精品解析：天津市河东区2024-2025学年高二上学期期末质量检测数学试卷

河东区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意逐一检验选项即可. 【详解】对于选项A：令，可得，不合题意； 对于选项B：代入检验均可，符合题意； 对于选项C：令，可得，不合题意； 对于选项D：令，可得，不合题意； 故选：B. 2. 已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 【答案】B 【解析】 【分析】 由已知判断出数列是以为首项，以为公差的等差数列，求出通项公式后即可求得. 【详解】，且， 数列是以为首项，以为公差的等差数列， 通项公式为， ， 故选：B. 3. 已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】因为等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为公比为9，首项为6，那么利用前n项和公式可知为，选D 4. 已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的性质根据焦距求得，从而可得渐近线方程． 【详解】因为双曲线的焦距为，所以， 则，解得，， 所以双曲线的渐近线方程为. 故选：A. 5. 抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用抛物线的定义建立方程，求解参数即可. 【详解】因为抛物线上的点到的距离等于到直线的距离， 所以是抛物线的准线，故，解得，故A正确. 故选：A 6. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 【答案】ACD 【解析】 【分析】结合选项进行逐项分析求解，时表示椭圆，时表示圆，时表示双曲线，时表示两条直线. 【详解】对于A，若，则可化为， 因为，所以， 即曲线表示焦点在轴上的椭圆，故A正确； 对于B，若，则可化为， 此时曲线表示圆心在原点，半径为的圆，故B不正确； 对于C，若，则可化为， 此时曲线表示双曲线， 由可得，故C正确； 对于D，若，则可化为， ，此时曲线表示平行于轴的两条直线，故D正确； 故选：ACD. 【点睛】本题主要考查曲线方程的特征，熟知常见曲线方程之间的区别是求解的关键，侧重考查数学运算的核心素养. 7. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 【答案】C 【解析】 【分析】结合等差数列性质将代换，求出直线恒过的定点，采用数形结合法即可求解. 【详解】因为成等差数列，所以，， 代入直线方程得， 即，令，得， 故直线恒过，设，该点在圆内， 画出直线与圆的图形，由图可知，当时，最小， ，，此时. 故选：C. 8. 若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用椭圆与双曲线的定义得出与的和与差，变形求得积． 【详解】由题意知不妨设点是两曲线在第一象限内的交点，可得： ，解得：， 则，故A项正确. 故选：A. 9. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为常数列，则 B. 存在，使数列为递减数列 C. 任意，都有为递减数列 D. 任意，都有 【答案】D 【解析】 【分析】解方程判断A,利用单调性结合数学归纳法判断BD,举反例判断C. 【详解】对A:若数列为常数列，则，解得或，故A错误； 对B:易得，若为递减数列，则，解得或且，故不存在使得递减数列，故B错误； 对C,令，则，故不是递减数列，故C错误； 对D,用数学归纳法证明 当显然成立， 假设当， 则时，，故当时成立, 由选项B知，对任意 则数列为递减数列，故故D正确 故选：D 【点睛】利用递推关系结合数学归纳法证明，是本题关键. 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2．本卷共11小题，共105分. 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】先求出双曲线的右顶点坐标进而得抛物线的焦点坐标，即可得抛物线方程. 【详解】双曲线，所以右顶点（4,0）， 抛物线的焦点也为（4,0），所以，， 抛物线的标准方程为： 故答案为：. 11. 已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______. 【答案】 【解析】 【分析】求解的通项公式，进而可得的通项公式再求和即可. 【详解】由题意，公比为，则，故. 故数列的前6项和为. 故答案为： 12. 在等差数列中，已知公差，且，则__________. 【答案】145 【解析】 【分析】根据题意得到，再由等差数列性质得到，代入数据计算即可得到答案. 【详解】等差数列中，已知公差， . 故答案为：145. 13. 记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________． 【答案】 【解析】 【分析】求出抛物线方程及直线方程并联立，求出点的横坐标，再根据抛物线定义求解即可. 【详解】因为，由拋物线定义可知到准线距离为，即，解得， 即抛物线方程为，不妨取，又， 则直线的斜率, 所以， 联立，消去整理得， 解得，，即点的横坐标为， 则. 故答案为：. 14. 设F为双曲线C：（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为______. 【答案】 【解析】 【分析】根据几何知识得出，根据勾股定理求出与c之间的关系，进而得出C的离心率. 【详解】由题意，作出图像如下图所示： 设双曲线C： (，)的右焦点的坐标为F (c,0). 由圆的对称性及条件可知， PQ是以为直径的圆的直径，且， 设垂足为M，连接， 则，， 由， 得， 故，即. 故答案为：. 15. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 【答案】 ①. 5 ②. 【解析】 【分析】（1）按对折列举即可；（2）根据规律可得，再根据错位相减法得结果. 【详解】（1）由对折2次共可以得到，，三种规格的图形，所以对着三次的结果有：，共4种不同规格（单位； 故对折4次可得到如下规格：，，，，，共5种不同规格； （2）由于每次对着后的图形的面积都减小为原来的一半，故各次对着后的图形，不论规格如何，其面积成公比为的等比数列，首项为120,第n次对折后的图形面积为，对于第n此对折后的图形的规格形状种数，根据（1）的过程和结论，猜想为种（证明从略），故得猜想， 设， 则， 两式作差得： ， 因此，. 故答案为：；. 【点睛】方法点睛：数列求和的常用方法： （1）对于等差等比数列，利用公式法可直接求解； （2）对于结构，其中是等差数列，是等比数列，用错位相减法求和； （3）对于结构，利用分组求和法； （4）对于结构，其中是等差数列，公差为，则，利用裂项相消法求和. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 直线与双曲线相交于A，B两点． （1）求的长； （2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ 【答案】（1）(且)； （2）. 【解析】 【分析】（1）联立方程组利用韦达定理及弦长公式即求； （2）由题可得，进而可得，即求. 【小问1详解】 设， 由，可得， 由题可得， ，解得且， ∴ ， ∴的长为(且). 【小问2详解】 ∵以AB为直径的圆经过坐标原点， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 解得, 经检验，时以AB为直径的圆经过坐标原点. 17. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 【答案】(1)见解析 (2) 【解析】 【分析】（1）利用前10项和与首项、公差的关系，联立方程组计算即可； （2）当d＞1时，由（1）知cn，写出Tn、Tn的表达式，利用错位相减法及等比数列的求和公式，计算即可． 【详解】解：（1）设a1＝a，由题意可得， 解得，或， 当时，an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1； 当时，an（2n+79），bn＝9•； （2）当d＞1时，由（1）知an＝2n﹣1，bn＝2n﹣1， ∴cn， ∴Tn＝1+3•5•7•9•（2n﹣1）•， ∴Tn＝1•3•5•7•（2n﹣3）•（2n﹣1）•， ∴Tn＝2（2n﹣1）•3， ∴Tn＝6． 【点睛】本题考查求数列的通项及求和，利用错位相减法是解决本题的关键，注意解题方法的积累，属于中档题． 18. 设数列的前n项和，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）由可得，再通过化简结合等比数列的定义即可证明； （2）先结合（1）求出，再根据时，求出，最后验证即可. 【小问1详解】 ， ， 即， 即， 即， 即， 又， 数列是以首项为，公比为的等比数列. 【小问2详解】 由（1）知：， 即， 当时，， ， 又也适合上式， 故. 19. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|. （1）求C1的离心率； （2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程. 【答案】（1）；（2），. 【解析】 【分析】（1）求出、，利用可得出关于、的齐次等式，可解得椭圆的离心率的值； （2）[方法四]由（1）可得出的方程为，联立曲线与的方程，求出点的坐标，利用抛物线的定义结合可求得的值，进而可得出与的标准方程. 【详解】（1），轴且与椭圆相交于、两点， 则直线的方程为， 联立，解得，则， 抛物线的方程为，联立， 解得，， ，即，， 即，即， ，解得，因此，椭圆的离心率为； （2）[方法一]：椭圆的第二定义 由椭圆的第二定义知，则有， 所以，即． 又由，得． 从而，解得． 所以． 故椭圆与抛物线的标准方程分别是． [方法二]：圆锥曲线统一的极坐标公式 以为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系． 由（Ⅰ）知，又由圆锥曲线统一的极坐标公式，得，由，得，两式联立解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法三]：参数方程 由（1）知，椭圆的方程为， 所以的参数方程为（为参数）， 将它代入抛物线的方程并化简得， 解得或（舍去）， 所以，即点M的坐标为． 又，所以由抛物线焦半径公式有，即，解得． 故的标准方程为，的标准方程为． [方法四]【最优解】：利用韦达定理 由（1）知，，椭圆的方程为， 联立，消去并整理得， 解得或（舍去）， 由抛物线的定义可得，解得. 因此，曲线的标准方程为， 曲线的标准方程为. 【整体点评】(2)方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了. 方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向. 方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化. 方法四：韦达定理是最常用的处理直线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果. 20. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 【答案】（1）； （2）不存在，理由见解析. 【解析】 【分析】（1）退位作差得到公比，令求得，进而得到数列的通项公式； （2）反证法，假设存在，由等差中项性质得到，等比中项性质得到，联立解得，与题设矛盾，假设不成立，则不存在. 【小问1详解】 设等比数列的公比为， ，时，，两式相减得， 即，所以， 令得，即，解得， 所以. 【小问2详解】 不存在，理由如下： 由（1）得，， 在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，则， 即，则， 假设在数列中存在3项（其中成等差数列）成等比数列， 则，，即， 因为成等差数列，所以，所以， 即，即， 联立解得，与题设矛盾， 故在数列中不存在3项（其中成等差数列）成等比数列. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 河东区2024~2025学年度第一学期期末质量检测 高二数学 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟. 答卷时，考生务必将答案答在答题卡的相应位置.考试结束后，将答题纸交回. 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．请同学们把答案按要求填写在答题卡上规定区域内，超出答题卡区域的答案无效！ 2．本卷共9小题，每小题5分，共45分. 一．选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 数列的通项公式可以为（ ） A. B. C. D. 2. 已知数列中，，且，则这个数列的第10项为（ ） A. 18 B. 19 C. 20 D. 21 3. 已知等比数列中，，则由此数列的偶数项所组成的新数列的前n项的和为 A. B. C. D. 4. 已知双曲线C：的焦距为，则C的渐近线方程是（ ） A. B. C. D. 5. 抛物线的焦点为上的点到的距离等于到直线的距离，则（ ） A. 2 B. 1 C. D. 6. 已知曲线.（ ） A. 若m>n>0，则C是椭圆，其焦点在y轴上 B. 若m=n>0，则C是圆，其半径为 C. 若mn<0，则C是双曲线，其渐近线方程为 D. 若m=0，n>0，则C是两条直线 7. 已知a，b，c成等差数列，直线与圆交于A，B两点，则的最小值为（ ） A. 1 B. 3 C. 4 D. 8. 若椭圆和双曲线有相同的焦点和，而是这两条曲线的一个交点，则的值是（ ） A. B. C. D. 9. 已知数列满足：，则下列命题正确的是（ ） A. 若数列为常数列，则 B. 存在，使数列为递减数列 C. 任意，都有为递减数列 D. 任意，都有 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡相应位置上. 2．本卷共11小题，共105分. 二．填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分. 10. 以双曲线的右顶点为焦点的抛物线的标准方程为__________． 11. 已知数列为等比数列，若，则数列的前6项和为______. 12. 在等差数列中，已知公差，且，则__________. 13. 记抛物线的焦点为F，为抛物线上一点，，直线与拋物线另一交点为B，则________． 14. 设F为双曲线C：（，）的右焦点，O为坐标原点，以为直径的圆与圆交于P，Q两点.若，则C的离心率为______. 15. 某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折，规格为的长方形纸，对折1次共可以得到，两种规格的图形，它们的面积之和，对折2次共可以得到，，三种规格的图形，它们的面积之和，以此类推，则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为______；如果对折次，那么______. 三．解答题：本大题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 16. 直线与双曲线相交于A，B两点． （1）求的长； （2）当a为何值时，以AB为直径的圆经过坐标原点？ 17. 设等差数列的公差为d，前项和为，等比数列的公比为．已知，，，． （1）求数列，的通项公式； （2）当时，记，求数列的前项和． 18. 设数列的前n项和，. （1）证明：数列是等比数列； （2）求的通项公式. 19. 已知椭圆C1：(a>b>0)的右焦点F与抛物线C2的焦点重合，C1的中心与C2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C1于A，B两点，交C2于C，D两点，且|CD|=|AB|. （1）求C1的离心率； （2）设M是C1与C2的公共点，若|MF|=5，求C1与C2的标准方程. 20. 已知等比数列的前项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）在与之间插入个数组成一个公差为的等差数列，在数列中是否存在3项（其中成等差数列）成等比数列？若存在，求出这样的3项；若不存在请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $