专题9.1 图形的旋转（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题9.1 图形的旋转（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 【知识点2】旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　（3）旋转前、后的图形全等（△ABC≌△）. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【知识点3】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　（4）连接所得到的各对应点. 考点与题型目录 【考点一】旋转性质及相关概念的理解与辨析 【题型1】旋转中心、旋转角、对应点............................................2 【题型2】旋转性质及辨析......................................................3 【题型3】旋转对称图形的识别..................................................4 【考点二】利用旋转的性质求值与证明 【题型4】利用旋转的性质求值..................................................5 【题型5】利用旋转的性质证明..................................................6 【题型6】平面直角坐标系中利用旋转的性质求点的坐标............................7 【题型7】坐标与旋转规律......................................................8 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型8】线段问题（旋转综合题）..............................................9 【题型9】面积问题（旋转综合题）.............................................10 【题型10】角度问题旋转综合题................................................11 【题型11】其他问题（旋转综合题）............................................12 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接..........................................................13 【题型13】拓展延伸..........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】旋转中心、旋转角、对应点 ★【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 【题型2】旋转性质及辨析 ★【例2】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【变式1】（2021·北京东城·一模）如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．   B．     C．     D．   ★【变式2】（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 【题型3】旋转对称图形的识别 ★【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． （1）这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； （2）求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【题型4】利用旋转的性质求值 ★【例4】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，，求的度数． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 ★【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为 ． 【题型5】利用旋转的性质证明 ★【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·广西玉林·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． ★【题型6】平面直角坐标系中利用旋转的性质求点的坐标 【例6】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． （1）如图，当时，求点的坐标； （2）当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为 ． 【题型7】坐标与旋转规律 【例7】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． ★【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【题型8】线段问题（旋转综合题） ★【例8】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．   （1）在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 【变式1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 ★【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    ★【题型9】面积问题（旋转综合题） 【例9】（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，是直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，得到（点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设． （1）画出； （2）连接，用含a、b的式子表示的面积为___________（直接写出化简后的答案）； （3）若，的面积为，求的面积． ★【变式1】（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为 ．    【题型10】角度问题旋转综合题 ★【例10】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． ★【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． ★【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【题型11】其他问题（旋转综合题） ★【例11】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． ★【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ ★【变式2】（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2023·辽宁·中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    ★★【例2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．  （1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； （2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求点的坐标和的长； （2）如图2，当时，求点的坐标； （3）当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． ★★【例2】（2024·安徽六安·模拟预测）在中，，点是边上不与点重合的一个动点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，点是的中点，点在边上，若，求的长． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题9.1 图形的旋转（4大知识点5大考点13类题型）（知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】旋转的概念 把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转..点O叫做旋转中心，转动的角叫做旋转角（如∠AOA′）,如果图形上的点A经过旋转变为点A′，那么，这两个点叫做这个旋转的对应点. 【要点提示】旋转的三个要素：旋转中心、旋转方向和旋转角度. 【知识点2】旋转的性质 （1）对应点到旋转中心的距离相等（OA= OA′）；　　 （2）对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；　 　（3）旋转前、后的图形全等（△ABC≌△）. 【要点提示】图形绕某一点旋转，既可以按顺时针旋转也可以按逆时针旋转. 【知识点3】旋转的作图 在画旋转图形时，首先确定旋转中心，其次确定图形的关键点，再将这些关键点沿指定的方向旋转指定的角度，然后连接对应的部分，形成相应的图形． 【要点提示】作图的步骤： （1）连接图形中的每一个关键点与旋转中心； （2）把连线按要求（顺时针或逆时针）绕旋转中心旋转一定的角度（旋转角）； 　　（3）在角的一边上截取关键点到旋转中心的距离，得到各点的对应点； 　　（4）连接所得到的各对应点. 考点与题型目录 【考点一】旋转性质及相关概念的理解与辨析 【题型1】旋转中心、旋转角、对应点..............................................2 【题型2】旋转性质及辨析........................................................4 【题型3】旋转对称图形的识别....................................................7 【考点二】利用旋转的性质求值与证明 【题型4】利用旋转的性质求值....................................................9 【题型5】利用旋转的性质证明...................................................12 【题型6】平面直角坐标系中利用旋转的性质求点的坐标.............................16 【题型7】坐标与旋转规律.......................................................20 【考点三】利用旋转的性质进行综合求值与证明 【题型8】线段问题（旋转综合题）...............................................24 【题型9】面积问题（旋转综合题）...............................................27 【题型10】角度问题旋转综合题..................................................31 【题型11】其他问题（旋转综合题）..............................................35 【考点五】中考链接与拓展延伸 【题型12】中考链接.........................................................40 【题型13】拓展延伸.........................................................43 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】序号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】旋转中心、旋转角、对应点 ★【例1】（24-25九年级上·湖北武汉·期中）如图，将将绕点顺时针旋转一定角度得到，且点落在线段上 （1）旋转中心是点______，旋转角是________和_____； （2）当旋转角为时，求的度数． 【答案】（1），，;（2） 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰三角形的性质， （1）根据旋转的性质即可得到结论； （2）根据旋转的性质和等腰三角形的性质即可得到结论． 解：（1）解： 将绕点顺时针旋转一定角度得到， 旋转中心是点，旋转角是和， 故答案为：，，； （2）将绕点顺时针旋转一定角度得到， ，，， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·广东广州·期末）如图所示，在中，，将绕点C逆时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，连接．当点A，D，E在同一直线上时，则旋转角的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转角的求解，由旋转可知：，求出即可求解； 解：由旋转可知：， ∴， ∴， ∴， 故选：A ★【变式2】（24-25九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，可以看作是将绕某个点旋转而得到 ． 【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查了旋转的性质，熟练掌握旋转中心到对应点的距离相等以及垂直平分线的性质是解决本题的关键． 根据旋转的性质可得：旋转中心到对应点的距离相等，则旋转中心在对应点所连线段的垂直平分线上，据此作图确定旋转中心，然后直接读出坐标即可． 解：如图，连接，分别作线段、线段的垂直平分线，相交于点， 则点即为旋转中心． 故答案为：． 【题型2】旋转性质及辨析 ★【例2】（23-24九年级上·北京·阶段练习）如图，在中，．将绕点逆时针旋转得到，在旋转过程中，当点落在的中点处时，求的度数．    【答案】 【难度】0.65 【分析】本题主要考查旋转的性质以及等边三角形的判定等知识，利用旋转的性质结合直角三角形的性质得出是等边三角形，进而得出答案，正确掌握直角三角形的性质是解题的关键． 解：将绕点逆时针旋转得到，    ∴，， ∵点可以恰好落在的中点处， ∴点是的中点， ∵， ∴，             ∴， 即是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 【变式1】（2021·北京东城·一模）如图，经过旋转成轴对称得到，其中绕点A逆时针旋转的是（    ） A．   B．     C．     D．   【答案】D 【难度】0.85 【分析】根据轴对称，旋转的性质判断即可． 解：由题意，选项B，C可以通过翻折得到． 选项A，其中绕点逆时针旋转可以得到， 选项D，其中绕点逆时针旋转可以得到． 故选：D． 【点拨】本题考查旋转及轴对称概念和性质，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． ★【变式2】（20-21九年级上·广东广州·阶段练习）如图，点A坐标为，点B坐标为，点C坐标为，点D坐标为．若线段AB和线段CD间存在某种变换关系，即其中一条线段绕某点旋转一个角度后可以得到另一条线段，则这个旋转中心的坐标是 【答案】或 【难度】0.65 【分析】分点A的对应点为C或D两种情况考虑：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，点E即为旋转中心；②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，则问题可求解． 解：①当点A的对应点为点C时，连接AC、BD，分别作线段AC、BD的垂直平分线交于点E，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点E的坐标为； ②当点A的对应点为点D时，连接AD、BC，分别作线段AD、BC的垂直平分线交于点N，如图所示： ∵点A坐标为，点B坐标为， ∴点N的坐标为， 综上所述：这个旋转中心的坐标为或； 故答案为或． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【题型3】旋转对称图形的识别 ★【例3】（23-24七年级下·全国·课后作业）如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． （1）这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； （2）求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】（1）是，O，;；（2）周长为，阴影部分的面积为 【难度】0.85 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 解：（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 【变式1】（24-25八年级上·全国·单元测试）下列图案，既可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【分析】本题考查了平移，旋转，轴对称的基本概念，根据平移，旋转，轴对称的定义即可作出判断．解题的关键是掌握平移，旋转，轴对称的判定方法． 解：选项A的图形可以由旋转变换得到，但不能由平移变换和轴对称得到，故A不符合题意； 选项B的图形可以通过旋转变换和平移变换得到，但不能由轴对称得到，故B不符合题意； 选项C的图形可以由平移变换得到，又可以由旋转变换得到，还可以由轴对称变换得到，故C符合题意； 选项D的图形可以由旋转变换和轴对称变换得到，但不能由平移变换得到，故D不符合题意； 故选：C． ★【变式2】（24-25九年级上·辽宁鞍山·阶段练习）如图所示的图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合（不考虑和阴影），若每个叶片的面积为，为，则图中阴影部分的面积为 ． 【答案】 【难度】0.85 【分析】本题考查了旋转对称图形，如果一个图形围绕某一点旋转一定的角度（小于）后能与原图形重合，那么这个图形就叫做旋转对称图形，根据题意得出图中阴影部分的面积之和等于三叶片的面积和的三分之一，计算即可得解． 解：∵图案由三个叶片组成，绕点O旋转后可以和自身重合，为， ∴图中阴影部分的面积为， 故答案为：． 【题型4】利用旋转的性质求值 ★【例4】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置． （1）如图1，当时，求的度数； （2）如图2，连接，当时，，求的度数． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了旋转的基本性质，平行线的性质，等边对等角； （1）根据直角三角形中两个锐角互余，可得，进而结合已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，进而根据旋转的性质可得，再根据等角对等边可得，根据即可求解． 解：（1）解：，          ， （2） ，     由旋转得          【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·阶段练习）如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，等边对等角求出的度数，角平分线得到的度数，根据三角形的内角和定理进行求解即可． 解：∵旋转， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得：； 故选C． ★【变式2】（24-25九年级上·江西赣州·期末）如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为 ． 【答案】3或或 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案． 解：作斜边上的高， ，， ， ， ， ，， ， ， 当点D落在边上时，如图1，； 当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合， ； 当点D落在边上时，如图3， ； 综上所述，的长为3或或． 【题型5】利用旋转的性质证明 ★【例5】（23-24八年级下·陕西咸阳·期末）如图，中，，将绕点逆时针旋转一定的角度，得到和分别是和的对应点，延长交于点． （1）求证：； （2）连接，若．求证：． 【答案】（1）证明见分析；（2）证明见分析 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的性质，等腰三角形的性质等知识，灵活运用这些性质是解答本题的关键． （1）连接，由“”可证，可得； （2）由旋转的性质可得，，由等腰三角形的性质可求，即可求解． 解：（1）证明：如图，连接， 将绕点逆时针旋转一定的角度，得到， ，， 在和中， ， ， ； （2）证明：将绕点逆时针旋转一定的角度，得到， ，， ， ， ， ， ， ． 【变式1】（24-25九年级上·湖北孝感·期中）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点A，B的对应点分别为D，E，延长交于点F，下列结论不正确的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，线段的运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 先根据旋转性质以及角的运算或线段的运算得出逐项判断即可． 解：∵将绕点C顺时针旋转得到， ，，，，故B选项正确，不符合题意； ，即，故A选项正确，不符合题意； ， ，故C选项不正确，符合题意； 设和交于点H， 在，，， ， ，故D选项正确，不符合题意； 故选：C． ★【变式2】（24-25九年级上·广西玉林·期中）在等边中，D是边上一点，连接，将绕点B逆时针旋转，得到，连接，若．则下列四个结论：①；②是等边三角形；③；④的周长是9．其中正确的结论是 （填序号）． 【答案】①②/②① 【分析】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质．先根据等边三角形的性质得，再根据旋转的性质得到，，所以，则根据平行线的判定方法即可得到；由绕点B逆时针旋转，得到得到，则可判断是等边三角形；根据等边三角形的性质得，而，则可判断；由是等边三角形得到，再利用绕点B逆时针旋转，得到，则，所以的周长． 解：∵为等边三角形， ∴， ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴， ∴，所以①正确； ∵绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴是等边三角形，所以②正确； ∴， ∵， 又, ∴ ∴，所以③错误； ∵是等边三角形， ∴， 而绕点B逆时针旋转，得到， ∴， ∴的周长，所以④错误． 所以，正确的结论是①②， 故答案为：①②． ★【题型6】平面直角坐标系中利用旋转的性质求点的坐标 【例6】（24-25九年级上·天津河北·阶段练习）在平面直角坐标系中，点，点，把绕原点逆时针旋转，得，其中，点，分别为点A，旋转后的对应点，记旋转角为． （1）如图，当时，求点的坐标； （2）当轴时，求点D的坐标（直接写出结果即可）． 【答案】（1）；（2）满足条件的点的坐标为或． 【分析】本题属于坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）如图，过点作于．解直角三角形求出，即可． （2）分两种情形：在轴上方时，设交轴于，过点作轴于．求出，即可．当在轴下方时，同法可得． 解：（1）解：如图，过点作于． ， ， ， ， ； （2）解：如图，在轴上方时，设交轴于，过点作轴于． 轴， ， ，， ， ∵， ， ， ， 当在轴下方时，同法可得． 综上所述，满足条件的点的坐标为或． 【变式1】（24-25九年级上·全国·期末）将含有角的直角三角板如图放置在平面直角坐标系中，在x轴上，若，将三角板绕原点O逆时针旋转，则点A的对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，勾股定理，根据旋转，得到，，作轴，易得为等腰直角三角形，求出的长，即可得出结果． 解：作轴于点，如图，由题意，得：，， ∵ ∴， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴点的坐标为； 故选C． ★【变式2】（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图在平面直角坐标系中，一次函数的图象与轴、轴分别交于点、，将直线绕点顺时针旋转，则旋转后的直线函数表达式为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，一次函数的性质等知识，先求出A、B的坐标，然后根据旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质求出A、B的对应点，的坐标，最后根据待定系数法求解即可． 解：如图，设直线绕点顺时针旋转后，A、B的对应点为，，连接，，，， 当时，，解得， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∵， ∴，， ∵旋转， ∴，，，， ∴，， ∵，， ∴， ∴，O，A三点在同一条直线上， ∵，， ∴， ∴， 设直线的表达式为， 则， 解得， ∴， 即旋转后的直线函数表达式为， 故答案为：． 【题型7】坐标与旋转规律 【例7】（24-25九年级上·浙江台州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、图形的旋转，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据旋转的性质确定第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，再归纳类推出第次旋转后，（为正整数），由此即可得． 解：∵点的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， ∵，点位于轴的正半轴上， ∴第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上， 由题意可知，第1次旋转后，， 第2次旋转后，， 第3次旋转后，， 归纳类推得：第次旋转后，（为正整数）， ∴第2025次旋转后，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·山东德州·期中）如图，的顶点，都在坐标轴上，已知，，，且轴，将绕点顺时针旋转，每次旋转，第次旋转后，点的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了坐标与图形变化-旋转，等腰三角形的性质及点的坐标变化规律，全等三角形的判定与性质，先求出点的坐标，再由旋转可知，每旋转四次，点对应点的坐标循环出现，据此可解决问题，熟知图形的性质及根据所给旋转方式发现每旋转四次，点对应点的坐标循环出现是解题的关键． 解：∵，， ∴，， 在中，， ∵，且轴， ∴点的坐标为， ∵， ∴每旋转四次，点对应点的坐标循环出现， ∵， ∴点的坐标与点的坐标相同， 将绕点顺时针旋转，如图所示， 分别过点和点作轴的垂线，垂足分别为和，由旋转可知， ，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∴点的坐标为， 故选：． ★【变式2】（24-25九年级上·广东广州·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，边长为2的正六边形的中心与原点重合，轴，交轴于点．将绕点顺时针旋转，每次旋转，则第次旋转结束时，点A的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查正多边形的性质，规律型问题，坐标与图形变化——旋转等知识．首先确定点A的坐标，再根据4次一个循环，推出经过第101次旋转后点的坐标即可． 解：∵正六边形边长为2，中心与原点O重合，轴， ∴， ∴， ∴第1次旋转结束时，点A的坐标为， 第2次旋转结束时，点A的坐标为， 第3次旋转结束时，点A的坐标为， 第4次旋转结束时，点A的坐标为， ∴4次一个循环， ∵， ∴第101次旋转结束时，点A的坐标为． 故答案为：． 【题型8】线段问题（旋转综合题） ★【例8】（24-25九年级上·河南信阳·期中）如图是实验室中的一种摆动装置，在地面上，支架是底边为的等腰直角三角形，摆动臂可绕点旋转，摆动臂可绕点旋转，，．   （1）在旋转过程中， 当，，三点在同一直线上时，求的长． 当，，三点为同一直角三角形的顶点时，求的长． （2）若摆动臂顺时针旋转，点的位置由外的点转到其内的点处，连结，如图，此时，，求的长． 【答案】（1）①或；②或；（2）． 【分析】当，，三点在同一直线上时，分点在上和点在的延长线上，两种情况计算；当，，三点为同一直角三角形的顶点时，分为直角边和为斜边两种情况计算； 连接，根据可以求出，利用勾股定理可以求出，利用可证，根据全等三角形对应边相等可得． 解：（1）解：当，，三点在同一直线上时， 若点在的延长线上， 则， 若点在上， 则， 综上所述的长为或； 当，，三点为同一直角三角形的顶点时， 若为直角边， 则， 若为斜边， ， 综上所述当，，三点为同一直角三角形的顶点时，的长为或； （2）解：如图所示，连接，    ，， ，， ， ， 在中，， ， ， ， 在和中， ， ． 【点拨】本题考查了等腰直角三角形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是添辅助线，构造全等三角形解决问题． 【变式1】（2023八年级下·江苏·专题练习）如图，在中，，，，将绕点顺时针旋转得到，使点在的延长线上，则的长为（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【分析】在中，利用勾股定理可得，再由旋转的性质可得，然后由即可获得答案． 解：在中，， ∵，， ∴， 由旋转可知，， ∴． 故选：A． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质以及勾股定理等知识，熟练掌握相关知识是解题关键． ★【变式2】（22-23九年级上·北京·期中）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为，，点的坐标为，，线段绕点旋转一定的角度后与线段重合，均为格点，则旋转中心点的坐标为 ．    【答案】， 【分析】画出平面直角坐标系，对应点连线的垂直平分线的交点即为旋转中心． 解：平面直角坐标系如图所示，作、的垂直平分线交于点，旋转中心是点，，．    故答案为，． 【点拨】本题考查坐标与图形变化旋转，解题的关键是理解对应点连线段的垂直平分线的交点即为旋转中心． ★【题型9】面积问题（旋转综合题） 【例9】（22-23七年级上·上海闵行·阶段练习）如图，是直角三角形，，将绕点A逆时针旋转，得到（点B与点D是对应点，点C与点E是对应点），设． （1）画出； （2）连接，用含a、b的式子表示的面积为___________（直接写出化简后的答案）； （3）若，的面积为，求的面积． 【答案】（1）见详解；（2）；（3）6 【分析】（1）先根据题意确定好点D、E，即可画出； （2）先求出，再根据旋转性质得到，，根据直角三角形面积公式即可求解； （3）根据的面积为得到，根据，得到，即可求出，根据直角三角形面积公式即可求解． 解：（1）解：如图，即为绕点A逆时针旋转，得到的直角三角形； （2）解：如图，连接， ∵， ∴， ∵绕点A逆时针旋转，得到， ∴，， ∴的面积为． 故答案为：； （3）解：∵的面积为， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为． 【点拨】本题考查了根据题意作旋转后的图形，旋转的性质，直角三角形面积公式，完全平方公式等知识，理解题意，熟练掌握旋转的性质是解题关键． ★【变式1】（21-22九年级上·黑龙江佳木斯·期中）如图，P是等边三角形ABC内一点，将△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ，若PA＝2，PB＝4，，则四边形APBQ的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图，连接PQ．由题意△PQA是等边三角形，利用勾股定理的逆定理证明∠PQB＝90°即可解决问题． 解：如图，连接PQ． ∵△ACP绕点A顺时针旋转60°得到△ABQ， ∴AP＝AQ＝2，PC＝BQ＝2，∠PAQ＝60°， ∴△PAQ是等边三角形， ∴PQ＝PA＝2， ∵PB＝4， ∴， ∴∠PQB＝90°， ∴， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了等边三角形的性质，旋转的性质以及勾股定理的逆定理，熟练掌握相关内容是解题的关键． ★【变式2】（23-24九年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图，在中，点在上，连接，，点在上，连接，，若，的面积为，则的长为 ．    【答案】 【分析】先进行把绕点逆时针旋转，，绕点逆时针旋转，根据性质可以得出，继而利用勾股定理可得，利用面积即可求解． 解：如图，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应，绕点逆时针旋转，点与对应，点与对应            ∵，，， ∴旋转后与重合，与重合， ∴，， ∵，， ∴， ∴点，，三点共线，， ∴， ∴，，， ∴ ∴，， 在，由勾股定理得：， ∴， ， ∴， 故答案为：． 【点拨】此题考查了旋转及勾股定理，解题的关键是熟练掌握旋转的性质与勾股定理得应用． 【题型10】角度问题旋转综合题 ★【例10】（23-24八年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，在中，，，点D、E分别在边、上，且，连接．现将绕点A顺时针方向旋转，旋转角为，分别连接、． （1）如图2，当时，求证：； （2）如图3，当时，延长交于点F，求证：垂直平分； （3）连接，在旋转过程中，求的面积的最大值，并写出此时旋转角α的度数． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）的面积的最大值为，旋转角 【分析】（1）利用“”证得，即可得到结论； （2）利用“”证得，推出，进而得出，再结合勾股定理，得出，利用等腰三角形“三线合一”的性质即可得到结论； （3）观察图形，当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，利用等腰直角三角形的性质结合三角形面积公式即可求解． 解：（1）证明：由题意得，，，， ， ， 在和中， ， ， ； （2）证明：根据题意：，，， 在和中， ， ， ，且， ， ， ， ，，， ，， ， ， 是线段的垂直平分线； （3）解： 在中，边的长是定值，则边上的高取最大值时，的面积有最大值， 当点D在线段的垂直平分线上时，的面积取得最大值，如图， ，，，， ，， ，， 的面积的最大值为：， 此时旋转角． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质等知识，寻找全等三角形，利用数形结合的思想解决问题是解题关键． ★【变式1】（23-24九年级上·广西南宁·阶段练习）如图，将三角板（其中，）绕点顺时针旋转得到，点在同一条直线上，那么旋转角等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了旋转的性质，求角度的问题，由题意可知，旋转角，结合的度数可得的度数即可，掌握旋转的性质是解题的关键． 解：∵点在同一条直线上，， ∴， 故选：C． ★【变式2】（23-24九年级上·河南商丘·期中）如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 【题型11】其他问题（旋转综合题） ★【例11】（23-24九年级上·广东广州·期中）（1）问题发现，如图1，和均为等腰直角三角形，，，，在一条直线上．猜想并证明线段，之间的数量关系和位置关系． （2）拓展探究，如图2，和均为等腰直角三角形，，请判断，的数量关系和位置关系，并说明理由． （3）解决问题，如图3，线段，点是线段外一点，，连接，将绕点逆时针旋转得到线段，随着点的位置的变化，直接写出线段长度的范围． 【答案】（1），，证明见分析；（2），，证明见分析；（3） 【分析】（1）根据等腰三角形性质证，得，，延长交于点F，由垂直定义得． （2）根据等腰三角形性质证，，，由垂直定义得，； （3）作，使得，则易证，，当P、E、B共线时，最小，最小值；当P、E、B共线时，最大，最大值，故，即可求解． 解：（1）结论：，． 证明：如图1中， ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， 在和中 ∴， ∴，， 延长交于点F， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即． ∴，； （2）结论：，． 证明：如图2中，设交于H，交于O． ∵和均为等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 在和中 ， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，． （3）如图3，作，使得，由（1）（2）可得， ∴， 图4中，当P、E、B共线时，最小，最小值， 图5中，当P、E、B共线时，最大，最大值， ∴， 即． 【点拨】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题． ★【变式1】（22-23八年级下·河南郑州·期末）如图，在中，，若是边上任意一点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点为点，连接，则在下列结论中：①，②；③，④，一定正确的是（　　）    A．①③ B．③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转变换的性质，等边三角形的性质，平行线的性质判断即可． 解：①， ， 由旋转的性质可知，， ，故本选项结论错误，不符合题意； ②当为等边三角形时，，除此之外，与不平行，故本选项结论错误，不符合题意； ③由旋转的性质可知，，， ，， ， ，本选项结论正确，符合题意； ④只有当点为的中点时，，才有，故本选项结论错误，不符合题意； 故选：B． 【点拨】本题考查的是旋转变换，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握旋转变换的性质是解题的关键． ★【变式2】（2023·江苏泰州·三模）已知直线过点且平行于轴，点B的坐标为，将直线l绕点B逆时钟旋转，则旋转后的直线对应的函数表达式为 ． 【答案】 【分析】设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，根据绕点逆时针旋转的对应点为，可得是等边三角形，故，，从而可得，，记知，，又，可求出，，再用待定系数法可得答案． 解：设绕点逆时针旋转的对应点为，旋转后的直线交直线于，过作直线于，如图：    绕点逆时针旋转的对应点为， ，， 是等边三角形， ，， ，， ， ，， ，， ， ， ， ，， 设直线解析式为，将，，，代入得： ， 解得， 直线解析式为； 故答案为：． 【点拨】本题考查一次函数与几何变换旋转、等边三角形的判定与性质，解题的关键是求出旋转后直线上两个点的坐标． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型11】中考链接 【例1】（2023·辽宁·中考真题）如图，线段，点是线段上的动点，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，在的上方作，使，点为的中点，连接，当最小时，的面积为 ．    【答案】 【分析】连接，交于点P，由直角三角形的性质及等腰三角形的性质可得垂直平分，为定角，可得点F在射线上运动，当时，最小，由含30度角直角三角形的性质即可求解． 解：连接，交于点P，如图， ∵，点为的中点， ∴， ∵， ∴, ∴是等边三角形， ∴； ∵线段绕点顺时针旋转得到线段， ∴， ∵， ∴垂直平分，， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最小， 此时， ∴； ∵， ∴， ∴， ∵， ∴由勾股定理得， ∴， ∴；    故答案为：． 【点拨】本题考查了等腰三角形性质，含30度直角三角形的性质，斜边中线性质，勾股定理，线段垂直平分线的判定，勾股定理，旋转的性质，确定点F的运动路径是关键与难点． ★★【例2】（2023·四川自贡·中考真题）如图1，一大一小两个等腰直角三角形叠放在一起，，分别是斜边，的中点，．  （1）将绕顶点旋转一周，请直接写出点，距离的最大值和最小值； （2）将绕顶点逆时针旋转（如图），求的长． 【答案】（1）最大值为，最小值为；（2） 【分析】（1）根据直角三角形斜边上的中线，得出的值，进而根据题意求得最大值与最小值即可求解； （2）过点作，交的延长线于点，根据旋转的性质求得，进而得出，进而可得，勾股定理解，即可求解． 解：（1）解：依题意，，， 当在的延长线上时，的距离最大，最大值为， 当在线段上时，的距离最小，最小值为；    （2）解：如图所示，过点作，交的延长线于点，    ∵绕顶点逆时针旋转， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中，， 在中，， ∴． 【点拨】本题考查了直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理，旋转的性质，含30度角的直角三角形的性质，熟练掌握旋转的性质，勾股定理是解题的关键． 【题型12】拓展延伸 ★★【例1】（24-25九年级上·天津南开·期末）在平面直角坐标系中，点，点，其中，点在第一象限，且．将绕点逆时针旋转得到，点的对应点分别为，点恰在轴上． （1）如图1，当时，求点的坐标和的长； （2）如图2，当时，求点的坐标； （3）当点组成的凸多边形为四边形时，将此四边形的面积记为．用含有的式子表示，并写出的取值范围（此问直接写出结果即可）． 【答案】（1），；（2）；（3）见分析 【分析】（1）根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度不变且对应线段夹角为旋转角，通过设点的坐标，利用勾股定理和旋转性质来求解点的坐标和的长； （2）依据旋转的性质，可得，再根据边角关系可得，求出点的坐标； （3）根据四边形的面积公式，通过分析，，时四边形的组成部分来用含的式子表示面积． 解：（1）解：如图1，过点作轴于点， ∵是由逆时针旋转得到，且点在轴上， ∴， ∴， 且， ∴， ∴， 由勾股定理可知 解得； ∴点的坐标为； （2）解：如图2，由（1）可知，且， ∵是由旋转得到， ∴， ∴， ∴， ∴点的坐标为； （3）解：如图， 当时， 绕点逆时针旋转得到，且轴，，， 轴， ，， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ， ； 如图，当时， 绕点逆时针旋转得到，，， ，， ． 【点拨】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，勾股定理，掌握旋转的性质的性质是解题的关键． ★★【例2】（2024·安徽六安·模拟预测）在中，，点是边上不与点重合的一个动点，将绕点逆时针旋转得到，点的对应点落在直线上，与相交于点，连接． （1）如图1，当点与点重合时，求证：； （2）如图2，当点不与点重合，点在边上时，判断与的位置关系，并说明理由； （3）如图3，点是的中点，点在边上，若，求的长． 【答案】（1）见分析；（2），见分析；（3） 【分析】（1）根据旋转的性质得到，，，根据得到，从而得到，结合等角对等边即可得到证明； （2）过点作交的延长线于点，过点A作于点，即可得到，再证明得到，从而得到四边形是矩形，即可得到答案； （3）连接，先根据旋转的性质得到是直角三角形，根据勾股定理求出，结合面积求出，结合勾股定理即可得到答案； 解：（1）证明：由旋转的性质，得，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴； （2）解：，理由如下， 如图，过点作交的延长线于点，过点A作于点， 则，即， ∴， 由旋转的性质，得， ， ∴ 由（1）知， 在和中，， ， ， ∴四边形是矩形， ； （3）解：如图，连接， 由旋转的性质，得， ， 点是的中点，，， ，，即， ， ，， ， 在中，由勾股定理得， ， ∴， 在中，由勾股定理得． 【点拨】本题主要考查旋转的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，等腰三角形的性质的综合，掌握全等三角形的判定和性质，旋转的性质是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$