专题8.1 认识概率（2大知识点4大考点9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解）-2024-2025学年八年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题8.1 认识概率（2大知识点4大考点9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 3、可能性的大小 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 【知识点2】频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）.如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0＜P（随机事件） ＜1. 所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）. 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【要点提示】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】确定事件与随机事件 【题型1】事件的分类..........................................................2 【考点二】可能性的大小 【题型2】判断事件发生的可能性的大小..........................................3 【题型3】改变条件使事件发生的可能性相同......................................3 【考点三】频数与频率 【题型4】关于频率与概率关系说法的正误........................................4 【题型5】求某事件的频率......................................................4 【题型6】由频率估计概率......................................................5 【题型7】用频率估计概率的综合应用............................................5 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接............................................................6 【题型9】拓展延伸............................................................7 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】事件的分类 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： （1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（ ） （2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（ ） （3）余姚明年五一节当天的最高气温是．（ ） （4）三角形的内角和为．（ ） （5）购买一张彩票刚好中奖．（ ） （6）一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．（ ） （7）手可摘星辰．（ ） （8）三点确定一个圆．（ ） 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．两数相加，和大于其中一个加数 B．若x是实数，则 C．射击运动员射击一次，命中8环 D．两数相乘，同号得正数 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【题型2】判断事件发生的可能性的大小 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【题型3】改变条件使事件发生的可能性相同 【例3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． （1）摸到红球是不可能的； （2）摸到红球是必然的； （3）摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【变式】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【题型4】关于频率与概率关系说法的正误 【例4】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【变式1】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【变式2】（21-22七年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【题型5】求某事件的频率 【例5】（23-24七年级下·山东威海·期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格． （1）从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ； （2）机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，求x的值大约是多少． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【变式2】（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【题型6】由频率估计概率 【例6】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【变式1】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 根据上表，请你估计该队员一次投篮命中的概率是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ． 【题型7】用频率估计概率的综合应用 【例7】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【变式2】（2024·河南许昌·一模）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 【例2】（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【题型9】拓展延伸 ★【例1】（2010·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ ★【例2】（18-19九年级上·全国·课后作业）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题8.1 认识概率（2大知识点4大考点9类题型）（全章知识梳理与题型分类讲解） 第一部分【知识点归纳与题型目录】 【知识点1】确定事件与随机事件 1、确定事件 （1）不可能事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定不会发生，这样的事情是不可能事件． （2）必然事件 在一定条件下，有些事情我们事先能肯定它一定会发生，这样的事情是必然事件．必然事件和不可能事件都是确定事件. 2.随机事件 在一定条件下，很多事情我们事先无法确定它会不会发生，这样的事情是随机事件. 3、可能性的大小 （1）一般地，要知道事件发生的可能性大小首先要确定事件是什么类型. （2）必然发生的事件发生的可能性最大，不可能发生的事件发生的可能性最小，随机事件发生的可能性有大有小，不同的随机事件发生的可能性的大小可能不同. 【知识点2】频率与概率 1.概率 随机事件发生的可能性有大有小.一个事件发生的可能性大小的数值，称为这个事件的概率（probability）.如果用字母A表示一个事件，那么P（A）表示事件A发生的概率. 事件A的概率是一个大于等于0，且小于等于1的数，即，其中P（必然事件）=1，P（不可能事件）=0，0＜P（随机事件） ＜1. 所以有：P（不可能事件）＜P（随机事件）＜P（必然事件）. 一个随机事件发生的概率是由这个随机事件自身决定的，并且是客观存在的.概率是随机事件自身的属性，它反映这个随机事件发生的可能性大小. 2.频率 通常，在多次重复实验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且随着试验次数增多，摆动的幅度会减小，这个性质称为频率的稳定性. 一般地，在一定条件下大量重复进行同一试验时，随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动.在实际生活中，人们常把试验次数很大时，事件发生的频率作为其概率的估计值. 【要点提示】 ①概率是频率的稳定值，而频率是概率的近似值； ②频率和概率在试验中可以非常接近，但不一定相等； ③概率是事件在大量重复实验中频率逐渐稳定到的值，即可以用大量重复实验中事件发生的频率去估计得到事件发生的概率，但二者不能简单地等同，两者存在一定的偏差是正常的，也是经常的. 第一部分【题型目录】 考点与题型目录 【考点一】确定事件与随机事件 【题型1】事件的分类..........................................................2 【考点二】可能性的大小 【题型2】判断事件发生的可能性的大小..........................................4 【题型3】改变条件使事件发生的可能性相同......................................5 【考点三】频数与频率 【题型4】关于频率与概率关系说法的正误........................................6 【题型5】求某事件的频率......................................................7 【题型6】由频率估计概率......................................................9 【题型7】用频率估计概率的综合应用...........................................10 【考点四】中考链接与拓展延伸 【题型8】中考链接...........................................................12 【题型9】拓展延伸...........................................................13 第二部分【题型展示与方法点拨】 【特别说明】题号前“★”难度系数0.65，“★★”难度系数0.4，“★★★”难度系数0.15. 【题型1】事件的分类 【例1】（24-25九年级上·浙江宁波·阶段练习）根据事件发生的可能性不同对下列事件进行判断，并在括号内填写“必然事件”、“不可能事件”或“不确定事件”： （1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（ ） （2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（ ） （3）余姚明年五一节当天的最高气温是．（ ） （4）三角形的内角和为．（ ） （5）购买一张彩票刚好中奖．（ ） （6）一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．（ ） （7）手可摘星辰．（ ） （8）三点确定一个圆．（ ） 【答案】（1）必然事件；（2）不可能事件；（3）不确定事件；（4）必然事件；（5）不确定事件；（6）必然事件；（7）不可能事件；（8）不确定事件 【分析】本题考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．据此逐一判断即可． 解：（1）在地面上向空中抛掷一石块，石块终将落下．（必然事件 ） （2）从装有黄球和红球的袋子里摸出白球．（不可能事件） （3）余姚明年五一节当天的最高气温是．（不确定事件） （4）三角形的内角和为．（必然事件 ） （5）购买一张彩票刚好中奖．（不确定事件） （6）一个标准大气压下，气温为时，冰能融化成水．（必然事件 ） （7）手可摘星辰．（不可能事件） （8）三点确定一个圆．（不确定事件） 【变式1】（24-25九年级上·浙江·期中）下列选项中的事件，属于必然事件的是（   ） A．两数相加，和大于其中一个加数 B．若x是实数，则 C．射击运动员射击一次，命中8环 D．两数相乘，同号得正数 【答案】D 【分析】本题主要考查了必然事件的定义，熟练掌握必然事件，在一定的条件下重复进行试验时，有的事件在每次试验中必然会发生，这样的事件叫必然发生的事件，简称必然事件是解题的关键． 解：A、两数相加，和大于其中一个加数，是随机事件，因为，而和0并不大于其中一个加数0，故不符合题意； B、若x是实数，则，是随机事件，因为若，则不成立，故不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中8环，是随机事件，不符合题意； D、两数相乘，同号得正数，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【变式2】（24-25九年级上·全国·课后作业）将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】（1）④⑥；（2）①③⑤；（3）②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 解：（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 【题型2】判断事件发生的可能性的大小 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）把一副扑克牌中的13张红桃牌正面朝下，洗匀后，从中任意抽取1张．下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是随机事件？估计这些事件发生的可能性的大小，并把这些事件的序号按发生的可能性从小到大的顺序排列． （1）抽到的牌的点数是8； （2）抽到的牌的点数小于6； （3）抽到的牌是黑桃； （4）抽到的牌是红桃． 【答案】（1）发生的可能性，随机事件；（2）发生的可能性，随机事件；（3）不可能事件，发生的可能性为0；（4）必然事件，发生的可能性为1 按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4） 【分析】此题主要考查了可能性大小以及事件的名称，正确求出各事件发生的可能性是解题关键．利用必然事件、不可能事件、随机事件的定义分析，再分别求出发生的可能性． 解：（1）抽到的牌的点数是8，是随机事件，发生的可能性为； （2）抽到的牌的点数小于6，是随机事件，发生的可能性为； （3）抽到的牌是黑桃，是不可能事件，发生的可能性为0； （4）抽到的牌是红桃，是必然事件，发生的可能性为1； 则按发生的可能性从小到大的顺序排列为：（3）（1）（2）（4）． 【变式1】（24-25九年级上·浙江温州·期中）小明从盒子里摸球，每次摸出一个后再放回盒中，他连续摸5次，每次摸到的都是红球，下面说法正确的是（   ） A．盒子里一定都是红球 B．他第6次摸到的一定还是红球 C．他第6次摸到的可能还是红球 D．盒子里一定还有其他颜色的球 【答案】C 【分析】本题考查了可能性，根据可能性大小逐项分析判断，即可求解． 解：A. 盒子里不一定都是红球，故该选项不正确，不符合题意；     B. 他第6次摸到的不一定还是红球，故该选项不正确，不符合题意； C. 他第6次摸到的可能还是红球，故该选项正确，符合题意；     D. 盒子里不一定还有其他颜色的球，故该选项不正确，不符合题意； 故选：C． 【变式2】（24-25九年级上·浙江嘉兴·期中）一个盒子中有 a 个红球和 b 个黄球，每个球除了颜色外都相同． 若从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则a与b的大小关系是 ． 【答案】 【分析】本题考查了概率公式，明确概率的意义是解题的关键． 由于从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性，则盒子里面红球的个数小于黄球的个数，据此即可解答． 解：∵从盒子中摸到红球的可能性小于摸到黄球的可能性， ∴盒子里面红球的个数小于黄球的个数， ∴． 故答案为：． 【题型3】改变条件使事件发生的可能性相同 【例3】（22-23九年级上·广东·单元测试）盒中装有红球、黄球共100个，每个球除颜色以外都相同，每次从盒中摸一个球，摸三次，请你设计下面几种情况的摸球方案． （1）摸到红球是不可能的； （2）摸到红球是必然的； （3）摸到红球情况有三种：很可能，可能，不太可能． 【答案】（1）见分析；（2）见分析；（3）见分析 【分析】（1）不放红球即可． （2）都放红球即可． （3）根据可能性的程度确定红球比例即可． 解：（1）解：盒中只有100个黄球，摸出1个红球； （2）解：盒中只有100个红球，摸出1个红球； （3）解：盒中有99个红球、1个黄球，摸到红球； 盒中有50个红球，50个黄球，摸出1个红球； 盒中有99个黄球，1个红球，摸出1个红球（答案不唯一）． 【点拨】本题主要考查随机事件概率的运算方法，能够通过概率大小确定红球个数是解题关键． 【变式】（21-22九年级上·江苏镇江·期末）一只不透明的袋子中装有2个白球和3个红球，现在向袋中再放入n个白球，袋中的这些球除颜色外都相同，搅匀后从中任意摸出1个球，若要使摸到白球比摸到红球的可能性大，则n的最小值等于 ． 【答案】2 【分析】使得不透明的袋子中白球比红球的个数多1即可求解． 解：∵要使摸到白球比摸到红球的可能性大， ∴n的最小值等于3+1-2=2． 故答案为：2． 【点拨】本题考查了可能性的大小，本题可以通过比较白球和红球的个数求解． 【题型4】关于频率与概率关系说法的正误 【例4】（24-25九年级上·河北邯郸·期末）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数很大时，f等于P D．当试验次数很大时，在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键．根据频率的稳定性解答即可． 解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【变式1】（2023·北京丰台·二模）掷一枚质地均匀的硬币m次，正面向上n次，则的值（    ） A．一定是 B．一定不是 C．随着m的增大，越来越接近 D．随着m的增大，在附近摆动，呈现一定的稳定性 【答案】D 【分析】根据频率与概率的关系以及随机事件的定义判断即可． 解：投掷一枚质地均匀的硬币正面向上的概率是，而投掷一枚质地均匀的硬币正面向上是随机事件，是它的频率，随着m的增加，的值会在附近摆动，呈现出一定的稳定性． 故选：D． 【点拨】本题考查对随机事件的理解以及频率与概率的联系与区别．解题的关键是理解随机事件是都有可能发生的事件． 【变式2】（21-22七年级下·山西运城·期末）下列语句中，关于频率与概率的关系表示正确的有 ． ①频率就是概率 ②频率是客观存在的，与试验次数无关 ③随着试验次数的增加，频率一般会越来越接近概率 ④概率是随机的，在实验前不能确定 【答案】③ 【分析】由概率和频率的有关概念逐个分析． 解：①：频率不是概率，频率会随着重复试验的次数变化而变化，而概率是固定的，故①错误； ②：频率是客观存在的，与试验次数有关，试验次数越多，频率越稳定，故②错误 ③：由频率的性质知：随着试验次数的增加，事件发生的频率一般会稳定于概率，故③正确； ④：概率是客观的，在试验前能确定，故④错误． 故答案为：③． 【点拨】本题考查概率与频率的概念，以及它们之间的关系，难度不大，属于基础题，解题关键是要记住相关概念． 【题型5】求某事件的频率 【例5】（23-24七年级下·山东威海·期末）工厂新进一台机床，初步调试后做了4个零件，经检测有3个合格、1个不合格． （1）从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是 ； （2）机床经过精准调试后，确保做出的零件均能合格．操作人员将做出的x个合格零件与之前的4个零件混在一起进行试验：随机抽取1个零件检测后放回，多次重复这个试验．通过大量试验后发现，抽到合格零件的频率稳定在，求x的值大约是多少． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查了概率初步和频率的意义，熟练掌握简单概率的求法和频率的意义是解题的关键． （1）利用4个零件，经检测有3个合格，直接求概率即可； （2）利用频率稳定在，即合格数除以总数等于，列式求解即可． 解：（1）解：∵4个零件，经检测有3个合格， ∴从这4个零件中随机抽取1个，抽到合格零件的概率是， 故答案为：； （2）解：由题意得：， 解得：， 答：的值大约是． 【变式1】（22-23八年级上·吉林长春·期末）某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次，下列说法正确的是（    ） A．出现反面的频率是6 B．出现反面的频率是4 C．出现反面的频率是0.4 D．出现反面的频率是0.6 【答案】C 【分析】此题主要考查了频数与频率，正确掌握频率的定义是解题关键． 直接利用频率求法，频数÷总数＝频率，进而得出答案． 解：∵某人将一枚质量均匀的硬币连续抛10次，落地后正面朝上6次，反面朝上4次， ∴出现反面的频率是． 故选：C 【变式2】（23-24七年级下·广东湛江·期末）已知数据：，，，，，其中无理数出现的频率是 ． 【答案】0.4 【分析】此题考查了频率的求法以及无理数的定义，正确把握无理数的定义是解题关键．直接利用无理数的定义结合频率的求法得出答案． 解：∵数据：，，，，，其中无理数有：，π， ∴无理数出现的频率是：． 故答案为0.4． 【题型6】由频率估计概率 【例6】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期末）沈阳市林业局积极响应习总书记“绿水青山就是金山银山”的号召，特地考察一种花卉移植的成活率，对本市这种花卉移植成活的情况进行了调查统计，并绘制了如图所示的统计图． 请你根据统计图提供的信息，回答下列问题： （1）这种花卉成活的频率稳定在______附近，估计成活概率为______（精确到0.1）． （2）该林业局已经移植这种花卉20000棵． ①估计这批花卉成活的棵数； ②根据市政规划共需要成活270000棵这种花卉，估计还需要移植多少棵？ 【答案】（1）0.9，0.9；（2）①估计这批花卉成活18000棵：②估计还需要移植280000棵 【分析】本题考查了用频率估计概率，已知概率求数量，理解概率的意义是解答本题的关键． （1）根据统计图可得频率，根据频率与概率的关系可得概率； （2）①用20000乘以成活的概率即可； ②用移植的总棵数减去已经移植的棵数． 解：（1）解：由图可知，这种花卉成活率稳定在0.9附近，估计成活概率为0.9． 故答案为：0.9； （2）解：①估计这批花卉成活的棵数为： （棵）； ②估计还需要移植：（棵）． 【变式1】（23-24七年级下·陕西汉中·期末）某校篮球队进行篮球投篮训练，下表是某队员投篮的统计结果： 投篮次数/次 10 50 100 150 200 命中次数/次 9 40 70 108 144 命中率 根据上表，请你估计该队员一次投篮命中的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根据评率估计概率，解题的关键是掌握经过大量重复试验，事件发生的频率会稳定在一个常数附近，这个常数等于概率．据此即可解答． 解：由表可知，经过大量重复试验，该队员一次投篮命中的频率稳定在， ∴该队员一次投篮命中的概率是， 故选：D． 【变式2】（23-24九年级上·福建厦门·期末）在一个不透明的口袋中有红色、黄色和绿色球共60个，它们除颜色外，其余完全相同．在不倒出球的情况下，要估计袋中各种颜色球的个数．同学们通过大量的摸球试验后，发现摸到红球、黄球和绿球的频率分别稳定在，和．由此，推测口袋中黄色球的个数有 ． 【答案】24个 【分析】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． 解：估计箱子里黄色球有（个）， 故答案为：个． 【题型7】用频率估计概率的综合应用 【例7】（23-24八年级下·江苏盐城·期中）在一个不透明的袋子里装有黑、白两种颜色的球共个，这些球除颜色外都相同，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据： 摸球的次数 摸到黑球的次数 摸到黑球的频率 （1）表中 ； （2）请估计：当很大时，摸到黑球的频率将会接近 （精确到）； （3）估计袋子中有白球 个； （4）若学习小组通过试验结果，想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为，则可在袋子中增加相同的白球 个． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4） 【分析】本题考查了利用频率估计概率：大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率． （1）摸到黑球的频率为，故为． （2）大量重复实验中事件的频率可以估计概率，当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近． （3）摸到黑球的频率约为，故摸到白球的频率约为，则估计袋子中有白球（个）． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时，即黑球个数等于白球个数，故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 解：（1）解：， 故答案为：． （2）当很大时，观察摸到黑球的频率，其数值将会接近， 故答案为：． （3）摸到黑球的频率约为， 故摸到白球的频率约为， 则估计袋子中有白球（个）， 故答案为：． （4）当想使得这个不透明袋子中每次摸到黑球的可能性大小为时， 即黑球个数等于白球个数， 故可在袋子中增加相同的白球数：（个）， 此时黑白球均为个，摸到黑白球的可能性大小均为． 故答案为：． 【变式1】（23-24九年级上·福建福州·阶段练习）在一个不透明的袋子里装有红球、黄球共个，这些球除颜色外都相同，小明通过多次试验发现，摸出黄球的频率稳定在左右，则袋子中黄球的个数最有可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了用频率估计概率．熟练掌握大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率是解题的关键． 由题意知，摸出黄球的概率为，根据，计算求解即可． 解：由题意知，摸出黄球的概率为， ∴袋子中黄球的个数最有可能是个， 故选：D． 【变式2】（2024·河南许昌·一模）《数书九章》是我国南宋数学家秦九韶所著的数学著作，标志着中国古代数学的高峰.书中记载有这样一道题目：粮仓开仓收粮，有人送来米2000石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得300粒米内夹谷36粒，则这批米内夹谷约为 石. 【答案】240 【分析】本题主要考查了用频率估计概率，根据多次实验得到的频率约等于概率得出方程，求出解即可． 解：设这批米内夹谷约为x石，根据题意，得 ， 解得． 所以这批米内夹谷约为240石． 故答案为：240． 第二部分【中考链接与拓展延伸】 【题型8】直通中考 【例1】（2024·湖北·中考真题）在下列事件中，必然事件是（    ） A．掷一次骰子，向上一面的点数是3 B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中 C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 D．任意画一个三角形，其内角和是180° 【答案】D 【分析】本题考查的是随机事件，熟知在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件是解题的关键．根据必然事件、随机事件的意义进行判断即可． 解：A．掷一次骰子，向上一面的点数是3，是随机事件，不符合题意； B．篮球队员在罚球线上投篮一次，未投中，是随机事件，不符合题意； C．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯，是随机事件，不符合题意； D．任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件，符合题意． 故选：D． 【例2】（2023·江苏泰州·中考真题）在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（    ） A．试验次数越多，f越大 B．f与P都可能发生变化 C．试验次数越多，f越接近于P D．当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点拨】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 【题型9】拓展延伸 ★【例1】（2010·山东威海·中考真题）2010年5月1日，第41届世博会在上海举办，世博知识在校园迅速传播．小明同学就本班学生对世博知识的了解程度进行了一次调查统计，下图是他采集数据后绘制的两幅不完整的统计图（A：不了解，B：一般了解，C：了解较多，D：熟悉）．请你根据图中提供的信息解答以下问题： （1）求该班共有多少名学生； （2）在条形统计图中，将表示“一般了解”的部分补充完整； （3）在扇形统计图中，计算出“了解较多”部分所对应的圆心角的度数； （4）从该班中任选一人，其对世博知识的了解程度为“熟悉”的概率是多少？ 【答案】（1）50（2）15（3）144°（4） 【分析】（1）根据A是5人，占总体的10%，即可求得总人数； （2）根据总人数和B所占的百分比是30%求解，然后补充图形； （3）首先计算C所占的百分比，再进一步求得其所对的圆心角的度数； （4）只需用D的人数除以总人数，求得所占的比例即可． 解：（1）5÷10％=50（人） （2） 50×30％=15（人） （3）360°×=144° （4）． 考点：数据分析（统计图，概率） ★【例2】（18-19九年级上·全国·课后作业）小明在操场上做游戏，他发现地上有一个不规则的封闭图形ABC．为了知道它的面积，他在封闭图形内划出了一个半径为1米的圆，在不远处向图形内掷石子，且记录如下： 掷石子次数石子落在的区域ABC 50次 150次 300次 石子落在圆内（含圆上）的次数m 14 43 93 石子落在阴影内的次数n 19 85 186 （1）随着次数的增多，小明发现m与n的比值在一个常数k附近波动，请你写出k的值． （2）请利用学过的知识求出封闭图形ABC的大致面积． 【答案】（1）；（2）3π． 【分析】（1）根据次数越多，频率越稳定，用300次时石子落在圆内（含圆上）的次数 石子落在阴影内的次数即可得答案.（2）根据石子落在圆内和石子落在阴影内的次数的关系求出圆的面积约占封闭图形ABC面积的比例即可求出封闭图形ABC的大致面积. 解：（1）根据统计表，可得石子落在圆内的概率与落在阴影部分的概率之比k==； （2）石子落在圆内和石子落在阴影内的次数关系，随着试验次数的增多，逐渐趋向于为1：2， 所以圆的面积约占封闭图形ABC面积的， 因为S圆=π， 所以封闭图形ABC的面积约为3π． 【点拨】本题考查的是利用频率计算概率在实际生活中的运用，关键是得到阴影与圆的比；用规则图形来估计不规则图形的比是常用的方法． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$