7.2.3平行线的性质（七大类型提分练）-【大单元教学】2024-2025学年七年级数学下册同步备课系列（人教版2024）

7.2.3平行线的性质（七大类型提分练） 类型一、两直线平行同位角相等 1．（2024七年级上·全国·专题练习）把一把直尺与一块三角板如图放置，，的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由． 类型二、两直线平行内错角相等 5．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 类型三、两直线平行同旁内角互补 9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 10．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 12．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 类型四、平行线的判定与性质 13．（七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，，平分，与相交于，．求证：． 14．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，，交于点F，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)直接写出图中与互余的所有角． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知如图，，直线分别交，于点E和点F，其中，求证：． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 类型五、平行线的性质与实际生活应用 17．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线． 18．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 19．（21-22七年级下·广西柳州·期中）如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 类型六、利用平行线的性质研究角之间的关系 20．（23-24七年级下·广西河池·期中）（1）如图，，．判定的数量关系，并说明理由． （2）如图，，平分，判定的位置关系，并说明理由． （写出主要步骤的推理依据） 21．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 类型七、平行线的判定与性质的常见模型 22．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 24．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 二、填空题 9．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 10．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 ． 11．（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 12．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 三、解答题 14．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，，分别平分和，已知，且． (1)求的度数； (2)求证：． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，求的度数． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 19．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期末）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 12 / 12 学科网（北京）股份有限公司 $$ 7.2.3平行线的性质（七大类型提分练） 类型一、两直线平行同位角相等 1．（2024七年级上·全国·专题练习）把一把直尺与一块三角板如图放置，，的度数为（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质，直角三角形两锐角互余的性质，邻补角的定义，根据直角三角形两锐角互余求出，再根据邻补角定义求出，然后根据两直线平行，同位角相等解答即可． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∴， ∵直尺的两边互相平行， ∴． 故选：B． 2．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，若，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，解题的关键是：两直线平行，同位角相等．利用平角的定义求出，再利用平行线的性质可得出结果． 【详解】解：如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，直角三角形的直角顶点在直线上，若，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形中求角度，涉及互余定义、平行线性质等知识，如图所示，由互余定义“两个和为的角互余”求出，再由两直线平行同位角相等即可得到答案，熟记两直线平行同位角相等是解决问题的关键． 【详解】解：如图所示： ，， ， ， ， 故选：C． 4．（22-23七年级下·山东菏泽·期中）如图，已知，如果，是否垂直于，试说明理由． 【答案】垂直，理由见解析 【分析】本题考查了垂直的定义和平行线的性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先由垂直的定义得出，再根据两直线平行，同位角相等求解即可． 【详解】解：垂直，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型二、两直线平行内错角相等 5．（23-24七年级下·广东揭阳·阶段练习）如图，点在射线上，直线，那么的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据图示可得，结合得到，由此即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 故选：D ． 6．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，于点，，，则等于（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，利用垂直的定义得出，再利用平行线的性质得出的度数． 【详解】解：∵于点C， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 7．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线，将含有角的三角板的直角顶点放在直线上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键在于熟练掌握两直线平行内错角相等以及过拐角作平行的技巧． 过点作，根据平行线的性质即可推出，，从而求得的度数． 【详解】解：过点向左作， 直线， ， ，， 又， ， ， 故选：D． 8．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，，、分别平分和，且．那么直线与的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，由角平分线的定义得出，再证明即可得出结论． 【详解】解：． 理由为：因为分别平分和， 所以，， 因为， 所以， 因为， 所以， 所以， 所以． 类型三、两直线平行同旁内角互补 9．（2024七年级上·全国·专题练习）生活情境·管道铺 设如图，工人师傅在工程施工中需在同一平面内弯制一个变形管道，使其拐角，则（   ） A． B． C． D．与相交 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定，掌握“同旁内角互补，两直线平行”成为解答本题的关键．根据同旁内角互补，两直线平行即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故选C． 10．（2024·四川雅安·模拟预测）如图，已知，是的平分线，若，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的性质、角平分线的定义以及对顶角相等等知识点，由题意得：，由得，根据是的平分线得． 【详解】解：由题意得：， ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴ 故选：B 11．（23-24七年级下·全国·单元测试）如图，，下列各式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，两条直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．根据平行线的性质，即可得到，进而得出． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即． 故选：D． 12．（23-24七年级下·上海宝山·期中）如图，已知，，试说明的理由． 【答案】见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，先根据两直线平行同旁内角互补可得，进而可得，则问题得解． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 类型四、平行线的判定与性质 13．（15-16七年级下·山东潍坊·阶段练习）如图，，平分，与相交于，．求证：． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，平行线的性质（两直线平行同位角相等），平行线的判定（内错角相等两直线平行）等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 根据角平分线的定义可得，根据平行线的性质可证得，于是可得，进而可得结论． 【详解】证明：平分， ， ，， ， ， ． 14．（23-24七年级下·广东清远·期末）如图，，交于点F，，垂足为E． (1)若，求的度数； (2)直接写出图中与互余的所有角． 【答案】(1) (2)，， 【分析】此题考查了平行线的性质，垂直的定义，余角的定义，正确理解平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质求出，再利用直角三角形两锐角互余求出的度数； （2）根据（1）及对顶角相等的性质解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，， 即，，都与互余． 15．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知如图，，直线分别交，于点E和点F，其中，求证：． 【答案】见解析 【分析】此题考查了平行线的性质和判定定理，解题的关键是掌握平行线的性质和判定定理． 首先根据得到，然后证明出，得到，进而可证明． 【详解】如图所示， ∵ ∴ ∵ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ ∴． 16．（24-25七年级上·河南南阳·期末）如图，，，交的延长线于点E． (1)求证：． (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定定理是解题关键． （1）由平行线的性质可证，结合题意得出，再由平行线的判定定理证明即可； （2）根据垂线的定义得出，结合平行线的性质可得出，结合题意可求出，最后再次利用平行线的性质即可求解． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ； （2）解：， ． ， ． ． ， ． 类型五、平行线的性质与实际生活应用 17．（20-21七年级下·全国·课后作业）如图，某人骑自行车自A沿正东方向前进，至B处后，行驶方向改为东偏南15°，行驶到C处仍按正东方向行驶，画出继续行驶的路线． 【答案】见解析 【分析】根据两直线平行，同旁内角互补，以C为顶点作165°的角即可． 【详解】解：如图，继续行驶的路线是按箭号方向行驶． 【点睛】本题主要考查了两直线平行，同旁内角互补的性质，是基础题． 18．（22-23七年级下·湖南常德·期末）如图1是一个由齿轮、轴承、托架等元件构成的手动变速箱托架，其主要作用是动力传输．如图2是手动变速箱托架工作时某一时刻的示意图，已知，，，，求的度数． 【答案】 【分析】过点作，因为，所以，再根据平行线的性质可以求出，，进而可求出，再根据平行线的性质即可求得． 【详解】解：如图，过点作， ， ， ，， ． ， ． ． ． 【点睛】本题考查平行线的性质，解题关键是结合图形利用平行线的性质进行角的转化和计算． 19．（21-22七年级下·广西柳州·期中）如图，一条公路修在湖边，需拐弯绕道而过，如果第一次向右拐75°，第二次拐弯形成的拐角∠B＝135°，第三次拐弯后道路恰好和第一次拐弯前的道路平行，那么第三次是如何拐弯的？ 【答案】向左拐30° 【分析】过点B作，延长BC到点P．可得．从而得到∠ABM＝∠A＝105°．再由∠ABC＝135°，可得∠MBC＝30°即可求解． 【详解】解：过点B作，延长BC到点P． ∵，， ∴． ∵第一次向右拐75°，即∠A＝105°， ∴∠ABM＝∠A＝105°． ∵∠ABC＝135°， ∴∠MBC＝30° 又∵， ∴∠NCP＝∠MBC＝30°． 答：第三次应向左拐30°． 【点睛】本题主要考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 类型六、利用平行线的性质研究角之间的关系 20．（23-24七年级下·广西河池·期中）（1）如图，，．判定的数量关系，并说明理由． （2）如图，，平分，判定的位置关系，并说明理由． （写出主要步骤的推理依据） 【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析 【分析】本题考查平行线的性质和判定： （1）根据平行线的性质，推出，，结合已知条件，推出即可； （2）根据角平分线的定义，结合已知条件推出，即可得出结论． 【详解】（1） （两直线平行，内错角相等） （两直线平行，同位角相等） ； （2）证明：平分 （角的平分线定义） （内错角相等，两直线平行） 21．（23-24七年级下·辽宁铁岭·期中）已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 类型七、平行线的判定与性质的常见模型 22．（20-21七年级下·广东东莞·期中）（1）如图（1），猜想与的关系，说出理由． （2）观察图（2），已知，猜想图中的与的关系，并说明理由． （3）观察图（3）和（4），已知，猜想图中的与的关系，不需要说明理由．    【答案】（1），理由见解析；（2），理由见解析；（3）图（3），图（4） 【分析】（1）过点P作，得到，由，，得到，得到，由此得到； （2）过点P作，由，得到，从而得到结论； （3）由，根据两直线平行，内错角相等与三角形外角的性质，即可求得与的关系． 【详解】（1）解：猜想． 理由：过点P作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）． 理由：如图，过点P作，    ∵， ∴， ∴， ∴； （3）如图（3）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即； 如图（4）：． 理由：∵，    ∴， ∵， ∴， 即． 【点睛】此题考查了平行线的性质，平行公理的推论，三角形的外角的性质定理，熟记平行线的性质是解题的关键． 23．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，E、F分别为，上一点，P，H分别在，上，，． (1)如图1，求证：平分； (2)如图2，过点P作，交于点M，作的平分线交于点N，求的度数． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，，再由得，即可得证； （2）设，则，得出，再由求出值即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴，， ∵， ∴ ∴平分． （2）设， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 24．（23-24七年级上·吉林长春·期末）【感知探究】如图①，已知，，点在上，点在上．求证：． 【类比迁移】如图②，、、的数量关系为 ．（不需要证明） 【结论应用】如图③，已知，，，则 °． 【答案】【感知探究】证明见解析；【类比迁移】；【结论应用】20 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，作辅助线是解题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可求解； （2）如图②，过作，根据平行线的性质即可得到结论； （3）如图③，过作，根据平行线的性质即可得到结论． 【详解】（1）证明：如图①，过点作， 则， 又∵， ∴， ， ， 即； （2）解：． 证明：如图②，过作， ， ∵， ∴， ， ， 即：． 故答案为：； （3）如图③，过作， ， ∵， ∴， ， ， 故答案为：20． 一、单选题 1．（2024七年级上·全国·专题练习）如图所示，直线，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平行线的性质求角度，根据得到，再根据平角定义结合进行求解即可． 【详解】解：如图， ， ，， ， 故选：C． 2．（21-22七年级上·江苏苏州·期末）已知直线，将一块含角的直角三角板按如图所示方式放置，并且顶点，分别落在直线，上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质，熟练掌握相关知识点及正确作出辅助线是解题的关键． 过点向右作，根据平行线的性质可得，，从而求出度数即可． 【详解】如图，过点向右作， ∴， ∵， ∴， ∴． 答案：A． 3．（2024七年级上·全国·专题练习）若将一副三角板按如图所示的方式放置，则下列结论不正确的是（   ） A． B．若，则有 C．若，则有 D．若，必有 【答案】C 【分析】本题主要考查平行线判定与性质、余角和补角，根据两种三角板的各角的度数，利用平行线的判定与性质结合已知条件对各个结论逐一验证，即可得出答案． 【详解】解：A、∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． B、∵， ∴， ∵， ∴， ∴，正确，不符合题意． C、∵， ∴， ∵， ∴不平行于，原来的结论错误，符合题意． D、由可得，正确，不符合题意． 故选：C． 4．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知，如图，平分，平分，，且，则下列结论①；②；③平分；④．其中正确的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题主要考查角平分线的定义，平行线的性质，三角形的内角和定理，三角形的角平分线，灵活运用角平分线的定义及三角形的内角和定理是解题的关键．根据平行线的判定定理可判定①，根据三角形的内角和定理可判定②，根据已知条件无法推知③；由角平分线的定义可判定④． 【详解】∵， ∴，故①正确； ∵， ∴， ∴，故②正确； ∵平分， ∴， 又∵， ∴，故④正确； 但不能得出，平分，故③错误； ∴正确的有3个． 故选：C． 5．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，，，则的度数等于（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． 过点E作，首先求出，然后证明出，得到，进而求解即可． 【详解】如图所示，过点E作 ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∴． 故选：B． 6．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，一条公路修到湖边时，需拐弯绕道而过，如果第一次拐的角，第二次拐的角，第三次拐的角是，这时的道路恰好和第一次拐弯之前的道路平行，则是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了平行线的性质与判定．首先根据题意作辅助线：过点作，即可得，则可求得：，，进而可得的值． 【详解】解：过点作， ， ， ，， ，， ， ， 故选：D． 7．（24-25七年级上·四川眉山·期中）如图，两平行线间有一个三角形和一个平行四边形，它们的底分别为a和b．当（    ）时，三角形的面积大于平行四边形的面积． A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是三角形和平行四边形的面积公式，平行线间的距离，是解答此题的关键．根据三角形的面积底高，平行四边形的面积底高，解答此题即可． 【详解】解：设两平行线间的距离为， ∵三角形的面积大于平行四边形的面积 ∴， ∴， 当时，三角形的面积大于平行四边形的面积． 故选：D． 8．（2024八年级上·全国·专题练习）如图，，有图中α，β，γ三角之间的关系是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的性质，三角形外角的性质， 先根据“两直线平行，同旁内角互补”得，再根据三角形外角的性质得，然后代入即可得出答案. 【详解】解：如图，延长交直线于F， ∵， ∴. ∵是的外角， ∴， ∴. 故选：C． 二、填空题 9．（23-24七年级下·甘肃定西·期末）如图所示，若，，和互余，则 ， ． 【答案】 【分析】由平行线的性质可知，根据和互余可求得，最后根据平行线的性质可求得．本题主要考查的是平行线的性质、余角的定义，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴． ∵和互余， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：；． 10．（24-25七年级上·黑龙江大庆·期中）如图，折叠宽度相等的长方形纸条，若，则 ． 【答案】 【分析】根据平行线的性质，折叠的性质，平角的定义解答即可． 本题考查了平行线的性质，折叠的性质，平角的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：根据折叠宽度相等的长方形纸条， 得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 11．（2018·河南·一模）如图，，，，则的值为 . 【答案】 【分析】本题主要考查了平行公理的推论，两直线平行内错角相等，两直线平行同旁内角互补等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 过点作，过点作，由平行公理的推论可得，由两直线平行内错角相等可得，，由两直线平行同旁内角互补可得，然后根据即可得出答案． 【详解】解：如图，过点作，过点作， ， ， ，，， ， 故答案为：． 12．（24-25七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）如图，，，，则 ． 【答案】/度 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，邻补角，先过点作，分别得，，再根据邻补角互补列式计算，即可作答． 【详解】解：过点作，如图所示： ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知与，若，，若的补角比的余角的2倍大，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行线的性质，和余角与补角的概念，掌握余角与补角的概念是解题的关键．根据，，得出，再设，则，根据题意列式得求解即可． 【详解】如图，，， ， ∴， 且， ∴， 设， 则， 则的补角为， 的余角为， ∴， 解得， 的度数为， 故答案为：． 三、解答题 14．（23-24八年级上·陕西渭南·期末）如图，已知点E、F在直线上，点G在线段上，连接交于点H，连接并延长到点M，． (1)求证：； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）由同位角相等，两直线平行可得，从而得到，可求得，即可判定； （2）结合（1）可得，，从而可求的度数． 本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键是结合图形分析清楚各角之间的关系． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ， ； （2）解：， ． 由（1）可得：，， ，， ． 15．（2024七年级上·全国·专题练习）如图，直线、交于点，，分别平分和，已知，且． (1)求的度数； (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）利用角平分线的定义和平角的定义即可求出的角度，根据已知条件和平角定义即可求出的度数，最后利用角的运算即可求出的度数． （2）利用三角和定理和已知条件求出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】（1）解： ，分别平分和， ，． ， ． ， ． ， ． ． 故答案为：． （2）证明：由（1）知， ． ， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的判定，角平分线的定义，平角的定义，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关性质定理． 16．（2025七年级下·全国·专题练习）如图，，求的度数． 【答案】 【分析】此题考查了平行线的判定与性质．分别过，点G，F，E作，结合垂直定义，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：如图，分别过点G，F，E作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， ∴． 17．（24-25七年级上·全国·课后作业）如图，已知，，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角的度数，过点E作，则，由平行线的性质可得，，代入数据计算即可得解． 【详解】解：如答图，过点E作， ∵， ∴， ∴，． ∵，， ∴，， ． 18．（23-24七年级下·浙江宁波·期末）如图，在中，平分，； (1)试判断与的位置关系，并说明理由． (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理、平行线的性质和判定，掌握平行线的性质、判定及三角形的内角和定理是解决本题的关键． （1）先说明，再说明，利用平行线的判定得结论； （2）利用平行线的判定与性质求出，利用邻补角求出即可． 【详解】（1）解：与平行． 理由：∵平分， ． ， ， ， ， ． （2）解：， ． ， ， ， ， ． 19．（21-22七年级下·河北保定·期中）如图，已知． (1)，求的度数； (2)猜想三者之间的关系并加以说明． 【答案】(1)30度 (2)，见解析 【分析】本题考查的是平行线的性质，一元一次方程的应用； （1）由可得，由可得，再进一步解答即可； （2）由（1）可得，即，再整理即可． 【详解】（1）解： ， ． ， ． ， ， ． （2）解：． 理由如下： 由（1）可知，， 即， ， 整理，得． 20．（24-25七年级上·河南南阳·期末）综合与实践 （1）如图1，，点P在，之间，，求的度数． （2）如图2，若，点P在的下方，则之间有何数量关系？并说明理由． （3）如图3，在（2）的条件下，的平分线和的平分线交于点E，求的度数．（结果用含的式子表示） 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题主要考查了平行线的性质，平行公理的应用，角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）过点P作，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （2）过点P作，根据平行公理得出，根据平行线的性质得出，，最后求出结果即可； （3）过点E作，根据平行线公理得出，根据平行线的性质得出，根据角平分线定义得出，根据解析（2），得出，最后得出结果即可． 【详解】解：（1）如图1，过点P作， ， ． ∵， ， ， ． （2）． 理由：如图2，过点P作， ∵， ， ， ， ， ， ， ． （3）如图3，过点E作， ∵， ， ， 的平分线和的平分线交于点E． ， 由（2）得， ， ， ． 34 / 34 学科网（北京）股份有限公司 $$