6.3 解三角公式（第1课时）（课件）-【上好课】2024-2025学年高一数学同步精品课堂（沪教版2020必修第二册）

沪教版（2020） 必修第二册 第六章 三角 6.3解三角形（第1课时） 在初中我们已学习了直角三角形的求解问题，但在解决实际问题时，所遇到的三角形往往不是直角三角形.我们将不是直角三角形的三角形统称为斜三角形.在三角形的三个角和三条边这六个元素中，经常会遇到已知其中三个元素(至少一个元素为边)求其他元素的问题，这称为解三角形.为此，需要知道边和角之间的数量关系. 新课引入 例如，某林场为了及时发现火情，设立了两个观测点A和 B.某日两个观测点的林场人员都观测到C处出现火情.在A处观测到火情发生在北偏西40°方向，而在B处观测到火情在北偏西60°方向.已知B在A的正东方向10 km处(图6-3-1),要确定火场C分别距A及B多远.将此问题转化为数学问题： 在△ABC中，已知∠CAB=130°,∠CBA=30°,AB=10 km.求AC与BC的长. 正弦定理 为解答这个斜三角形问题，就要研究斜三角形中边与角之间的关系. 在△ABC中，无论A为锐角、直角还是钝角，对边AB上 的高h,都有h=bsin A,其中b为边AC的长. 为了避免分类讨论，我们借助平面直角坐标系来统一处理. 如图6-3-2,以△ABC的顶点A为坐标原点，边AB所在直线为x轴，建立平面直角坐标系.将角A、B及C所对边的边长分别记作a、b及c,则点B、C的坐标分别为(c,0)及(bcosA,bsinA),而△ABC的面积S△ABC= AB·h= bcsin A. 同理可得S△ABC= acsinB,S△ABC= absinC. 这就是说，三角形的面积等于任意两边与它们 夹角正弦值的乘积的一半，即三角形的面积公式为 这样，我们就得到了正弦定理：在△ABC中，若角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c,则有 将上式同时除以 abc,就得到 即 例题1.在 中,已知 , , ,解三角形. 解 因为 , ,所以 . 由正弦定理,得 , 解得 , . 7 变式1. 在 中,已知 , , ,则 _ _______. [解析] 因为 ,所以 , .又 ,所以 .由正弦定理,得 ,即 . 8 例:已知圆O是△ABC的外接圆，其圆心为O,直径为2R.试用R与角A、B及C的正弦来表示三角形三边的边长 a、b及c. 解:由于三角形内角和等于180°,因此角A、B及C中至少有两个角是锐角，不妨设A为锐角，如图6-3-3所示.过B作直径BD,并连接CD.直径BD所对的圆周角∠DCB=90°,弧BC所对的圆周角∠D=∠A,且BD=2R.于是 正弦定理表明三角形的各边和它所对角的正弦的比相等.那么,这个比的几何意义是什么呢? 换言之 a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC. a=BC=BDsinD=BDsinA=2RsinA, 即 这样，由正弦定理就得到 (R为△ABC的外接圆半径), 例题2．在△ABC中，a＝，A＝45°，则△ABC外接圆的半径R等于(　　) A．1　　　 B．2 C．4　　　 D．无法确定 A 变式2．已知△ABC外接圆半径是2，A＝60°，则BC的长为______． 2 题型1　正弦定理解三角形-已知两角及一边解三角形 例1. 在△ABC中，已知c＝10，A＝45°，C＝30°，解这个三角形． 解：因为A＝45°，C＝30°， 所以B＝180°－(A＋C)＝105°． 题型归纳 利用正弦定理解三角形的策略 (1)已知任意两角和一边，解三角形的步骤：①根据三角形内角和定理求出第三个角；②根据正弦定理，求另外的两边．已知内角不是特殊角时，往往先求出其正弦值，再根据以上步骤求解． (2)已知三角形两边及一边的对角，解三角形的步骤：①根据正弦定理求另外一边所对角的正弦值，判断解的情况；②先根据正弦值求角，再根据内角和定理求第三个角；③根据正弦定理求第三条边的长度． 题型3　三角形解的个数的判断 例3.已知下列各三角形中的两边及其中一边的对角，判断三角形是否有解，有解的作出解答． (1)a＝10，b＝20，A＝80°； 判断三角形解的个数的方法 在△ABC中，以a，b，A为例． (1)若a＝b sin A或a≥b，则三角形有一解． (2)若b sin A＜a＜b，则三角形有两解． (3)若a＜b sin A，则三角形无解． 【答案】C 题型4　利用正弦定理判断三角形形状 例4. 在△ABC中，若sin A＝2sin B cos C，且sin2A＝sin2B＋sin2C，试判断△ABC的形状． ∵sin2A＝sin2B＋sin2C， ∴a2＝b2＋c2．∴A是直角． ∵A＝180°－(B＋C)，sinA＝2sin B cos C，∴sin (B＋C)＝sin B cos C＋cos B sin C＝2sin B cos C，∴sin (B－C)＝0． 又∵－90°＜B－C＜90°， ∴B－C＝0．∴B＝C． ∴△ABC是等腰直角三角形． 判断三角形形状的策略 (1)判断三角形的形状，应围绕三角形的边角关系进行，既可以转化为边与边的关系，也可以转化为角与角的关系． 3．在△ABC中，sin A∶sin B∶sin C＝3∶4∶5，则△ABC是 (　　) A．直角三角形 B．等腰三角形 C．锐角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【解析】由正弦定理，得sin A∶sin B∶sin C＝a∶b∶c＝3∶4∶5，所以可设a＝3k，b＝4k，c＝5k，由于(3k)2＋(4k)2＝(5k)2，即a2＋b2＝c2，所以△ABC是直角三角形． 正弦定理刻画了三角形中边与角的正弦之间的关系.那么,三角形中边与角的余弦之间存在什么关系呢? 在图6-3-2中，由两点间的距离公式，得 两边平方，得 a²=b²cos²A-2bccosA+c²+b²sin²A=b²+c²-2bccosA, 即a²=b²+c²-2bccosA. 同理可得 b²=a²+c²-2accosB, c²=a²+b²-2abcosC. 余弦定理 余弦定理也可以表示成如下形式： 这样，我们就得到了余弦定理：在△ABC中，设角A、B及C所对边的边长分别为a、b及c,则有 将余弦定理用于直角三角形，立即可得勾股定理.因此，勾股定理可视为余弦定理的特例.正弦定理和余弦定理都定量刻画了三角形的边角关系，是求解三角形的基本工具. 题型1　已知两边与一角解三角形 【答案】(1)60　(2)4或5 题型归纳 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列出关于第三边的一元二次方程求解． (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求其他角． (2)在△ABC中，已知a＝2，b＝，c＝3＋，解此三角形． 已知三边解三角形的方法 (1)利用余弦定理的推论求出相应角的余弦值，值为正，角为锐角；值为负，角为钝角． (2)若已知三角形的三边的比例关系，常根据比例的性质引入k，从而转化为已知三边求解． 2．在△ABC中，若a4＋b4＋c4＝2c2(a2＋b2)，则C＝ (　　) A．60° B．45° C．135° D．45°或135° 【答案】D 题型3　利用余弦定理判断三角形形状 例3.在△ABC中，若b2sin2C＋c2sin2B＝2bc cosB cos C，试判断△ABC的形状． 利用余弦定理判断三角形形状的两种途径 (1)化边的关系：将条件中的角的关系，利用余弦定理化为边的关系，再变形条件进行判断． (2)化角的关系：将条件转化为角与角之间的关系，再通过三角变换得出关系进行判断． 3．在△ABC中，a cos A＋b cos B＝c cos C，试判断△ABC的形状． 题型4　正、余弦定理的综合应用-利用正、余弦定理解三角形 (1)求角B的大小； (2)若A＝75°，b＝2，求a，c． 题型五 利用正、余弦定理证明三角形中的恒等式 例5.　在△ABC中，求证：a2sin 2B＋b2sin 2A＝2ab sin C． 证明：(方法一，化为角的关系式) a2sin 2B＋b2sin 2A＝(2R·sin A)2·2sin B·cos B＋(2R·sin B)2·2sin A·cos A＝8R2sin A·sin B(sin A·cos B＋cos A sin B)＝8R2sin A sin B sin C＝2·2R sin A·2R sin B·sin C＝2ab sin C． ∴原式得证． 用正、余弦定理求解知识交汇问题的策略 (1)正、余弦定理是解决三角形问题的两个重要工具，这类题目往往结合基本的三角恒等变换． (2)注意三角形中的一些重要性质，如内角和为180°、大边对大角等． 课堂小结 感谢观看 THANK YOU FOR WATCHING $$