专题05 函数类型的识别与应用模型构建（6大题型）（课件）-【上好课】2025年高考数学二轮复习讲练测（新高考通用）

高考二轮数学讲练测 专题05 函数类型的识别 与应用模型构建 目录 01 03 05 02 04 考情透视·目标导航 知识导图·思维引航 知识梳理·方法技巧 真题研析·精准预测 核心精讲·题型突破（5大题型，1个重难点） 2 考点要求 目标要求 考题统计 二次函数模型，分段函数模型 掌握二次及分段函数模型，提升应用能力 2021年北京卷第8题，4分 2020年上海卷第19题，14分 指数函数、对数函数模型 掌握指数对数模型，强化函数应用能力 2023年I卷第10题，5分 2021年甲卷（文）第6题，5分 2020年山东卷第6题，5分 考情分析与命题预测 展望2025年高考趋势，或将融合函数理论与生活实际，全面评估学生的数学建模与实战应用能力。 考情透视·目标导航 3 知识导图·思维引航 4 知识梳理一 1.几种常见的函数模型： 函数模型 函数解析式 一次函数模型 ，为常数且 反比例函数模型 (为常数) 二次函数模型 ，，为常数且 指数函数模型 ，，为常数，，， 对数函数模型 ，，为常数，，， 幂函数模型 ，为常数， 知识梳理·方法技巧 知识梳理二 2.解函数应用问题的步骤： (1)审题：弄清题意，识别条件与结论，弄清数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用已有知识建 立相应的数学模型； (3)解模：求解数学模型，得出结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题. 知识梳理·方法技巧 知识梳理三 3.解答函数应用题应注意的问题 首先，要认真阅读理解材料.应用题所用的数学语言多为“文字语言、符号语言、 图形语言”并用，往往篇幅较长，立意有创新脱俗之感.阅读理解材料要达到的目标是 读懂题目所叙述的实际问题的意义，领悟其中的数学本质，接受题目所约定的临时性 定义，理解题目中的量与量的位置关系、数量关系，确立解体思路和下一步的努力方 向，对于有些数量关系较复杂、较模糊的问题，可以借助画图和列表来理清它. 其次，建立函数关系.根据前面审题及分析，把实际问题“用字母符号、关系符号” 表达出来，建立函数关系. 知识梳理·方法技巧 知识梳理一 3.解答函数应用题应注意的问题 其中，认真阅读理解材料是建立函数模型的关键.在阅读这一过程中应像解答语文 和外语中的阅读问题一样，有“泛读”与“精读”之分.这是因为一般的应用问题，一方面 为了描述的问题与客观实际尽可能地相吻合，就必须用一定的篇幅描述其中的情境； 另一方面有时为了思想教育方面的需要，也要用一些非数量关系的语言来叙述，而我 们解决问题所关心的东西是数量关系，因此对那些叙述的部分只需要“泛读”即可.反过 来，对那些刻画数量关系、位置关系、对应关系等与数学有关的问题的部分，则应“精 读”，一遍不行再来一遍，直到透彻地理解为止，此时切忌草率. 知识梳理·方法技巧 1.(多选题)新高考Ⅰ)噪声污染问题越来越受到重视.用声压级来度量声音的强弱， 定义声压级，其中常数是听觉下限阈值，是实际声压.下表 为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离 声压级 燃油汽车 10 混合动力汽车 10 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车处测得实际声压分别为，， ，则( ) ACD A. B. C. D. ，， ，， ，， 可得，正确； ，错误； ，正确； ，，正确. 真题研析 真题研析·精准预测 9 2.上海)为了节能环保、节约材料，定义建筑物的“体形系数” ，其中为 建筑物暴露在空气中的面积(单位：平方米)，为建筑物的体积(单位：立方米). (1)若有一个圆柱体建筑的底面半径为，高度为，暴露在空气中的部分为上底面和侧 面，试求该建筑体的“体形系数” ；(结果用含、的代数式表示) 由圆柱体的表面积和体积公式可得： ， ∴ 真题研析 真题研析·精准预测 (2)定义建筑物的“形状因子”为，其中为建筑物底面面积，为建筑物底面周长， 又定义为总建筑面积，即为每层建筑面积之和(每层建筑面积为每一层的底面面积).设 为某宿舍楼的层数，层高为3米，则可以推导出该宿舍楼的“体形系数”为 当，时，试求当该宿舍楼的层数为多少时，“体形系 数” 最小. ，，∴， 令，解得，∴在，递减，在， 递增， ∴的最小值在或7取得， 当时，，当时，， ∴在时，该建筑体最小. 真题研析·精准预测 11 3.甲卷)青少年视力是社会普遍关注的问题，视力情况可借助视力表测量.通常用 五分记录法和小数记录法记录视力数据，五分记录法的数据和小数记录法的数据满 足 已知某同学视力的五分记录法的数据为4.9，则其视力的小数记录法的数 据约为( ( ) C A.1.5 B.1.2 C.0.8 D.0.6 在中，，∴，即， 解得， ∴其视力的小数记录法的数据约为0.8. 真题研析 真题研析·精准预测 12 4.北京)某一时段内，从天空降落到地面上的雨水，未经蒸发、渗漏、流失而在水 平面上积聚的深度，称为这个时段的降雨量(单位：24 降雨量的等级划分如下： 等级 降雨量(精确到 小雨 中雨 大雨 暴雨 在综合实践活动中，某小组自制了一个底面直径为，高为的圆锥形雨 量器.若一次降雨过程中，该雨量器收集的的雨水高度是 如图)，则这 降雨量的等级是( B ) A.小雨 B.中雨 C.大雨 D.暴雨 积水部分半径， 代入得， 则平地上积水的厚度， ∵，由题知，这一天的雨水属于中雨. 真题研析 真题研析·精准预测 13 5.上海)已知一企业今年第一季度的营业额为1.1亿元，往后每个季度增加0.05亿 元，第一季度的利润为0.16亿元，往后每一季度比前一季度增长 (1)求今年起的前20个季度的总营业额； 由题知，可将每个季度的营业额看作等差数列， 则首项，公差， ， 即营业额前20季度的和为31.5亿元. ，因此的解只能在时取得， 经检验，，， ∴今年第一季度往后的第25个季度的利润首次超过该季度营业额的 真题研析 真题研析·精准预测 14 (2)请问哪一季度的利润首次超过该季度营业额的？ 假设今年第一季度往后的第季度的利润首次超过该季度营业额的， 则， 令，， 即要解， 则当时，， 令，解得：， 即当时，递减；当时，递增， 真题研析·精准预测 15 6.上海)在研究某市交通情况时，道路密度是指该路段上一定时间内通过的车辆 数除以时间，车辆密度是该路段一定 时间内通过的车辆数除以该路段的长度，现定义交通流量为，为道路密度，为 车辆密度，交通流量 (1)若交通流量，求道路密度的取值范围； 按实际情况而言，交通流量随着道路密度的增大而减小，故是单调递减函数，∴，当时，最大为85，于是只需令，解得，故道路密度的取值范围为 真题研析 真题研析·精准预测 16 (2)已知道路密度时，测得交通流量，求车辆密度的最大值. 把，代入中， 得，解得 ， ①当时，， ②当时，是关于的二次函数，， 对称轴为，此时有最大值，为 综上所述，车辆密度的最大值为 真题研析·精准预测 17 7.山东)基本再生数与世代间隔是新冠肺炎的流行病学基本参数.基本再生数 指一个感染者传染的平均人数，世代间隔指相邻两代间传染所需的平均时间.在新冠肺 炎疫情初始阶段，可以用指数模型：描述累计感染病例数随时间 (单位：天)的变化规律，指数增长率与，近似满足 有学者基于已有数 据估计出， 据此，在新冠肺炎疫情初始阶段，累计感染病例数增加1倍 需要的时间约为( ( ) B A.1.2天 B.1.8天 C.2.5天 D.3.5天 把，代入，可得，， 当时，，则， 两边取对数得，解得 故选： 真题研析 真题研析·精准预测 18 对勾函数模型 题型三 核心精讲·题型突破 分段函数模型 题型二 二次函数与幂模型 题型一 指数函数模型 题型四 对数函数模型 题型五 函数模型的选择 重难点突破 题型一：二次函数与幂模型 【典例1-1】红星幼儿园要建一个长方形露天活动区，活动区的一面利用房屋边墙 (墙长)，其它三面用某种环保材料围建，但要开一扇宽的进出口(不需材料)， 共用该种环保材料，则可围成该活动区的最大面积为( ) C A. B. C. D. 设这个活动区垂直于墙的一边长是，则平行于墙的一边是 ，面积， 墙长，∴，解得，对称轴方程，抛物线开口向下，，函数在 上递减， 当时，最大为()，故选： 核心精讲·题型突破 题型突破 20 【典例1-2】某厂以千克/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求)， 每小时可获得利润元，要使生产100千克该产品获得的利润最大，该 厂应选取的生产速度是( ) C A.2千克/小时 B.3千克/小时 C.4千克/小时 D.6千克/小时 由题意得，生产100千克该产品获得的利润为 ， ， 令，，则 ，故当时，最大，此时 故选：C 核心精讲·题型突破 21 1.二次函数模型的应用 构建二次函数模型解决最优问题时，可以利用配方法、判别式法、换元法、讨论 函数的单调性等方法求最值，也可以根据函数图象的对称轴与函数定义域的对应区间 之间的位置关系讨论求解，但一定要注意自变量的取值范围. 2.幂函数模型为(，为常数，)， 在计算幂函数解析式、求幂函数最值的时候，通常利用幂函数图像、单调性、奇 偶性解题. 核心精讲·题型突破 22 【变式1-2】黑龙江哈尔滨·三模)如图为某小区七人足球 场的平面示意图，为球门，在某次小区居民友谊比赛中，队 员甲在中线上距离边线5米的点处接球，此时， 假设甲沿着平行边线的方向向前带球，并准备在点处射门， 为获得最佳的射门角度(即最大)，则射门时甲离上方端线 的距离为( ) B A. B. C. D. 核心精讲·题型突破 23 设，作如下示意图，，， ∴，解得，即， 设，则，，∴在中， 有，令 ∴，∵，∴，则要使最大， 令 ，∴的对称轴为：，∴在递增，在 递减，∴当时，取得最大值即最大，此时，即，∴，∴即为获得最佳的射门角度(即最大)， 则射门时甲离上方端线的距离为： 核心精讲·题型突破 24 【变式1-3】在国家大力推广新能源汽车的背景下，各大车企纷纷加大对新能源汽车的 研发投入，某车企研发部有100名研发人员，原年人均投入40万元，现准备将这100名 研发人员分成两部分：燃油车研发部和新能源车研发部，其中燃油车研发部有名研究 人员，调整后新能源车研发部的年人均投入比原来增加，而燃油车研发部的年人 均投入调整为万元. (1)若要使新能源车研发部的年总投入不低于调整前原100名研发人员的年总投入，求 调整后新能源车研发人员最少为多少人？ 令新能源车研发部的年总投入，则 令，则，，， 故调整后新能源车研发人员最少为34人 核心精讲·题型突破 25 (2)若要使新能源车研发部的年总投入始终不低于燃油车研发部的年总投入，求正整数 的最大值. 令燃油车研发部的年总投入 则， 即在恒成立. 令，即在上恒成立， ， 是开口向上的二次函数， ①对称轴时，即，时在上恒成立； ②当对称轴时，即， ，解得 综上所述： 的最大值为：6. 核心精讲·题型突破 26 1.上海崇明·一模)某公园有一块如图的区域，该 场地由线段、、及曲线段围成.经测量， ，米，曲线是以为对称轴的抛 物线的一部分，点到、的距离都是50米.现拟在该区域建设 一个矩形游乐场，其中点在曲线段上，点、分别在 线段、上，且该游乐场最短边长不低于30米.设米，游乐场的面积为平方米. 命题预测 核心精讲·题型突破 27 (1)试建立平面直角坐标系，求曲线段的方程； 以为坐标原点，、所在直线分别为轴、轴建立平面直角坐标系，如图，，， 设曲线所在的抛物线方程为，，点，在抛物线上，则，解得，， ∴曲线段所在的抛物线方程为 (2)求面积关于的函数解析式； ∵点在曲线段上，，，∴， ， 核心精讲·题型突破 28 (3)试确定点的位置，使得游乐场的面积最大. ，， 令，解得， 当时，，当时，， ∴时，函数单调递增，时，函数单调递减， 因此，当时，是极大值也是最大值， 即当点在曲线段上且到的距离为米时，游乐场的面积最大. 核心精讲·题型突破 29 2.山东·二模)行驶中的汽车在刹车时由于惯性作用，要 继续往前滑行一段距离才能停下，这段距离叫做刹车距离.在某 路面上，某种型号汽车的刹车距离(米)与汽车的车速 (千米时)满足下列关系：(，是常数， (1)求，的值； ).根据多次实验数据绘制的刹车距离(米)与汽车的车速 (千米/时)的关系图，如 图所示. 由图象可知，点，在函数图象上， ，解得，，； 命题预测 核心精讲·题型突破 30 (2)如果要求刹车距离不超过25.2米，求该型号汽车行驶的最大速度. 令， 得， 解得， 又， ， 即行驶的最大速度为70千米时. 核心精讲·题型突破 31 3.汽车在行驶中，由于惯性，刹车后还要继续向前滑行一段距离才能停止，一般称这 段距离为“刹车距离”.刹车距离是分析交通事故的一个重要依据.在一个限速为 的弯道上，甲、乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事后 现场勘查，测得甲车的刹车距离略超过，乙车的刹车距离略超过 已知甲车的刹 车距离与车速之间的关系为，乙车的刹车距离与车速 之间的关系为 请判断甲、乙两车哪辆车有超速现象( ) C A.甲、乙两车均超速 B.甲车超速但乙车未超速 C.乙车超速但甲车未超速 D.甲、乙两车均未超速 对于甲车，令，即解得(舍)或，∴甲未超速；对于甲车，令，即 解得(舍)或，∴乙超速； 命题预测 核心精讲·题型突破 32 题型二：段函数模型 【典例2-1】四川·二模)单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容 量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关.假设某条道路一小时通过 的车辆数满足关系，其中为安全距离，为车速 当安全距离 取时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为( ) B A.135 B.149 C.165 D.195 由题意得，，当且仅当 ，即时取“”， ∴该道路一小时“道路容量”的最大值约为149. 核心精讲·题型突破 题型突破 33 【典例2-2】山东临沂·二模)某学校数学建模小组为了研究双层玻璃窗户中每层 玻璃厚度 (每层玻璃的厚度相同)及两层玻璃间夹空气层厚度对保温效果的影响，利用 热传导定律得到热传导量满足关系式，其中玻璃的热传导系数 焦耳(厘米·度)，不流通、干燥空气的热传导系数焦耳 (厘米·度)， 为室内外温度差值越小保温效果越好，现有4种型号双层玻璃窗户，具体数据如下表： 型号 每层玻璃厚度 (单位：厘米) 玻璃间夹空气层厚度 (单位：厘米) A型 0.4 3 B型 0.3 4 C型 0.5 3 D型 0.4 4 则保温效果最好的双层玻璃的型号是( ) D A.A型 B.B型 C.C型 D.D型 ， 固定可知最大时最小保温最好， 对于A型玻璃，， 对于B型玻璃，， 对于C型玻璃，， 对于D型玻璃，， 经过比较可知， D型玻璃保温效果最好. 核心精讲·题型突破 34 1.分段函数主要是每一段自变量变化所遵循的规律不同，可以先将其当做几个问题， 将各段的变化规律分别找出来，再将其合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是 端点值. 2.构造分段函数时，要准确、简洁，不重不漏 核心精讲·题型突破 35 【变式2-1】河南·一模)党的二十大报告将“完成脱贫攻坚、全面建成小康社会的 历史任务，实现第一个百年奋斗目标”作为十年来对党和人民事业具有重大现实意义和 深远历史意义的三件大事之一.某企业积极响应国家的号召，对某经济欠发达地区实施 帮扶，投资生产A产品，经过市场调研，生产A产品的固定成本为200万元，每生产万 件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于 50万件时， 每件A产品的售价为100元，通过市场分析，生 产的A产品可以全部销售完，则生产该产品能获得的最大利润为______万元. 1000 核心精讲·题型突破 36 由题意得，销售收入为万元，利润 ∵当时，， 当时，单调递增；当时，单调递减； ∴在上单调递增，在上单调递减，则； 当时当且仅当时取等号. 又，故当时，所获利润最大，最大值为1000万元. 生产A产品的固定成本为200万元，每生产万 件，需可变成本万元，当产量不足50万件时，；当产量不小于 50万件时， 每件A产品的售价为100元， 核心精讲·题型突破 37 【变式2-2】吉林·模拟预测)师大附中考入北大的学生李聪毕业后帮助某地打造 “生态果园特色基地”， 他决定为该地改良某种珍稀水果树，增加产量，提高收入，调研过程中发现：此珍稀水果树的单株产量 (单位：千克)与投入的成本 (单位：元) 满足如下关系：，已知这种水果的市场售价为10元/千克， 且供不应求.水果树单株获得的利润为 (单位：元). (1)求的函数关系式； 由题知： 核心精讲·题型突破 38 (2)当投入成本为多少时，该水果树单株获得的利润最大?最大利润是多少? 由(1)可知：， 若，则，可知图象开口向上，对称轴为， 此时的最大值为； 若，则， 当且仅当即时，等号成立，此时的最大值为； 又∵，可知的最大值为，∴当投入成本为90元时，该水果树单株获得的利润最大，最大利润是180元. 核心精讲·题型突破 39 1.根据疫情防控要求，学校教室内每日需要进行喷洒药物消毒.若从喷洒药物开始，教 室内空气中的药物浓度(毫克/立方米)与时间(分钟)的关系为：， 根据相关部门规定该药物浓度达到不超过毫克/立方米时，学生可以进入教室，则 从开始消毒至少____分钟后，学生可进教室正常学习；研究表明当空气中该药物浓度 超过毫克/立方米持续8分钟以上时，才能起到消毒效果，则本次消毒____效果 (填：有或没有). 30 有 由题设，只需，即，可得分钟， ∴30分钟后药物浓度不超过毫克/立方米，故30分钟后学生可进教室正常学习， 当，则， 当，则，可得， 即第5分钟到第20分钟之间药物浓度超过毫克/立方米，故分钟， ∴本次消毒有效果. 命题预测 核心精讲·题型突破 40 2.北京西城·一模)调查显示，垃圾分类投放可以带来约元/千克的经济效益. 为激励居民垃圾分类，某市准备给每个家庭发放一张积分卡，每分类投放积分1分， 若一个家庭一个月内垃圾分类投放总量不低于，则额外奖励分(为正整数).月 底积分会按照元/分进行自动兑换. ①当时，若某家庭某月产生生活垃圾，该家庭该月积分卡能兑换____元； ②为了保证每个家庭每月积分卡兑换的金额均不超过当月垃圾分类投放带来的收益的 ，则的最大值为____. 13 36 ①若某家庭某月产生生活垃圾，则该家庭月底的积分为 分，故该家庭该月积分卡能兑换元； ②设每个家庭每月产生的垃圾为，每个家庭月底月积分卡能兑换的金额为元. 若时，恒成立； 若时，，可得 命题预测 核心精讲·题型突破 41 3.重庆·模拟预测)我国的酒驾标准是指车辆驾驶员血液中的酒精含量大于或者等 于，已知一驾驶员某次饮酒后体内每血液中的酒精含量 (单位：mg) 与时间(单位：h)的关系是：当时，；当时， ，那么该驾驶员在饮酒后至少要经过____h才可驾车. 当时，， 当时，函数有最大值，∴当时，饮酒后体内每血液中 的酒精含量小于， 当当时，函数单调递减，令，因此饮酒后小时 体内每血液中的酒精含量等于， 故答案为： 命题预测 核心精讲·题型突破 42 题型三：对勾函数模型 【典例3-1】高三·湖南衡阳·期中)近期随着某种国产中高端品牌手机的上市，我 国的芯片技术迎来了重大突破.某企业原有1000名技术人员，年人均投入万元()， 现为加强技术研发，该企业把原有技术人员分成技术人员和研发人员，其中技术人员 工名(且)，调整后研发人员的年人均投入增加，技术人 员的年人均投入调整为万元. 核心精讲·题型突破 题型突破 43 (1)若要使调整后研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入，则调 整后的研发人员的人数最少为多少？ 依题意可得调整后研发人员的人数为，且年人均投入为 万元，则 ∵，∴，解得， ∵且，∴，故， 即要使这名研发人员的年总投入不低于调整前1000名技术人员的年总投入， 则调整后的研发人员的人数最少为500. 核心精讲·题型突破 44 (2)为了激发研发人员的工作热情和保持技术人员的工作积极性，企业决定在投入方面 要同时满足以下两个条件：①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入； ②技术人员的年人均投入始终不减少.请问是否存在这样的实数，满足以上两个条件？ 若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由. 由条件①研发人员的年总投入始终不低于技术人员的年总投入，得 ，整理得， 由条件②技术人员年人均投入不减少，得，解得 设，由在 上单调递减， ∵且，∴在 上单调递减， 则，当时，等号成立，∴ 又∵，当时，，∴， ∴，即存在这样的满足条件，的取值范围为 核心精讲·题型突破 45 【典例3-2】高三·福建福州·期末)某公司决定对旗下的某商品进行一次评估，该 商品原来每件售价为25元，年销售8万件. (1)据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不 低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？ 依题意，设每件定价为元，得， 整理得，解得 ∴要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元. 核心精讲·题型突破 46 (2)为了扩大该商品的影响力，提高年销售量.公司决定立即对该商品 进行全面技术革新和销售策略调整，并提高定价到元.公司拟投入 万元.作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投 入万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量至少达 到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入 之和？并求出此时每件商品的定价. 当时有解， 有解由于当且仅当，即时等号成立，∴ 10.2，当该商品改革后销售量至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品的每件定价为30元. 方法技巧 1.解决此类问题一定要注意函数定义域； 2.利用模型求解最值时，注意取得最值时等号成立的条件. 核心精讲·题型突破 47 【变式3-1】江苏南通·二模)某单位购入了一种新型的空气消毒剂用于环境消毒， 已知在一定范围内，每喷洒1个单位的消毒剂，空气中释放的浓度 (单位：毫米/立方 米)随着时间(单位：小时)变化的关系如下：当时，；当 时， 若多次喷洒，则某一时刻空气中的消毒剂浓度为每次投放的 消毒剂在相应时刻所释放的浓度之和.由实验知，当空气中消毒剂的浓度不低于4 (毫克/立方米)时，它才能起到杀灭空气中的病毒的作用. (1)若一次喷洒4个单位的消毒剂，则有效杀灭时间可达几小时？ ∵一次喷洒4个单位的消毒剂，∴其浓度为 当时，解得此时，当时，解得此时，∴若一次喷洒4个单位的消毒剂则有效杀灭时间可达8小时. 核心精讲·题型突破 48 (2)若第一次喷洒2个单位的消毒剂，6小时后再喷洒个单位的消毒剂，要 使接下来的4小时中能够持续有效消毒，试求的最小值(精确到0.1，参考数据：取 1.4) 设从第一次喷洒起，经小时后， 其浓度 ∵， ，∴，当且仅当，即 时，等号成立； ∴其最小值为，由，解得， ∴的最小值为 核心精讲·题型突破 49 【变式3-2】上海浦东新·二模)某研究所开发了一种抗病毒新药，用小白鼠进行抗 病毒实验.已知小白鼠服用1粒药后，每毫升血液含药量(微克)随着时间 (小时)变化的函 数关系式近似为 当每毫升血液含药量不低于4微克时，该药能 起到有效抗病毒的效果. (1)若小白鼠服用1粒药，多长时间后该药能起到有效抗病毒的效果？ 设服用1粒药，经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克， 可得， 解得， ∴小时后该药能起到有效抗病毒的效果. 核心精讲·题型突破 50 (2)某次实验：先给小白鼠服用1粒药，6小时后再服用1粒，请问这次实验该药能够有 效抗病毒的时间为多少小时？ 设经过小时能有效抗病毒，即血液含药量须不低于4微克； 若，药物浓度， 解得， 若，药物浓度， 化简得，∴； 若，药物浓度， 解得，∴； 综上 ， ∴这次实验该药能够有效抗病毒的时间为小时. 核心精讲·题型突破 51 1.江西南昌·二模)网店和实体店各有利弊，两者的结合将在未来一段时期内，成 为商业的一个主要发展方向.某品牌行车记录仪支架销售公司从2018年1月起开展网络 销售与实体店体验安装结合的销售模式.根据几个月运营发现，产品的月销量万件与 投入实体店体验安装的费用万元之间满足函数关系式 已知网店每月固定 的各种费用支出为3万元，产品每1万件进货价格为32万元，若每件产品的售价定为“进 货价的”与“平均每件产品的实体店体验安装费用的一半”之和，则该公司最大月 利润是_____万元. 命题预测 核心精讲·题型突破 52 由题意，产品的月销量万件与投入实体店体验安装的费用万元之间满足 ，即， ∴月利润为 ， 当且仅当时，即时取等号， 即月最大利润为万元. 故答案为: 核心精讲·题型突破 53 2.高三·山东日照·期中)某乡镇为了打造“网红”城镇发展经济，因地制宜的将该镇打造 成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量 (单位：千克) 与施用肥料(单位：千克)满足如下关系：，肥料成本投 入为元，其它成本投入(如培育管理、施肥等人工费元.已知这种水果的市场售价大 约15元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为 (单位：元) (1)写单株利润(元)关于施用肥料 (千克)的关系式； 依题意，，又， ∴ 命题预测 核心精讲·题型突破 54 (2)当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大?最大利润是多少? 当时，，其图象开口向上，对称轴为， 因此在上单调递减，在上单调递增，在 上的最大值为 ；当时， ， 当且仅当时，即时等号成立， 而，则当时，， ∴当施用肥料为4千克时，单株利润最大，最大利润是480元. 核心精讲·题型突破 55 题型四：指数函数模型 【典例4-1】湖北·一模)高三教学楼门口张贴着“努力 的力量”的宣传栏，勉励着同学们专心学习，每天进步一 点点，时间会给我们带来惊喜.如果每天的进步率都是， 那么一年后是，如果每天的落后率 都是，那么一年后是，一年后 “进步”是“落后”的230万倍，现张三同学每天进步 B A.7 B.17 C.27 D.37 ，李四同学每天落后，假设开始两人相当，则大约( )天后，张三超过李 四的100倍(参考数据：) 核心精讲·题型突破 题型突破 56 【典例4-2】四川绵阳·一模)某工厂产生的废气经过滤后排放，过滤过程中废气 的污染物含量(单位：与时间(单位：间的关系为是自然对数的 底数，，为正的常数).如果前消除了的污染物，那么消除的污染物需要 的时间约为( )(参考数据：) C A. B. C. D. 依题意，，解得，即， 当时，，即， 解得， ∴污消除的污染物需要的时间约为 在解题时，指数函数模型是增长速度越来越快(底数大于1)的一类函数模型，与增长率、银行利率有关的问题都属于指数模型. 核心精讲·题型突破 57 【变式4-1】广东湛江·一模)中国茶文化博大精深，饮茶深受大众喜爱，茶水的 口感与茶叶类型和水的温度有关. 研究在室温下泡制好的茶水要等多久饮用，可以产生 符合个人喜好的最佳口感，这是很有意义的事情.经研究：把茶水放在空气中冷却，如 果茶水开始的温度是，室温是，那么后茶水的温度单位： ，可由公 式求得，其中是常数，为了求出这个的值，某数学建模兴 趣小组在室温下进行了数学实验，先用的水泡制成的茶水，利用温度传 感器，测量并记录从开始每一分钟茶水的温度，多次实验后搜集整理到了如下的 数据： 核心精讲·题型突破 58 0 1 2 3 4 5 (1)请你利用表中的一组数据，求的值，并求出此时的解析式 (计算结果四舍五入精确到 ； 依题意，，且当， 时，， 则，，解得， ∴ 核心精讲·题型突破 59 (2)在室温环境下，王大爷用的水泡制成的茶水，想等到茶水温度降至 时再饮用，根据(1)的结果，王大爷要等待多长时间计算结果四舍五入精确到1 分钟 参考数据：，，e是自然对数的底数， 由(1)知，，当时，，即 ，整理得，解得， 王大爷要等待约9分钟. 核心精讲·题型突破 60 【变式4-2】贵州六盘水·模拟预测)中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类 型和水的温度有关.水城春茶因富含有机茶硒和十余种人体必需的微量元素而享誉贵州 省内外.经验表明，水城春茶用的水泡制，再等到茶水温度降至时，饮用口感 最佳.为方便控制水温，某研究小组采用了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若 物体的初始温度是，室温是，则经过时间(单位：分钟)后物体的温度 (单位：)满足，其中为正常数.该研究小组在的室温下， 通过多次测量取平均值的方法，测得初始温度为的水的温度降至相应温度 所需时间如下表所示： 核心精讲·题型突破 61 从降至所需时间 3.4分钟 从降至所需时间 5.0分钟 (1)从上表中选取一组数据求出的值(精确到0.01)，并根据上述冷却模型写出冷却时间 关于冷却后水温的函数解析式； 由题可知，有， 若取第一组数据，则有，得， 此时解析式为； 若取第二组数据，则有，解得， 此时解析式为 综上，所求解析式为 核心精讲·题型突破 62 (2)在(1)的条件下，现用水在的室温下泡制水城春茶，从泡制到获得最佳饮 用口感约需要多少分钟？(精确到0.1分钟) (参考数据：，，，) 由(1)知，， 令，则，解得 ∴，从泡制到获得最佳饮用口感约需要分钟. 核心精讲·题型突破 63 1.福建福州·模拟预测)大气压强(单位：kPa)与海拔 (单位：m)之间的关系可以 由近似描述，其中为标准大气压强，为常数.已知海拔为 两地的大气压强分别为 若测得某地的大气压强为80kPa，则该地的海拔约 为( )(参考数据：) C A. B. C. D. 由题知①，②，①②两式相比得到， ∴③，当时，由④，②④得到， ∴⑤，由⑤④，得到，解得 故选： 命题预测 核心精讲·题型突破 64 2.吉林长春·模拟预测)某制药厂临床试验一批新药的疗 效(-因子是主要成分)，根据国家规定：服用新药后血 液中-因子含量达到认定为有效Ⅰ级，及以上认 定为有效Ⅱ级，以下认定为无效.经过大量试验得知，服用 该药后一开始血液中-因子的浓度呈线性增长，当其上升到 时，血液中-因子的浓度将会以每小时的速度减少(函数模型如图). 命题预测 核心精讲·题型突破 65 (1)请写出服用该药后血液中-因子浓度(单位：)随时间 (单位：小时)变化的 关系式； 开始时，血液中-因子浓度呈线性增长时，设， 将代入，得，解得，因此； 当时，，又当-因子浓度上升到时，以每小时的速度减少， 则当时，， ∴所求关系式为 核心精讲·题型突破 66 (2)服用该药后，至少要经过几个小时血液中-因子才能降至无效？(结果取整数). (参考数据：) 设至少要经过小时血液中-因子降至无效，即， 整理得，两边取常用对数，得， 则，解得， ∴至少要经过9个小时血液中-因子才能降至无效. 核心精讲·题型突破 67 题型五：对数函数模型 【典例5-1】江西九江·二模)已知火箭在时刻的速度为 (单位：千米/秒)，质 量为(单位：千克)，满足(为常数)，、分别为火箭初始 速度和质量.假设一小型火箭初始质量千克，其中包含燃料质量为500千克， 初始速度为，经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千 克，当火箭燃料耗尽时的速度大约为( )(，). C A.4 B.5 C.6 D.7 由题意知，火箭在时刻的速度为，质量为，满足， ∵经过秒后的速度千米/秒，此时火箭质量千克， 可得，火箭耗尽燃料时速度为， 两式相除得 核心精讲·题型突破 题型突破 68 【典例5-2】福建龙岩·三模)声音的等级(单位：与声音强度 单位：)满足 喷气式飞机起飞时，声音的等级约为 若喷气式飞机起飞时声音强度约为一般说话时声音强度的 倍，则一般说话时声音的 等级约为( ) A. B. C. D. D 设喷气式飞机起飞时声音强度和一般说话时声音强度分别为， 由题意可得，解得， ∵，∴，∴， ∴一般说话时声音的等级约为 在解决指数函数、对数函数模型问题时，一般先需通过待定系数法确定函数解析式，再借助函数图像 求解最值问题. 核心精讲·题型突破 69 【变式5-1】青海海西·模拟预测)北京时间2020年11月24日4时30分，中国在文昌 航天发射场用长征五号遥五运载火箭，成功将嫦娥五号月球探测器送入地月转移轨道， 发射取得圆满成功.在不考虑空气阻力的情况下，火箭的最大速度和燃料的质 量、火箭(除燃料外)的质量的函数关系是 按照这个规 律，当时，火箭的最大速度为；当时，火箭的最大速度为 则(参考数据：)( ) A A. B. C. D. 由火箭的最大速度和燃料的质量、火箭的质量的函数关系是，当时，有，∴； 当时，有，∴， 可得 核心精讲·题型突破 70 【变式5-2】上海崇明·一模)研究表明：在一节40分钟的网课中，学生的注意力指数与听课时间(单位：分钟)之间的变化曲线如图，当 时，曲线是二次函数图像的一部分；当时，曲线是函数图像的一部分，当学生的注意力指数不高于68时，称学生处于“欠佳听课状态”. 核心精讲·题型突破 71 (1)求函数的解析式； 当时，设函数， ∵，∴， ∴， 当时，， 由，解得， ∴， 综上函数解析式为 核心精讲·题型突破 72 (2)在一节40分钟的网课中，学生处于“欠佳听课状态”的时间有多长？(精确到1分钟) 当时，令， 即，解得或(舍去)，∴ ， 当时，令，得， ∴，∴学生处于“欠佳听课状态”的时间长为分钟. 核心精讲·题型突破 73 1.吉林·模拟预测)尽管目前人类还无法准确预报地震，但科学家通过研究，已经 对地震有所了解，例如，地震时释放出的能量(单位：焦耳)与地震里氏震级之间的 关系为 2024年3月25日，斐济附近海域发生里氏5.1级地震，它所释放 的能量是同日我国新疆阿克苏地区发生里氏3.1级地震的( ) C A.10倍 B.100倍 C.1000倍 D.10000倍 设里氏5.1级和3.1级地震释放出的能量分别为和， 由，于是，则，因此 ， ∴它释放的能量是里氏3.1级地震的1000倍.故选：C 命题预测 核心精讲·题型突破 74 2.2021年中国载人航天工程相继发射了第十二、第十三艘飞船，与空间站完成对接， 进入太空站完成任务。在不考虑空气阻力和地球引力的理想状态下，可以用公式 计算火箭的最大速度，其中是喷流相对速度，是火箭 (除推进剂外)的质量，是推进剂与火箭质量的总和，称为“总质比”，已知A型火 箭的喷流相对速度为 (1)当总质比为200时，利用给出的参考数据求A型火箭的最大速度； 由题意总质比，，代入公式， 即 ∴，当总质比为200时， A型火箭的最大速度为 命题预测 核心精讲·题型突破 75 (2)经过材料更新和技术改进后，A型火箭的喷流相对速度提高到了原来的1.5倍，总质 比变为原来的，若要使火箭的最大速度至少增加 求在材料更新和技术改进前 总质比的最小整数值. 参考数据：， 经过材料更新和技术改进后，A型火箭得喷流相对速度为，总质比为 要使得速度至少增加到，则需， 化简得，∴，由的单调性易得，即， ∵，∴ ∴在材料更新和技术改进前总质比的最小整数值为74. 核心精讲·题型突破 76 重难点突破：函数模型的选择 【典例6-1】为了提高员工的工作积极性，某外贸公司想修订新的“员工激励计划”新的 计划有以下几点需求：①奖金随着销售业绩的提高而提高；②销售业绩增加时，奖金 增加的幅度逐渐上升；③必须和原来的计划接轨：销售业绩在10万元或以内时奖金为0， 超过10万元则开始计算奖金，销售业绩为20万元时奖金为1千元.设业绩为 ()万元时奖金为千元，下面给出三个函数模型：①； ②；③其中 请选择合适的函数模型， 并计算：业绩为100万元时奖金为____千元. 33 核心精讲·题型突破 题型突破 77 根据题意，当时，给出三个函数模型均满足“奖金随着销售业绩的 提高而提高”，而只有模型“”满足“销售业绩增加时，奖金增加的幅度 逐渐上升”，故模型选择： 根据题意，则有： 解得： 则模型为： 当时， 故答案为：33 核心精讲·题型突破 78 【典例6-2】山东潍坊·模拟预测)某地区未成年男性的身高(单位： 与体重 平均值(单位： 的关系如下表1： 表1 未成年男性的身高与体重平均值 身高 60 70 80 90 100 110 120 130 140 150 160 170 体重平均值 直观分析数据的变化规律，可选择指数函数模型、二次函数模型、幂函数模型近似地 描述未成年男性的身高与体重平均值之间的关系.为使函数拟合度更好，引入拟合函数 和实际数据之间的误差平方和、拟合优度判断系数 (如表2).误差平方和越小、拟合优 度判断系数越接近1，拟合度越高. 表2 拟合函数对比 核心精讲·题型突破 79 函数模型 函数解析式 误差平方和 指数函数 二次函数 幂函数 (1)问哪种模型是最优模型？并说明理由； ∵，∴指数函数模型误差平方和最小， ∵，∴指数函数模型最大， ∴指数函数模型是最优模型； 核心精讲·题型突破 80 (2)若根据生物学知识，人体细胞是人体结构和生理功能的基本单位，是生长发育的基 础.假设身高与骨细胞数量成正比，比例系数为；体重与肌肉细胞数量成正比，比例 系数为记时刻的未成年时期骨细胞数量，其中和分别表示人体出 生时骨细胞数量和增长率，记时刻的未成年时期肌肉细胞数量，其中和 分别表示人体出生时肌肉细胞数量和增长率.求体重关于身高的函数模型； ∵，∴， ∵， ∴，∴， ∴体重关于身高的函数模型为； 核心精讲·题型突破 81 (3)在(2)的条件下，若，当刚出生的婴儿身高为 时，与(1)的模型相比较，哪种模型跟实际情况更符合，试说明理由. 注：，；婴儿体重 符合实际，婴儿体重 较符合实际，婴儿体重 不符合实际. 把代入，得 不符合实际， 把，代入得， 把代入，得 符合实际，∴(2)中幂函数模型更适合. 对于给定模型供选择的问题， 需根据问题对每个模型进行验证，可结合函数图像、性质、函数值等多方面进行验证. 核心精讲·题型突破 82 【变式6-1】高三·湖北襄阳·期中)某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该 产品近10年的产量平稳增长.记2014年为第1年，且前4年中，第年与年产量 (单位：万件)之间的关系如下表所示： 1 2 3 4 4.00 5.61 7.00 8.87 若近似符合以下三种函数模型之一：①，②，③ 则你认为最适合的函数模型的序号为____. ① 符合条件的是①，若模型为，则由，得，即，此时，，，与已知相差太大，不符合；若模型为，则是减函数，与已知不符合； 故答案为：①. 核心精讲·题型突破 83 1.某公司每个仓库的收费标准如下表(表示储存天数，(万元)表示天收取的总费用). 1 3 7 14 1 2 3 4 (1)给出两个函数且，且 ，要从 这两个函数中选出一个来模拟表中之间的关系，问：选择哪一个函数较好？说明理由. 若选择函数且 ，将代入，解得，；当时，；当时，； 可知当或14时，与实际数据差距较大； 若选择函数且 ，将代入，解得，；当时，；当时，； 可知当或14时，与实际数据比较接近. 命题预测 核心精讲·题型突破 84 (2)该公司旗下有10个这样的仓库.每个仓库储存货物时，每天需要2000元的运营成本， 不存货物时仅需500元的成本.一批货物需要存放7天，设该批货物存放在个仓库内， 其余仓库空闲.要使该公司这7天的仓库收益不少于43000元，则的最小值是多少？ 注：收益收入成本. 设该公司这7天的仓库收益为元， 由表格数据可知：若货物存放7天，每个仓库收费30000元， ， 由得：，的最小值为4. 核心精讲·题型突破 85 2.在国家大力发展新能源汽车产业政策下，我国新能源汽车的产销量高速增长.某地区 2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年 底新能源汽车保有量为3375辆. (1)根据以上数据，试从(，且)，，(， 且)，三种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车 保有量的增长趋势(不必说明理由)，设从2019年底起经过年后新能源汽车保有量为 辆，求出新能源汽车保有量关于的函数关系式； 根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选择的函数模型是 (，且)， 由题意得，解得，∴ 命题预测 核心精讲·题型突破 86 (2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求得的函数模型增长，且传统能源汽车保有量每 年下降的百分比相同，2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计到2024年 底传统能源汽车保有量将下降 试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能 源汽车保有量.(参考数据：，) 设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为，，解得，设从2019年底起经过年后的传统能源汽车保有量为辆， 则有，设从2019年底起经过年后，则有 化简得，解得， 故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车. 核心精讲·题型突破 87 感 谢 观 看 THANK YOU $$