16.2二次根式的乘除（1）（七大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.2二次根式的乘除（1）（七大类型提分练） 类型一、二次根式的乘法法则 1．计算的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 2．计算的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 3．计算的结果是 　 　． 4．计算： 　 　． 5．如果•，那么（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 类型二、二次根式的乘法计算 6．计算： （1）； （2）． 7．计算： （1）； （2）； （3）6•3； （4）••． 8．计算： （1）32； （2）•（x＞0，y＞0）； （3）； （4）（）； （5）（﹣9）； （6）4•（）（x≥0，y≥0）． 类型三、积的算术平方根的性质 9．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 10．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 11．若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 12．若•成立，则x的取值范围是　 　． 类型四、利用积的算术平方根进行化简 13．化简： （1） （2） （3）（a≥0） （4）（a≥0，b≥0） （5） 14．化简： （1）； （2）； （3）（a≥0，b≥0）； （4）（x≥0，y≥0）． 类型五、积的算术平方根的应用 15．是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件： 条件一：•； 条件二：的值是有理数． 若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 16．已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 　 　． 类型六、二次根式的大小比较 17．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小． 方法一：，， 又∵8＜12，∴． 方法二：200＝8，4×3＝12．又∵8＜12，∴． 根据上面的例题解答下列各题： （1）比较和的大小； （2）比较1与的大小． 类型七、复合型二次根式的化简 18．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以． 请仿照上面的例子化简下列根式： （1）； （2）． 一．选择题（共8小题） 1．（2024秋•惠山区校级月考）若•成立，则x应满足的条件是（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 2．（2024•莆田模拟）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 3．（2024春•招远市期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜4 C．3≤x≤4 D．3＜x≤4 4．（2024春•韩城市期末）当x，y时，代数式xy的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 5．（2024春•霸州市期末）与计算结果相同的是（　　） A．4÷5 B．4×5 C．4﹣5 D．4+5 6．（2024春•兖州区期末）计算的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 7．（2024春•丛台区校级月考）下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是（　　） 小明：； 小亮：． A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了（a≥0，b≥0） D．小亮在计算时用到了 8．（2024•前郭县校级模拟）若是整数，则整数x的值是（　　） A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12 二．填空题（共6小题） 9．（2024•大洼区开学）计算的结果是 　 　． 10．（2024•保德县三模）计算：　 　． 11．（2024春•湘桥区期末）计算：　 　． 12．（2024春•漳平市期末）已知|2x﹣4|，则x+y＝　 　． 13．（2019春•荣成市期中）的值是一个整数，则正整数a的最小值是　 　． 14．（2019秋•安岳县校级月考）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则的值为 　 　． 三．解答题（共6小题） 15．求下列各式的值． （1） （2） （3）　　 （4）． 16．计算： （1） （2）﹣4（） （3） （4）． 17．已知一个三角形的底边长为cm，底边上的高为cm，求此三角形的面积． 18．计算： （1） （2）4（﹣3） （3）（a≥0） （4） （5） （6）•（m≥0） （7）•（a≥0，b≥0） （8） （9） （10）•（x≥0，y≥0） 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则可将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如，5±23+2±2（）2+（）2±2（±）2，∴2＝（±）．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5±2的结果是±（x＞y＞0），可知5±2（±）2．整理，得5±2x+y±2，比较等式两边的组成，可得x+y＝5，xy＝6，即x＝3，y＝2，所以（±）． 尝试化简下列各式： （1）； （2）． 20．（2023春•郸城县校级期中）老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　 　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.2二次根式的乘除（1）（七大类型提分练） 类型一、二次根式的乘法法则 1．计算的结果是（　　） A．9 B．3 C．3 D． 【分析】根据二次根式的乘法法则对所给算式进行计算即可． 【详解】解：． 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘除法及二次根式的性质与化简，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 2．计算的结果是（　　） A．2 B．7 C．14 D． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：． 故选：D． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 3．计算的结果是 　4　． 【分析】根据二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：原式 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法，熟知二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．计算： 　5　． 【分析】直接利用二次根式的乘法运算法则计算，再求算术平方根即可． 【详解】解：原式 ＝5． 故答案为：5． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法．熟知二次根式的乘法计算法则，求一个数的算术平方根，是解题的关键． 5．如果•，那么（　　） A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】根据二次根式的意义列出不等式组，求公共的解集． 【详解】解：∵， ∴x≥6， 故选：B． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除法，掌握二次根式的乘除法法则是解题关键． 类型二、二次根式的乘法计算 6．计算： （1）； （2）． 【分析】（1）利用二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）利用二次根式的乘法法则进行计算即可． 【详解】解：（1）； （2） ＝3． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，熟练掌握二次根式的乘除法运算法则是解题的关键． 7．计算： （1）； （2）； （3）6•3； （4）••． 【分析】（1）利用二次根式的性质化简求值； （2）利用二次根式的性质化简求值； （3）利用二次根式的性质化简； （4）利用二次根式的性质化简； 【详解】解：（1） ＝2 ＝2 ＝2 ＝2 ＝3； （2） ＝2； （3）6•3 ＝6×3• ＝18 ＝18×6x2y ＝108x2y； （4）•• ＝6xy． 【点睛】本题考查了二次根式的计算，解题的关键是掌握二次根式的性质． 8．计算： （1）32； （2）•（x＞0，y＞0）； （3）； （4）（）； （5）（﹣9）； （6）4•（）（x≥0，y≥0）． 【分析】本题运用二次根式的乘除法进行计算，要把根号外的数相乘除，根号内的数相乘除，再化简． 【详解】解：（1）326， （2）•（x＞0，y＞0） ＝2• ＝x （3）1， （4）（）4， （5）（﹣9）＝﹣（9）×（）＝﹣45， （6）4•（）（x≥0，y≥0） ＝﹣（4）×（ 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，关键最后化成最简形式． 类型三、积的算术平方根的性质 9．下列正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：A.，错误，不符合题意； B.，正确，符合题意； C.，错误，不符合题意； D.，错误，不符合题意． 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 10．若则（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】利用二次根式的乘法法则和二次根式有意义的条件得到x≥0且x﹣6≥0，然后求出两不等式的公共部分即可． 【详解】解：根据题意得x≥0且x﹣6≥0， 所以x≥6． 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法：•（a≥0，b≥0）； 11．若x是整数，且有意义，则的值是（　　） A．0或5 B．1或3 C．0或1 D．3或5 【分析】根据二次根式有意义的条件即可求得答案． 【详解】解：∵有意义， ∴， 解得：3≤x≤5， ∵x是整数， ∴x＝3或4或5， 原式＝0或1， 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，二次根式有意义的条件，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 12．若•成立，则x的取值范围是　2≤x≤3　． 【分析】根据二次根式的定义得出x﹣2≥0，3﹣x≥0，求出即可． 【详解】解：要使原式成立，必须x﹣2≥0，3﹣x≥0， 解得：2≤x≤3， 故答案为：2≤x≤3． 【点睛】本题主要考查对二次根式的定义，二次根式的乘除法等知识点的理解和掌握，能根据法则得出x﹣2≥0和3﹣x≥0是解此题的关键． 类型四、利用积的算术平方根进行化简 13．化简： （1） （2） （3）（a≥0） （4）（a≥0，b≥0） （5） 【分析】（1）根据（a≥0，b≥0）计算即可； （2）把被开方数分解，然后再开平方即可； （3）把被开方数分解，然后再开平方即可； （4）把被开方数分解，然后再开平方即可； （5）利用平方差分解因式，再开平方即可． 【详解】解：（1）原式＝4×5＝20； （2）原式5； （3）原式3； （4）原式3ab； （5）原式6×4＝24． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法，关键是掌握（a≥0，b≥0）． 14．化简： （1）； （2）； （3）（a≥0，b≥0）； （4）（x≥0，y≥0）． 【分析】（1）将200化成100×2再进行化简； （2）将0.001×1.6化成0.01×0.16再进行化简． （3）将数与字母分开进行化简； （4）先将根式里面的式子整理成4x2（4x+2y）的形式再进行化简． 【详解】解：（1） ＝10； （2） ＝0.1×0.4 ＝0.04； （3） ＝2a×b ＝2ab； （4） ＝2x． 【点睛】本题考查分式的化简，掌握分式化简的方法是解题的关键． 类型五、积的算术平方根的应用 15．是否存在这样的整数x，使它同时满足以下两个条件： 条件一：•； 条件二：的值是有理数． 若存在，求出x的值，若不存在，说明理由． 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数，可得x的取值范围，根据二次根式是有理数，可得被开方数能开方，可得答案． 【详解】解：由•，得 ， 解得13≤x≤20． 由是有理数，得 x＝16． 【点睛】本题考查了二次根式的乘除法，利用二次根式的被开方数是非负数得出x的取值范围是解题关键． 16．已知m为正整数，若是整数，则根据3可知m有最小值3×7＝21．设n为正整数，若是大于1的整数，则n的最小值为 　3　． 【分析】先将化简为10，可得n最小为3，即可求解． 【详解】解：∵10，且为整数， ∴n最小为3． 故答案为：3． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的性质与化简，解题的关键是读懂题意，根据关键词“整数”进行求解． 类型六、二次根式的大小比较 17．讲解完本节，王老师在小结时总结了这样一句话：“对于任意两个整数a、b，如果a＞b，那么．”然后讲了下面的一个例题：比较和的大小． 方法一：，， 又∵8＜12，∴． 方法二：200＝8，4×3＝12．又∵8＜12，∴． 根据上面的例题解答下列各题： （1）比较和的大小； （2）比较1与的大小． 【分析】（1）根据负数的乘方，幂越大，负数越小，可得答案； （2）根据乘方，可得实数的减法，根据被减数相同，减数越大，差越小，可得答案． 【详解】解：（1）（﹣5）2＝150，（﹣6）2＝180，150＜180， ∴； （2）（1）2＝8﹣2，（）2＝8﹣2， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了实数比较大小，（1）负数的平方越大，负数越小；（2）乘方的幂越大，底数越大． 类型七、复合型二次根式的化简 18．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m±n）2，从而使得以化简．例如，因为5+23+2+2（）2+（）2+2（）2，所以． 请仿照上面的例子化简下列根式： （1）； （2）． 【分析】将代数式转化为完全平方公式的结构形式，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：（1）∵4+2（）2+12+21＝（1）2， ∴|1|1， （2）∵9﹣4（）2+22﹣22＝（2）2， ∴|2|2． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握二次根式化简的方法是得出答案的前提． 1．（2024秋•惠山区校级月考）若•成立，则x应满足的条件是（　　） A．x≥6 B．x≥0 C．0≤x≤6 D．x为一切实数 【分析】根据形如的式子叫作二次根式，分式有意义的条件解答即可． 【详解】解：∵二次根式，有意义， ∴x﹣6≥0，x≥0， 解得x≥6，x≥0， ∴x≥6， 故选：A． 【点睛】本题考查了二次根式有意义条件，二次根式的乘除法，熟练掌握以上知识是解题的关键． 2．（2024•莆田模拟）若，则a，b，c的大小关系是（　　） A．a＜b＜c B．a＜c＜b C．b＜c＜a D．c＜b＜a 【分析】分别化简a，b，c，即可比较出答案． 【详解】解：∵a＝2024×（2024﹣2023）＝2024， b2023， c2023， ∴a，b，c的大小关系是c＜b＜a． 故选：D． 【点睛】本题考查了完全平方公式、平方差公式和实数的大小比较，能化简出a、b、c的值和能熟记实数的大小比较法则是解此题的关键． 3．（2024春•招远市期末）若成立，则x的取值范围是（　　） A．x＞3 B．x＜4 C．3≤x≤4 D．3＜x≤4 【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式有意义的条件列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：x﹣3≥0且4﹣x≥0， 解得：3≤x≤4， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式有意义的条件，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 4．（2024春•韩城市期末）当x，y时，代数式xy的值是（　　） A．﹣1 B．1 C．3 D． 【分析】根据二次根式的乘法进行计算即可． 【详解】解：∵x，y， ∴xy＝（1）（1）＝1﹣2＝﹣1． 故选：A． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，熟知运算法则是解题的关键． 5．（2024春•霸州市期末）与计算结果相同的是（　　） A．4÷5 B．4×5 C．4﹣5 D．4+5 【分析】逆用二次根式的乘法法则进行计算，然后判断即可． 【详解】解：∵4×5， ∴与计算结果相同的是4×5， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，解题关键是熟练掌握二次根式的乘法法则． 6．（2024春•兖州区期末）计算的结果为（　　） A．1 B．2 C．4 D．3 【分析】根据二次根式的乘法运算法则求解即可． 【详解】解： ＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查二次根式的乘法，正确记忆相关知识点是解题关键． 7．（2024春•丛台区校级月考）下面是小明和小亮的计算过程，下列判断正确的是（　　） 小明：； 小亮：． A．只有小明的做法正确 B．两人的做法都不正确 C．小明在计算时用到了（a≥0，b≥0） D．小亮在计算时用到了 【分析】根据二次根式的混合运算计算判断即可得出答案． 【详解】解：小明：，做法是正确的，计算时用到了，故A不符合题意，C符合题意； 小亮：，做法是正确的，，故B不符合题意，D不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查二次根式的混合运算，正确计算是解题的关键． 8．（2024•前郭县校级模拟）若是整数，则整数x的值是（　　） A．1或3 B．3或6 C．3或12 D．6或12 【分析】根据二次根式的乘法法则、二次根式的性质把原式变形，判断即可． 【详解】解：， 则当整数x为3或12时，为整数， 故选：C． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法、二次根式的性质，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 二．填空题（共6小题） 9．（2024•大洼区开学）计算的结果是 　　． 【分析】根据二次根式的乘法运算计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，掌握二次根式的乘法法则是解题的关键． 10．（2024•保德县三模）计算：　5　． 【分析】利用二次根式的乘除法则及性质计算即可． 【详解】解：原式5， 故答案为：5． 【点睛】本题考查二次根式的乘除法则及性质，此为基础且重要知识点，必须熟练掌握． 11．（2024春•湘桥区期末）计算：　2　． 【分析】根据二次根式的乘法公式：，进行计算即可． 【详解】解：； 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查了二次根式的乘法运算，熟知二次根式的乘法运算法则是正确解题的关键． 12．（2024春•漳平市期末）已知|2x﹣4|，则x+y＝　﹣1　． 【分析】利用非负数的意义，求出x的取值范围，进而将原式化简，再根据非负数的意义求出x、y的值，代入求值即可， 【详解】解：∵有意义， ∴x﹣2≥0， ∴x≥2， ∴|2x﹣4|， 2x﹣4x﹣2， 即x﹣2＝0， ∵0，x﹣2≥0， ∴y+3＝0，x﹣2＝0， ∴y＝﹣3，x＝2， ∴x+y＝2﹣3＝﹣1， 故答案为：﹣1． 【点睛】本题考查非负数的意义，理解几个非负数的和为0，这几个非负数均为0是正确计算的前提． 13．（2019春•荣成市期中）的值是一个整数，则正整数a的最小值是　2　． 【分析】根据二次根式的乘法法则计算得到5，再根据条件确定正整数a的最小值即可． 【详解】解：∵•5是一个整数， ∴正整数a是最小值是2． 故答案为2 【点睛】本题考查二次根式的乘除法，二次根式的化简等知识，解题的关键是理解题意，灵活应用二次根式的乘法法则化简，属于中考常考题型． 14．（2019秋•安岳县校级月考）设[x]表示最接近x的整数（x≠n+0.5，n为整数），则的值为 　5050　． 【分析】根据题中式子可以得出每一项都是组成的，且[]＝x并从中得出规律． 【详解】解：∵x2＜x（x+1）＝（x+0.5）2﹣0.25＜（x+0.5）2， ∴xx+0.5， ∴[]＝x， 从而原式＝1+2+3+•••+100＝5050． 故答案为：5050． 【点睛】本题考查了取整函数．解题时，从题干的式子中找到此规律，即[]＝x是解题的关键，要求学生通过观察，分析、归纳发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题． 三．解答题（共6小题） 15．求下列各式的值． （1） （2） （3）　　 （4）． 【分析】根据二次根式的性质、二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：（1）原式7； （2）原式3； （3）原式 （4）原式． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘除法，掌握二次根式的性质：|a|是解题的关键． 16．计算： （1） （2）﹣4（） （3） （4）． 【分析】（1）原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （2）原式利用单项式乘以单项式法则计算即可得到结果； （3）原式利用二次根式的乘法法则计算即可得到结果； （4）原式化为最简二次根式即可． 【详解】解：（1）原式7； （2）原式＝210； （3）原式x； （4）原式＝2ab． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 17．已知一个三角形的底边长为cm，底边上的高为cm，求此三角形的面积． 【分析】利用三角形面积公式计算即可得到结果． 【详解】解：根据题意得：3（cm2）， 则此三角形面积为3cm2． 【点睛】此题考查了二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 18．计算： （1） （2）4（﹣3） （3）（a≥0） （4） （5） （6）•（m≥0） （7）•（a≥0，b≥0） （8） （9） （10）•（x≥0，y≥0） 【分析】（1）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （2）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （3）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （4）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （5）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （6）根据二次根式的乘法运算直接得出即可； （7）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （8）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （9）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可； （10）根据二次根式的乘法运算进而化简得出即可． 【详解】解：（1）10； （2）4（﹣3）＝﹣12×4＝﹣48； （3）（a≥0）＝3a2； （4）9； （5） ， 6×2 ＝4； （6）•（m≥0） ＝4m； （7）•（a≥0，b≥0） ＝15a2b； （8）6； （9）2； （10）•（x≥0，y≥0）2xy2． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘法运算，正确化简二次根式是解题关键． 19．有这样一类题目：将化简，如果你能找到两个数m、n，使m2+n2＝a且mn，则可将a±2将变成m2+n2±2mn，即变成（m+n）2，从而使得化简．例如，5±23+2±2（）2+（）2±2（±）2，∴2＝（±）．这种方法叫做配方法，换一种思路，假设化简5±2的结果是±（x＞y＞0），可知5±2（±）2．整理，得5±2x+y±2，比较等式两边的组成，可得x+y＝5，xy＝6，即x＝3，y＝2，所以（±）． 尝试化简下列各式： （1）； （2）． 【分析】（1）根据完全平方公式得出7+4（2）2进而求出即可； （2）根据完全平方公式得出8（）2进而求出即可． 【详解】解：（1）2； （2）． 【点睛】此题主要考查了二次根式的化简与性质，熟练应用完全平方公式是解题关键． 20．（2023春•郸城县校级期中）老师在延时课时总结定理“对于任意两个正数a，b，如果a＞b，那么”，然后讲解了一道例题：比较和的大小． 解：，． ∵12＜18， ∴． 参考上面例题的解法，解答下列问题： （1）填空： 　＞　（填“＞”“＜”或“＝”）； （2）比较与的大小； （3）若，，试比较M，N的大小． 【分析】（1）参考例题解法，再由负数比较大小的原则即可得到答案； （2）参考例题解法，再由完全平方公式化简即可得到答案； （3）综合（1）（2）的解法即可得到答案． 【详解】解：（1）∵，， ∵45＜75， ∴， ∴， 故答案为：＞； （2）∵，， 又∵，即48＜60， ∴， ∴， ∴； （3）∵2＜6，3＜5， ∴， ∴，， ∵，， 又∵，即48＜60， ∴，即， ∴， ∴， ∴，即． 【点睛】本题考查无理数比较大小，读懂题意，掌握平方运算及例题解法是解决问题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$