寒假新课衔接：专题06 圆柱与圆锥-圆柱的体积-六年级下册数学（人教版）

2024－2025学年人教版数学六年级寒假新课衔接 专题06 圆柱与圆锥 *圆柱的体积 一、思维导图 知识点一：圆柱的体积 如图，沿着圆柱底面的扇形和圆柱的高把圆柱切开，把它分成若干等份，分得越细越好，再把它拼成一个近似长方体的立体图形，形状改变了，但 没变，那么就可以发现拼成的这个长方体的 与圆柱的底面积是相等的，长方体的 也与圆柱的高相等，而长方体的体积=底面积×高，因此，圆柱的体积= 。如果用V表示圆柱的体积，S表示底面积，h表示高，那么V= 如图，一个圆柱切拼成一个近似长方体后( )。 A.表面积不变，体积不变 B.表面积不变，体积变大 C.表面积变大，体积不变 D.表面积变大，体积变大 【答案】C 【分析】由图可知，把圆柱切拼成长方体后，圆柱的侧面积相当于长方体前后两个面的面积，圆柱上下底面的面积相当于长方体上下两个面的面积，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积；物体所占空间的大小叫作物体的体积，圆柱切拼成长方体后，只是形状发生了变化，物体所占空间的大小没有改变，所以圆柱的体积和长方体的体积相等，据此解答。 【详解】一个圆柱切拼成一个近似长方体，切拼后的长方体比圆柱增加了左右两个面的面积，所占空间的大小没有改变，即体积没有改变。所以一个圆柱切拼成一个近似长方体后表面积变大，体积不变。 故答案为：C 将一个边长为5cm的正方形，以一边为轴旋转一周得到一个( )体。得到的这个立体图形的高是( )cm,体积是( )cm³。练1 圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的( )。练2 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 练3 如图，这是一个圆柱的表面展开图，它的侧面积是( )平方厘米，体积是( )立方厘米。 知识点二：等积变换 如图，一瓶营养液的瓶底直径是12厘米，瓶高30厘米，液面高20厘米，倒置后，液面高25厘米。这个瓶子的容积是多少? 【分析】瓶子的容积=营养液的体积+空隙部分的体积；营养液的体积是底面直径为12厘米，高为20厘米的圆柱体积；空隙部分的体积就相当于高为(30-25)厘米，底面直径为12厘米的圆柱体积，所以这个瓶子的容积就相当于高为(30-25+20)厘米，底面直径为12厘米的圆柱的体积，然后根据圆柱的体积公式：V=πr²h,代入数据解答即可。 【详解】30-25=5(厘米)20+5=25(厘米) 3.14×(12÷2)²×25=314×36×25=2826(立方厘米) 答：这个瓶子的容积为2826立方厘米。 练1 如图所示，一种饮料瓶，容积是200毫升，瓶身是圆柱形。将该瓶正放时饮料高20厘米，倒放时余部分高5厘米，瓶内的饮料是( )毫升。 练2 王叔叔每周三健身，教练建议他在健身当日需要喝水200--2500毫升。王叔叔的水杯从里面量底面直径是6厘米，高是12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米(如下图)。照这样，王叔叔每周三用这个水杯喝8杯水，能否达到健身教练的要求? 学校饮水机的水龙头内半径是0.6厘米，打开水龙头后水的流速是20厘米秒。李老师拿一个容积为300毫升的保温杯去装水，10秒能装满水吗?练3 知识点三：圆柱体的切拼 把一个底面直径是4厘米的圆柱底面分成许多相等的扇形，然后沿着直径切开，拼成一个和它体积相等的长方体，这个长方体的表面积比原来圆柱的表面积增加了20平方厘米，这个长方体的体积是多少立方厘米? 【分析】长方体表面积比原来圆柱表面积增加20平方厘米，20平方厘米实际上是长方体的左右两个侧面的面积，沿直径把圆柱切开拼成一个体积相等的长方体后，这个长方体的长是圆柱的底面周长的一半，宽是圆柱的底面半径，高是圆柱的高。用这个长方体的一个侧面面积乘这个长方体的长就可以求出它的体积. 【详解】20÷2=10(平方厘米) 4×3.14÷2=6.28(平方厘米) 6.28×10=62.8(立方厘米) 答：这个长方体的体积是62.8立方厘米。 如图所示，把一个高为10厘米的圆柱切成若干等分，拼成一个近似的长方体。表面积增加了60平方厘米，这个圆柱的体积是( )立方厘米。练1 练2 练1 求下面图形的体积。(单位：厘米) 一根圆柱形木料，底面积是75cm²,长是90cm,它的体积是( )cm³,如果把它平均锯成3段，需要锯( )次，它的表面积就会增加( )cm²。练3 三、课后巩固 一、仔细想，认真填。 1.某工厂计划挖一个圆柱形水池，水池深4米，直径是10米，这个水池的占地面积是（ ）平方米，挖成后这个水池能盛水（ ）立方米。 2.一个高5分米的圆柱的体积是141.3立方分米，这个圆柱底面积是( )平方分米。 3.把一块石头沉没在一个底面周长是62.8cm的圆柱形容器里，容器的水面上升了1.5cm,这个容器的底面积是( )cm²,这块石头的体积是( )cm³。 4.一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2:3:4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多( )立方厘米。 5.如图是一个圆柱形饮料罐，沿着虚线把侧面商标纸剪开，展开后得到一个高为10厘米，面积为188.4平方厘米的平行四边形，那么这个饮料罐的底面周长是( )厘米，它的体积是( )立方厘米。 二、精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里） 1.将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一周，( )形成的圆柱体积最大。 A. B. C. D. 2.8.圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的( )。 A.2倍 B.4倍 C.8倍 D.16倍 3.一个长方形的长是6cm,宽是4cm。如图所示，以长为轴旋转一周形成圆柱甲，以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，下面说法正确的是( )。 A.圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积大 B.圆柱甲的底面积和圆柱乙的底面积相等 C.圆柱甲的表面积和圆柱乙的表面积相等 D.圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小 4.把1米长的圆柱形钢材锯成3段，分成3个小圆柱，表面积增加了120平方厘米，原来钢材的体积是( )立方米。 A.0.3 B.30 C.3000 D.0.003 三、综合应用 1.一个圆柱形水池从里面量，底面直径是20米，深是1.5米。(π取3.14) (1)在水池的侧面和底面抹上水泥，抹水泥的面积是多少平方米? (2)水池内最多蓄水多少吨?(每立方米水重1吨) 2.一个圆柱形无盖水桶，底面直径是30厘米，高是40厘米。 (1)做这样一个水桶至少要用多少平方厘米的铁皮? (2)这个桶最多能装多少水? 3.有一个长方体铁块，长8分米，宽4分米，高3分米。把它完全铸成一个圆柱，圆柱的底面半径是5分米，高是多少分米?(保留一位小数) 4.一个底面半径是5厘米，高是10厘米的圆柱形容器中装满了水，将一个高是20厘米的长方体铁块垂直插入到容器底部，当把长方体铁块取出后，容器内水面高度为8厘米。 (1)这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是多少平方厘米? (2)这个长方体铁块的体积是多少立方厘米?(π=3.14) 5.有甲乙两只圆柱形水桶，甲水桶的底面半径是8厘米。乙水桶的底面半径是6厘米。甲水桶里没有水，乙水桶里有水且高度是25厘米，现把乙水桶里的水倒一部分给甲水桶，使两只水桶里的水的高度一样。求这时甲水桶里有水多少立方厘米? 参考答案 知识点一：圆柱的体积 体积 底面积 高 底面积×高 Sh 【分析】正方形以一边为轴旋转一周得到一个圆柱体，它的高是5cm,底面半径是5cm。根据V=m²h,求出圆柱的体积即可解答。练1 【详解】旋转后得到一个圆柱，高是正方形边长5cm。 3.14×5²×5 =3.14×25×5 =78.5×5 =392.5(cm³) 故旋转一周得到一个圆柱，得到的这个圆柱的高是5cm,体积是392.5cm³。练2 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式V=m²h以及积的变化规律可知，圆柱的高扩大到原来的倍，则圆柱的体积就扩大到原来的倍；圆柱的底面半径扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n²倍；据此解答。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几(0除外),积也乘(或除以)几。 【详解】2×2² =2×4 =8 圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的8倍。故答案为：C 练3 【分析】从图中可知，圆柱的侧面沿高展开是一个长方形，这个长方形的长等于圆柱的底面周长，长方形的宽等于圆圆柱的侧面积等于长方形的面积，根据长方形的面积公式S=ab,求出它的侧面积； 根据圆的周长公式C=2πr可知，r=C÷π÷2,由此求出圆柱的底面半径； 根据圆柱的体积公式V=πr²h,求出它的体积。 【详解】圆柱的侧面积：25.12×10=251.2(平方厘米) 圆柱的底面半径：25.12÷3.14÷2=4(厘米) 圆柱的体积： 3.14×4²×10 =3.14×16×10 =502.4(立方厘米) 它的侧面积是251.2平方厘米，体积是502.4立方厘米。 知识点二：等积变换练1 【分析】如题中图所示，左图中20厘米高的饮料以上至瓶口部分的容积相当于右图中上面5厘米高的那部分的容积，饮料瓶的容积=饮料的容积+空余部分的容积，两部分底面积相同，容积比=高之比，求出两部分的高度比为20:5=4:1,也就是容积之比为4:1;据此用200÷(4+1)求出每份是多少，进而求出4份，也就是饮料的容积。 【详解】20:5 =(20÷5):(5÷5) =4:1 200÷(4+1) =200÷5 =40(毫升) 40×4=160(毫升) 瓶内的饮料是160毫升。练2 【分析】水杯高12厘米，每次倒水时水面距杯口大约2厘米，则水的高度是12-2=10(厘米)。圆柱的容积=底面积×高=m²h,据此求出王叔叔喝一杯水喝了多少毫升，再乘8即可求出喝8杯水喝了多少毫升，据此解答。 【详解】3.14×(6÷2)²×(12-2)×8 =3.14×3²×10×8 =3.14×9×10×8 =2260.8(立方厘米) =2260.8(毫升) 2260.8毫升在2000--2500毫升之间。 答：能达到健身教练的要求。 【分析】打开水龙头流出的水呈现圆柱体形态，水的流速是20厘米秒，乘10秒即可求出10秒流出水的高度(近似看作圆柱的高),根据圆柱的水的体积等于底面积乘高，计算10秒流出的水的容积，再与300毫升比较即可解答。练3 【详解】3.14×0.6²×(20×10) =3.14×0.36×200 =1.1304×200 =226.08(立方厘米) =226.08(毫升) 因为226.08毫升<300毫升，所以装不满。 答：10秒不能装满水。 知识点三：圆柱体的切拼 【分析】根据题意，把一个圆柱切开后拼成一个近似的长方体，则圆柱的体积等于长方体的体积，拼成的长方体表面积比圆柱的表面积多了两个长方形的面积(即长方体的左右面);这两个长方形的长等于圆柱的高，宽等于圆柱的底面半径；已知表面积增加了60平方厘米，先除以2,求出一个长方形的面积，再除以高，即可求出圆柱的底面半径；然后根据公式V=m²h,求出这个圆柱的体积。练1 【详解】圆柱的底面半径： 60÷2÷10 =30÷10 =3(厘米) 圆柱的体积： 3.14×3²×10 =3.14×9×10 =282.6(立方厘米) 这个圆柱的体积是282.6立方厘米。 练1 练2 【分析】由图可知，该图形的体积可由一个长70厘米，宽30厘米，高36厘米的长方体体积减去一个底面直径为20厘米，高为30厘米的圆柱体体积。根据长方体的体积=长×宽×高及圆柱的体积公式V=πr2h代入数据解答。 【详解】70×30×36 =2100×36 =75600(立方厘米) 3.14×(20÷2)²×30 =3.14×10²×30 =3.14×100×30 =9420(立方厘米) 75600-9420=66180(立方厘米) 【分析】根据圆柱的体积=底面积×高，代入数据求出木料的体积；根据题意，把圆柱形木料锯成3段，要锯2次；每锯一次增加2个截面，锯2次增加4个截面，即表面积会增加4个底面的面积，据此解答。练3 【详解】75×90=6750(cm³) (3-1)×2 =2×2 =4(面) 4×75=300(cm²) 一根圆柱形木料，底面积是75cm²,长是90cm,它的体积是6750cm³,如果把它平均锯成3段，需要锯2次，它的表面积就会增加300cm²。 三、课后巩固 一、仔细想，认真填。 1. 78.5平方米 314立方米 【分析】求圆柱形水池的占地面积，就是求圆柱的底面积，根据圆的面积公式S=πr²求解；求圆柱形水池能盛多少水，就是求圆柱的容积，根据圆柱的体积(容积)公式V=πr²h求解。 【详解】3.14×(10÷2)² =3.14×52 =3.14×25 =78.5(平方米) 78.5×4=314(立方米) 这个水池的占地面积是78.5平方米，挖成后这个水池能盛水314立方米。 2. 28.26 【分析】圆柱的体积=底面积×高，公式变形得到，圆柱的底面积=体积÷高，据此解答。 【详解】141.3÷5=28.26(平方分米)故这个圆柱底面积是28.26平方分米。 3. 314 471 【分析】根据C=2πr的逆运算，求出半径，再根据圆的面积公式S=πr2,求出底面积，石头的体积等于上升的水的体积，即根据圆柱的体积=底面积×高，代入数据计算即可得解。 【详解】628÷314÷2=20÷2=10(cm)314×10²=314×100=314(cm²)314×15=471(cm³) 这个容器的底面积是314cm²,这块石头的体积是471cm³。 4. 192 【分析】根据题意可知，一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2:3:4切成三段，即把圆柱形木料的长平均分成了2+3+4=9份，用圆柱形木料的长度+总份数，求出1份的长度，即可求出最长的长度和最短的长度；再根据圆柱形木料切成3段，增加了4个横截面的面积，用增加的面积：4,求出一个横截面的面积，再根据圆柱的体积公式：体积=底面积×高，代入数据，求出最长的圆柱的体积和最短的圆柱的体积，再用最长圆柱的体积-最短圆柱的体积，即可解答。 【详解】2+3+4 =5+4 =9(份) 108÷9×4 =12×4 =48(厘米) 108÷9×2 =12×2 =24(厘米) 32÷4=8(平方厘米) 48×8-24×8 =384-192 =192(立方厘米) 把一根长108厘米的圆柱形木料按长度的2:3:4切成三段，表面积增加了32平方厘米，最长的一段体积比最短的一段体积多192立方厘米。 5. 18.84 282.6 【分析】根据题意，把一个圆柱体饮料罐的侧面商标纸剪开，展开后是一个平行四边形，则平行四边形的面积等于圆柱的侧面积，平行四边形的底等于圆柱的底面周长，平行四边形的高等于圆柱的高；已知平行四边形的面积和高，根据平行四边形的底=平行四边形面积高，即可求 出这个饮料罐的底面周长。再根据公式：r=C÷π÷2,求出底面半径，最后根据圆柱的体积=底面积×高，求出这个饮料罐的体积。 【详解】188.4÷10=18.84(厘米) 即这个饮料罐的底面周长是18.84厘米。 18.84÷3.14÷2=3(厘米) 3.14×3²×10 =3.14×9×10 =282.6(立方厘米) 即它的体积是282.6立方厘米。 二、精挑细选。（将正确答案的序号填在括号里） 1.D 【分析】圆柱体积=底面积×高，由题可知，旋转后得到的圆柱体高相等，则底面积大的圆柱体，体积就越大，由此解答即可。 【详解】 将四个同样大小的正方形以不同的虚线为轴旋转一周，因为高相等，所以圆柱的底面半径最大，即底面积最大，形成的圆柱体积最大。 故答案为：D 2.C 【分析】根据圆柱的体积公式V=m²h以及积的变化规律可知，圆柱的高扩大到原来的倍，则圆柱的体积就扩大到原来的倍；圆柱的底面半径扩大到原来的n倍，则圆柱的体积就扩大到原来的n²倍；据此解答。 积的变化规律：一个因数不变，另一个因数乘几或除以几(0除外),积也乘(或除以)几。 【详解】2×2² =2×4 =8 圆柱的高扩大到原来的2倍，底面半径也扩大到原来的2倍，圆柱的体积就扩大到原来的8倍。故答案为：C 3.D 【分析】以长为轴旋转一周形成的圆柱甲，底面半径=长方形的宽，高=长方形的长；以宽为轴旋转一周形成圆柱乙，底面半径=长方形的长，高=长方形的宽。 A.根据底面积=圆周率×底面半径的平方，分别计算出圆柱甲和圆柱乙的底面积，比较即可； B.方法同选项A一样； C.根据圆柱表面积=底面积×2+侧面积，圆柱侧面积=底面周长×高，分别计算出圆柱甲和圆柱乙的表面积，比较即可； D.根据圆柱体积=底面积×高，分别计算出圆柱甲和圆柱乙的体积，比较即可。 A.3.14×4²=3.14×16=50.24(cm²) 3.14×6²=3.14×36=113.04(cm²) 50.24<113.04 圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，选项说法错误； B.根据选项A可知，圆柱甲的底面积比圆柱乙的底面积小，选项说法错误； C.50.24×2+2×3.14×4×6 =100.48+150.72 =251.2(cm²) 113.04×2+2×3.14×6×4 =226.08+150.72 =376.8(cm²) 251.2<376.8 圆柱甲的表面积比圆柱乙的表面积小，选项说法错误； D.50.24×6=301.44(cm³) 113.04×4=452.16(cm³) 301.44<452.16 圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小，说法正确。说法正确的是圆柱甲的体积比圆柱乙的体积小。故答案为：D 4.D 【分析】把1米长的圆柱形钢材锯成3段，需要进行2次切割操作。每次切割都会增加2个底面的面积。第一次切割会多出2个底面面积，第二次切割又会多出2个底面面积，所以总共增加了4个底面的面积。我们已知切割后表面积增加了120平方厘米，这增加的部分就是4个底面的面积之和。通过这个增加的总面积，我们就可以算出一个底面的面积，然后根据圆柱的体积=底面积×高，代入数据解答即可。 【详解】120÷4=30(平方厘米) 1米=100厘米 30×100=3000(立方厘米)3000立方厘米=0.003立方米所以原来钢材的体积是0.003立方米。故答案为：D 三、综合应用 1.【答案】(1)408.2平方米 (2)471吨 【分析】(1)由题意可知，抹水泥的面积=圆柱的底面积+圆柱的侧面积，根据圆的面积公式：S=m²,圆柱的侧面积公式：S=ndh,据此进行计算即可； (2)根据圆柱的容积公式：V=πr²h,据此求出水的体积，再用水的体积乘每立方米水的重量即可求解。 【详解】(1)3.14×(20÷2)²+3.14×20×1.5 =3.14×10²+3.14×20×1.5 =3.14×100+3.14×20×1.5 =314+94.2 =408.2(平方米) 答：抹水泥的面积是408.2平方米。 (2)3.14×(20÷2)²×1.5×1 =3.14×10²×1.5×1 =3.14×100×1.5×1 =314×1.5×1 =471×1 =471(吨) 答：水池内最多蓄水471吨。 2.【答案】(1)4474.5平方厘米； (2)28260毫升 【分析】(1)由于水桶无盖，所以只求它的侧面积和一个底面积，相加就是所用铁皮面积，已知S底=πr²,Sn=Ch,代入数值即可； (2)求水桶能装多少水，就是求水桶的容积，可以用求体积的方法，根据V=Sh,代入数值即可。 【详解】(1)侧面积：3.14×30×40 =94.2×40 =3768(平方厘米) 底面积：3.14×(30÷2)² 三3.14×225 =706.5(平方厘米) 需要铁皮的面积：3768+706.5=4474.5(平方厘米) 答：做这样一个水桶至少要用4474.5平方厘米的铁皮。 (2)水桶装水的量：3.14×(30÷2)²×40 =3.14×15²×40=3.14×225×40=706.5×40 =28260(立方厘米) 28260立方厘米=28260毫升 答：这个桶最多能装28260毫升的水。 3.【答案】1.2分米 【分析】铁块的体积不变，即熔铸成的圆柱的体积=长方体体积，要求熔铸成的圆柱体的高，先要计算出长方体的体积，运用长方体的体积=长×宽×高求出长方体的体积，然后根据圆柱的体积公式：V=πr²h,代入数据即可解答。 【详解】8×4×3=32×3=96(立方分米) 96÷(3.14×5×5)=96÷78.5 ≈1.2(分米) 答：高是1.2分米。 4.【答案】(1)15.7平方厘米； (2)314立方厘米 【分析】(1)根据题意可知，把长方体铁块从容器中取出后，下降部分水的体积就等于这个长方体铁块在水中的体积，根据圆柱的体积V=πr²h,求出在水中长方体铁块的体积，再根据长方体的体积V=Sh,那么S=V÷h,此时h=10厘米，把数据代入公式解答。 (2)根据(1)求出长方体铁块与容器底部接触面的面积后，再根据长方体的体积V=Sh,此时h=20厘米，把数据代入公式解答。 【详解】(1)3.14×5²×(10-8) =3.14×25×2 =78.5×2 =157(立方厘米） 157÷10=15.7(平方厘米) 答：这个长方体铁块与容器底部接触面的面积是15.7平方厘米。 (2)15.7×20=314(立方厘米) 答：这个长方体铁块的体积是314立方厘米。 5.【答案】1808.64立方厘米 【分析】根据圆柱的体积公式：V=πh,设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米，再根据数量关系式：甲桶水的体积+乙桶水的体积-甲桶原来的水的体积，列方程求出水的高，然后把数据代入公式解答即可。 【详解】解：设甲乙两只水桶里的水高度为x厘米。 π×8²x+π×6²x=π×6²×25 64πx+36πx=36×25π 100πx=900π x=900π÷100π x=9 3.14×8²×9=1808.64(立方厘米) 答：这时甲水桶里有水1808.64立方厘米。 学科网（北京）股份有限公司1 学科网（北京）股份有限公司 $$