第1讲-20.1-20.3 一次函数的概念、图像与性质 讲义 - 2024--2025学年沪教版八年级数学下册

2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第1讲 20.1-20.3 一次函数的概念、图像与性质 目录 1、 【进门测试】共9题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共9大考点； 4、 【过关演练】共8题； 5、 【拓展进阶】共8题； 6、 【温故知新】共17题:A组7题，B组6题，C组4题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1. 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，取全体实数 　　　　 　B．中，取≠－1的实数 　　C．中，取≥2的实数 　　　D．中，取≥－3的实数 2．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图像，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了. B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了. C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了. D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回. 3. 一次函数，若＝1，则它的图像必经过点（ ） A、(－1,－1) B、(－1, 1) C、(1, －1) D、(1, 1) 4.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解为（ ） A． B． C． D． 无法确定 5. 汇通公司销售人员的个人月收入(元)与其每月的销售量(千件)成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元． 6.若一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　． 7.若函数的图像过第一、二、三象限，则____________. 8.若一次函数中，，则它的图像不经过第________象限. 9.已知一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________． 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法. 要点二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 要点三、一次函数的图像及性质 1、函数的图像 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 要点诠释： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图像特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 解析式 （为常数，且） 自变量取值范围 全体实数 图像 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数变化规律 随的增大而增大 随的增大而减小 要点诠释： 理解、对一次函数的图像和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图像的联系与区别 一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 考点一：一次函数识别 【例题1】下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝x﹣2 C． D．y＝+1 【变式训练1】下列函数中是一次函数的是（　　） A．y＝ B． C．y＝x2 D．y＝kx+b（k，b为常数） 考点二：根据一次函数的定义求参数 【例题2】当______时，是一次函数． 【变式训练1】若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是____________． 【变式训练2】已知关于函数，若它是一次函数，则______. 考点三：求一次函数的自变量与值域 【例题3】如果点在一次函数的图像上，则__________． 【变式训练1】已知一次函数的图象经过点，那么的值等于______． 考点四：列一次函数的解析式并求值 【例题4】汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是______． 【变式训练1】汽车以60千米/时的平均速度，由A地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是_____． 考点五：一次函数平移 【例题5】将直线向上平移4个单位所得的直线表达式为______． 【变式训练1】将一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点． 【变式训练2】如果将函数的图象向上平移个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 考点六：一次函数与坐标轴交点 【例题6】将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与轴分别交于点那么为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数的坐标轴三角形的面积是_____． 【变式训练1】一次函数y＝﹣2x﹣3的截距是_____． 【变式训练2】直线与坐标轴所围成的三角形的面积是_____． 【变式训练3】直线与轴交点坐标为_____________． 考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限 【例题7】一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【变式训练1】一次函数的图象经过哪几个象限（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【变式训练2】一次函数的图象不经过（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练3】在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图像不经过第____象限． 考点八：已知函数经过的象限求参数范围 【例题8】在同一真角坐标平面中表示两个一次函数，，正确的图像为（　　） A．B．C．D． 【变式训练1】正比例函数的图像在第二、四象限内，则点（）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练2】在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【变式训练3】如果关于的一次函数的图像不经过第三象限，那么的取值范围________. 【变式训练4】已知一次函数y＝（k﹣1）x＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是____． 【变式训练5】一次函数y＝（2m﹣1）x+m﹣7的图像不经过第二象限，则m的取值范围是 ___． 【变式训练6】若正比例函数的图像经过第二、四象限，则____________ 【变式训练7】如果关于x的一次函数y＝mx+(4m﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是_____． 考点九：已知两条直线位置关系求参数 【例题9】直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1、下列说法正确的是：（ ） Ａ.变量满足，则是的函数； Ｂ.变量满足，则是的函数； Ｃ.变量满足，则是的函数； Ｄ.变量满足，则是的函数. 2、求函数的自变量的取值范围. 3、如图的四个图像中，不表示某一函数图像的是（ ） 4、直线平行于直线，且与轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 5、如图，平面直角坐标系中画出了函数的图像． 　　（1）根据图像，求和的值．（2）在图中画出函数的图像． （3）求的取值范围，使函数的函数值大于函数的函数值． 6、如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图像，根据图像回答问题． (1)分析图像，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (2)指出轮船和快艇的行驶速度； (3)问快艇出发多长时间赶上轮船? 7．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速平均每小时增加4千米/时，后来一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题： (1)在轴（ ）内填入相应的数值； (2)沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ (3)求出当≥25时，风速(千米/时)与时间(小时)之间的函数关系式. (4)若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？ 8、如图所示，直线的解析表达式为，且与轴交于点D，直线经过A、B两点，、交于点C． (1)求点D的坐标；(2)求直线的解析表达式；(3)求△ADC的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1.已知一次函数与的图像在第四象限内交于一点，求整数的值． 2.已知两个一次函数和； （1）、为何值时，两函数的图像重合? （2）、满足什么关系时，两函数的图像相互平行? （3）、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标． 3.（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求的值； （2）一次函数的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数的解析式． 4.1）求直线与轴所围成的三角形的面积； （2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积． 5.如图，已知由轴、一次函数的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式． 6.在式子． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限，求满足以上条件的的整数值． 8.如图，已知函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象经过点B（0，），并且与轴以及的图象分别交于点C、D； （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由； （3）若一次函数的图象与函数的图象的交点D始终在第一象限，则系数的取值范围是________（请直接写出结果） 【温故知新】 40min. 【针对本节课内容进行学习总结，帮助学生养成良好的学习总结归纳习惯，并对新知识点进行引入，引导学生良好地完成下一节课的课前预习。】 题组A 基础过关练 一、单选题 1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） 2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2 ，则m的取值范围是（ ） A．m<0 B．m>0 C．m＜ D．m＞ 3．一次函数的图像经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 4．一次函数图像如图所示，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 5．直线y＝2x﹣1在轴上的截距是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 二、填空题 6．如果将直线向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________． 7．已知直线与直线平行，那么_______． 题组B 能力提升练 1.一次函数的图像能否可以不经过第三象限?为什么? 2.已知直线和，若它们的交点第四象限，那么的取值范围是______________． 3.如图，据函数的图像，填空： （1） 当时，y=____________； （2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当时，y的取值范围是______________． 4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点且与y=2x+3轴无交点； （2）直线的截距为-且经过点． 5.已知函数与，求： （1）两个函数图象交点P的坐标． （2）这两条直线与轴围成的三角形面积． 6.把一次函数的图像向上平移个单位，得到的函数解析式为，求平移前的函数图像与函数的图像和坐标轴所围成的图形面积． 题组C 培优拔尖练 1.直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值． 2.函数且，． （1）若图像的交点的纵坐标为4，求y关于x的函数解析式； （2）若（1）中函数y的图像与x轴、y轴交于A、B两点，若将此函数绕A点顺时针旋转90°后交y轴于C点，求直线AC的解析式． 3.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 4.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，且，如果在第二象限内有一点（，），且的面积与的面积相等，求的值． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$2024-2025春季培优课 【进阶优等生系列】【2024-2025春季培优课】 八年级第二学期第1讲 20.1-20.3 一次函数的概念、图像与性质 目录 1、 【进门测试】共9题； 2、 【知识精讲】共3个知识点； 3、 【典例解析】共9大考点； 4、 【过关演练】共8题； 5、 【拓展进阶】共8题； 6、 【温故知新】共17题:A组7题，B组6题，C组4题； 【进门测试】 10min. 【检测学生的知识基础水平，就一周知识的遗忘及掌握情况，有针对性的简要复习，解决遗留的知识点问题，及时纠正学生的理解错误。】 1. 下列函数中，自变量的取值范围选取错误的是（ ） A．中，取全体实数 　　　　 　B．中，取≠－1的实数 　　C．中，取≥2的实数 　　　D．中，取≥－3的实数 2．星期天晚饭后，小红从家里出发去散步，下图描述了她散步过程中离家s（米）与散步所用的时间t(分)之间的函数关系．依据图像，下面描述符合小红散步情景的是（ ） A.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,就回家了. B.从家出发,一直散步(没有停留),然后回家了. C.从家出发,到了一个公共阅报栏,看了一会报后,继续向前走了一会,然后回家了. D.从家出发,散了一会步,就找同学去了,18分钟后才开始返回. 3. 一次函数，若＝1，则它的图像必经过点（ ） A、(－1,－1) B、(－1, 1) C、(1, －1) D、(1, 1) 4.直线与直线在同一平面直角坐标系中的图像如图所示，则关于的不等式的解为（ ） A． B． C． D． 无法确定 5. 汇通公司销售人员的个人月收入(元)与其每月的销售量(千件)成一次函数关系，其图像如图所示，则此销售人员的月销售量为3500件时的月收入是________元． 6.若一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大，则k的取值范围是　 　． 7.若函数的图像过第一、二、三象限，则____________. 8.若一次函数中，，则它的图像不经过第________象限. 9.已知一次函数与两坐标轴围成的三角形面积为4，＝________． 【答案与解析】 一.选择题 1. 【答案】D； 【解析】一般地，在一个函数关系式中，自变量的取值必须使函数解析式有意义；对于一个实际问题，自变量的取值必须使实际问题有意义，选D． 2. 【答案】C； 3. 【答案】D； 【解析】当＝1时，＝1，故它的图像过点（1，1）. 4. 【答案】B； 【解析】当＜－1时，直线在直线的上方. 5. 【答案】1550； 【解析】．当＝3.5时，＝300×3.5＋500＝1550(元) 6.【答案】k＞2； 【解析】解：∵一次函数y=（k﹣2）x+1（k是常数）中y随x的增大而增大， ∴k﹣2＞0，解得k＞2， 故答案为：k＞2． 7．【答案】； 【解析】由题意，＞0，且. 8.【答案】一； 9.【答案】； 【解析】由题意：. 【知识精讲】 10min. 【梳理本节课的知识框架及逻辑，针对重点知识点进行深入的剖析和讲解，让学生掌握知识点的同时，学会构建属于自己的知识体系。】 要点一、函数的相关概念 一般地，在一个变化过程中. 如果有两个变量 与，并且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 是自变量，是的函数. 是的函数，如果当＝时＝，那么叫做当自变量为时的函数值. 函数的表示方法有三种：解析式法，列表法，图像法. 要点二、一次函数的相关概念 　　一次函数的一般形式为，其中、是常数，≠0.特别地，当＝0时，一次函数即（≠0），是正比例函数. 要点三、一次函数的图像及性质 1、函数的图像 　　如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横、纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图像. 要点诠释： 直线可以看作由直线平移||个单位长度而得到（当＞0时，向上平移；当＜0时，向下平移）.说明通过平移，函数与函数的图像之间可以相互转化. 2、一次函数性质及图像特征 掌握一次函数的图像及性质（对比正比例函数的图像和性质） 解析式 （为常数，且） 自变量取值范围 全体实数 图像 形状 过（0，）和（，0）点的一条直线 、的取值 示意图 位置 经过一、二、三象限 经过一、三、四象限 经过一、二、四象限 经过二、三、四象限 趋势 从左向右上升 从左向右下降 函数变化规律 随的增大而增大 随的增大而减小 要点诠释： 理解、对一次函数的图像和性质的影响： （1）决定直线从左向右的趋势（及倾斜角的大小——倾斜程度），决定它与轴交点的位置，、一起决定直线经过的象限． （2）两条直线：和：的位置关系可由其系数确定： 与相交； ，且与平行； ，且与重合； （3）直线与一次函数图像的联系与区别 一次函数的图像是一条直线；特殊的直线、直线不是一次函数的图像. 【典例解析】 40min. 【根据相关知识点，进行典型题型的讲解，让学生由浅入深地掌握在考试过程中，相关知识点的出现命题形式及考试答题思路。】 考点一：一次函数识别 【例题1】下列四个函数中，一次函数是（　　） A．y＝x2﹣2x B．y＝x﹣2 C． D．y＝+1 【答案】B 【分析】根据一次函数的定义条件进行逐一分析即可． 【详解】解：A、y＝x2﹣2x是二次函数，故本选项错误； B、y＝x﹣2是一次函数，故本选项正确； C、自变量次数不为1，故不是一次函数，故本选项错误； D、自变量次数不为1，故不是一次函数，故本选项错误， 故选：B． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y＝kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 【变式训练1】下列函数中是一次函数的是（　　） A．y＝ B． C．y＝x2 D．y＝kx+b（k，b为常数） 【答案】A 【分析】利用一次函数定义进行解答即可． 【详解】解：A、y＝是一次函数，故此选项符合题意； B、y＝是反比例函数，不是一次函数，故此选项不合题意； C、y＝x2是二次函数，故此选项不符合题意； D、当k＝0时，y＝kx+b（k，b为常数）不是一次函数，故此选项不合题意；故选：A． 【点睛】此题主要考查了一次函数定义，关键是掌握形如（k≠0，k、b是常数）的函数，叫做一次函数．掌握反比例函数和二次函数的定义． 考点二：根据一次函数的定义求参数 【例题2】当______时，是一次函数． 【答案】 【分析】根据一次函数定义知含有自变量，且自变量系数不为0即可求出k值． 【详解】 ∵ 为一次函数，即为一次函数， ∴，即；故答案为：． 【点睛】此题考查一次函数的定义，根据定义知一次函数自变量系数不为0即可解题，难度一般． 【变式训练1】若函数y=(m-2)x+5是一次函数，则m满足的条件是____________． 【答案】m≠2. 【分析】根据一次函数的定义求解即可. 【详解】 解：∵函数y=(m-2)x+5是一次函数，∴m﹣2≠0，即m≠2.故答案为m≠2. 【点睛】本题考查一次函数的定义. 一次函数解析式 y=kx+b 的结构特征： （1）k是常数，k≠0 ；（2）自变量x的次数是1；（3）常数项b可以为任意实数． 【变式训练2】已知关于函数，若它是一次函数，则______. 【答案】 【分析】根据一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1，可得答案． 【详解】由y＝是一次函数，得m2-24=1且m-5≠0，解得m=-5，故答案为-5． 【点睛】本题主要考查了一次函数的定义，一次函数y=kx+b的定义条件是：k、b为常数，k≠0，自变量次数为1． 考点三：求一次函数的自变量与值域 【例题3】如果点在一次函数的图像上，则__________． 【答案】10 【分析】把点（3，a）代入一次函数y=3x+1，求出y的值即可． 【详解】解：把点（3，a）代入一次函数y=3x+1得：a=9+1=10．故答案为：10． 【点睛】本题考查的是一次函数图象上点的坐标特点，即一次函数图象上的点的坐标一定适合此函数的解析式． 【变式训练1】已知一次函数的图象经过点，那么的值等于______． 【答案】2 【分析】要求m的值，实质是求当y=8时，x的值． 【详解】解：把y=8代入一次函数y=2x+4，得8=2x+4∴x=2，所以m=2，故答案为：2 【点睛】本题主要考查一次函数的问题，注意利用一次函数的特点，列出方程，求出未知数是关键． 考点四：列一次函数的解析式并求值 【例题4】汽车油箱中现有汽油60升，若每小时耗油10升，则油箱中剩余油量（升）与燃烧的时间（小时）之间的函数关系式是______． 【答案】y=60-10x 【分析】由剩余油量=原有油量-耗油量可得解析式． 【详解】解：原有油量为60升，每小时耗油10升， ∴y=60-10x． 故答案为：y=60-10x． 【点睛】本题考查一次函数求解析式，解题关键是通过题意列出代数式． 【变式训练1】汽车以60千米/时的平均速度，由A地驶往相距420千米的上海，汽车距上海的路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数关系式是_____． 【答案】s=420﹣60t 【分析】根据速度乘时间等于路程，可得函数关系式． 【详解】由“速度×时间=路程”，得： s=420﹣60t， 故答案为：s=420﹣60t． 【点睛】本题考查了函数关系式．能够正确利用“速度乘以时间等于路程”这一关系来列函数关系式是解题的关键． 考点五：一次函数平移 【例题5】将直线向上平移4个单位所得的直线表达式为______． 【答案】 【分析】直接利用一次函数图象平移规律进而得出答案． 【详解】解：将直线向上平移4个单位所得的直线表达式为： ，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的平移规律是解答此题的关键． 【变式训练1】将一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移___个单位后，图象过原点． 【答案】3 【分析】根据直线y＝kx+b向上平移m（m＞0）个单位所得直线解析式为y＝kx+b+m求解． 【详解】解：因为一次函数y＝2x﹣3的图象向上平移3个单位后y＝2x﹣3+3＝2x，图象过原点； 故答案为：3． 【点睛】本题考查了一次函数的平移，解题的关键是掌握图像平移的性质进行解题． 【变式训练2】如果将函数的图象向上平移个单位，那么所得图象的函数解析式是________． 【答案】 【分析】根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】解：由“上加下减”的原则可知，将函数y=3x-1的图象向上平移3个单位所得函数的解析式为y=3x-1+3，即y=3x+2．故答案为：y=3x+2． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与几何变换，熟知“上加下减”的原则是解答此题的关键． 考点六：一次函数与坐标轴交点 【例题6】将平面直角坐标系中一次函数的图像与坐标轴围成的三角形，叫做此一次函数的坐标轴三角形．如图中的一次函数图像与轴分别交于点那么为此一次函数的坐标轴三角形．一次函数的坐标轴三角形的面积是_____． 【答案】16 【分析】求出点A，点B坐标，根据三角形的面积公式解答即可． 【详解】解：对于，当x=0时，y=4，当y=0时，x=8∴A（8，0）B（0，4）， 所以OA=8，OB=4，∴S△AOB＝×8×4＝16．故答案为：16． 【点睛】本题考查了一次函数问题，本题中根据一次函数和坐标轴的交点坐标，求坐标三角形的三边长是解题的基础． 【变式训练1】一次函数y＝﹣2x﹣3的截距是_____． 【答案】-3 【分析】根据一次函数y＝kx+b在y轴上的截距是b． 【详解】解：∵在一次函数y＝﹣2x﹣3中，b＝﹣3， ∴一次函数y＝﹣2x﹣3在y轴上的截距b＝﹣3．故答案是：﹣3． 【点睛】本题主要考查一次函数图象上点的坐标特征，掌握截距的概念是解题的关键． 【变式训练2】直线与坐标轴所围成的三角形的面积是_____． 【答案】6 【分析】分别求出一次函数与坐标轴的交点，然后利用三角形面积公式即可求出答案． 【详解】令x＝0代入， ∴y＝-6，∴一次函数与y轴的交点坐标为（0，-6）， 令y＝0代入，∴x＝2，∴一次函数与x轴的交点为（2，0）， ∴一次函数与坐标轴围成的三角形面积为：×6×2＝6故答案为：6． 【点睛】本题考查一次函数的图象与性质，解题的关键是熟知三角形面积公式． 【变式训练3】直线与轴交点坐标为_____________． 【答案】 【分析】把y=0代入中得出x的值即可得出答案 【详解】解：∵当y=0时，2x-1=0∴x=∴直线与轴交点坐标为：故答案为 【点睛】本题考查了一次函数的图像和性质，明确当y=0时的x的值即为直线与x轴交点的横坐标是解题的关键 考点七：根据一次函数解析式判断其经过象限 【例题7】一次函数y＝2（x+1）﹣1不经过第（　　）象限 A．一 B．二 C．三 D．四 【答案】D 【分析】先将解析式化简，然后通过一次项系数和常数项符号进行判断． 【详解】解：y=2（x+1）-1=2x+1， ∴直线y=2x+1经过一，二，三象限，不经过第四象限， 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解题关键是熟练掌握一次函数y=kx+b中，k与b的符号与图象的对应关系． 【变式训练1】一次函数的图象经过哪几个象限（ ） A．一、二、三象限 B．一、二、四象限 C．一、三、四象限 D．二、三、四象限 【答案】B 【详解】因为解析式y=-2x+1中，-2＜0，1＞0，图象过一、二、四象限，故选B． 【变式训练2】一次函数的图象不经过（ ）． A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】C 【分析】根据一次函数图像、直角坐标系的性质分析，即可得到答案． 【详解】当时， 当时， ∴一次函数的图象如下： ∴一次函数的图象不经过第三象限 故选：C． 【点睛】本题考查了一次函数、直角坐标系的知识；解题的关键是熟练掌握一次函数的图像，从而完成求解． 【变式训练3】在直角坐标系中，一次函数y＝x﹣1的图像不经过第____象限． 【答案】二 【分析】根据题目中的函数解析式和一次函数的性质，可以得到该函数经过哪几个象限，不经过哪个象限． 【详解】解：一次函数y=x-1，k=＞0，b=-1＜0， ∴该函数图象经过第一、三、四象限，不经过第二象限， 故答案为：二． 【点睛】本题考查一次函数的性质，解答本题的关键是明确一次函数的性质，会用一次函数的性质判断一次函数图象经过哪几个象限． 考点八：已知函数经过的象限求参数范围 【例题8】在同一真角坐标平面中表示两个一次函数，，正确的图像为（　　） A．B．C．D． 【答案】D 【分析】根据的图像判断k、b的符号，再判断的图像所在的象限，即可得出正确答案． 【详解】解：A.由的图像得k>0，b<0，所以的图像应在一、二、三象限，故A错误； B、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故B错误； C、由的图像得k<0，b>0，所以的图像应在二、三、四象限，故C错误； D、由的图像得k>0，b>0，所以的图像应在一、二、四象限，故D正确． 故选：D． 【点睛】本题考查一次函数的图象，熟悉一次函数的性质是解题的关键． 【变式训练1】正比例函数的图像在第二、四象限内，则点（）在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数图象与系数的关系由正比例函数y＝mx的图象在第二、四象限内得到m＜0，则﹣m>0，m−1＜0，于是得到点（−m，m−1）在第四象限． 【详解】解：∵正比例函数y＝mx的图象在第二、四象限内，∴m＜0，∴-m>0，m−1＜0， ∴点（-m，m−1）在第四象限．故选：D． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y＝kx＋b（k≠0），当k＞0，图象经过第一、三象限；当k＜0，图象经过第二、四象限；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴上方；b＝0，图象过原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴下方． 【变式训练2】在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b的图象如图所示，则k和b的取值范围是（　　） A．k＞0，b＞0 B．k＞0，b＜0 C．k＜0，b＞0 D．k＜0，b＜0 【答案】C 【分析】根据一次函数的图象与系数的关系进行解答即可． 【详解】∵一次函数y=kx+b的图象经过一、二、四象限，∴k＜0，b＞0， 故选C． 【点睛】本题考查的是一次函数的图象与系数的关系，即一次函数y=kx+b（k≠0）中，当k＜0，b＞0时图象在一、二、四象限． 【变式训练3】如果关于的一次函数的图像不经过第三象限，那么的取值范围________. 【答案】 【分析】由一次函数的图象不经过第三象限，则，并且，解两个不等式即可得到m的取值范围． 【详解】解：∵一次函数的图像不经过第三象限， ∴，，解得：，故答案为. 【点睛】本题考查了一次函数y＝kx＋b（k≠0，k，b为常数）的性质．它的图象为一条直线，当k＞0，图象经过第一，三象限，y随x的增大而增大；当k＜0，图象经过第二，四象限，y随x的增大而减小；当b＞0，图象与y轴的交点在x轴的上方；当b＝0，图象过坐标原点；当b＜0，图象与y轴的交点在x轴的下方． 【变式训练4】已知一次函数y＝（k﹣1）x＋1的图像经过第一、二、三象限，那么常数k的取值范围是____． 【答案】 【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定的符号． 【详解】解：一次函数为常数，的图象经过第一、二、三象限， ．解得：，故答案为：． 【点睛】本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与、的关系．解答本题注意理解：直线所在的位置与、的符号有直接的关系．时，直线必经过一、三象限．时，直线必经过二、四象限．时，直线与轴正半轴相交．时，直线过原点；时，直线与轴负半轴相交． 【变式训练5】一次函数y＝（2m﹣1）x+m﹣7的图像不经过第二象限，则m的取值范围是 ___． 【答案】 【分析】一次函数图象与系数的关系得到关于m的不等式组，然后解不等式组即可． 【详解】解：根据题意，得，解得．故答案是：． 【点睛】本题考查了一次函数图象与系数的关系：一次函数y=kx+b（k、b为常数，k≠0）是一条直线，当k＞0，y随x的增大而增大；当k＜0，y随x的增大而减小；图象与y轴的交点坐标为（0，b）． 【变式训练6】若正比例函数的图像经过第二、四象限，则____________ 【答案】-3 【分析】由正比例函数的定义可求得m的值，再根据图象所在的象限进行取舍即可． 【详解】解：∵为正比例函数，∴m2+m-5=1，解得m=-3或m=2，∵图象经过第二、四象限， ∴m＜0，∴m=-3，故答案为-3． 【点睛】本题主要考查正比例函数的性质，掌握正比例函数的性质是解题的关键，即在y=kx中，当k＞0时，图象经过一、三象限，当k＜0时，图象经过二、四象限． 【变式训练7】如果关于x的一次函数y＝mx+(4m﹣2)的图象经过第一、三、四象限，那么m的取值范围是_____． 【答案】0<m< 【分析】根据已知,图象经过第一、三、四象限,容易画出直线的草图,再根据直线的上升或下降趋势,以及与y轴的交点位置，即可判断x的取值范围. 【详解】∵关于x的一次函数y＝mx+(4m﹣2)的图象经过第一、三、四象限， ∴，∴0<m<．故答案为0<m<； 【点睛】该题结合不等式组重点考查了一次函数的性质，即y=kx+b中k和b的意义，k决定了函数的增减性，即图像从左到右是上升还是下降，b决定了函数与y轴交点的位置，因此熟练掌握相关的知识点，该题就很容易解决. 考点九：已知两条直线位置关系求参数 【例题9】直线与已知直线平行，且不经过第三象限，求的值． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】两条直线平行，则可知相等，即，可得：或，则截距为 或．又因为图像不经过第三象限，所以舍去，即舍去，所以． 【总结】考察一次函数的的基本概念以及的符号与图像所过象限的关系． 【过关演练】 30min. 【结合针对性的有效练习，让学生达到知识点在考试中的熟练应用，适应考试题型的变化，进一步的明确考试逻辑，精准把握考点。】 1、下列说法正确的是：（ ） Ａ.变量满足，则是的函数； Ｂ.变量满足，则是的函数； Ｃ.变量满足，则是的函数； Ｄ.变量满足，则是的函数. 【答案】A； 【解析】B、C、D三个选项，对于一个确定的的值，都有两个值和它对应，不满足单值对应的条件，所以不是函数. 【总结升华】理解函数的概念，关键是函数与自变量之间是单值对应关系，自变量的值确定后，函数值是唯一确定的. 2、求函数的自变量的取值范围. 【思路点拨】要使函数有意义，需或解这个不等式组即可. 【答案与解析】 解：要使函数有意义，则要符合： 　即：或 解方程组得自变量取值是或. 【总结升华】自变量的取值范围是使函数有意义的的集合. 3、如图的四个图像中，不表示某一函数图像的是（ ） 【答案】B； 4、直线平行于直线，且与轴交于点（2，0），求这条直线的解析式. 【答案】 解：∵直线平行于直线 　 ∴ 　 ∵与轴交于点（2，0） 　 ∴ ① 　　 将＝2代入①，得 　　 　　 ∴此直线解析式为. 5、如图，平面直角坐标系中画出了函数的图像． 　　（1）根据图像，求和的值． （2）在图中画出函数的图像． （3）求的取值范围，使函数的函数值大于函数的函数值． 【思路点拨】（3）画出函数图像后比较，要使函数的函数值大于函数的函数值，需的图像在图像的上方. 【答案与解析】 解：（1）∵直线经过点（－2，0），（0，2）． 　　　　　　　 ∴ 解得 ∴． （2）经过（0，2），（1，0），图像如图所示． 　　（3）当的函数值大于的函数值时，也就是，解得＞0，�即的取值范围为＞0． 【总结升华】函数图像在上方函数值比函数图像在下方函数值大. 6、如图所示，表示一艘轮船和一艘快艇沿相同路线从甲港出发到乙港行驶过程中路程和时间变化的图像，根据图像回答问题． (1)分析图像，求出表示轮船和快艇行驶过程的函数解析式； (2)指出轮船和快艇的行驶速度； (3)问快艇出发多长时间赶上轮船? 【解析】 解：(1)设轮船的路程与时间的解析式为． ∵ 其过(8，160)可得160＝8， ∴ ＝20． 即轮船的路程和时间的函数解析式为(0≤≤8)． 设快艇的路程和时间的解析式为了 ∵ 点(2，0)，(6，160)在图像上， ∴ ，解得． ∴ 快艇的路程与时间的关系式为． (2)轮船的速度为20千米/时，快艇的速度为40千米/时． (3)快艇追上轮船时，离起点的距离相等． ∴ ，解得． ∵ 4－2＝2， ∴ 快艇出发2小时后赶上轮船． 7．某气象研究中心观测一场沙尘暴从发生到结束全过程，开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，沙尘暴经过开阔荒漠地，风速平均每小时增加4千米/时，后来一段时间，风暴保持不变，当沙尘暴遇到绿色植被区时，其风速平均每小时减小1千米/时，最终停止. 结合风速与时间的图像，回答下列问题： (1)在轴（ ）内填入相应的数值； (2)沙尘暴从发生到结束，共经过多少小时？ (3)求出当≥25时，风速(千米/时)与时间(小时)之间的函数关系式. (4)若风速达到或超过20千米/时，称为强沙尘暴，则强沙尘暴持续多长时间？ 【解析】 解：（1）开始时风暴平均每小时增加2千米/时，4小时后，风速达到8千米/时； 沙尘暴经过开阔荒漠地，风速平均每小时增加4千米/时，6小时后，风速为8＋6×4＝32千米/时，所以在轴（ ）内填8，32. （2）风速由32千米/时减小到0，花了32个小时沙尘暴从发生到结束，共经过25＋32＝57 小时 （3）将（25，32），（57，0）代入，解得 （4）从第7个小时到37个小时这30个小时都是属于强沙尘暴持续的时间 . 8、如图所示，直线的解析表达式为，且与轴交于点D，直线经过A、B两点，直线、交于点C． (1)求点D的坐标； (2)求直线的解析表达式； (3)求△ADC的面积； (4)在直线上存在异于点C的另一点P，使得△ADP与△ADC的面积相等，请直接写出点P的坐标． 【答案与解析】 解： (1)由，当＝0，得＝0，得＝l．∴ D(1，0)． (2)设直线的解析表达式为， 由图像知，，；，． 将这两组值代入，得方程组 解得 ∴ 直线的解析表达式为． (3)∵ 点C是直线与的交点，于是有 解得 ∴ C(2，－3)． ∴ △ADC的AD边上的高为3． ∵ OD＝1，OA＝4， ∴ AD＝3． ∴ ． (4)P(6，3)． 【总结升华】这是一道一次函数图像与性质的综合应用问题，求直线的函数解析式，一般运用待定系数法，但运用过程中，又要具体问题具体分析；求底边在坐标轴上三角形的面积的关键是探求该三角形的高． 【拓展进阶】 20min. 【知识点的延伸拓展，整体拔高学生知识结构，寻求考试中的难题高分突破途径。需要结合实际情况（班级水平、教学进度等）进行选择性教学，提高班和培优班必选。】 1.已知一次函数与的图像在第四象限内交于一点，求整数的值． 【难度】★★★ 【答案】1，0，1． 【解析】将两个解析式联立求解可得：，，所以交点坐标为， 因为交点在第四象限内，所以，解不等式得：， 所以整数的值为1，0，1． 【总结】考查对两个一次函数的交点坐标问题，并且注意每个象限内的点的横纵坐标的符号特征． 2.已知两个一次函数和； （1）、为何值时，两函数的图像重合? （2）、满足什么关系时，两函数的图像相互平行? （3）、取何值时，两函数图像交于轴上同一点，并求这一点的坐标． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）且；（3），，坐标为（2，0）． 【解析】（1）由题可知，两个一次函数的比例系数和常数项都相等，即， 解得：； （2） 两个一次函数的图像平行，则比例系数相等，常数不相等，所以， 即，且； （3） 两个一次函数的图像交于轴上一点，即两个一次函数与轴的交点重合，先分别 求出与轴的交点，令，得，同理可得，由题可知，， 即，交点坐标为（-2，0）． 【总结】主要考查两个一次函数图像的平行、重合的关系与区别以及两条直线交点的含义． 3.（1）一次函数的图象与两坐标轴围成的三角形的面积为48，求的值； （2）一次函数的图像与两坐标围成的三角形的面积是10，截距是，求一次函数 的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）；（2）或． 【解析】（1）一次函数与两轴围成的三角形面积公式是，所以， 解得：； （2）同理可知，，解得：，所以一次函数的解析式为或 ． 【总结】一次函数与两轴围成的面积公式，注意双解的情况． 4.1）求直线与轴所围成的三角形的面积； （2）求直线与直线与轴所围成的三角形的面积． 【难度】★★★ 【答案】（1）12；（2）． 【解析】（1）联立，解得交点坐标为（-4，-6），又因为两条直线与轴的交点坐标分别为（0，-4）和（0，2），所以这两条直线与轴围成的三角形面积为； （2）联立，解得交点坐标为（1，-2），又因为两条直线与轴的交点 坐标分别为（2，0）和，所以这两条直线与轴围成的面积为． 【总结】考查一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积的综合应用． 5.如图，已知由轴、一次函数的图像及分别过点C（1，0）、D（4，0）两点作平行于轴的两条直线所围成的图形ABDC的面积为7，试求这个一次函数的解析式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题易知的坐标为（1,），的坐标为（4，）所围成的梯形的面积为=7， 解得：，所以一次函数的解析式是． 【总结】考查一次函数与面积的综合应用． 6.在式子． 【难度】★★★ 【答案】14或-6． 【解析】由题可知存在如下几种种情况， （1）当时，，则，解得：，则； （2）当，则，：，则；（3）当时，，是个常值函数，不随的变化而变化，与题目不符． 【总结】本题主要考查一次函数的性质的运用，注意分类讨论． 7.已知一次函数中随的增大而增大，它的图像与两坐标轴构成的直角三 角形的面积不超过，反比例函数的图像在第二、四象限，求满足以上条件的的 整数值． 【难度】★★★ 【答案】整数值为1或2． 【解析】一次函数中随的增大而增大，可知，它的图像与两坐标轴构的直角三角形面积不超过可知；又反比例函数的图像在第二、四象限，可知，解不等式可得：，故整数解为1或者2． 【总结】考查一次函数与反比例函数的性质及一次函数与坐标轴所围成的三角形的面积问题． 8.如图，已知函数的图象与轴交于点A，一次函数的图象经过点B（0，），并且与轴以及的图象分别交于点C、D； （1）若点D的横坐标为1，求四边形AOCD的面积（即图中阴影部分的面积）； （2）在第（1）小题的条件下，在轴上是否存在这样的点P，使得以点P、B、D为顶点的三角形是等腰三角形；如果存在，求出点P坐标；如果不存在，说明理由； （3）若一次函数的图象与函数的图象的交点D始终在第一象限，则系数的取值范围是________（请直接写出结果） 【难度】★★★ 【答案】(1)；（2），（0，5），；（3）． 【解析】（1）由题易知的坐标为（0，1），点的横坐标为1，代入，得，即(1，2)；因为点的坐标为（0，-1），且经过点和点， 代入得：，解得：， 则一次函数的解析式为，继而可求出点的坐标为（，0）． 故阴影部分的面积为： =． （2）假设点的坐标为，则． 分三类情况讨论：当时，以点为圆心，为半径画圆，与轴的交点即为所求点．所以的坐标为；当时，以点为圆心，为半径画圆，与轴的交点即为所求点，所以点的坐标为（0，5）；当时，点即为线段的中垂线与轴的交点，则，解得：，即的坐标，综上，点的坐标为或（0，5）或； （3）因为点的坐标为（0，-1），可知中的，可得． 联立，可得交点坐标为，因为点在第一象限内， 所以，解不等式组，得． 【总结】本题综合性较强，主要考查一次函数的形式与面积的综合应用． 【课后作业】 40min. 题组A 基础过关练 一、单选题 1.下列关于x的函数中，是一次函数的是（ ） 【难度】★ 【答案】 【解析】一次函数的概念．选项中，的最高次数是2，不符，错误； 选项中，有出现在分母中，即的次数是-1，是分式，错误； 选项中，有出现在坟墓中，且最高次数-2； 选项中，虽然题目中也有出现，但化简后得，所以正确． 【总结】考察一次函数的基本概念． 2.正比例函数y=(1－2m)x的图象经过点（x1，y1）和点（x2，y2）当x1＜x2时，y1＞y2 ，则m的取值范围是（ ） A．m<0 B．m>0 C．m＜ D．m＞ 【难度】★ 【答案】 【解析】由题意知，随的增大而减小，所以，即，得，选． 【总结】考察一次函数的性质的运用． 3．一次函数的图像经过的象限是（ ） A．一、二、三 B．一、三、四 C．二、三、四 D．一、二、四 【答案】B 【分析】根据一次函数的性质，k＞0，则函数一定经过一，三象限，b＜0，则一定与y轴负半轴相交，据此即可判断． 【详解】解：∵k=5＞0，b=-1＜0， ∴一次函数y=5x-1的图象经过第一、三、四象限． 故选：B． 【点睛】本题考查一次函数的图像和性质．一次函数y=kx+b的图象有四种情况： ①当k＞0，b＞0，函数y=kx+b的图象经过第一、二、三象限，y的值随x的值增大而增大； ②当k＞0，b＜0，函数y=kx+b的图象经过第一、三、四象限，y的值随x的值增大而增大； ③当k＜0，b＞0时，函数y=kx+b的图象经过第一、二、四象限，y的值随x的值增大而减小； ④当k＜0，b＜0时，函数y=kx+b的图象经过第二、三、四象限，y的值随x的值增大而减小． 4．一次函数图像如图所示，当时，的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】观察函数图象，利用一次函数的性质可得出：当y＞2时，x＞0，此题得解． 【详解】解：观察函数图象，可知：当x=0时，y=2，y随x值的增大而增大， ∴当y＞2时，x＞0． 故选：A． 【点睛】本题考查一次函数的性质以及一次函数的图象，利用一次函数的性质找出当y＞2时x＞0是解题的关键． 5．直线y＝2x﹣1在轴上的截距是（　　） A．1 B．﹣1 C．2 D．﹣2 【答案】B 【分析】把x＝0代入函数解析式，求出与之对应的y值，可得答案． 【详解】解：当x＝0时，y＝2x﹣1＝﹣1， ∴直线y＝2x﹣1在轴上的截距为﹣1． 故选：B． 【点睛】本题考查的是一次函数与轴的交点坐标问题，掌握基本概念是解题的关键． 二、填空题 6．如果将直线向上平移3个单位，那么所得直线的表达式是___________． 【答案】 【分析】直接根据“上加下减”的原则进行解答即可． 【详解】由“上加下减”的原则可知，将直线向上平移3个单位后，所得直线的表达式是，即． 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的图象与几何变换，熟知函数图象平移的法则是解答此题的关键． 7．已知直线与直线平行，那么_______． 【答案】5 【分析】两直线平行，则两比例系数相等，据此可以求解． 【详解】解：直线与直线平行， ，故答案为：5． 【点睛】本题考查了两条直线相交或平行问题，解题的关键是熟知两直线平行时两比例系数相等． 题组B 能力提升练 1.一次函数的图像能否可以不经过第三象限?为什么? 【难度】★★ 【答案】不可以不经过第三象限．因为对应的无解． 【解析】由题意知，一次函数的图像可以是经过第一二四象限，此时，无解； 也可以经过第二四象限，此时，无解． 综上，上述一次函数图像不可以不经过第三象限． 【总结】考察一次函数的图像性质的运用． 2.已知直线和，若它们的交点第四象限，那么的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】联立，得：，即交点坐标为，因为交点在第四象限，所以，解得：． 【总结】考察两条直线的交点，两条直线的交点坐标应满足两条直线的解析式． 3.如图，据函数的图像，填空： （1） 当时，y=____________； （2） 图像与坐标轴的交点坐标是_________________； （3） 当时，y的取值范围是______________． 【难度】★★ 【答案】（1）-6；（2）（2，0），（0，-4）；（3）． 【解析】由图可知，函数经过（2，0），（0，-4），代入解析式中，得：， 则一次函数解析式是：． （1） 当； （2） 图像与坐标轴交点坐标是（2，0），（0，-4）； （3） 当；， 所以的取值范围是． 【总结】考察一次函数的解析式与图像中点的坐标的关系． 4.根据下列条件求解相应函数解析式： （1）直线经过点且与y=2x+3轴无交点； （2）直线的截距为-且经过点． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）． 【解析】设直线一次函数的解析式． （1）因为与无交点，即平行，根据一次函数的性质可知，又过点（4，5） 代入，得：．所以一次函数的解析式为． （2）由截距是-，可知，再把点代入，，解得：， 所以一次函数的解析式为． 【总结】考察待定系数法求解一次函数解析式． 5.已知函数与，求： （1）两个函数图象交点P的坐标． （2）这两条直线与轴围成的三角形面积． 【难度】★★ 【答案】（1）；（2）4． 【解析】（1）联立，求得，交点； （2） 设直线与轴的交点为,可知的坐标为（-1，0），设直线与轴的交点为,可知的坐标为（3，0），则这两条直线与轴围成的三角形是,． 【总结】考察一次函数与面积的综合． 6.把一次函数的图像向上平移个单位，得到的函数解析式为，求平移前的函数图像与函数的图像和坐标轴所围成的图形面积． 【难度】★★ 【答案】． 【解析】由题知平移前的解析式为，联立，得交点坐 标为（），一次函数与轴的交点坐标()，与y轴的交点 坐标为C()，直线与轴的交点D坐标()，与y轴的交点坐标 为E()，所以两图像与坐标轴围成图形是一个四边形BCED， 面积为． 【总结】考察一次函数与面积的综合，此题一定要看清楚求得是函数图像与两坐标轴所围成的图形的面积． 题组C 培优拔尖练 1.直线和x轴、y轴分别相交于点A、点B，以线段AB为边在第一象限内作等边三角形ABC，如果在第一象限内有一点P（）且△ABP的面积与△ABC的面积相等，求m的值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题意得，．在中，， 等边的边长为2，所以等边的面积为， 过点作直线交线段与点，交轴与点．因为的坐标是（）， 所以的纵坐标也是，代入直线，得的横坐标为， 同理的坐标为（0，）．作垂直，垂足为． 则 因为=，，代入求解，得：． 【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题． 2.函数且，． （1）若图像的交点的纵坐标为4，求y关于x的函数解析式； （2）若（1）中函数y的图像与x轴、y轴交于A、B两点，若将此函数绕A点顺时针旋转90°后交y轴于C点，求直线AC的解析式． 【难度】★★★ 【答案】（1）； （2）． 【解析】（1）令，得；令，得：，因为是交点，所以横坐标也一样，即． 所以． (2)由函数解析式是，可知的坐标为（，0），的坐标是（0，5），, 设的坐标为（0，），, 即， 得，即，解得：，所以的坐标为（）， 设的解析式为，把（），（，0）的坐标代入， 得：，解得：，所以的解析式为． 【总结】本题主要考查一次函数与旋转的综合，注意利用旋转的性质解题． 3.如图所示，直线与轴、轴分别交于点A和点B，D是轴上的一点，若将沿直线DA折叠，点B恰好落在轴正半轴上的点C处，求直线CD的解析式． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】一次函数解析式是，可知的坐标为（2，0）， 的坐标为（）．在中，， 可得，．因为沿直线折叠， 点落在轴上的点，所以，点的坐标为（6，0），且． 在中，，，可得，即的坐标为． 由（6，0），，设一次函数解析式为， 代入可得，，解得，所以直线的解析式是． 【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题． 4.直线与轴、轴分别交于点A、点B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰，且，如果在第二象限内有一点（，），且的面积与的面积相等，求的值． 【难度】★★★ 【答案】． 【解析】由题意知，，可求出，又因为是等腰直角三角形， 所以．过点()做平行于轴的直线，交轴与点， 则坐标为（）；交线段于点，则点纵坐标为，代入的解析式， 得：，解得：，所以（），且． 过点作直线的垂线段，垂足为，则的坐标为（）．因为， 且，所以 =2，解得：． 【总结】本题主要考查一次函数与几何的综合，注意利用几何图形的性质解题． ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $$