，可以确定 的十位上的数是2，由此求得 . 19.[2024江门校级月考] 据说，我国数学家华罗庚在一次出国访问途中， 看到飞机上邻座的乘客阅读的杂志上有一道智力题：求54 872的立方根. 华罗庚脱口说出答案，众人十分惊奇，忙问计算的奥秘，你知道他是怎 样迅速准确地计算出结果的吗？下面是小龙的探究过程，请补充完整： 习题 1.判断下列各式的正误，错的请改正： （1） . （ ） （2） . （ ） （3） . （ ） √ ×, ×, 2.求下列各数的平方根、算数平方根： （1） ； （2） . 解：（1） 所以平方根为±4， 算数平方根为4. （2） 所以平方根为±10， 算数平方根为10. 3. 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1） ； （2） ； （3） ； （4） . 解：（1） （2） （3） （4） 4. 一个正方形的面积扩大到原来的9倍，问它的边长是原来的多少倍？ 解：3倍. 5.求下列各数的立方根： （1）729； （2） ； （3） . 解：（1）所以立方根为9 （2） 所以立方根为-2. （3） 所以立方根为4. 6. 用计算器求下列各式的值（精确到0.01）： （1） ； （2） ； 解：（1） （2） （3） ； （4） . （3） （4） 7.如图，如果一个正方体的体积变为原来的27倍，那么它的棱长发生了怎样的变化？ 解：棱长变为原来的3倍. 8.如图，已知一球形储气罐的容积为115m3，球的体积公式为 （r是球半径），求这个球形储气罐的半径（精确到0.1m）. 解: 课堂小结 一般地，如果一个数的立方等于 a，那么这个数叫做 a 的立方根，也叫做三次方根 立方根 概念 正数的立方根是一个正数 负数的立方根是一个负数 开立方 运算 用计算器求立方根 特征 主讲： 沪科版（2024）七年级数学下册 感谢聆听 $$