16.1二次根式（2）（六大类型提分练）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（人教版）

16.1二次根式（2）（六大类型提分练） 类型一、二次根式性质： 1．（24-25九年级上·海南海口·期中）化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．9 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质，一个数的算术平方根是正数，理解相关知识是解答关键． 根据负数的平方是正数，一个数的算术平方根是正数来求解． 【详解】解：． 故选：D． 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）（   ） A． B．3 C．或3 D．9 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质，根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：． 故选A． 3．（23-24八年级上·全国·单元测试） ；若 为非负数，则 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次根式的性质，根据，可得答案； 【详解】解：， 当 为非负数，则， 故答案为：， 类型二、二次根式性质： 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当时，的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：A． 5．（19-20八年级上·云南楚雄·期末）计算：． 【答案】2 【分析】先二次根式的乘方运算、算式平方根运算、立方根运算，再加减运算即可求解． 【详解】解： =3－3+2 =2． 【点睛】本题考查实数的混合运算，涉及二次根式的性质、算式平方根、立方根，准确求解是解答的关键． 6．（21-22七年级下·北京·阶段练习）计算：． 【答案】 【分析】直接利用二次根式的性质以及立方根的性质分别化简得出答案． 【详解】解：原式． 【点睛】本题主要考查二次根式以及立方根的性质，掌握二次根式以及立方根的性质是解题的关键． 类型三、二次根式的化简 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则的值为（    ） A．0 B． C．8 D． 【答案】C 【分析】本题考查了非负数的性质，涉及算术平方根的非负性，绝对值的性质和二次根式的性质，根据“非负数的和等于零，知每一项为零”得，，即可求出x，y的值，进而即可求出答案． 【详解】解：∵ ，， ∴， ， ， 故选 C． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式化简，根据二次根式的性质化简即可得出答案 【详解】解：A. ，故A符合题意； B. ，故B不符合题意； C. ，故C不符合题意； D. ，故D不符合题意； 故选：A 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次根式的性质，根据化简即可． 【详解】解：∵ ∴， 故答案为：． 10．（22-23八年级下·四川广安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 【答案】 【分析】由得到，利用算术平方根的性质进行化简求值即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【点睛】此题考查了算术平方根的性质，熟练掌握算术平方根的性质是进行化简的关键． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式及一元一次不等式的运用，根据可得，则． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 故选：B． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 14．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质，熟练掌握是解题的关键． 先化简，再去绝对值即可． 【详解】解：， ∵， ∴， 、∴ 故答案为：． 类型四、二次根式与数轴问题 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查化简二次根式和绝对值，根据点在数轴上的位置，判断数的符号和式子的符号，再进行化简即可． 【详解】解：由图可知：， ∴， ∴原式； 故选C 17．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简，解题的关键是掌握二次根式的性质．由数轴知，即可得，据此依据二次根式的性质化简可得． 【详解】解：由数轴知， 则， ∴原式 ， 故答案为：5． 18．（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了数轴，二次根式的性质与化简，利用数轴得出，进而化简得出答案，正确得出各部分符号是解题关键． 【详解】解：如图所示：， ∴ ， 故答案为：． 类型五、二次根式的化简求值 19．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 【答案】（1）；（2）；（3） 【分析】本题考查了二次根式的化简、三角形的三边关系、数轴等知识，熟练掌握二次根式的性质是解题关键． （1）先根据二次根式的被开方数的非负性可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （2）先根据数轴的性质可得，从而可得，再利用二次根式的性质进行化简即可得； （3）先根据三角形的三边关系可得，，，，从而可得，，，，再利用二次根式的性质进行化简即可得． 【详解】解：（1）隐含条件， 解得， ∴， ∴ ； （2）由数轴可知，， ∴， ∴ ； （3）∵为的三边长， ∴，，，， ∴，，，， ∴ ． 20．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知a为有理数；求的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据题意得出，，求出，再代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，， ∴， ∴原式 ， 故答案为：． 21．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）若满足等式，则的值为 ． 【答案】2022 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件、代数式求值、一元一次方程等知识点，掌握二次根式有意义的条件是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到m的取值范围，再根据m的取值范围去绝对值和二次根式的性质得到一元一次方程，进而得到，即，最后整体代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴，解得：， ∴， ∵， ∴，即：， ∴， ∴． 故答案为：2022． 22．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知．求的值． 【答案】 【详解】由题意知，，． 原式变形为 整理，得，两边平方，得 ，即． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了二次根式的非负性、算术平方根的定义，立方根的定义，无理数的估算，熟练掌握它们的性质是解题的关键； （1）根据二次根式的非负性、立方根的定义，无理数的估算，分别求得a，b，c的值； （2）代入a、b、c的值，根据求一个数的平方根进行计算即可求解． 【详解】（1）∵， ∴，， 则， ∵的立方根是2， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）∵，， ∴，         ∴的平方根是. 类型六、化简复合型二次根式 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 【答案】(1)④， (2) 【分析】本题考查了二次根式的性质和化简，掌握被开方数化成完全平方的形式，利用二次根式的性质进行化简是解题的关键． （1）根据二次根式的性质即可求解； （2）根据（1）中的材料化简即可． 【详解】（1）解：①， ②， ③， ④， 在上述化简过程中，第④步出现了错误，化简的正确结果为：； （2）解：原式 ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了算术平方根，立方根，二次根式的性质，据此相关运算法则进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、，则3的算术平方根是，故该选项不符合题意； B、，故该选项不符合题意； C、，故该选项符合题意； D、，故该选项不符合题意； 故选：C 2．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式性质化简，掌握二次根式的性质是关键．根据二次根式的性质得出不等式进行计算即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 故选：B． 3．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选：A 5．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了利用二次根式的性质进行化简，由题意可得，，再利用二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 【答案】C 【分析】此题考查了利用数轴比较数的大小，化简算术平方根，化简绝对值，正确利用数轴比较数的大小是解题的关键．由数轴知，，得到，化简即可． 【详解】解：由数轴知，， ∴， ∴ ， 故选：C． 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，掌握是解题关键． 首先根据数轴确定，的符号，然后根据二次根式的性质即可进行化简． 【详解】解：根据数轴可以得到：， ，， 原式 ． 故选：D． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的性质，化简绝对值，数轴上的点表示实数，理解并运用二次根式的性质是解题的关键．根据数轴可得到，，，再根据所给的二次根式的性质即可求解． 【详解】解：由数轴可知，，， ，， ； 故选：C． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了化简二次根式，二次根式有意义的条件，根据题意可得，得到，据此利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得，得到， 那么 故选：A． 10．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 【答案】C 【分析】本题考查了无理数的估算和算术平方根，二次根式的性质，先估算，则，结合题意得到，然后根据算术平方根的定义进行求解即可． 【详解】解：， ， ， ，且x，y是两个连续自然数， ， ， 的算术平方根为． 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质，由数轴可得：，，从而得出，再由二次根式的性质化简即可得解． 【详解】解：由数轴可得：，， ∴， ∴， 故答案为：． 12．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是整数，则的最小整数值是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、二次根式有意义的条件等知识点，确定n的取值范围成为解题的关键． 由结合题意可得是完全平方数，即，进而确定n的取值范围，然后取最小整数即可． 【详解】解：∵且是整数， ∴是整数， ∴是完全平方数． ∵， ∴， ∴n的最小整数值是0． 故答案为：0． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了实数与数轴、平方根及实数的性质，熟知数轴上的点所表示数的特征及平方根的定义是解题的关键． （1）根据数轴上点A的位置，得出数a的取值范围，再结合绝对值的性质即可解决问题． （2）根据（1）中求出的b的值，结合平方根的定义即可解决问题． 【详解】解：（1）由所给数轴可知，， 所以，， 则． （2）由（1）知， ， 所以的平方根是． 故答案为：（1）；（2）． 三、解答题 15．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 【答案】 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质、立方根，由数轴可知：，从而得出，，，再根据绝对值的性质、立方根和二次根式的性质化简即可． 【详解】解：由数轴可知：， ∴，，， ∴ ． 16．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 【答案】(1)，，； (2)b． 【分析】本题考查了利用数轴判断式子的正负、二次根式的性质、绝对值的性质． （1）由数轴可得：，，从而即可得解； （2）由（1）可得，，，，再根据绝对值的性质、二次根式的性质、立方根化简即可得解． 【详解】（1）解：由数轴可得：，， ∴，，； （2）解：由（1）可得，，，， ∴． 17．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 18．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 【答案】(1)小亮 (2) (3)2030 【分析】本题考查了利用二次根式性质进行化简求值． （1）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； （2）根据错误的原因可得； （3）将代入式子，由结合二次根式的性质化简即可； 【详解】（1）解：当时， 原式 原式 ， 小亮错误， 故答案：小亮． （2）解：由题意得 ； 故答案：． （3）解：当时， 原式 原式 ． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了化简二次根式，数字类的规律探索： （1）仿照①化简求解即可； （2）根据（1）中式子可得一个大于等于2的正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数再加上这个正整数的和的算术平方根等于这个正整数乘以这个正整数的平方减去1的倒数乘以这个正整数的算术平方根，据此求解即可； （3）仿照①中化简二次根式的方法求解即可． 【详解】（1）解：， 故答案为：； （2）解：①； ②； ③； ④； ……．， 以此类推，可知； （3）证明： ． 20．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的化简、完全平方公式，理解题中计算方法，利用类比思想求解是解答的关键． （1）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （2）根据，，利用完全平方公式即可得答案； （3）由得出，根据，都是整数可得，即可求出值，代入求出值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： = ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∵，都是整数， ∴， 解得：， ∴， 解得：． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 16.1二次根式（2）（六大类型提分练） 类型一、二次根式性质： 1．（24-25九年级上·海南海口·期中）化简的结果是（    ） A． B．3 C． D．9 2．（23-24九年级上·四川绵阳·期末）（   ） A． B．3 C．或3 D．9 3．（23-24八年级上·全国·单元测试） ；若 为非负数，则 ． 类型二、二次根式性质： 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）当时，的值是（    ） A．3 B． C． D． 5．（19-20八年级上·云南楚雄·期末）计算：． 6．（21-22七年级下·北京·阶段练习）计算：． 类型三、二次根式的化简 7．（23-24八年级上·全国·单元测试）若 ，则的值为（    ） A．0 B． C．8 D． 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）下列各式运算正确的是（    ） A． B． C． D． 9．（24-25八年级上·上海杨浦·期中）化简 ． 10．（22-23八年级下·四川广安·期中）先化简，再求值：已知：，求的值． 11．（23-24八年级下·全国·单元测试）若，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 12．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 13．（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 14．（23-24八年级下·云南红河·期末）若，则化简的结果是 ． 类型四、二次根式与数轴问题 15．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 16．（24-25八年级上·陕西西安·期中）实数，在数轴上的位置如图所示，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 17．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）如图，数轴上点表示的数为，化简的值是 ． 18．（24-25八年级下·全国·阶段练习）实数a、b在数轴上的对应点如图所示，化简:的结果是 ． 类型五、二次根式的化简求值 19．（24-25八年级上·湖南怀化·期末）阅读下面的解题过程体会如何发现隐含条件并回答下面的问题 化简：． 解：隐含条件， 解得， ∴， ∴原式 【启发应用】 （1）按照上面的解法，试化简（结果保留） 【类比迁移】 （2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简：    （3）已知a，b，c为的三边长．化简： 20．（24-25八年级上·四川成都·阶段练习）已知a为有理数；求的值为 ． 21．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）若满足等式，则的值为 ． 22．（22-23七年级下·全国·课后作业）已知．求的值． 23．（24-25八年级上·广东深圳·期中）已知，的立方根是2，c是的整数部分． (1)求a、b、c的值； (2)求的平方根． 类型六、化简复合型二次根式 24．（23-24八年级下·全国·单元测试）先阅读材料，然后回答问题： 小张同学在研究二次根式的化简时，遇到了个问题：化简，经过思考，小张解决这个问题的过程 如下： (1)在上述化简过程中，第 步出现了错误，化简的正确结果为 ； (2)请根据你从上述材料中得到的启发，化简； 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建宁德·期中）下列结论中，正确的是（    ） A．的算术平方根是3 B． C． D． 2．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）若，则x的取值范围是（   ） A． B． C．且 D． 3．（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 4．（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 5．（19-20八年级上·上海浦东新·阶段练习）若，则等于（    ） A． B． C． D． 6．（22-23八年级下·四川凉山·阶段练习）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所示，化简的结果是（   ） A． B． C． D．b 7．（24-25八年级上·陕西咸阳·期中）已知实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，则化简的结果等于（   ）    A．0 B． C． D． 8．（24-25八年级上·广东佛山·期中）已知实数a，b，c在数轴上的对应点如图所示，则 （    ） A． B． C． D． 9．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）把的根号外的因式适当地改变后移入根号内，正确的是（    ） A． B． C． D． 10．（24-25八年级上·辽宁阜新·期中）若x，y是两个连续自然数，且满足，则的算术平方根为（　　） A． B． C． D．12 二、填空题 11．（24-25八年级上·四川成都·期中）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简： ． 12．（24-25九年级上·四川内江·期中）已知是整数，则的最小整数值是 ． 13．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 14．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）实数a在数轴上对应点A的位置如图所示，若．则：    （1）b的值是 ． （2）的平方根是 ． 三、解答题 15．（24-25八年级上·全国·期末）有理数a、b、c在数轴上的对应点如图所示，化简：． 16．（22-23八年级上·四川眉山·阶段练习）实数，，在数轴上的对应点如图所示， (1)判断正负，用“”或“”填空：________0，_______0，________0； (2)化简． 17．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 18．（24-25八年级上·福建三明·期中）先化简，再求值：，其中．如图是小亮和小芳的解答过程． (1)______的解法是错误的； (2)错误的原因在于未能正确地运用二次根式的性质：______； (3)先化简，再求值：，其中． 19．（24-25八年级上·河南郑州·期中）二次根式中有一个有趣的“穿墙”现象： (1)具体运算，发现规律， ①； ②； ③； ④_________； (2)观察、归纳，得出猜想（提醒：注意带分数的表达规范）如果为正整数，用含的式子表示上述的运算规律； (3)证明你的猜想． 20．（24-25八年级上·北京延庆·期中）阅读材料： 小明在学习了二次根式后，发现一些含有根号的式子可以写成另一个式子的平方，如，这样就可以将进行化简， 即：． 善于思考的小明进行了以下探索： 对于，若能找到两个数和，使且，则可变形为，即，从而使得．（其中均为正数） 例如：∵， ． 请你参考小明的方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，其中，都是整数，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$