专题5.20 二次函数中考综合压轴题分类专题（专项练习）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.20 二次函数中考综合压轴题分类专题（专项练习） 【第一部分】综合解答题 【考点1】二次函数的图象与性质（3题）............................................................................1 【考点2】二次函数与一元二次方程（3题）........................................................................2 【考点3】二次函数与实际问题（3题）...............................................................................3 【考点4】二次函数与利润问题（3题）...............................................................................4 【考点5】二次函数与面积问题（3题）...............................................................................5 【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题）....................................................................6 【考点7】一次函数与二次函数综合（3题）........................................................................7 【第二部分】压轴填空选择题 【考点8】根据二次函数的图象判断式子符号（3题）........................................................8 【考点9】二次函数中最值（2题）......................................................................................9 【考点10】二次函数中的动点（1题）...............................................................................10 【第三部分】压轴解答题 【考点11】二次函数与定点、定值问题（3题）................................................................10 【考点12】二次函数与折叠问题（3题）...........................................................................12 【考点13】二次函数与存在性问题（3题）........................................................................14 【第一部分】综合解答题 【考点1】二次函数的图象与性质（3题） 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 2．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 3．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【考点2】二次函数与一元二次方程（3题） 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 5．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 6．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．   （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【考点3】二次函数与实际问题（3题） 7．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 8．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2） 直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 9．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米． 数学建模 （1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 【考点4】二次函数与利润问题（3题） 10．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 11．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 12．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【考点5】二次函数与面积问题（3题） 13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 14．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上   （1）求k的值； （2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 15．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中 （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题） 16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．  （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 17．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．    （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 18．（2022·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”． （1）求双曲线上的“黎点”； （2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 【考点7】一次函数与二次函数综合（3题） 19．（2019·湖北荆州·中考真题）若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数． （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值． 20．（2019·安徽·中考真题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值. 21．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【第二部分】压轴填空选择题 【考点8】根据二次函数的图象判断式子符号（3题） 22．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 23．（2021·湖北荆门·中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 24．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【考点9】二次函数中最值（2题） 25．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 26．（2019·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 . 【考点10】二次函数中的动点（1题） 27．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   【点拨】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键． 【第三部分】压轴解答题 【考点11】二次函数与定点、定值问题（3题） 28．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 29．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 30．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【考点12】二次函数与折叠问题（3题） 31．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 32．（2015·湖北荆门·中考真题）如图，在矩形中，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求的长及经过三点抛物线的解析式； （2）一动点P丛点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时时为t秒，当t为何值时，； （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标：若不存在，请说明理由． 33．（2021·江苏镇江·中考真题）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D． （1）求该二次函数的表达式及点D的坐标； （2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开． ①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是　　． ③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标． 【考点13】二次函数与存在性问题（3题） 34．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 35．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 36．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．   （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.20 二次函数中考综合压轴题分类专题（专项练习） 【第一部分】综合解答题 【考点1】二次函数的图象与性质（3题）...........................................................................1 【考点2】二次函数与一元二次方程（3题）.......................................................................6 【考点3】二次函数与实际问题（3题）...............................................................................9 【考点4】二次函数与利润问题（3题）.............................................................................15 【考点5】二次函数与面积问题（3题）.............................................................................18 【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题）.................................................................22 【考点7】一次函数与二次函数综合（3题）.....................................................................26 【第二部分】压轴填空选择题 【考点8】根据二次函数的图象判断式子符号（3题）......................................................29 【考点9】二次函数中最值（2题）....................................................................................34 【考点10】二次函数中的动点（1题）..............................................................................36 【第三部分】压轴解答题 【考点11】二次函数与定点、定值问题（3题）...............................................................39 【考点12】二次函数与折叠问题（3题）..........................................................................50 【考点13】二次函数与存在性问题（3题）......................................................................60 【第一部分】综合解答题 【考点1】二次函数的图象与性质（3题） 1．（2024·北京·中考真题）在平面直角坐标系中，已知抛物线. （1）当时，求抛物线的顶点坐标； （2）已知和是抛物线上的两点.若对于，，都有，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）或 【分析】（）把代入，转化成顶点式即可求解； （）分和两种情况，画出图形结合二次函数的性质即可求解； 本题考查了求二次函数的顶点式，二次函数的性质，运用分类讨论和数形结合思想解答是解题的关键． 解：（1）解：把代入得，， ∴抛物线的顶点坐标为； （2）解：分两种情况：抛物线的对称轴是直线； 当时，如图，此时， ∴， 又∵， ∴； 当时，如图，此时， 解得， 又∵， ∴； 综上，当或，都有． 2．（2024·山东威海·中考真题）已知抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且． （1）若抛物线与x轴交点的坐标分别为，，且．试判断下列每组数据的大小（填写、或）： ①________；②________；③________． （2）若，，求b的取值范围； （3）当时，最大值与最小值的差为，求b的值． 【答案】（1）；；；（2）；（3）b的值为或． 【分析】本题考查根与系数的关系，二次函数图像与性质，不等式性质，二次函数最值情况，解题的关键在于熟练掌握二次函数图像与性质． （1）根据根与系数的关系得到，以及，即可判断①，利用二次函数的图像与性质得到，进而得到，利用不等式性质变形，即可判断②③． （2）根据题意得到，结合进行求解，即可解题； （3）根据题意得到抛物线顶点坐标为，对称轴为；当时，，当时，，由最大值与最小值的差为，分以下情况①当在取得最大值，在取得最小值时，②当在取得最大值，在顶点取得最小值时，③当在取得最大值，在顶点取得最小值时，建立等式求解，即可解题． 解：（1）解： 与x轴交点的坐标分别为，，且， ，且抛物线开口向上， 与x轴交点的坐标分别为，，且． 即向上平移1个单位， ，且， ①； ， ，即②； ，即③． 故答案为；；；； （2）解：，， ， ， ； （3）解：抛物线顶点坐标为， 对称轴为； 当时，， 当时，， ①当在取得最大值，在取得最小值时， 有 ，解得（舍去）； ②当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或， ③当在取得最大值，在顶点取得最小值时， 有，解得（舍去）或； 综上所述，b的值为或． 3．（2024·山东·中考真题）在平面直角坐标系中，点在二次函数的图像上，记该二次函数图像的对称轴为直线． （1）求的值； （2）若点在的图像上，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数的图像．当时，求新的二次函数的最大值与最小值的和； （3）设的图像与轴交点为，．若，求的取值范围． 【答案】（1）；（2）新的二次函数的最大值与最小值的和为；；（3） 【分析】（1）把点代入可得，再利用抛物线的对称轴公式可得答案； （2）把点代入，可得：，可得抛物线为，将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为：，再利用二次函数的性质可得答案； （3）由根与系数的关系可得，，结合，，再建立不等式组求解即可. 解：（1）解：∵点在二次函数的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴抛物线的对称轴为直线， ∴； （2）解：∵点在的图像上， ∴， 解得：， ∴抛物线为， 将该二次函数的图像向上平移5个单位长度，得到新的二次函数为： ， ∵， ∴当时，函数有最小值为， 当时，函数有最大值为 ∴新的二次函数的最大值与最小值的和为； （3）∵的图像与轴交点为，． ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴即， 解得：. 【点拨】本题属于二次函数的综合题，利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一元二次方程根与系数的关系，熟练的利用各知识点建立方程或不等式组解题是关键. 【考点2】二次函数与一元二次方程（3题） 4．（2024·江苏扬州·中考真题）如图，已知二次函数的图像与轴交于，两点． （1）求的值； （2）若点在该二次函数的图像上，且的面积为，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题主要考查二次函数与几何图形的综合，掌握待定系数法求解析式，解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）运用待定系数法即可求解； （2）根据题意设，结合几何图形面积计算方法可得点的纵坐标，代入后解一元二次方程即可求解． 解：（1）解：二次函数的图像与轴交于，两点， ∴， 解得，， ∴； （2）解：由（1）可知二次函数解析式为：，，， ∴， 设， ∴， ∴， ∴， ∴当时，，无解，不符合题意，舍去； 当时，，； ∴． 5．（2023·浙江·中考真题）已知点和在二次函数是常数，的图像上． （1）当时，求和的值； （2）若二次函数的图像经过点且点A不在坐标轴上，当时，求的取值范围； （3）求证：． 【答案】（1）；（2）；（3）见分析 【分析】（1）由可得图像过点和，然后代入解析式解方程组即可解答； （2）先确定函数图像的对称轴为直线，则抛物线过点，即，然后再结合即可解答； （3）根据图像的对称性得，即，顶点坐标为；将点和分别代入表达式并进行运算可得；则，进而得到，然后化简变形即可证明结论． 解：（1）解：当时，图像过点和， ∴，解得， ∴， ∴． （2）解：∵函数图像过点和， ∴函数图像的对称轴为直线． ∵图像过点， ∴根据图像的对称性得． ∵， ∴． （3）解：∵图像过点和， ∴根据图像的对称性得． ∴，顶点坐标为． 将点和分别代人表达式可得 ①②得， ∴． ∴． ∴． ∴． ∴． 【点拨】本题主要考查了运用待定系数法求二次函数解析式、二次函数的对称性、解不等式等知识点，掌握二次函数的对称性是解答本题的关键． 6．（2023·浙江宁波·中考真题）如图，已知二次函数图象经过点和．   （1）求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标． （2）当时，请根据图象直接写出x的取值范围． 【答案】（1），顶点坐标为；（2） 【分析】（1）把和代入，建立方程组求解解析式即可，再把解析式化为顶点式，可得顶点坐标； （2）把代入函数解析式求解的值，再利用函数图象可得时的取值范围． 解：（1）解：∵二次函数图象经过点和． ∴，解得：， ∴抛物线为， ∴顶点坐标为：； （2）当时，， ∴ 解得：，，    如图，当时， ∴． 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的顶点坐标，利用图象法解不等式，熟练的运用数形结合的方法解题是关键． 【考点3】二次函数与实际问题（3题） 7．（2024·湖北·中考真题）如图，某校劳动实践基地用总长为80m的栅栏，围成一块一边靠墙的矩形实验田，墙长为42m．栅栏在安装过程中不重叠、无损耗，设矩形实验田与墙垂直的一边长为x（单位：m），与墙平行的一边长为y（单位：m），面积为S（单位：）． （1）直接写出y与x，S与x之间的函数解析式（不要求写x的取值范围）； （2）矩形实验田的面积S能达到吗？如果能，求x的值；如果不能，请说明理由． （3）当x的值是多少时，矩形实验田的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】（1），；（2）；（3）当时，实验田的面积S最大，最大面积是 【分析】本题考查了矩形的性质，二次函数的实际应用，计算的取值范围是解题的关键． （1）根据，求出与的函数解析式，根据矩形面积公式求出与的函数解析式； （2）先求出的取值范围，再将代入函数中，求出的值； （3）将与的函数配成顶点式，求出的最大值． 解：（1）解：， ， ， ； （2）， ， ， ， 当时，， ， ， ， 当时，矩形实验田的面积能达到； （3）， 当时，有最大值． 8．（2024·湖北武汉·中考真题）16世纪中叶，我国发明了一种新式火箭“火龙出水”，它是二级火箭的始祖．火箭第一级运行路径形如抛物线，当火箭运行一定水平距离时，自动引发火箭第二级，火箭第二级沿直线运行．某科技小组运用信息技术模拟火箭运行过程．如图，以发射点为原点，地平线为x轴，垂直于地面的直线为y轴，建立平面直角坐标系，分别得到抛物线和直线．其中，当火箭运行的水平距离为时，自动引发火箭的第二级． （1）若火箭第二级的引发点的高度为． ①直接写出a，b的值； ②火箭在运行过程中，有两个位置的高度比火箭运行的最高点低，求这两个位置之间的距离． （2） 直接写出a满足什么条件时，火箭落地点与发射点的水平距离超过． 【答案】（1）①，；②；（2） 【分析】本题考查了二次函数和一次函数的综合应用，涉及待定系数法求解析式，二次函数的图象和性质，一次函数的图象与性质等知识点，熟练掌握二次函数和一次函数的图象与性质是解题的关键． （1）①将代入即可求解；②将变为，即可确定顶点坐标，得出，进而求得当时，对应的x的值，然后进行比较再计算即可； （2）若火箭落地点与发射点的水平距离为，求得，即可求解． 解：（1）解：①∵火箭第二级的引发点的高度为 ∴抛物线和直线均经过点 ∴， 解得，． ②由①知，， ∴ ∴最大值 当时， 则 解得， 又∵时， ∴当时， 则 解得 ∴这两个位置之间的距离． （2）解：当水平距离超过时， 火箭第二级的引发点为， 将，代入，得 ， 解得， ∴． 9．（2024·山西·中考真题）大棚经济“金钥匙”，激活乡村产业振兴新引擎．刘叔叔计划在自家菜地修建一个蔬菜大棚，图是其横截面的示意图，其中，为两段垂直于地面的墙体，两段墙体之间的水平距离为米，大棚的顶部用抛物线形铝合金骨架作支撑．已知骨架的一端固定在离地面米的墙体处，另一端固定在墙体处，骨架最高点到墙体的水平距离为米，且点离地面的高度为米． 数学建模 （1）在图中，以为原点，水平直线为轴，所在直线为轴，建立平面直角坐标系．设大棚顶部骨架上某处离地面的高度为（米），该处离墙体的水平距离为（米），求与之间的函数关系式； 问题解决 （2）为了大棚顶部更加稳固，刘叔叔计划在棚顶安装“丁”字形铝合金支架，如图2所示，支架可以看成是由线段，组成，其中点，在顶棚抛物线形骨架上，于点．为不影响耕作，将点E到地面的距离定为米． 点的坐标为______，的长为______； 请你计算做一个“丁”字形支架所需铝合金材料的最大长度．（结果精确到米．参考数据：） 【答案】（）；（），；米． 【分析】（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为，设与之间的函数关系式为，然后用待定系数法即可求解； （）当时，，解得：即可求出，再用两点之间的距离公式求出； ②过点作于点，过点作于点，交于点，求出所在直线的函数表达式，设点的横坐标为，则，当时，最大，再根据，得出，最后根据线段和差即可求解； 本题考查了二次函数的图象及性质，一次函数的图象及性质，解直角三角形，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 解：（）根据题意得，抛物线的顶点的坐标为， 设与之间的函数关系式为， 由题意得，点的坐标为， 将代入， 得，解，得， ， 即与之间的函数关系式为， （）由（）得， 当时，，解得：或（舍去）， ∴， ∵， ∴， 故答案为：，； ②过点作于点，过点作于点，交于点，    设所在直线的函数表达式为， 将分别代入， 得解，得， ∴所在直线的函数表达式为， 设点的横坐标为， 点在拋物线的图象上， ，， ， ，且， 有最大值，当时，最大， 轴， ， 又，，， ， ， 当时，有最大值， 当时，有最大值， 此时，米． ∴需要铝合金材料的最大长度约为米． 【考点4】二次函数与利润问题（3题） 10．（2024·四川遂宁·中考真题）某酒店有两种客房、其中种间，种间．若全部入住，一天营业额为元；若两种客房均有间入住，一天营业额为元． （1）求两种客房每间定价分别是多少元？ （2）酒店对种客房调研发现：如果客房不调价，房间可全部住满；如果每个房间定价每增加元，就会有一个房间空闲；当种客房每间定价为多少元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为多少元？ 【答案】（1）种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元；（2）当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 【分析】（）设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元，根据题意，列出方程组即可求解； （）设种客房每间定价为元，根据题意，列出与的二次函数解析式，根据二次函数的性质即可求解； 本题考查了二元一次方程组的应用，二次函数的应用，根据题意，正确列出二元一次方程组和二次函数解析式是解题的关键． 解：（1）解：设种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元， 由题意可得，， 解得， 答：种客房每间定价为元，种客房每间定价为为元； （2）解：设种客房每间定价为元， 则， ∵， ∴当时，取最大值，元， 答：当种客房每间定价为元时，种客房一天的营业额最大，最大营业额为元． 11．（2024·四川南充·中考真题）2024年“五一”假期期间，阆中古城景区某特产店销售A，B两类特产．A类特产进价50元/件，B类特产进价60元/件．已知购买1件A类特产和1件B类特产需132元，购买3件A类特产和5件B类特产需540元． （1）求A类特产和B类特产每件的售价各是多少元？ （2）A类特产供货充足，按原价销售每天可售出60件．市场调查反映，若每降价1元，每天可多售出10件（每件售价不低于进价）．设每件A类特产降价x元，每天的销售量为y件，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围． （3）在（2）的条件下，由于B类特产供货紧张，每天只能购进100件且能按原价售完．设该店每天销售这两类特产的总利润为w元，求w与x的函数关系式，并求出每件A类特产降价多少元时总利润w最大，最大利润是多少元？（利润＝售价－进价） 【答案】（1）A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件；（2）（）；（3）A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最犬，最大利润为1840元 【分析】本题主要考查一元一次方程的应用、函数关系式和二次函数的性质， 根据题意设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元，进一步得到关于x的一元一次方程求解即可； 根据降价1元，每天可多售出10件列出函数关系式，结合进价与售价，且每件售价不低于进价得到x得取值范围； 结合（2）中A类特产降价x元与每天的销售量y件，得到A类特产的利润，同时求得B类特产的利润，整理得到关于x的二次函数，利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解：设每件A类特产的售价为x元，则每件B类特产的售价为元． 根据题意得． 解得． 则每件B类特产的售价（元）． 答：A类特产的售价为60元/件，B类特产的售价为72元/件． （2）由题意得 ∵A类特产进价50元/件，售价为60元/件，且每件售价不低于进价 ∴． 答：（）． （3） ． ∴当时，w有最大值1840． 答：A类特产每件售价降价2元时，每天销售利润最大，最大利润为1840元． 12．（2024·新疆·中考真题）某公司销售一批产品，经市场调研发现，当销售量在0.4吨至3.5吨之间时，销售额（万元）与销售量x（吨）的函数解析式为；成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． （1）求出成本关于销售量x的函数解析式； （2）当成本最低时，销售产品所获利润是多少？ （3）当销售量是多少吨时，可获得最大利润？最大利润是多少？（注：利润=销售额成本） 【答案】（1）；（2）销售产品所获利润是万元；（3）当销售量吨时，获得最大利润，最大利润为：万元； 【分析】（1）设抛物线为：，再利用待定系数法求解即可； （2）先求解当时，成本的最小值为，再计算销售额，从而可得答案； （3）设销售利润为万元，可得，再利用二次函数的性质解题即可； 解：（1）解：∵成本（万元）与销售量x（吨）的函数图象是如图所示的抛物线的一部分，其中是其顶点． ∴设抛物线为：， 把代入可得：， 解得：， ∴抛物线为； （2）解：∵， ∴当时，成本最小值为， ∴， ∴销售产品所获利润是（万元）； （3）解：设销售利润为万元， ∴ ， 当时，获得最大利润， 最大利润为：（万元）； 【点拨】本题考查的是二次函数的实际应用，一次函数的应用，二次函数的性质，待定系数法的含义，熟练的建立二次函数的关系式是解本题的关键． 【考点5】二次函数与面积问题（3题） 13．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 解：（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 14．（2023·湖南·中考真题）如图所示，在平面直角坐标系中，四边形为正方形，其中点A、C分别在x轴负半轴，y轴负半轴上，点B在第三象限内，点，点在函数的图像上   （1）求k的值； （2）连接，记的面积为S，设，求T的最大值． 【答案】（1）；（2）1 【分析】（1）点在函数的图像上，代入即可得到k的值； （2）由点在x轴负半轴得到，由四边形为正方形得到，轴，得的面积为，则，根据二次函数的性质即可得到T的最大值． 解：（1）解：∵点在函数的图像上， ∴， ∴， 即k的值为2； （2）∵点在x轴负半轴， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，轴， ∴的面积为， ∴， ∵， ∴抛物线开口向下， ∴当时，有最大值，T的最大值是1． 【点拨】此题考查了二次函数的性质、反比例函数的图象和性质、正方形的性质等知识，数形结合和准确计算是解题的关键． 15．（2024·福建·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于两点，与轴交于点，其中 （1）求二次函数的表达式； （2）若是二次函数图象上的一点，且点在第二象限，线段交轴于点的面积是的面积的2倍，求点的坐标． 【答案】（1）；（2） 【分析】本题考查二次函数表达式、二次函数的图象与性质、二元一次方程组、一元二次方程、三角形面积等基础知识，考查运算能力、推理能力、几何直观等. （1）根据待定系数法求解即可； （2）设，因为点在第二象限，所以．依题意，得，即可得出，求出，由，求出，即可求出点的坐标． 解：（1）解：将代入， 得， 解得， 所以，二次函数的表达式为． （2）设，因为点在第二象限，所以． 依题意，得，即，所以． 由已知，得， 所以． 由， 解得（舍去）， 所以点坐标为． 【考点6】二次函数与反比例函数综合（3题） 16．（2024·江苏苏州·中考真题）如图，中，，，，，反比例函数的图象与交于点，与交于点E．  （1）求m，k的值； （2）点P为反比例函数图象上一动点（点P在D，E之间运动，不与D，E重合），过点P作，交y轴于点M，过点P作轴，交于点N，连接，求面积的最大值，并求出此时点P的坐标． 【答案】（1），；（2）最大值是，此时 【分析】本题考查了二次函数，反比例函数，等腰三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）先求出B的坐标，然后利用待定系数法求出直线的函数表达式，把D的坐标代入直线的函数表达式求出m，再把D的坐标代入反比例函数表达式求出k即可； （2）延长交y轴于点Q，交于点L．利用等腰三角形的判定与性质可得出，设点P的坐标为，，则可求出，然后利用二次函数的性质求解即可． 解：（1）解： ，， ． 又， ． ， 点． 设直线的函数表达式为， 将，代入，得， 解得， ∴直线的函数表达式为． 将点代入，得． ． 将代入，得． （2）解：延长交y轴于点Q，交于点L．    ，， ． 轴， ，． ， ， ， ． 设点P的坐标为，，则，． ． ． 当时，有最大值，此时． 17．（2023·江苏苏州·中考真题）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象交于点．将点沿轴正方向平移个单位长度得到点为轴正半轴上的点，点的横坐标大于点的横坐标，连接的中点在反比例函数的图象上．    （1）求的值； （2）当为何值时，的值最大?最大值是多少? 【答案】（1），；（2）当时，取得最大值，最大值为 【分析】（1）把点代入，得出，把点代入，即可求得； （2）过点作轴的垂线，分别交轴于点，证明，得出，进而可得，根据平移的性质得出，，进而表示出，根据二次函数的性质即可求解． 解：（1）解：把点代入， ∴， 解得：； 把点代入，解得； （2）∵点横坐标大于点的横坐标， ∴点在点的右侧， 如图所示，过点作轴的垂线，分别交轴于点，    ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵将点沿轴正方向平移个单位长度得到点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当时，取得最大值，最大值为． 【点拨】本题考查了一次函数与反比例函数综合，二次函数的性质，全等三角形的性质与判定，熟练掌握以上知识是解题的关键． 18．（2022·四川遂宁·中考真题）在平面直角坐标系中，如果一个点的横坐标与纵坐标互为相反数，则称该点为“黎点”．例如，都是“黎点”． （1）求双曲线上的“黎点”； （2）若抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，当时，求c的取值范围． 【答案】（1）上的“黎点”为，；（2） 【分析】（1）设双曲线上的“黎点”为，构建方程求解即可； （2）抛物线（a、c为常数）上有且只有一个“黎点”，推出方程有且只有一个解，，可得结论． 解：（1）设双曲线上的“黎点”为， 则有，解得， ∴上的“黎点”为，． （2）∵抛物线上有且只有一个“黎点”， ∴方程有且只有一个解， 即，，， ∴． ∵， ∴． 【点拨】本题考查反比例函数图象上的点特征，二次函数的性质等知识，解题的关键是理解题意，学会用转化的思想思考问题． 【考点7】一次函数与二次函数综合（3题） 19．（2019·湖北荆州·中考真题）若二次函数图象的顶点在一次函数的图象上，则称为的伴随函数，如：是的伴随函数． （1）若是的伴随函数，求直线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若函数的伴随函数与轴两个交点间的距离为4，求，的值． 【答案】（1）8；（2），. 【分析】（1）先求出二次函数的顶点，再把顶点代入一次函数求出p,再求出一次函数与坐标轴的交点坐标，再利用三角形的面积公式求解； （2）先根据函数与轴两个交点间的距离为4，求出n,再求出二次函数的顶点，将顶点代入一次函数即可求解. 解：（1）， 其顶点坐标为， 是的伴随函数， 在一次函数的图象上， ． ， 一次函数为：， 一次函数与坐标轴的交点分别为，， 直线与两坐标轴围成的三角形的两直角边长度都为， 直线与两坐标轴围成的三角形的面积为：． （2）设函数与轴两个交点的横坐标分别为，，则，， ， ∵函数与轴两个交点间的距离为4， ， 解得，， 函数为：， 其顶点坐标为， 是的伴随函数， ， ． 【点拨】本题考查的是二次函数和一次函数的综合运用，熟练掌握两者是解题的关键. 20．（2019·安徽·中考真题）一次函数y=kx+4与二次函数y=ax2+c的图像的一个交点坐标为（1,2），另一个交点是该二次函数图像的顶点 （1）求k，a，c的值； （2）过点A（0，m）（0＜m＜4）且垂直于y轴的直线与二次函数y=ax2+c的图像相交于B，C两点，点O为坐标原点，记W=OA2+BC2，求W关于m的函数解析式，并求W的最小值. 【答案】（1）k=-2，a=-2，c=4；（2）, W取得最小值7. 【分析】（1）把（1,2）分别代入y=kx+4和y=ax2+c，得k+4=-2和a+c=2，然后求出二次函数图像的顶点坐标为（0,4），可得c=4，然后计算得到a的值； （2）由A（0，m）（0＜m＜4）可得OA=m，令y=-2x2+4=m，求出B，C坐标，进而表示出BC长度，将OA，BC代入W=OA2+BC2中得到W关于m的函数解析式，求出最小值即可. 解：（1）由题意得，k+4=2，解得k=-2， ∴一次函数解析式为：y=-2x+4 又二次函数顶点横坐标为0， ∴顶点坐标为（0,4） ∴c=4 把（1,2）带入二次函数表达式得a+c=2，解得a=-2 （2）由（1）得二次函数解析式为y=-2x2+4，令y=m，得2x2+m-4=0 ∴，设B，C两点的坐标分别为（x1，m）（x2，m），则， ∴W=OA2+BC2= ∴当m=1时，W取得最小值7 【点拨】本题考查了待定系数法求函数解析式以及二次函数的图像和性质，将二次函数图像与直线的交点问题转化为求一元二次方程的解，得到B，C坐标是解题的关键. 21．（2024·江苏徐州·中考真题）如图，A、B为一次函数的图像与二次函数的图像的公共点，点A、B的横坐标分别为0、4．P为二次函数的图像上的动点，且位于直线的下方，连接、． （1）求b、c的值； （2）求的面积的最大值． 【答案】（1）；（2）最大值为8 【分析】本题考查二次函数的综合，一次函数的性质，用割补法得出△PAB的面积是关键． （1）先求出A，B的坐标，再用待定系数法求出b，c； （2）由（1）可得：，设，作交于E，则，则，得出面积，即可解答． 解：（1）解：当时，；当时，， 则，， 则， 解得：； （2）解：由（1）可得：，设，作交于E， 则，则， ∴， 当时，最大值为8． 【第二部分】压轴填空选择题 【考点8】根据二次函数的图象判断式子符号（3题） 22．（2022·内蒙古·中考真题）如图，抛物线（）的对称轴为直线，抛物线与x轴的一个交点坐标为），下列结论：①；②；③当时，x的取值范围是；④点，都在抛物线上，则有．其中结论正确的个数是（    ）    A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】根据抛物线的开口，对称轴，特殊值x=-1可判断①②正确，根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，可判断③错误，求出，，结合①②的结论即可判断出④正确． 解：∵抛物线的开口向下，a<0，对称轴为x=1， ∴， ∴， ∵抛物线交于y轴正半轴， ∴c>0， ∴，故①正确； ∵抛物线与x轴交于（-1,0）， ∴当x=-1时，， ∵， ∴将代入，得3a+c=0，故②正确； 根据图像可得，当y>0时，是x轴上方的图像，抛物线过点（-1,0），对称轴为x=1， 根据抛物线的对称性可得，抛物线过点（3,0）， ∴y＞0时，有，故③错误； ∵抛物线与x轴的两个交点为：（-1,0），（3,0），对称轴为x=1， 当x=-2时，， 当x=2时，， ∵，3a+c=0，a<0， ∴，， ∴，故④正确， 故选：C． 【点拨】本题考查了二次函数的图像和性质，解决这类题需要掌握：a看抛物线开口方向，b往往看对称轴，c看抛物线与y轴的交点，以及抛物线的对称性以及代入特殊点等． 23．（2021·湖北荆门·中考真题）抛物线（a，b，c为常数）开口向下且过点，（），下列结论：①；②；③；④若方程有两个不相等的实数根，则．其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】A 【分析】根据已知条件可判断，，据此逐项分析解题即可． 解：抛物线开口向下 把，代入得 ①，故①正确； ②，故②正确； ③，故③正确；； ④若方程有两个不相等的实数根， 即 ，故④正确，即正确结论的个数是4， 故选：A． 【点拨】本题考查二次函数的图象与性质、二次函数与系数a、b、c关系，涉及一元二次方程根的判别式，是重要考点，有难度，掌握相关知识是解题关键． 24．（2021·湖北恩施·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，顶点是，则以下结论：①；②；③若，则或；④．其中正确的有（    ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据开口方向、对称轴，判断a、b的符号及数量关系，根据抛物线与y轴的交点判断c的符号，根据图象与轴交于和对称轴判断抛物线与x轴的另一个交点，则可判断x=2时y的正负，取x=1，x=-1时，函数的表达式，进行相关计算即可证明的正确性． 解：∵抛物线开口向上， ∴， ∵对称轴为直线， ∴， ∵抛物线与y轴的交点在负半轴， ∴， ∴，故①错误； ∵抛物线与x轴交于，对称轴为， ∴抛物线与x轴的另一个交点为， 当x=2时，位于x轴上方， ∴，故②正确； 若，当y=c时，x=-2或0， 根据二次函数对称性， 则或，故③正确； 当时，① ， 当时，② ， ①+②得：， ∵对称轴为直线， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上：②③正确， 故选：B． 【点拨】本题主要考查二次函数图像的性质，根据开口方向，对称轴，与坐标轴的交点坐标等判断所给式子的正确性，解题关键是熟悉函数图像与解析式的对应关系． 【考点9】二次函数中最值（2题） 25．（2021·广东·中考真题）设O为坐标原点，点A、B为抛物线上的两个动点，且．连接点A、B，过O作于点C，则点C到y轴距离的最大值（    ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】设A（a，a²），B（b，b²），求出AB的解析式为，进而得到OD=1，由∠OCB=90°可知，C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动，当CH为圆E半径时最大，由此即可求解． 解：如下图所示：过C点作y轴垂线，垂足为H，AB与x轴的交点为D， 设A（a，a²），B（b，b²），其中a≠0，b≠0， ∵OA⊥OB， ∴， ∴， 即， ， 设AB的解析式为：，代入A（a，a²）， 解得：， ∴， ∵，即 ， ∴C点在以OD的中点E为圆心，以为半径的圆上运动， 当CH为圆E的半径时，此时CH的长度最大， 故CH的最大值为， 故选：A． 【点拨】本题考查了二次函数的性质，圆的相关知识等，本题的关键是求出AB与y轴交点的纵坐标始终为1，结合，由此确定点E的轨迹为圆进而求解． 26．（2019·江苏无锡·中考真题）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=4,D为边AB上一动点（B点除外），以CD为一边作正方形CDEF，连接BE，则△BDE面积的最大值为 . 【答案】8 【分析】如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N，根据等腰三角形的性质以及三角形的面积可求出CN=4，继而根据勾股定理求出AN=3，从而求得BN的长，然后证明△EDM≌△DCN，根据全等三角形的性质可得EM=DN，设BD=x，则DN=8-x，继而根据三角形的面积公式可得S△BDE=，根据二次函数的性质即可求得答案. 解：如图，过点A作AH⊥BC于H，过点E作EM⊥AB于M，过点C作CN⊥AB于N， ∵AB=AC=5，BC=4，AH⊥BC， ∴BH=BC=2， ∴AH==， ∵S△ABC=， 即， ∴CN=4， 在Rt△CAN中，∠ANC=90°，∴AN==3， ∴BN=BA+AN=8， ∵四边形CDEF是正方形， ∴∠EDM+∠CDN=∠EDC=90°，ED=CD， ∵∠CDN+∠NCD=90°， ∴∠EDM=∠DCN， 又∵∠EMD=∠DNC=90°， ∴△EDM≌△DCN， ∴EM=DN， 设BD=x，则DN=8-x， ∴S△BDE===， ∵， ∴S△BDE的最大值为8， 故答案为8. 【点拨】本题考查了等腰三角形的性质，正方形的性质，全等三角形的判定与性质，二次函数的应用等，综合性质较强，有一定的难度，正确添加辅助线，熟练运用相关知识是解题的关键. 【考点10】二次函数中的动点（1题） 27．（2023·辽宁·中考真题）如图，，在射线，上分别截取，连接，的平分线交于点D，点E为线段上的动点，作交于点F，作交射线于点G，过点G作于点H，点E沿方向运动，当点E与点B重合时停止运动．设点E运动的路程为x，四边形与重叠部分的面积为S，则能大致反映S与x之间函数关系的图象是（    ）    A．   B．     C．     D．   【答案】A 【分析】分三种情况分别求出S与x的函数关系式，根据函数的类型与其图象的对应关系进行判断即可． 解：∵，， ∴是边长为6的正三角形， ∵平分， ∴，，， ①当矩形全部在之中，即由图1到图2，此时，    ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴； ②如图3时，当， 则，解得， 由图2到图3，此时，      如图4，记，的交点为，则是正三角形， ∴， ∴， 而， ∴， ∴ ， ③如图6时，，由图3到图6，此时，    如图5，同理是正三角形， ∴，，， ∴ ， 因此三段函数的都是二次函数关系，其中第1段是开口向上，第2段、第3段是开口向下的抛物线， 故选：A． 【点拨】本题考查动点问题的函数图象，求出各种情况下S与x的函数关系式是正确解答的前提，理解各种函数所对应的图象的形状是解决问题的关键． 【第三部分】压轴解答题 【考点11】二次函数与定点、定值问题（3题） 28．（2024·江苏宿迁·中考真题）如图①，已知抛物线与x轴交于两点，将抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线，点P是抛物线在第四象限内一点，连接并延长，交抛物线于点Q． （1）求抛物线的表达式； （2）设点P的横坐标为，点Q的横坐标为，求的值； （3）如图②，若抛物线与抛物线交于点C，过点C作直线，分别交抛物线和于点M、N（M、N均不与点C重合），设点M的横坐标为m，点N的横坐标为n，试判断是否为定值．若是，直接写出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）是定值，． 【分析】此题是二次函数综合题，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象的交点问题、一元二次方程根与系数关系等知识，准确利用待定系数法求函数解析式是解题的关键． （1）利用待定系数法求出，再根据平移规律即可求出抛物线的表达式； （2）设点P的坐标为，待定系数法求出直线的解析式为，联立与得到，解得，即可求出答案； （3）由（1）可得，，与联立得到，求出点C的坐标为，又由点M的坐标为，利用待定系数法求出直线的解析式为，与联立得到，则，得到，即可得到，得到定值． 解：（1）解：∵抛物线与x轴交于两点， ∴， 解得， ∴， ∵抛物线向右平移两个单位长度，得到抛物线， ∴ 即 （2）解：设点P的坐标为，设直线的解析式为，把点A和点P的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 联立与得到 ， 解得， 则 （3）解：由（1）可得，，与联立得到，， 解得， 此时 ∴点C的坐标为， ∵点M的横坐标为m，且在上， ∴ 即点M的坐标为 设直线的解析式为，把点C和点M的坐标代入得到， 则 解得， ∴直线的解析式为， 与联立得到， ， 整理得到， 则， 即， 即， 即为定值． 29．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，已知二次函数的图象与轴交于，两点．点坐标为，与轴交于点，点为抛物线顶点，点为中点． （1）求二次函数的表达式； （2）在直线上方的抛物线上存在点，使得，求点的坐标； （3）已知，为抛物线上不与，重合的相异两点． ①若点与点重合，，且，求证：，，三点共线； ②若直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形．请直接写出其中面积为定值的三角形及其面积，不必说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）①见分析；②的面积为定值 【分析】（1）待定系数法求解析式，即可求解； （2）根据题意得出，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，则是等腰直角三角形，根据，建立方程，解方程，即可求解； （3）①根据题意得出，得出直线的解析式为，联立得出，在直线上；②设，，设的解析式，联立抛物线解析式，可得，根据题意，设直线解析式为，直线的解析式为，求得到轴的距离是定值，即可求解． 解：（1）解：将，代入得， 解得： ∴抛物线解析式为 （2）解：对于，令， 解得： ∴ ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴ ∵ ∴ 如图所示，过点作交抛物线于点，过点作轴于点，    ∴ ∴是等腰直角三角形， ∴， 设，则 ∴， ∴ 解得：（舍去）或 ∴ （3）①点与点重合，则， ∵点为中点，， ∴, 设直线的解析式为，代入, ∴ 解得： ∴ 联立 解得：或 ∴，在直线上 即，，三点共线； ②设， ∵，，三点共线； ∴设的解析式， 联立 消去得， ∴ ∵， 设直线解析式为，直线的解析式为 联立 解得： ∴ ∵， ∴， ∴ 而不为定值， ∴在直线上运动， ∴到轴的距离为定值， ∵直线，交于点，则无论，在抛物线上如何运动，只要，，三点共线，，，中必存在面积为定值的三角形，到的距离是变化的， ∴的面积为是定值． 【点拨】本题考查了二次函数的综合应用，待定系数法求解析式，角度问题，面积问题，一次函数，一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握以上知识是解题的关键． 30．（2024·河北·中考真题）如图，抛物线过点，顶点为Q．抛物线（其中t为常数，且），顶点为P． （1）直接写出a的值和点Q的坐标． （2）嘉嘉说：无论t为何值，将的顶点Q向左平移2个单位长度后一定落在上． 淇淇说：无论t为何值，总经过一个定点． 请选择其中一人的说法进行说理． （3）当时， ①求直线PQ的解析式； ②作直线，当l与的交点到x轴的距离恰为6时，求l与x轴交点的横坐标． （4）设与的交点A，B的横坐标分别为，且．点M在上，横坐标为．点N在上，横坐标为．若点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，直接用含t和m的式子表示n． 【答案】（1），；（2）两人说法都正确，理由见分析；（3）①；②或；（4） 【分析】（1）直接利用待定系数法求解抛物线的解析式，再化为顶点式即可得到顶点坐标； （2）把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：，再检验即可，再根据函数化为，可得函数过定点； （3）①先求解的坐标，再利用待定系数法求解一次函数的解析式即可；②如图，当（等于6两直线重合不符合题意），可得，可得交点，交点，再进一步求解即可； （4）如图，由题意可得是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同，如图，连接交于，连接，，，，可得四边形是平行四边形，当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d，此时与重合，与重合，再进一步利用中点坐标公式解答即可． 解：（1）解：∵抛物线过点，顶点为Q． ∴， 解得：， ∴抛物线为：， ∴； （2）解：把向左平移2个单位长度得到对应点的坐标为：， 当时， ∴， ∴在上， ∴嘉嘉说法正确； ∵ ， 当时，， ∴过定点； ∴淇淇说法正确； （3）解：①当时， ， ∴顶点，而， 设为， ∴， 解得：， ∴为； ②如图，当（等于6两直线重合不符合题意）， ∴， ∴交点，交点， 由直线，设直线为， ∴， 解得：， ∴直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， 同理当直线过点， 直线为：， 当时，， 此时直线与轴交点的横坐标为， （4）解：如图，∵，， ∴是由通过旋转，再平移得到的，两个函数图象的形状相同， 如图，连接交于，连接，，，， ∴四边形是平行四边形， 当点M是到直线PQ的距离最大的点，最大距离为d，点N到直线PQ的距离恰好也为d， 此时与重合，与重合， ∵，， ∴的横坐标为， ∵，， ∴的横坐标为， ∴， 解得：； 【点拨】本题考查的是利用待定系数法求解二次函数的解析式，二次函数的性质，一次函数的综合应用，二次函数的平移与旋转，以及特殊四边形的性质，理解题意，利用数形结合的方法解题是关键． 【考点12】二次函数与折叠问题（3题） 31．（2024·内蒙古包头·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，抛物线与轴相交于，两点（点在点左侧），顶点为，连接． （1）求该抛物线的函数表达式； （2）如图1，若是轴正半轴上一点，连接．当点的坐标为时，求证：； （3）如图2，连接，将沿轴折叠，折叠后点落在第四象限的点处，过点的直线与线段相交于点，与轴负半轴相交于点．当时，与是否相等？请说明理由． 【答案】（1）；（2）见分析；（3）相等，理由见分析 【分析】（1）根据顶点为，利用求出，再将代入解析式即可求出，即可得出函数表达式； （2）延长交x轴于点D，由（1）知抛物线的解析式表达式为，求出，再利用待定系数法求出直线的解析式为，进而求出，则，利用两点间距离公式求出，易证，得到，由，即可证明； （3）过点作轴，交x轴于点G，利用抛物线解析式求出，求出，根据，易证，得到，由，即，求出，得到，即点的横坐标为，由折叠的性质得到，求出直线的解析式为，进而求出，得到，利用三角形面积公式求出，则，即可证明结论． 解：（1）解：该抛物线的顶点为，即该抛物线的对称轴为， ， ， 将代入解析式，则， ， 抛物线的解析式表达式为； （2）证明：如图1，延长交x轴于点D， 由（1）知抛物线的解析式表达式为，则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 则， 解得： 直线的解析式为，则， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：过点作轴，交x轴于点G， 令，即， 解得：， 根据题意得：， ， 轴，轴， ， ， ， ，即， ， ， 点的横坐标为， 由折叠的性质得到， 设直线的解析式为， 则， 解得：， 直线的解析式为， ， ， ， ， ， ，， ． 【点拨】本题考查二次函数综合问题，涉及二次函数的性质，二次函数解析式，一次函数的解析式，折叠的性质，二次函数与三角形相似的综合问题，二次函数与面积综合问题，正确作出辅助线构造三角形相似是解题的关键． 32．（2015·湖北荆门·中考真题）如图，在矩形中，，点D为边上一点，将沿直线折叠，使点B恰好落在边上的点E处，分别以所在的直线为x轴，y轴建立平面直角坐标系． （1）求的长及经过三点抛物线的解析式； （2）一动点P丛点C出发，沿以每秒2个单位长度的速度向点B运动，同时动点Q从E点出发，沿以每秒1个单位长度的速度向点C运动，当点P到达点B时，两点同时停止运动，设运动时时为t秒，当t为何值时，； （3）若点N在（1）中抛物线的对称轴上，点M在抛物线上，是否存在这样的点M与点N，使为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请求出M点坐标：若不存在，请说明理由． 【答案】（1）OE=3，；（2）t=；（3）（2，16）或（-6，16）或（-2，） 【分析】（1）由折叠的性质可求得CE、CO，在Rt△COE中，由勾股定理可求得OE，设AD＝m，在Rt△ADE中，由勾股定理可求得m的值，可求得D点坐标，结合C、O两点，利用待定系数法可求得抛物线解析式； （2）用t表示出CP、BP的长，可证明△DBP≌△DEQ，可得到BP＝EQ，可求得t的值； （3）可设出N点坐标，分三种情况①EN为对角线，②EM为对角线，③EC为对角线，根据平行四边形的性质可求得对角线的交点横坐标，从而可求得M点的横坐标，再代入抛物线解析式可求得M点的坐标． 解：（1）∵CE＝CB＝5，CO＝AB＝4， ∴在Rt△COE中，OE==3， 设AD＝m，则DE＝BD＝4-m， ∵OE＝3， ∴AE＝5-3＝2， 在Rt△ADE中，由勾股定理可得AD2+AE2＝DE2，即m2+22＝（4-m）2，解得m=， ∴D（，-5）， ∵C（-4，0），O（0，0）， ∴设过O、D、C三点的抛物线为y＝ax（x+4）， ∴-5=a（+4），解得a=， ∴抛物线解析式为； （2）∵CP＝2t， ∴BP＝5-2t， ∵BD=，DE， ∴BD＝DE， 在Rt△DBP和Rt△DEQ中， ， ∴Rt△DBP≌Rt△DEQ（HL）， ∴BP＝EQ， ∴5-2t＝t， ∴t=； （3）∵抛物线的对称轴为直线x＝-2， ∴设N（-2，n）， 又由题意可知C（-4，0），E（0，-3）， 设M（m，y）， ①当EN为对角线，即四边形ECNM是平行四边形时， 则线段EN的中点横坐标为=1，线段CM中点横坐标为， ∵EN，CM互相平分， ∴=-1，解得m＝2， 又M点在抛物线上， ∴， ∴M（2，16）； ②当EM为对角线，即四边形ECMN是平行四边形时， 则线段EM的中点横坐标为，线段CN中点横坐标为， ∵EM，CN互相平分， ∴=-3，解得m＝-6， 又∵M点在抛物线上， ∴， ∴M（-6，16）； ③当CE为对角线，即四边形EMCN是平行四边形时， 则M为抛物线的顶点，即M（-2，）． 综上可知，存在满足条件的点M，其坐标为（2，16）或（-6，16）或（-2，）． 【点拨】本题主要考查二次函数的综合应用，涉及待定系数法、全等三角形的判定和性质、折叠的性质、平行四边形的性质等知识点．在（1）中求得D点坐标是解题的关键，在（2）中证得全等，得到关于t的方程是解题的关键，在（3）中注意分类讨论思想的应用．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中． 33．（2021·江苏镇江·中考真题）将一张三角形纸片ABC放置在如图所示的平面直角坐标系中，点A（﹣6，0），点B（0，2），点C（﹣4，8），二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A，B，该抛物线的对称轴经过点C，顶点为D． （1）求该二次函数的表达式及点D的坐标； （2）点M在边AC上（异于点A，C），将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上，点M的对应点记为点N，折痕所在直线l交抛物线的对称轴于点P，然后将纸片展开． ①请作出图中点M的对应点N和折痕所在直线l；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） ②连接MP，NP，在下列选项中：A．折痕与AB垂直，B．折痕与MN的交点可以落在抛物线的对称轴上，C.＝，D.＝，所有正确选项的序号是　　． ③点Q在二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象上，当PDQ∼PMN时，求点Q的坐标． 【答案】（1）y＝，D（﹣4，﹣）；（2）①见分析；②A，D；③（2，）或（﹣10，） 【分析】（1）利用待定系数法求解即可． （2）①根据要求作出图形即可． ②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T．想办法证明△PMN是等腰直角三角形，可得结论． ③设P（﹣4，m）．由△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形，推出△PDQ是等腰直角三角形，推出∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+，推出Q（﹣+m，m），构建方程求出m即可． 解：解（1）∵二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）的图象经过点A（﹣6，0），点B（0，2），且抛物线的对称轴经过点C（﹣4，8）， ∴， 解之得：， ∴y＝， ∴当x＝﹣4时，y＝＝﹣， ∴D（﹣4，﹣）． （2）①如图1中，点N，直线l即为所求． ②如图2中，设线段MN的垂直平分线交抛物线对称轴于P，交MN于点Q，过点M作MH⊥CD，过点Q作QJ⊥CD于J，QT⊥MH于T． 由题意A（﹣6，0），B（0，2），C（﹣4，8）， ∴直线AC的解析式为y＝4x+24，直线AB的解析式为y＝x+2，直线BC的解析式为y＝﹣x+2， ∵MN∥AB， ∴可以假设直线MN的解析式为y＝x+t， 由，解得， ∴M（，）， 由．解得， ∴N（，）， ∴Q（（，）， ∵QJ⊥CD，QT⊥MH， ∴QJ＝+4＝，QT＝﹣＝， ∴QJ＝QT， ∵∠PJQ＝∠MTQ＝90°，∠QPJ＝∠QMT，QJ＝QT， ∴△PJQ≌△MTQ（AAS）， ∴PQ＝MQ， ∵∠PQM＝90°， ∴∠PMN＝∠MPQ＝45°， ∵PM＝PN， ∴∠PMN＝∠PNM＝45°， ∴∠MPN＝90°， ∴△PMN是等腰直角三角形， ∴＝，故选项D正确，B，C错误， ∵将三角形纸片ABC折叠，使得点A落在直线AB上，且点M落在边BC上， ∴折痕与AB垂直，故选项A正确， 故答案为：A，D． ③设P（﹣4，m）． ∵△PDQ∽△PMN，△PMN是等腰直角三角形， ∴△PDQ是等腰直角三角形， ∴∠DPQ＝90°，DP＝PQ＝m+， ∴Q（﹣4+m+，m），即Q（﹣+m，m）， 把Q的坐标代入，得到，， 整理得，9m2﹣42m﹣32＝0， 解得m＝或﹣（舍弃）， ∴Q（2，）， 根据对称性可知Q′（﹣10，）也满足条件， 综上所述，满足条件的点Q的坐标为（2，）或（﹣10，）． 【点拨】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用参数解决问题，证明△PMN是等腰直角三角形是本题的突破点． 【考点13】二次函数与存在性问题（3题） 34．（2024·山东淄博·中考真题）如图，抛物线与轴相交于，两点（点在点的左侧），其中，是方程的两个根，抛物线与轴相交于点． （1）求该抛物线对应的函数表达式； （2）已知直线与，轴分别相交于点，． ①设直线与相交于点，问在第三象限内的抛物线上是否存在点，使得？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； ②过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点．设直线，相交于点．连接，．求线段的最小值． 【答案】（1）；（2）①；②线段的最小值为 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程得出，，再利用待定系数法求解即可； （2）①在中，令得出，在中，令得出，从而得出，即，待定系数法求得直线的解析式为，联立，得出 ，作轴于，则，，，求出，，由正切的定义得出，证明，得出，求出直线的解析式为，联立，计算即可得解；②设，，设直线的解析式为：，求出直线的解析式为，直线的解析式为；联立得：，由韦达定理得出，将代入，得，求出，同理可得，联立，得出，推出点在直线上运动，求出，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则，由轴对称的性质可得，则，由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为，再由勾股定理计算即可得出答案． 解：（1）解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∵抛物线与轴相交于，两点， ∴， 解得：， ∴该抛物线对应的函数表达式为； （2）解：①在中，令，，解得，即， 在中，令，则，即， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将，代入解析式得， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立，解得， ∴， 如图，作轴于，则，，， ， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将代入得：， 解得：， ∴直线的解析式为， 联立， 解得：或， ∵点在第三象限， ∴； ②∵过抛物线上一点作直线的平行线．与抛物线相交于另一点． ∴设，，设直线的解析式为：， 设直线的解析式为， 将代入得， 解得：， ∴直线的解析式为， 设直线的解析式为， 将代入得， ∴直线的解析式为； 联立得：， ∴， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 将代入，得， ∴， ∴， 解得：， 联立， 得出， ∴点在直线上运动， 在中，令，则，即， 如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于，连接，则， ， 由轴对称的性质可得， ∴， ∴由两点之间线段最短可得：线段的最小值的最小时为， ∵， ∴线段的最小值为． 【点拨】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、解直角三角形、轴对称—线段最短问题、勾股定理、二次函数的图象与性质、求一次函数解析式、二次函数与一元二次方程、等腰直角三角形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键，此题难度较大，属于中考压轴题． 35．（2024·四川雅安·中考真题）在平面直角坐标系中，二次函数的图象与x轴交于，两点，与y轴交于点C． （1）求二次函数的表达式； （2）如图①，若点P是线段上的一个动点（不与点B，C重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点Q，当线段的长度最大时，求点Q的坐标； （3）如图②，在（2）的条件下，过点Q的直线与抛物线交于点D，且．在y轴上是否存在点E，使得为等腰三角形？若存在，直接写出点E的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）存在，点或或或或 【分析】（1）由待定系数法即可求解； （2）由，即可求解； （3）先求出点，再分类求解即可． 解：（1）解：由题意得：， 则， 则抛物线的表达式为：； （2）解：由抛物线的表达式知，点， 由点B、C的坐标得，直线的表达式为：， 设点，则点， 则， ∵，故有最大值， 此时，则， 即点； （3）解：存在，理由： 设直线的表达式为， 由点的坐标得，，解得：， ∴直线的表达式为：， 令，，故， 过点作轴交轴于点，则， ， 则， 即直线和关于直线对称，故， 设直线的表达式为， 代入，，得， 解得：， 则直线的表达式为：， 联立上式和抛物线的表达式得：， 解得：（舍去）或5， 即点； 设点，由的坐标得，， 当时，则， 解得：，即点或； 当或时， 同理可得：或， 解得：或， 即点或或； 综上，点或或或或． 【点拨】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． 36．（2024·四川眉山·中考真题）如图，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，点在抛物线上．   （1）求该抛物线的解析式； （2）当点在第二象限内，且的面积为3时，求点的坐标； （3）在直线上是否存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）抛物线的解析式为；（2）的坐标为或；（3）的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 解：（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点拨】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$