16.2二次根式的乘除（2）（八大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.2二次根式的乘除（2）（八大类型提分练） 类型一、二次根式的除法法则 1．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 2．估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 【答案】B 【分析】此题主要考查了二次根式的运算，算术平方根的意义，无理数的估算，理解算术平方根的意义，首先计算再根据算术平方根的意义得进而得由此可得的值在4和5之间，据此可得出答案，熟练掌握二次根式的运算和无理数的估算是解决问题的关键． 【详解】解： 即 的值在4和5之间， 的值在4和5之间， 故选：B． 3． ． 【答案】 【分析】此题主要考查了二次根式的除法运算．直接利用二次根式的除法运算法则计算得出答案． 【详解】解：． 故答案为：． 4．计算：的结果为 ． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的除法法则，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的除法运算．熟练掌握二次根式的除法法则，是解题的关键． 5．计算：= ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法和性质，先判断a，b的正负性，再运用二次根式的除法法则和性质运算即可． 【详解】解：依题意得：，， ∴， ∴原式， 故答案为：． 6．若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了非负数的性质，二次根式的性质，二次根式的除法等知识，先根据非负数的性质求出a、b的值，然后代入，根据二次根式的除法法则和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 7．已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查利用二次根式的性质化简．根据已知条件分情况讨论，当，或，时，直接利用二次根式的性质化简，再整体代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴分情况讨论， 当，时， ∴； 当，时， ∴， 综上，的值为． 故选：D． 8．计算的结果为 ． 【答案】// 【分析】先根据二次根式的性质化成最简二次根式，再算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为． 【点睛】本题考查了二次根式的化简与除法，掌握相关法则和公式是解题的关键． 类型二、二次根式的化简 9．化简∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的化简： （1）分数化成假分数，再根据二次根式的性质化简即可； （2）根据二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）原式； （2）原式． 10．化简下列各式： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行化简求解即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 11．计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （2）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （3）根据二次根式的除法运算法则计算即可； （4）根据二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】（1） ； （2） ； （3） ； （4） ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法运算法则是解答本题的关键． 类型三、最简二次根式 12．下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查最简二次根式的判别．最简二次根式必须满足两个条件：①被开方数中不能含有分母；②被开方数不能含有开得尽的因数或因式．根据最简二次根式的定义，依次作出判断即可． 【详解】解：A．被开方数含有分母，不是最简二次根式，故该选项错误； B．是最简二次根式，故该选项正确； C．被开方数含有开的尽的因数，故该选项错误； D．被开方数含有分母，故该选项错误． 故选：B． 13．在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 【答案】 【分析】本题是对最简二次根式的考查，熟练掌握最简二次根式定义是解决本题的关键．根据被开方数不含分母，不含开得尽方的因数或因式分析判断即可． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 不是二次根式， 是最简二次根式； 故答案为：． 14．下列各式中是最简二次根式的有 个． 【答案】 【分析】本题考查了最简二次根式：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式，根据最简二次根式的定义，逐一判断即可解答． 【详解】解：，不是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 是最简二次根式； ，不是最简二次根式； 则只有是最简二次根式． 故答案为： 类型四、已知最简二次根式求参数的值 15．已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义和性质，首先根据二次根式的性质化简为最简二次根式，然后再确定n的值． 【详解】解：∵ 是整数，n是正整数， ∴n的最小值为5， 故选B 16．若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 【答案】A 【分析】根据最简根式的定义可知a、b的指数都为1，据此列式求解即可． 【详解】解：∵是最简二次根式， ∴， ∴， 故选A． 【点睛】本题主要考查了最简二次根式的定义，熟知最简二次根式的定义是解题的关键：被开方数不含能开的尽的因数或因式；被开方数的因数是整数，因式是整式． ． 17．请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 【答案】1 【分析】本题考查的是最简二次根式的含义，根据最简二次根式的定义可得或等，从而可得答案． 【详解】解：∵是最简二次根式，m为正整数， ∴正整数m的值可以为1或3等， 故答案为：1（答案不唯一）． 18．若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题考查最简二次根式的定义．让被开方数为非负数列式求得的取值范围，找到最小的整数解即可． 【详解】解：二次根式有意义， ， 解得：， 当时，二次根式的值为，是最简二次根式，符合题意， 若二次根式是最简二次根式，则整数的最小值是． 故答案为：． 类型五、商的算术平方根的性质 19．能使等式 成立的x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的除法，关键是掌握二次根式和分式有意义的条件，根据二次根式的被开方数是非负数，且分母不能为零，据此即可解答． 【详解】解：∵成立， ∴， ∴． 故答案为：． 20．已知：，则 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的性质和除法运算，理解二次根式的性质是解题关键． 根据二次根式的性质和除法运算法则进行分析计算． 【详解】解：∵， ， 故答案为：． 21．已知，且x为偶数，则的值为 ． 【答案】6 【分析】本题主要考查了二次根式的意义，二次根式化简，解题的关键是根据二次根式的意义求出，得出，然后进行根据二次根式性质进行化简求出结果即可． 【详解】解：∵ ， ∴，， 解得：， ∵x为偶数， ∴， ∴ ． 类型六、二次根式的乘除混合运算 22．计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法混合计算，先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案． 【详解】解： ． 23．计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)2 (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，熟知二次根式的乘除法计算法则是解题的关键． （1）先计算二次根式乘法，再计算二次根式除法即可得到答案； （2）直接根据二次根式乘法计算法则求解即可； （3）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案； （4）把根号外面的式子进行乘除法计算，再把根号里面的式子根据二次根式的乘除法计算法则计算，据此可得答案． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 24．计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 类型七、利用商的算术平方根进行化简 25．阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题： 化简： 解：原式   ①    ②    ③    ④ (1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？ (2)错误的原因是什么？ (3)请你写出正确的解法． 【答案】(1)从第②步开始出现错误 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据可知第②步出现了错误； （2）根据可知错误原因； （3）利用二次根式的性质正确化简，再约分化简即可． 【详解】（1）解：原式 故从第②步开始出现错误； （2）解：错误的原因是： ， ， ， 第②步错误； （3）解： ， ， ， 原式 ． 【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 类型八、分母有理化 26．阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 【答案】(1) ①；②；(2) ；(3) 【分析】（1）①分子分母同时乘以即可化简；②分子分母同时乘以即可化简； （2）分子分母同时乘以即可化简； （3）根据例题即可化简． 【详解】解：（1）①原式=； ②原式=； 故答案为﹣1；； （2）原式=； （3）原式=． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，读懂题意，正确运算是解题的关键． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式的化简，二次根式的乘法与除法运算，熟练掌握二次根式的性质，二次根式的乘法与除法运算是解题的关键． 根据二次根式的性质和二次根式的乘法与除法运算法则进行判断即可． 【详解】解：，运算正确，故A不符合题意； ∵， ∴， ∴，运算正确，故B不符合题意， ，运算正确，故C不符合题意； 当时，不成立，故D符合题意； 故选：D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的化简和除法，熟练掌握二次根式的运算法则是解题关键．根据二次根式的性质和除法法则逐项判断即可得． 【详解】解：A、，则此项错误，不符合题意； B、，则此项正确，符合题意； C、，则此项错误，不符合题意； D、，则此项错误，不符合题意； 故选：B． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用二次根式的性质化简，二次根式的乘法法则，逐一判断即可解答． 【详解】解：当时，，当时，，故A不一定成立； 当都小于0时，，故B不一定成立； ，故C不成立； ，故D成立， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的化简，二次根式的乘法法则，熟知上述性质和计算法则是解题的关键． 4．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：、，故本选项错误，不符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意； 、，本选项正确，符合题意； 、，故本选项错误，不符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查二次根式的乘除，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的乘除运算和二次根式的性质，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．根据二次根式的乘除运算法则进行计算，最后根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解： ， 故选：A． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 【答案】B 【分析】本题主要考查了无理数的大小估算，二次根式的混合运算，根据无理数的估算方法得出，，把，代入代数式进行二次根式的混合运算求解即可． 【详解】解：∵ ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 8．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意将变形为，由此可得出答案． 【详解】解：由题意得： ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法运算，将变形为是解题的关键． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，根据运算法则计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 10．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的乘除法，原式先化简分子中的二次根式，再计算除法即可． 【详解】解： ． 故答案为：． 11．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查分式的加减法和代数式求值，先根据已知中条件把分式通分，求出，再利用完全平方公式求出，，最后把所求代数式分解因式，再把和的值代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ∴； ∴， ， ∴； ∴ ； ∴， 当时， ； 当时， ； 综上，， 故答案为： 12．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，则 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式运算等知识，首先根据题意可得，，然后根据二次根式的性质和运算法则求解即可，熟练掌握相关运算法则是解题关键． 【详解】解：∵，， ∴． 故答案为：2． 13．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则 . 【答案】10 【分析】设，则，可得，然后根据平方差公式可得，然后代入计算即可解答． 【详解】设，则， ∴ ∵， ∴， ∴，即． 故答案为10． 【点睛】本题主要考查了换元法、乘方、平方差公式等知识点，掌握换元法是解答本题的关键． 14．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）已知：，则 ． 【答案】2 【分析】根据平方差公式及二次根式的除法即可得解． 【详解】解：设， ∵，， ∴， ∴， 故答案为2． 【点睛】本题主要考查了平方差公式及二次根式的除法，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 三、解答题 15．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算顺序与运算法则是解题的关键．利用二次根式的乘除运算法则化简求出答案． 【详解】解： 原式 16．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算： ． 【答案】． 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算，根据二次根式的乘除法计算法则求解即可． 【详解】解： ． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘除法计算： （1）先把带分数化为假分数，再根据二次根式乘除法计算法则求解即可； （2）根据二次根式乘除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 18．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的计算，分母有理化．理解并掌握因子二次根式的定义是解题的关键． （1）根据题意即可解答； （2）根据题意列出式子，解方程即可． 【详解】（1）解：根据题意可得， 解得， 故答案为：； （2）解：根据题意得， 所以 解得 即m的值为． 19．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查的是二次根式的混合运算， （1）根据二次根式的乘法运算即可求出答案． （2）根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． （3）根据二次根式的乘除混合运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2） ． （3） ． 20．（19-20八年级上·辽宁·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： ；（一） ；（二） ．（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 请解答下列问题： （1）请化简__________； （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结论） 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】（1）参照文中的方法（三）将分子分母同时乘以，然后进一步化简即可； （2）首先将各个式子进行分母有理化，然后进一步计算即可； （3）先将原式变形为，然后进一步将括号里的各项进行分母有理化，最后再加以计算即可. 【详解】（1）， 故答案为：； （2） = = = =； （3） = = = =. 【点睛】本题主要考查了二次根式的分母有理化与混合运算，熟练掌握相关方法是解题关键. 23 / 23 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2二次根式的乘除（2）（八大类型提分练） 16.2二次根式的乘除（2）（八大类型提分练） 类型一、二次根式的除法法则 1．（23-24八年级下·陕西渭南·期末）化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2．（2024·重庆开州·二模）估计的值应在（    ） A．3和4之间 B．4和5之间 C．5和6之间 D．6和7之间 3．（24-25八年级上·广东揭阳·阶段练习） ． 4．（2023·山西大同·模拟预测）计算：的结果为 ． 5．（22-23八年级上·上海青浦·期中）计算：= ． 6．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则化简的结果是（   ） A． B． C． D． 7．（23-24八年级下·黑龙江牡丹江·期末）已知x，y为实数，，那么 的值为（    ） A． B． C． D． 8．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）计算的结果为 ． 类型二、二次根式的化简 9．（23-24八年级上·全国·单元测试）化简∶ (1)； (2)． 10．（24-25八年级上·上海·阶段练习）化简下列各式： (1) (2) 11．（21-22八年级下·全国·课后作业）计算： (1)． (2)． (3)． (4)． 类型三、最简二次根式 12．（23-24八年级上·黑龙江绥化·期末）下列二次根式中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 13．（21-22八年级上·四川成都·期末）在、、、、、中，是最简二次根式的是 ． 14．（24-25八年级上·广东佛山·期中）下列各式中是最简二次根式的有 个． 类型四、已知最简二次根式求参数的值 15．（23-24八年级下·河南漯河·阶段练习）已知n为正整数，且是整数，则n的最小值是（    ） A．20 B．5 C．4 D．2 16．（22-23八年级下·山东泰安·阶段练习）若是最简二次根式，则m，n的值为（    ） A．0， B．，0 C．1， D．0，0 17．（24-25八年级上·江苏无锡·期中）请写出一个正整数m的值使得是最简二次根式， ． 18．（24-25八年级上·全国·单元测试）若是最简二次根式，且为整数，则的最小值是 ． 类型五、商的算术平方根的性质 19．（23-24八年级上·湖南邵阳·阶段练习）能使等式 成立的x的取值范围是 ． 20．（2023·山东烟台·模拟预测）已知：，则 ． 21．（23-24八年级下·全国·课后作业）已知，且x为偶数，则的值为 ． 类型六、二次根式的混合运算 22．（24-25八年级上·陕西商洛·期中）计算：． 23．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 24．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 类型七、利用商的算术平方根进行化简 25．（22-23八年级下·湖北襄阳·阶段练习）阅读下面的解题过程，根据要求回答下列问题： 化简： 解：原式   ①    ②    ③    ④ (1)上述解答过程从哪一步开始出现错误？ (2)错误的原因是什么？ (3)请你写出正确的解法． 类型八、分母有理化 26．（19-20八年级下·云南临沧·阶段练习）阅读下列材料，然后回答问题． 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如，，一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简：(一) (二) (三) 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： (四) (1)直接写出化简结果①=　 　，②=　 　． (2)请选择适当的方法化简． (3)化简：． 一、单选题 1．（24-25八年级上·上海·期中）下列从左到右的变形不一定正确的是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级下·广东广州·期末）下列算式正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（22-23八年级上·上海静安·期中）对于所有实数，下列等式从左到右一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23八年级上·山西太原·阶段练习）下列各式的化简正确的是（    ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）计算：等于（   ） A． B． C． D． 7．（23-24九年级上·全国·单元测试）若的整数部分为x，小数部分为y，则的值是（    ） A． B． C．1 D．3 8．（22-23八年级下·浙江宁波·阶段练习）已知，，则用表示为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 9．（24-25八年级上·全国·课后作业）计算的结果为 ． 10．（23-24八年级下·河北廊坊·阶段练习）计算： ． 11．（23-24八年级上·浙江台州·期末）已知，则 ． 12．（23-24九年级上·河南驻马店·阶段练习）若，，则 ． 13．（21-22九年级下·湖北武汉·自主招生）已知，则 . 14．（22-23八年级下·江西赣州·阶段练习）已知：，则 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·上海松江·阶段练习）计算： 16．（24-25八年级上·上海崇明·期中）计算：． 17．（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)，． 18．（23-24八年级下·河南许昌·期中）定义：若两个二次根式a，b满足，且c是有理数，则称a与b是关于c的因子二次根式． (1)若a与是关于4的因子二次根式，则________________； (2)若与是关于2的因子二次根式，求m的值． 19．（2024八年级下·全国·专题练习）计算： (1)； (2)． (3)． 20．（19-20八年级上·辽宁·阶段练习）阅读下列材料，然后解答问题： 在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如：，，一样的式子．其实我们还可以将其进一步化简： ；（一） ；（二） ．（三） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 请解答下列问题： （1）请化简__________； （2）化简：；（保留过程） （3）猜想：的值．（直接写出结论） 7 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$