专题01 勾股定理的实际应用-【帮课堂】2024-2025学年八年级数学下册同步学与练（湘教版）

专题01 勾股定理的实际应用 题型1：求梯子滑动距离 题型2：求小鸟的飞行距离 题型3：求大树折断前的高度 题型4：解决水杯中筷子问题 题型5：解决航海问题 题型6：求河宽 题型7：求台阶上地毯长度 题型8：判断汽车是否超速 题型9：判断是否受台风影响 题型1：求梯子滑动距离 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 一．解答题（共3小题） 1．云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 2．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 3．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，求滑梯的水平距离的长． 题型2：求小鸟的飞行距离 如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 一．填空题（共3小题） 1．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米． 2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 3．某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞 米． 题型3：求大树折断前的高度 在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 一．解答题（共3小题） 1．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 2．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 3.如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 题型4：解决水杯中筷子问题 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 1． 填空题（共3小题） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 2．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 3．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 题型5：解决航海问题 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 一．解答题（共3小题） 1．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 2．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 题型6：求河宽 如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 1． 解答题（共3小题） 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 2．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 题型7：求台阶上地毯长度 如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 一．填空题（共3小题） 1．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 2．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 3．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 题型8：判断汽车是否超速 某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 一．解答题（共3小题） 1．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 2．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 3．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 题型9：判断是否受台风影响 我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)6小时 【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 一．填空题（共3小题） 1．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 2．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 3．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行． (1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？ (2)该学校受影响的时间为多少？ 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 勾股定理的实际应用 题型1：求梯子滑动距离 题型2：求小鸟的飞行距离 题型3：求大树折断前的高度 题型4：解决水杯中筷子问题 题型5：解决航海问题 题型6：求河宽 题型7：求台阶上地毯长度 题型8：判断汽车是否超速 题型9：判断是否受台风影响 题型1：求梯子滑动距离 如图，一架米长的梯子斜靠在竖直的墙上，这时底端到墙角的距离为米． (1)此时，这架梯子的顶端距离地面有多高？ (2)如果梯子的底端向内移动米，则顶端沿墙向上移动多少米？ 【答案】(1)这架梯子的顶端到地面的距离为； (2)梯子的顶端沿墙向上移动了． 【分析】（）根据勾股定理即可得到结论； （）先求出，根据勾股定理求出的长，然后即可求解； 本题考查了勾股定理在实际生活中的应用，勾股定理在直角三角形中的正确运用，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】（1）解：在中，由勾股定理得， 即，所以， 即这架梯子的顶端到地面的距离为； （2）解：，， 在中，由勾股定理得， 即， ∴， ∴， 即梯子的顶端沿墙向上移动了． 一．解答题（共3小题） 1．云梯消防车设有伸缩式云梯，可带有升降斗转台及灭火装置，供消防人员登高进行灭火和营救被困人员，适用于高层建筑火灾的扑救．如图，在一次消防演习中，某辆高为的云梯消防车，在点A处将云梯伸长去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即）．云梯伸长的长度保持不变，消防车水平向演习楼房的方向移动到点B处去救援点处的被困人员，已知点处的被困人员距离地面的高度为（即），其中，求消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）． 【答案】消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 【分析】本题考查了勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键．延长交于点D，在和利用勾股定理分别求出和的长，最后利用即可解答． 【详解】解：如图，延长交于点D， 根据题意，得，，，，， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 在中，由勾股定理得：， ， ． 答：消防车水平向演习楼房方向移动的距离（即的长）为26m． 2．课本原题呈现： 一架云梯长25米，如图斜靠在一面墙上，梯子底端离墙7米． （1）这个梯子的顶端距底而有多高? （2）如果梯子的顶端下滑了4米，那么梯子的底部在水平方向也滑动了4米吗? 解决问题： (1)请直接写出原题中（1）问这个梯子的顶端距底面_______米；（2）问中，梯子的底部_______在水平方向也滑动4米（填会或不会）； (2)在原题中，若保持梯子底端不动，将梯子再次斜靠到原题当中的墙体的对面，且与之平行的另一面墙上，梯子的顶端到地面的距离为15米，求这两面墙之间的距离． (3)将原题中的条件“云梯长25米”改变为“云梯顶端距底面20米”，将“梯子底端离墙7米”改变为“梯子的顶端下滑了5米，梯子的底部在水平方向也滑动了5米”，请求出此梯子的长度是多少米？ 【答案】(1)24；不会 (2)27米 (3)25米 【分析】此题考查勾股定理的实际应用． （1）直接利用勾股定理求得直角边的长即可；首先求得的长，然后利用勾股定理求得线段的长，最后求得线段的长即可； （2）由勾股定理得出米，再由即可得出答案； （3）先由题意得米，设米，则米，再根据列关于a的等式方程，解方程得出a，再由勾股定理得出即可． 【详解】（1）解：由题意可得，，米，米，米， ∴， ∴， ∴， ， ∴梯子底部不会在水平方向也滑动4米； 故答案为：24；不会； （2）解：由题意可得，，，米，米，米， ∴， ∴米， ∴米， ∴这两面墙之间的距离为27米； （3）解：由题意得，米，米，米， ∴米， 设米，则米， 又∵， ∴，即， 解得：， ∴米， ∴梯子的长度是25米． 3．如图是一个滑梯示意图，若将滑梯水平放置，则刚好与一样长，已知滑梯的高度，，，求滑梯的水平距离的长． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，设的长为，由题意得，由勾股定理可得，解方程即可求解，掌握勾股定理的应用是解题的关键． 【详解】解：设的长为，由题意得， ∵， ∴， ∴， 即， 解得， 答：的长为． 题型2：求小鸟的飞行距离 如图，一条路的两边有两棵树，一棵树高为11米，另一棵树高为6米，两树的距离为12米．若一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则小鸟至少要飞行 米． 【答案】13 【分析】本题考查了勾股定理，过C作平行地面，连接，由题意得米，米，由勾股定理可得的长，即小鸟至少要飞行的距离． 【详解】解：过C作平行地面，连接， 由题意得，米，米，米， 由勾股定理得，米， 故答案为：13． 一．填空题（共3小题） 1．如图，两树的高分别为米和4米，相距8米，一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，则这只鸟至少飞行 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出，熟练掌握其性质，合理添加辅助线是解决此题的关键． 【详解】如图，过C点作于E，则四边形是矩形，连接， 设大树高为，小树高为， ∴，，， 在中， 答：小鸟至少飞行米， 故答案为： 2．如图，有两棵树，一棵高12米，另一棵高5米，两树相距24米．一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，小鸟至少飞行 米． 【答案】25 【分析】本题考查正确运用勾股定理．根据“两点之间线段最短”可知：小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行，所行的路程最短，运用勾股定理可将两点之间的距离求出即可． 【详解】解：如图，设大树高为米，小树高为米， 连接，平移到，则米，，两树相距米， ∴（米）， 在中，（米）， 故小鸟至少飞行米． 故答案为：25． 3．某园林里有两棵相距8米的树，一棵高8米，另一棵高2米．若有一只鸟从一棵树的顶端飞到另一棵树的顶端，则小鸟至少要飞 米． 【答案】10 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，根据题意画出图形，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，过点作于点， ，，，米，米， 米，米， （米）． 故答案为：10． 题型3：求大树折断前的高度 在一棵树的高的D处有两只猴子，其中一只猴子爬下树跑到离树处的池塘A 处，另一只爬到树顶C后直接跃到A 处，如果两只猴子所经过的路程相等，且路程以直线计算，试求这棵树的高度． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段的和与差，勾股定理，解一元一次方程，代数式求值等知识点，利用勾股定理建立方程是解题的关键． 设，则，，利用勾股定理可得，即，解方程即可求出这棵树的高度． 【详解】解：如图， 由题意可得：，， ， 设，则， ， 在中，由勾股定理得： ， 即：， 解得：， ， 这棵树的高度是． 一．解答题（共3小题） 1．如图，一棵垂直于地面且高度为的大树被大风吹折，折断处与地面的距离，树尖恰好碰到地面．在大树倒下的方向上的点处停着一辆小轿车，，树枝落地时是否会砸着小轿车并说明理由． 【答案】树枝砸不到小车 【分析】本题考查勾股定理．大树折断后，剩余部分的树干、折断的树干部分和地面之间构成了一个直角三角形，利用勾股定理计算出落地后树尖与树干的距离为，比较和的大小，可知大树砸不到小车． 【详解】如下图所示， ， 为直角三角形， 在中，，， ， ，， 树枝砸不到小车． 2．如图，一木杆在离地某处断裂，木杆顶部落在离木杆底部8米处，已知木杆原长16米，求木杆断裂处离地面多少米？ 【答案】木杆断裂处离地面6米． 【分析】本题考查的是勾股定理的应用，设木杆断裂处离地面x米，根据勾股定理列出方程求解即可． 【详解】解：设木杆断裂处离地面x米，则断裂处离木杆顶部长度为米， 由题意得：， 解得． 答：木杆断裂处离地面6米． 3.如图，一根垂直于地面的旗杆高，因刮大风旗杆从点处折断，顶部着地且离旗杆底部的距离．    (1)求旗杆折断处点距离地面的高度； (2)工人在修复的过程中，发现在折断处的下方1.4m的点处，有一明显裂痕，若下次大风将修复好的旗杆从点处吹断，旗杆的顶部落在水平地面上的处，形成一个，请求出的长． 【答案】(1)米 (2)米 【分析】本题考查了勾股定理的应用，在应用勾股定理解决实际问题时勾股定理与方程的结合是解决实际问题常用的方法，关键是从题中抽象出勾股定理这一数学模型，画出准确的示意图． （1）由题意可知米，根据勾股定理可得：，又因为米，所以可求得的长； （2）先求出点距地米，米，再根据勾股定理可以求得的长． 【详解】（1）解：由题意可知：米， ， ， 又米， ， 米； （2）解：点距地面米， 米， （米． 题型4：解决水杯中筷子问题 《九章算术》有这样一个问题：今有池方一丈，葭生其中央，出水一尺．引葭赴岸，适与岸齐．问水深、葭长各几何？这道题的意思是：有一个正方形的池塘，边长为1丈，有一棵芦苇生长在池塘的正中央，并且芦苇高出水面部分有1尺，如果把芦苇拉向岸边则恰好碰到岸沿，则芦苇的高度为 尺．（1丈＝10尺） 【答案】13 【分析】本题考查正确运用勾股定理．善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键．找到题中的直角三角形，设水深为x尺，根据勾股定理解答． 【详解】解：1丈尺 设水深为x尺，则芦苇长为尺， 根据勾股定理得： ， 解得：， 芦苇的长度（尺）， 故答案为：13． 1． 填空题（共3小题） 《九章算术》中有一道“引葭赴岸”问题，老师对其进行改编：“今有葭生方池中央，出水一尺，引葭七尺赴岸，适与岸齐，问水深几何？”题意为：有一个底面为正方形的池塘，在池塘正中央有一根芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇沿与水池边垂直的方向拉向岸边，拉动7尺后它的顶端恰好碰到池边的水面．则水深是 尺． 【答案】 【分析】本题考查主要考查了勾股定理得应用，根据勾股定理正确列出方程是解题的关键． 如图，设水深是尺，得到尺，尺，然后在中，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，设水深是尺， 由题意可知，尺，尺， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴水深是尺， 故答案为：． 2．如图，有一个水池，水池是一个边长为12尺的正方形，在水池正中央有一根芦苇（即尺），它高出水面2尺（即尺，），如果把这根芦苇拉向水池一边的终点B，它的顶端恰好到达池边的水面，则这根芦苇的长度是 尺． 【答案】10 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用．设这根芦苇的长度是x尺，根据勾股定理，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这根芦苇的长度是x尺，则，， 在中，， 解得：， 即这根芦苇的长度是10尺． 故答案为：10． 3．一支长为厘米的金属筷子（粗细忽略不计），放入一个长、宽、高分别是4厘米、3厘米和厘米的细长的长方形水槽中，那么水槽至少要放进 厘米深的水才能完全淹没筷子． 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用．根据题目信息画出示意图并熟练运用勾股定理是解题的关键． 根据题中所给出的条件构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图， 由题意可知，，，；为筷子，即， 为水的深度， 由勾股定理得， ， 故答案为：． 题型5：解决航海问题 上午8时，一条渔船从港口A出发，以每小时15海里的速度向正北方向航行，上午10时到达海岛B处．从望海岛C，测得（如图所示）． (1)求海岛B到海岛C的距离； (2)这条船继续向正北航行，问什么时间小船与灯塔C的距离最短？ (3)渔船从海岛B按原来的方向继续航行30海里（记为点D处）出现了故障，它向海岛B和海岛C都发出了求救信号．接到求救信号后，海岛B派出的救援队立即以每小时20海里的速度前往，海岛C派出的救援队晚出发10分钟，速度为每小时25海里，通过计算说明两支救援队谁先到达渔船处？ 【答案】(1)海岛B到海岛C的距离为30海里 (2)上午11时，小船与灯塔C的距离最短 (3)救援队先到 【分析】本题考查三角形的外角，等腰三角形和等边三角形的判定： （1）根据三角形的外角的性质求出，进而得到即可； （2）过C作于H，先求出，根据含的直角三角形的性质求出，进而即可解答； （3）证明为等边三角形，进而得到的长，根据时间等于路程除以速度，进行求解即可得出结论． 【详解】（1）解：由题意，得：海里； ∵， ∴， ∴ ∴海里； 答：海岛B到海岛C的距离为30海里； （2）解：过C作于点H， 又， ∴， ∴（海里）， ∴从B处到H处需要小时， ∴答：小船与灯塔C的距离最短时，此时为上午时； （3）解∶ 由题意：海里， 由（1）知：海里， ∴， ∵， ∴为等边三角形， ∴海里， ∴救援队所用时间为（小时）， 救援队所用时间为（小时）， ∵， ∴救援队先到． 一．解答题（共3小题） 1．如图，一艘轮船位于灯塔P的南偏东方向，距离灯塔100海里的A处，此时船长接到台风预警信息，台风将在7小时后袭来，他计划沿正北方向航行，去往位于灯塔P的北偏东方向上的避风港B处． (1)问避风港B处距离灯塔P有多远？（结果保留根号） (2)如果轮船的航速是每小时20海里，通过计算说明轮船能否在台风到来前赶到避风港B处． 【答案】(1) (2)能，见解析 【分析】此题主要考查了30度直角三角形的性质，勾股定理的应用． （1）作，先根据30度直角三角形求出，根据等腰直角三角形的性质求出； （2）求出海里，再根据路程速度时间与7比较即可得到结论． 【详解】（1）解：过点P作于C， 在中，， ∴（海里）， 在中，， ∴（海里）， ∴（海里）， 答：B处距离灯塔P有海里； （2）解：∵海里，，（海里）， ∴（海里）， ∴海里， ∵轮船的航速是每小时20海里， ∴， ∴轮船能在台风到来前赶到避风港B处． 2．如图所示，缉毒警方在基地B处获知有贩毒分子分别在P岛和M岛进行毒品交易后，缉毒艇立即出发，已知甲艇沿北偏东方向以每小时36海里的速度前进，乙艇沿南偏东方向以每小时32海里的速度前进，15分钟后甲到M岛，乙到P岛，则M岛与P岛之间的距离是多少？（结果保留根号） 【答案】M岛与P岛之间的距离是海里． 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据条件可以证得是直角三角形，求得与的长，根据勾股定理即可求得的长． 【详解】解：由题意得：， ∴为直角三角形， （海里），（海里）， 在中，由勾股定理得： （海里）， 答：M岛与P岛之间的距离是海里． 3．如图所示，在一次夏令营活动中，小明坐车从营地A点出发，沿北偏东方向走了到达B点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地C点，求出A、C两点之间的距离． 【答案】A、C两点之间的距离为． 【分析】本题考查勾股定理的应用．根据所走的方向可判断出是直角三角形，根据勾股定理可求出解． 【详解】解：∵， ， 在中，，， ， 、C两点之间的距离为． 题型6：求河宽 如图，数学探究活动中要测量河的宽度，小明在河对岸选定一点，再在河一侧岸边选定点和点，使，测得米，，根据测量数据可计算小河宽度为（    ） A．米 B．20米 C．米 D．米 【答案】A 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据垂直定义可得，然后在中，利用30度角的性质得，然后利用勾股定理即可解答． 【详解】解：∵， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， 解得米（负值舍去）， 故选：A． 1． 解答题（共3小题） 1．如图，小明欲控制遥控轮船匀速垂直横渡一条河，但由于水流的影响，实际上岸地点C与欲到达地点B相距10米，结果轮船在水中实际航行的路程比河的宽度多2米，则河的宽度是（   ） A．8米 B．12米 C．16米 D．24米 【答案】D 【分析】本题考查了勾股定理的应用，根据题意可知为直角三角形，根据勾股定理列方程就可求出直角边的长度． 【详解】解：根据题意可知米， 设，则， 中，由勾股定理得， 即， 解得． ∴该河的宽度为24米． 故选：D． 2．四川的人民渠（利民渠、幸福渠、官渠堰）是都江堰扩灌工程之一，也是四川省建成的第一座大型水利工程，有“巴蜀新春第一渠”之称．现为扩建开挖某段干渠，如图，欲从干渠某处A向C地、D地、B地分流（点C，D，B位于同一条直线上），修三条笔直的支渠，，，且；再从D地修了一条笔直的水渠与支渠在点H处连接，且水渠和支渠互相垂直，已知，，． (1)求支渠的长度．（结果保留根号） (2)若修水渠每千米的费用是万元，那么修完水渠需要多少万元？ 【答案】(1) (2)万元 【分析】本题考查了勾股定理的应用以及三角形面积等知识，熟练掌握勾股定理是解题的关键． （1）由勾股定理求出，则，再由勾股定理求出的长即可； （2）由的面积求出的长，即可解决问题． 【详解】（1）解：由题意可知：， ， ，， ， ， ， 答：公路的长度为； （2）， ， ， ， ∴修建林荫小道需要的费用为万元． 3．学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把“测量某水潭的宽度”作为一项课题活动，利用课余时间完成了实地测量，并形成了如下的活动报告． 活动课题 测量某水潭的宽度 测量工具 测角仪、测距仪等 测量过程及示意图 如图，出于安全考虑，水潭两侧的A、B周围均被围栏所围，因此A、B处均无法到达，测量小组在与垂直的直线l上取点C（于点A），用测距仪测得、的长 测量数据 米，米 …… …… 请你根据活动报告中的内容，计算水潭的宽度． 【答案】水潭的宽度为米． 【分析】本题考查的是勾股定理的实际应用，直接利用勾股定理列式计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵米，米， ∴米， ∴水潭的宽度为米． 题型7：求台阶上地毯长度 如图，某会展中心在会展期间准备将高，长，宽的楼道铺上地毯，已知地毯每平方米元，请你帮助计算一下，铺完这个楼道至少需要 元钱． 【答案】 【分析】此题考查勾股定理的应用，熟练掌握勾股定理是解题的关键； 地毯的长是楼梯的竖直部分与水平部分的和，即与的和，在直角中，根据勾股定理即可求得的长，地毯的长与宽的积就是面积. 【详解】解：由题意得： 由勾股定理可得：， 则地毯总长为， 则地毯的总面积为， 所以铺完这个楼道至少需要（元）； 故答案为： 一．填空题（共3小题） 1．淮安某大酒店为了迎接“淮扬美食文化节”，要在高5米，长13米的一段台阶面上铺上地毯，台阶的剖面如图，则地毯的长度至少需要 米． 【答案】 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用—求台阶上地毯长度，利用平移解决实际问题等知识点，利用平移的知识，把要求的所有线段平移到一条直线上进行计算是解题的关键． 根据题意，结合图形，先把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形，再求矩形的长，则可求出地毯的长度至少需要多少米． 【详解】解：如图，利用平移线段，把台阶的横竖面向上向左平移，构成一个矩形， 则矩形的长为：（米）， 地毯的长度为：（米）， 故答案为：． 2．如图所示，为了安全起见，要为一段高5米，斜边长米的楼梯铺上红地毯，则红地毯至少需要 米长. 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理的应用，是一道实际问题，解题的关键是从实际问题中抽象出直角三角形，利用平移性质，把地毯长度分割为直角三角形的直角边. 地毯的长度实际是所有台阶的宽加上台阶的高，平移可得，台阶的宽之和与高之和构成了直角三角形的两条直角边，因此利用勾股定理求出水平距离即可. 【详解】解：根据勾股定理和平移可得，楼梯水平长度为：米， 则红地毯至少要米. 故答案为： 3．如图，在一个高米，长米的楼梯表面铺地毯，则该地毯的长度至少是 米． 【答案】 【分析】本题考查勾股定理的应用，解题的关键是知道求地毯长度即求在直角三角形中，已知，，根据勾股定理即可求得的值，根据题意求地毯长度即求得即可． 【详解】解：将水平地毯下移，竖直地毯右移即可发现：地毯长度为直角三角形的两直角边之和，即， 根据勾股定理可得 米， 故地毯长度为米， 故答案为：． 题型8：判断汽车是否超速 某条道路的限速规定：轿车速度不得超过．如图，一辆轿车在该道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到距离路面检测仪A正前方的点C处．后，测得轿车行驶到点B，与检测仪之间的距离为，这辆轿车是否违章？请说明理由． 【答案】这辆轿车违章，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的实际应用，先利用勾股定理求出的长，进而求出汽车的速度，再与70比较即可得到结论． 【详解】解：这辆轿车违章，理由如下： 由题意得，， ∴， ∴汽车的速度为， ∵， ∴这辆轿车违章． 一．解答题（共3小题） 1．交通安全是社会关注的热点问题，安全隐患主要是超速和超载．某中学八年级数学活动小组走进交警大队，了解了测试汽车速度的方法．案例如下：如图，一辆小汽车在街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪的正前方米的点处，过了秒后，测得小汽车所在的点与车速检测仪之间的距离为米，，已知该段城市街道的限速为/，请判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】这辆小汽车超速了，理由见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为、，斜边为，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车超速了．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车超速了． 2．《中华人民共和国道路交通安全法》规定：小汽车在城市街道上的行驶速度不得超过70千米/时．如图，一辆小汽车在一条城市街道上沿直道行驶，某一时刻刚好行驶到车速检测仪A的正前方90米处的B点，过了8秒后，测得小汽车所在的C点与车速检测仪A之间的距离为150米．试判断这辆小汽车是否超速，并说明理由． 【答案】没有超速，见解析 【分析】本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．根据勾股定理求出，然后求出求出速度，再进行比较即可． 【详解】解：这辆小汽车没有超速．理由如下： 在中，米，米， 由勾股定理得（米）， （米/秒）（千米/时）． 因为， 所以这辆小汽车没有超速． 3．如图，一辆小汽车在一条道路上沿直线行驶，某一时刻刚好行驶到路对面车速检测仪A处的正前方12米的C处，过了1.5秒，小汽车到达B处，此时测得小汽车与车速检测仪间的距离为20米． (1)求的长； (2)这辆小汽车在段的速度约是多少米/秒?（结果精确到0.1） 【答案】(1)的长为16米 (2)这辆小汽车在段的速度约是米/秒 【分析】本题考查了勾股定理的实际应用，解题关键是理解题意，正确计算． （1）直接利用勾股定理计算的长即可； （2）利用路程除以时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，米，米，， ∴（米）， 答：的长为16米． （2）解：（米/秒）， 答：这辆小汽车在段的速度约是米/秒． 题型9：判断是否受台风影响 我国大部分东部地区属于亚热带季风气候，夏季炎热多雨．如图，A城气象台测得台风中心在A城正西方向的处，以每小时的速度向北偏东的方向移动，距离台风中心的范围内是受台风影响的区域． (1)A城是否受到这次台风的影响？为什么？ (2)若城受到这次台风影响，那么A城遭受这次台风影响有多长时间？ 【答案】(1)受影响，理由见解析 (2)6小时 【分析】本题考查勾股定理的应用、含30度直角三角形的性质、等腰三角形的判定与性质等知识点，正确作出辅助线、构造直角三角形是解题的关键． （1）如图：过A作，垂足为，若，则A城不受影响，否则受影响； （2）点A到直线的长为千米的点有两点，分别设为D、G，则是等腰三角形，由于，则C是的中点，在中，解出的长，则可求长，在长的范围内都是受台风影响，最后根据速度与距离的关系则可求时间即可． 【详解】（1）解：A城会受到这次台风的影响，理由如下： 如图：过A作，垂足为，则， 在中，， ∴， ∵， ∴A城会受台风影响． （2）解：设上点，使千米， 是等腰三角形， ， 是的垂直平分线， ， 在中，千米，千米， ∴（千米）， ∴千米， ∴遭受台风影响的时间是：（小时）． 一．填空题（共3小题） 1．森林火灾是一种常见的自然灾害，危害很大，随着中国科技、经济的不断发展，开始应用飞机洒水的方式扑灭火源．如图，有一台救火飞机沿东西方向，由点飞向点，已知点为其中一个着火点，已知，，，飞机中心周围以内可以受到洒水影响． (1)在飞机飞行过程中，求飞机距离着火点的最短距离； (2)若该飞机的速度为，要想扑灭着火点估计需要15秒，请你通过计算说明着火点能否被飞机扑灭． 【答案】(1) (2)着火点C能被扑灭，理由见解析． 【分析】本题考查了勾股定理及逆定理的应用，熟练掌握这两个定理是解题的关键． （1）过点作于点，先根据勾股定理的逆定理得出是直角三角形，利用直角三角形的面积计算出的长，与500比较即可得出结论； （2）当时求出的长，进而得出的长，再根据路程、速度、时间之间的关系即可求出时间，从而作出判断． 【详解】（1）解：如图，过点作于点， ，，， ，， ， 是直角三角形， ， ， 因为飞机中心周围以内可以受到洒水影响，， 所以着火点受洒水影响； （2）解：如图，当时，飞机正好喷到着火点， ， 在中，， 所以． 因为飞机的速度为， 所以， 20秒秒， 答：着火点能被扑灭． 2．如图，某沿海城市接到台风预警，在该市正南方向的处有一台风中心，沿方向以的速度移动，已知城市到的距离为． (1)台风中心经过多长时间从点移到点？ (2)如果在距台风中心的圆形区域内都将受到台风的影响，那么市受到台风影响的时间持续多少小时？ 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了勾股定理的应用． （1）先对运用勾股定理求出，即可求出时间； （2）在射线上取点E、F，使得，对运用勾股定理求得，则即可求出，那么时间即可求解． 【详解】（1）解：由题意可知，，，， 在中，， ∵， ∴台风中心经过从B点移到D点； （2）解：如图，在射线上取点E、F，使得， 由得， 在中，， ∴， ∴， ∴A市受到台风影响的时间持续． 3．如图，公路和公路在点P处交汇，且．点A处有一所中学，，一辆行驶速度为的拖拉机从P沿公路前行． (1)假设拖拉机行驶时周围以内会受到噪声影响，则拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离是多少？ (2)该学校受影响的时间为多少？ 【答案】(1)拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为； (2)受影响的时间为． 【分析】本题考查了含30度角直角三角形的性质，勾股定理的应用等知识． （1）过点A作，垂足为B，可以求得； （2）以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，然后利用勾股定理得到和的长，进一步计算求解即可． 【详解】（1）解：如图所示，过点A作，垂足为B，则就是拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离， ∵，， ∴， 答：拖拉机对该中学造成的噪声影响最大时的距离为； （2）解：以A为圆心，为半径的圆交于C、D两点，连接、，    ∴， 在中， ， ∴ ． ， ． ∴受影响的时间为． 学科网（北京）股份有限公司1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$