第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组（10大题型80题）-【常考压轴题】2024-2025学年八年级数学下册压轴题攻略（北师大版）

第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、不等式性质的应用………………………………………………………………3 类型二、应用不等式解决数值讨论问题……………………………………………………9 类型三、一次函数与不等式的综合问题…………………………………………………21 类型四、不等式（组）的解有关的参数讨论问题…………………………………………47 类型五、方程（组）与不等式（组）的综合问题…………………………………………60 类型六、一元一次不等式的实际应用……………………………………………………72 类型七、几何背景下的不等式应用………………………………………………………88 类型八、不等式组的实际应用问题………………………………………………………98 类型九、平面直角坐标系中的不等式（组）问题…………………………………………115 类型十、不等式（组）与几何的综合问题………………………………………………136 知识点1．不等式的性质 ①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ； 如果，那么； 如果，那么 。 ②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； ③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。 用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 知识点2．解一元一次不等式 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向※ 解一元一次不等式的步骤: ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1(不等号的改变问题) 知识点3．一元一次不等式的应用 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号，因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系 知识点4．一元一次不等式与一次函数 利用一次函数图象解一元一次不等式、一元一次方程，就是在画好函数图象的基 础上，观察图象，指出在x取什么值的情沉下，图象满足给定的条件 知识点5．一元一次不等式组 不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。 知识点6．解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。 3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 类型一、不等式性质的应用 1．不等式（a-2012）x＞a-2012的解集是x＜1．则a应满足的条件是（    ） A．a=2012 B．a＜2012 C．a＞2012 D．无法确定 【答案】B 【详解】由含有a的不等式（a-2012）x＞a-2012的解集为：x＜1，根据不等式的基本性质3，可知a-2012＜0，解得a＜2012. 故选B. 点睛：此题主要考查了不等式的解集，解题关键是根据不等式的解集中不等号的方向发生了改变，明确应用了不等式的基本性质3：不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变，由此可判断. 2．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了含参不等式的求解，根据一元一次不等式的基本性质得到a与b的比值以及的结论，设，代入即可得解． 【详解】解：由得：， ∵不等式的解集是， 且 设 则 ∴的解集是， 即， 故选：A． 3．已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】通过等式的性质得和可判断A和B正确；由题目条件判断，，可判断C正确；结合B和A推出，，作差计算可判断D错误． 【详解】解：∵， ∴，即，故选项A正确，不符合题意； ∵， ∴，即， ∴，故选项B正确，不符合题意； 若， ∵， ∴，即， ∴，∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得， ∴，故选项C正确，不符合题意； 由B知， ∵， ∴，， ∴， ∴， 由A知， ∴，即， ∵，即， ∴， ∴，故选项D错误，符合题意； 故选：D． 【点睛】本题考查了等式的性质，不等式的性质，正确记忆等式的性质、不等式的性质并正确变形做出判断是解题关键． 4．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 【答案】B 【分析】本题考查了一次函数的性质，一次函数与一元一次不等式的关系，解题关键是利用数形结合的思想解决问题．根据一次函数中的，与其图象间的关系，利用数形结合的思想以及一次函数与一元一次不等式的关系，可解决此题． 【详解】解：①的图象过第二、三、四象限， 观察图象可知，，． 所以． 故①正确． ②将分别代入和得， ，． 观察图象不难发现点在点的上方， 所以． 故②不正确． ③观察图象发现，与交点的横坐标为． 当时，两者的函数值相等． ， 故③正确． ④，是直线上不重合的两点， 由的图象可知，当时，，则． 当时，，则． 故④不正确． 故选：B． 5．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式的性质．熟练掌握不等式的性质是解题的关键． 由题意知，，，，，则，可求，则的最大值为，同理可求，则的最大值为，的最大值为，然后求的最大值即可． 【详解】解：∵，，，，为正整数，且， ∴，，，， ∵， ∴， 解得，， ∴的最大值为， ∴， ∴， 解得，， ∴的最大值为， 同理，的最大值为， ∴的最大值为， 故答案为：． 6．若，且，设，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】因为，所以．所以．所以．因为，所以，解得．所以．所以． 7．若，且，，设，则t的取值范围为 ． 【答案】 【分析】由条件可得先求解b的取值范围，再把化为，再结合不等式的基本性质可得答案． 【详解】解： ，， ∴ 解得： 而， ∵， ∴ ∴t的取值范围是： 故答案为： 【点睛】本题考查的是不等式的性质，方程思想的应用，求解及是解本题的关键． 8．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题： (1)当a，b满足　 　时，a2+b2＝2ab成立； (2)若x为正数，　 　，当x＝　 　时，取得最小值； (3)若x为正数，的最小值为　 　； (4)若x＞3，则最小值为　 　． 【答案】(1)a＝b (2)2，1 (3) (4)2 【分析】先根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答． 【详解】（1）解：由a2+b2＝2ab，得（a﹣b）2＝0， ∴a＝b． 故答案为：a＝b． （2），当且仅当x＝1时，取得最小值成立． 故答案为：2，1． （3）由a2+b2≥2ab，可知当x、y为正数时，x+y=． ∴若x为正数，则． 故答案为：． （4）原式＝（x﹣3）+． 故答案为：2． 【点睛】本题主要考查不等式的应用，根据所给结论，把已知式子转化为类似的形式，再套用结论作答是解题的关键． 类型二、应用不等式解决数值讨论问题 9．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则 ．满足条件最小的 ． 【答案】 2 138 【分析】本题考查了新定义，解一元一次方程，不等式的性质，数的整除等知识点，正确理解题意是解题的关键． 由新定义得到，则，可求，要使得最小，那么应该最小，而，则，那么，则或，解方程即可． 【详解】解：∵，是两个不同的“中顺数”， ∴， ∴， ∵（，，，且a，b，c均为整数），记， ∴， 要使得最小，那么应该最小，而， ∴ ∴， ∵能被13整除， ∴， ∴， 解得：（舍）， 或， 解得：， ∵， ∴， ∴， 故答案为：2；138． 10．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，，则：．已知4378是一个“差同数”，则 ．若自然数都是“差同数”，其中（都是整数），规定：，当能被11整除时，则的最小值为 ． 【答案】 1 【分析】本题主要考查了整式加减的应用、不等式的性质、有理数加减乘除运算的应用．理解“差同数”的定义，善于把新知识转化为常规知识来解决问题是解题关键． （1）根据“差同数”的定义求得s和和t，进而求得； （2）根据“差同数”的定义和已知条件，求得，进而求得，再根据字母的取值范围，分情况考虑即可求出k的最小值． 【详解】解：由题意知，，， ∴， ∵，其中， ∴P的千位数字为x，百位数字为6，十位数字为，个位数字为6， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∵，其中， ∴Q的千位数字为3，百位数字为m，十位数字为，个位数字为， ∴由“差同数”知：， 即； 而， ， ∴； ∴， ∵，， ∴； ∵，， ∴， ∴； ∵能被11整除， ∴或0或11； ①当时，， ∵， ∴或， ∴或4， 当时，； 当时，，不合题意； ∴； ②当时，， ∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴不存在； ③当时，， ∵， ∴， ∴或， ∴或1； 由①知，； ∴的最小值为； 故答案为：1；． 11．若一个四位自然数各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“幸福数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位自然数．规定．例如：，，，是“幸福数”，则．若P是最大的“幸福数”，则 ；若S是“幸福数”，且恰好能被8整除，则所有满足题意的S的值共有 个． 【答案】 3/三 【分析】此题考查了新定义，整式加减的应用，不等式的性质等知识，根据幸福数的定义分析后即可得到最大幸福数，即可求出；S是“幸福数”，设，其中，且a、b、c、d均为整数，得到，由恰好能被8整除得到能被8整除，进一步分析求出所有满足题意的S的值即可得到答案． 【详解】解：根据幸福数的定义可知，各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8， ∴千位数最大为4，则百位数为1，十位数字最大为7，则个位数字为1， ∴最大幸福数， ∴， S是“幸福数”，设，其中，且a、b、c、d均为整数， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵恰好能被8整除， ∴能被8整除， ∵ ∴， ∴， ∴或， 当时，，则， 当时，，则或， 当时，， 当时，， 当时，， 综上所述，或或，共3个， 故答案为：，3 12．一个各个数位上的数字互不相等且都不为0的四位正整数M，从四位数中取出千位、百位数字依次组成两位数x，从四位数中取出十位、个位数字依次组成两位数y，若，则称这个四位数为“圆满数”，把y放在前x放在后组成新的四位数N，并且规定：等于M的前两位数字之和．例如：一个四位数1783，因为，所以1783是“圆满数”，且，如果四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”，则 ，如果为整数，且为奇数，则满足条件的S的最小值是 ． 【答案】 9 【分析】本题是新概念问题，考查了对新概念的理解，整式的加减运算，不等式的性质，算术平方根等知识，理解新概念是关键． 由题意得：，得，由此得，进而得的值；分别计算出，则可得，由题意为的形式，才能保证被开方数为整数；根据a、b的范围确定只能为或或，分别就这三种情况考虑即可． 【详解】解：因为四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”， 则， 即， ， 则为10的倍数； ， ， ， ； 故答案为：9； ，， 则， ； ， ； ， ， ； 由题意知，为整数， 为的形式，才能保证上式为整数， ， ， 则为或或； 当时， ， 即； 为奇数， ，b的奇偶性为一奇一偶； 故或3，则（舍去）或8， 则； 当时， ， 即； 故b必为奇数，则a只能为偶数， 由a、b的取值知，a只能取6， 则， 则； 当时， ， 即； 显然b为偶数，则a为奇数， 故，则， 则，这与矛盾， 故不符合题意； 综上，S的最小值为； 故答案为：． 13．对于任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如“智慧数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为，，所以． (1)计算：______；______； (2)若“智慧数”（，，，都是正整数），也是“智慧数”，且能被12整除，求满足条件的的值． 【答案】(1)262；875 (2)满足条件的n的值为9759 【分析】（1）根据“智慧数”的定义，计算求解即可； （2）由“智慧数”的定义，先表示出，再结合是12的倍数，且千位和百位数字不相等，十位与个位上的数字不相等分析即可． 【详解】（1）解：，去掉千位上的数字得到131，去掉百位上的数字得到231，去掉十位上的数字得到211，去掉个位上的数字得到213，这四个新三位数的和为，，所以； ，去掉千位上的数字得到876，去掉百位上的数字得到576，去掉十位上的数字得到586，去掉个位上的数字得到587，这四个新三位数的和为，，所以； 故答案为：262；875； （2）解：（，，x，y都是正整数） ∴千位数字为9，百位数字为7，十位数字为x，个位数字为y，且，去掉千位上的数字得到，去掉百位上的数字得到，去掉十位上的数字得到，去掉个位上的数字得到，这四个新三位数的和为：， 即 又∵也是“智慧数”，千位数为1，则百位数至少为2， ∴ ∵，，x，y都是正整数 ∴ ∴ ∵能被12整除 ∴的取值可以是1212和1224 当时，，有，此时无满足要求的的值； 当时，，有，此时； 故满足条件的n的值为． 【点睛】本题考查不等式，二元一次方程等相关知识点．解题的关键在于掌握的求法及要求，结合题意是重点． 14．材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除； 材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”． （1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________； （2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与． 【答案】（1）；（2）或或或 【分析】（1）根据新定义结合且为整数，可直接得到答案； （2）设为 为 且且为整数，且为整数，可得 由新“对称凹数”能被9整除，能被9整除，结合＞ 可得， 可得或 或，再分类讨论可得答案． 【详解】解：（1）由新定义可得：且为整数， 所以“对称凹数”为最小时， 最小的“对称凹数”是 所以“对称凹数”为最大时， 最大的“对称凹数”是 故答案为： （2）设为 为 且且为整数，且为整数， 新“对称凹数”能被9整除， 能被9整除， 能被9整除， ＞ ， 又且为整数，且为整数， 或 或， 当时， 当时，则，不合题意舍去， 当时，则 不合题意舍去， 当时，则 符合题意， 此时： 当时，则 不合题意舍去， 当时，则 此时： 当时，则 此时： 当时，则 此时： 当时，则不合题意舍去， 当时，当时， 同理可得没有符合题意的解， 综上：或或或 【点睛】本题考查的是新定义情境下的类二元一次方程的正整数解问题，不等式的基本性质，分类讨论的数学思想，掌握以上知识是解题的关键． 15．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题． 【问题提出】比较与（，）的大小， 【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值． (1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”） ______；______；______ (2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，． 猜想证明过程如下： =… 请补全上述证明过程； (3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)>；；= (2)≥，=；证明见解析 (3)每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【分析】（1）先计算，再利用估算，比较大小即可； （2）利用完全平方公式配方，根据偶次方的非负性即可证明； （3）设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米，根据题意可列出方程，再结合题干所给材料可得出结论． 【详解】（1）解：，， ∵，∴， ∴； =9，， ∵，∴， ∴； =14，， ∴=； 故答案为：；；=； （2）解：猜想≥（，），当且仅当a=b时，． 证明： ∵ ， ∴≥； 故答案为：≥，=； （3）解：设每间隔离房与墙平行的边为x米，与墙垂直的边为y米， 依题意得：6x+8y=48，即3x+4y=24， ∵3x＞0，4y＞0， ∴3x+4y≥2， 即24≥2， 整理得：xy≤12， 即S≤12， ∴当3x=4y时Smax=12， 此时x=4，y=3， 即每间隔离房长为4米，宽为3米时，S的最大值为12平方米． 【点睛】本题属于创新题型，根据阅读材料，考查学生的理解能力和学习能力，在解题的过程中，要注意抓住“当且仅当a=b时等号成立”这一条件，得出取得最大值和最小值时候的条件． 类型三、一次函数与不等式的综合问题 16．我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查一次函数、一元一次方程、一元一次不等式，及定义新运算的综合，理解图示，掌握两条直线的交点的计算方法，图形结合分析是解题的关键．根据图示，先联立方程组求出两直线的交点，根据交点的不同，一次函数值的大小不同，分类讨论即可求解． 【详解】解：分别作出函数，，的图象，根据图示，联立方程求交点得， ①，解得，；②，解得，；③，解得，； ∴当时，，则； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则，； 当时，，则； 当时，，则； 综上所述，的最大值为， 故选：C． 17．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 【答案】 【分析】本题主要考查了一次函数综合．熟练掌握一次函数的图象和性质，一次函数与不等式，分类讨论，是解决问题的关键． 可知过原点，当过点时， ；当与平行时，，由函数图象知， ． 【详解】解：可知过原点， ∵中，时，， ∴当过点时，， 得； 当与平行时， 得． 由函数图象知，当时，函数的图象在函数的图象上方，a的取值范围为：． 故答案为： ． 18．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 【答案】(1)， (2)或 【分析】本题主要考查了一次函数与轴对称变换．熟练掌握待定系数法求一次函数解析式，轴对称性质，是解题的关键． （1）先求出点A的坐标，进而利用待定系数法求出直线的解析式，即可； （2）先根据对称性求出直线的解析式，再结合函数图象对求解即可． 【详解】（1）解：直线与轴交于点A， ， 把点代入直线中， 得，， 解得，， 直线的解析式为； 故答案为：， （2）解直线与直线关于直线对称， 直线为， 画出函数图象如解图， 结合图象， 可得，或时，区域内恰有1个整点． 故答案为：或． 19．【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】 为了得到方法二，可以将①②，可得． 令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 （1）请你选择一种方法，求的值； （2）对于方程组利用方法二的思路，求的值； 【迁移应用】 （3）已知，求的范围． 【答案】（1）2；（2）26；（3） 【分析】（1）利用方法二来求的值；由题意可知； （2）先根据方法二的基本步骤求出，即可得； （3）通过方法二得出，再利用不等式的性质进行求解． 【详解】解：（1）利用方法二来求的值； 由题意可知：， 即； （2）对于方程组， 由①②可得：， 则， 由③④可得：， ， 将代入④可得， ， 则； （3）已知， 通过方法二计算得： ， 又， ． 【点睛】本题考查了二元一次方程的求解、代数式的求值、不等式的性质，解题的关键是理解材料中的方法二中的基本操作步骤． 20．如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，B，点C在x轴的正半轴上，且．    (1)求直线的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围； (4)连接CP．把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．点，在直线上，若直线CP将线段MN（包括端点）上的“好点”的个数平分，请直接写出满足条件的“好点”P的坐标． 【答案】(1)直线的解析式为； (2)当时，点P是落在直线上； (3)； (4)“好点”P的坐标为或． 【分析】（1）利用待定系数法即可求解； （2）把代入，计算即可求解； （3）判断得出点P在直线上，画出图形，求得直线与坐标轴的交点即可求解； （4）当x的值为3的整数倍时，该点为“好点”，则“好点”的横坐标为15，12，9，6，3，0，，，，共10个，与直线l的交点横坐标在之间（包括端点），设直线的解析式为，得到，再分类讨论，即可求解． 【详解】（1）解：∵点在直线上， ∴，解得， ∴直线的解析式为； （2）解：把代入，得， 解得，则， ∴当时，点P是落在直线上； （3）解：∵是平面直角坐标系中的一个动点， ∴点P在直线上， 当时，； 当时，； ∴直线与坐标轴的两个交点为，，    ∵点P在的内部点P在线段上， ∴； （4）解：对于直线，当x的值为3的整数倍时，该点为“好点”， 则在线段上，“好点”的横坐标为15，12，9，6，3，0，，，，共10个， ∵平分这10个“好点”， ∴与直线l的交点横坐标在之间（不包括端点）， 设直线的解析式为， 则，解得， ∴直线的解析式为， 解方程， 得， ∴， 当，即，则， ∴（舍去）， ， ∴（舍去）； 当，即，则， ∴， ， ∴； 则， 又∵a为整数，∴a可取2或3， ∴“好点”P的坐标为或． 【点睛】本题主要考查了在平面直角坐标系中一次函数与线段之间的联系，理解题中的定义是解此题的关键． 21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，． (1)点的坐标为 　　，点的坐标为 　　（用含有的式子表示）； (2)若一次函数经过点，平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，．当时，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长；若变化，请说明理由． (3)若一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)不变， (3)或且 【分析】（1）根据图象上点的坐标特征求得即可； （2）将点代入得，则，，，利用勾股定理即可得解； （3）求得时，点的坐标为或，代入求得的值，结合图像即可求得的取值范围． 【详解】（1）解：∵一次函数的图象分别交轴、轴于点，， ∴， 当时，得；当时，得； ∴，； 故答案为：；； （2）不发生变化，理由如下： ∵一次函数经过点， ∴， ∴， ∴此一次函数解析式为， ∵平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，，且 平行于x轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点M，N，点M，N的横坐标分别为m，n，且， ∴，， ∴， ∴当时，线段的长度不发生变化，的长为； （3）设一次函数图象与函数图象的交点为，设点的纵坐标为， ∵， ∴一次函数图象过定点， ∴， 当时， 得：，即， 解得：或， ∵点在函数的图象上， ∴点P的坐标为或， 把代入，解得：， 把代入，解得：， ∵一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于， ∴的取值范围是：或且．    【点睛】本题是两条直线相交或平行问题，考查了待定系数法求函数的解析式，一次函数与坐标轴的交点，一次函数图象上点的坐标特征，两函数图象的交点问题，已知两点坐标求两点间距离，三角形面积等知识点．数形结合的运用是解题的关键． 22．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． 【答案】（1）；（2）①见解析；②或；（3）或者． 【分析】（1）根据伴随函数的定义即可求解； （2）①把代入，把代入，求得函数值即可填表，根据列表即可作出图形；②分别求出、两点的坐标，进而根据面积构造方程求解即可； （3）先求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的伴随函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）∵函数为一次函数的伴随函数． 的伴随函数为； 故答案为：； （2）①当时，，当时，， ∴补全表格如下： x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 作图如下， ②联立和得 ，解得， ∴ 联立和得， 解得， ∴ 当时，， ∴与轴的交点为， ∵点 ∴， ∵的面积为 ∴，即， 解得或 （3）如图， 设直线为， ∵点、的坐标分别为，， ∴， 解得， ∴直线为， 令，则， ∴直线:与轴的交点为， 由题意得，一次函数的伴随函数为． 当轴右侧部分与有交点时，把和代入，得， 当轴左侧部分与有交点时，把和，代入，得， 当时，， ∴或者， ∴伴随函数与有个交点时，的取值范围为：或者， 故答案为：或者． 【点睛】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，了函数图象与函数的性质和一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交等知识，正确的理解题意是解题的关键． 23．【发现问题】 小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关. 【提出问题】如图，设AB两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数来表示，可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质. 【解决问题】 （1）画函数的图象 ①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②若点在该函数的图象上，则的值为________ （2）仿照画函数的过程，可以画出函数图象，通过图象可以写出不等式的解集为：________ 【拓展延伸】 不等式的解集为：________ 【答案】（1）①见解析；②7或（2）画图象见解析，或；【拓展延伸】或 【分析】本题主要考查一次函数．熟练掌握分段函数性质，描点法图函数图象，图象法解绝对值方程、解不等式，是解题的关键． （1）①列表、描点、连线，绘图即可；②结合图像解方程即可； （2）画出函数与的图象，根据两函数图象交点，确定不等式的解集； 拓展延伸：在平面直角坐标系中画出函数，的图象，结合两函数图象交点，确定不等式的解集． 【详解】解：（1）①填表：填入表中的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 3 4 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 … 描点，连线：得到的图象； ②∵， ∴， ∴， ∴，或， ∴，或； 故答案为：7或； （2）列表：的x，y的部分对应值： x … 0 1 2 … y … 4 3 2 1 0 1 2 3 4 … 的x，y的部分对应值： x … 0 … y … 0 1 … 在同一平面直角坐标系中描点，连线： 得到的图象，的图象； 当时，， 有， ∴，； 当时，， 有， ∴，； ∴函数与交于， ∴由图象看出，不等式的解集为或； 故答案为：或； 拓展延伸： 设，， 在同一平面直角坐标系中作出，的图象， 两函数图象相交于两点， ∴不等式的解集为或． 故答案为：或． 24．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)3， (2) (3) (4)，，， 【分析】（1）把点的坐标为代入得，从而得到点的坐标，将点、的坐标代入，可求得到，； （2）要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方，由此直接根据函数图象即可得到答案； （3）连接，由函数解析式求得、坐标，再根据即可求解； （4）分四种情况：当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，当，，点在右侧时，当，，点在左侧时，构造全等三角形，根据，两点坐标求出相应边的长度，进而求得点的坐标． 【详解】（1）解：把点的坐标为代入得：， ∴，即：点的坐标为， 将点，点代入得：， 解得：； （2）解：由（1）得点的坐标为，要使得函数的值大于函数的函数值，只需函数的图象在函数上方， ∴由图象可得：当时，函数的函数值大于函数的函数值， ∴关于的不等式的解集是：； （3）解：由（1）可知：直线的解析式为，，， 当时，，得， ∴点的坐标为， ∵函数的图象与轴交于点， 则当时，，即：， 连接， ∴； （4）当，，点在右侧时，如图， 过点作轴，过点作， 则， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴，，，则， ∴， ∴， 则点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点作轴，过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在右侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 当，，点在左侧时，如图， 过点，点作，， 同上可得：点坐标为； 综上：坐标为或或或． 【点睛】此题考查了一次函数与几何的综合应用，涉及了勾股定理、等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定及性质，解题的关键是熟练掌握相关基本性质，利用分类讨论和数形结合思想方法求解． 25．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．    (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 【答案】(1)； (2)①或；②时；时，；时， 【分析】（1）根据直线在轴上的截距为，得出，将点代入，即可得出的值； （2）依题意，，根据，列出方程，解方程，即可求解． （3）设与交于点，则,分别求得的长，根据，分类讨论，利用作差法比较大小，解不等式，即可求解． 【详解】（1）解：∵直线在轴上的截距为． ∴， 将点代入， 即 解得：， ∴ （2）解：①依题意，， ∵ ∴或， 解得：或 ∴或， ②依题意，， ∵， ∴， 设与交于点，则，解得：，    ∴， 当时， ， 当时，解得：（不合题意） 当时，解得：， 则时； 当时，， ， 当时，即时，， 当时，即时，， 当时，即时，， 综上所述：时；时，；时，． 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式，一元一次方程的应用，一元一次不等式的应用，熟练掌握一次函数的性质，数形结合是解题的关键． 26．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 【答案】（1）；（2）或；（3）；拓展提升：当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 【分析】此题是一次函数综合题，主要考查了新定义，一次函数图象上点的坐标特征，一次函数与不等式，两直线相交，正确的理解题意是解题的关键． （1）根据关联函数的定义求解即可； （2）根据“相关函数”的定义，分两种情况：当时，当时，将代入函数解析式求解即可； （3）作直线，与图像交于点、，点在点的左侧，根据“相关函数”的定义表示出点、的坐标，进而表示出，即可求解； 拓展提升：先求出线段的解析式，再求出直线与轴的交点坐标，再由一次函数的关联函数为，根据不等式即可得结论． 【详解】解：（1）一次函数的相关函数是， 故答案为：； （2）点在一次函数的相关函数图像上， 当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 或， 故答案为：或； （3）如图，作直线，与图像交于点、，点在点的左侧， 当时，， ， ， 当时，， ， ， ， ， ， 解得：， 当时，， 图像与轴交于点， 当时，直线才与图象有两个交点， ； 拓展提升：设线段的解析式为，将点、代入得： ， 解得：， 线段的解析式为， 当时，， 线段与 轴 的 交 点 坐 标 为， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当时，联立， 解得：， 要使交点在内，则， 解得：， 当或时，线段与图像有一个交点，当时，线段与图像有两个交点． 类型四、不等式（组）的解有关的参数讨论问题 27．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 【答案】D 【分析】本题考查由不等式组的整数解求参数，涉及不等式组的解法、分类讨论等知识，先解不等式组，再由参数的情况，分类讨论，确定不等式组的解集，最后结合不等式组的整数解情况求出参数范围即可得到答案，熟练掌握不等式组的解法是解决问题的关键． 【详解】解：关于的不等式组， 由①得；由②得； 关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2， 当时，不等式组的解集为，则，解得，整数可取，整数可取，则整数对有，共6个； 当时，不等式组的解集为，则，解得，不等式组无解； 综上所述，关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有6个， 故选：D． 28．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了解一元一次不等式组和一元一次不等式组的整数解，先根据不等式的性质求出两个不等式的解集，再根据求不等式组解集的规律求出不等式组的解集，最后根据不等式组仅有2个整数解求出m的范围即可． 【详解】：解不等式，得， ∴不等式组的解集是， ∵不等式组的解集中恰好有两个整数， ∴设相邻的两个整数分别为n和， ∴， 整理得， ∴当时，不等式组有解， 解得， ∴， ∴， ∴． 故选：C． 29．已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 【答案】①③④ 【分析】本题考查了含有参数的二元一次方程组，一元一次不等式的性质，掌握解方程组的方法及不等式的性质是解题的关键．①解出方程组的解为，将代入即可判定；②代入方程组，得到关于的一元一次方程组，消去即可判定；③将方程组①②，即可判定；④将方程组的解代入，可得，结合即可判定． 【详解】 ，得，那么 ，得，那么 方程组的解为： 当时，代入， 解得，故①正确； 将代入方程组，得到 ③④，得，矛盾，故②错误； ①②，得，整理得，故③正确； ，故④正确． 故答案为：①③④ 30．若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了根据不等式组的解的情况求参数，一元一次方程的解，解不等式组得，由不等式组的解的情况得，即得，再由一元一次方程得，根据方程的解为整数可得或或，再把整数的值相加即可求解，根据不等式组确定出的取值范围是解题的关键． 【详解】解：， 由得，， 由得，， ∴， ∵不等式组有且只有个奇数解， ∴， 即， 解得， 由方程得，， ∵方程的解为整数， ∴或或， ∴符合条件的所有整数的和， 故答案为：． 31．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 【答案】或或 【分析】本题考查了求一元一次不等式组的解集，根据“雅礼不等式”的定义分三种情况解答即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：分三种情况解答： ①若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ②若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； ③若，即的解集为，则，且， 化简得，，代入，得， 解得， 由，得， 即， 解得， 由，得， 解得， ∴此时不等式组的解集为； 综上所述，所给不等式组的解集为或或， 故答案为：或或． 32．已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 【答案】 8或 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，一次函数的性质，解一元一次不等式等知识点， (1)把代入，再根据一次函数的性质即可求解； (2)根据一次函数的性质，分三种情况讨论，即可求解； 熟练掌握绝对值的性质，进行分类讨论是解决此题的关键． 【详解】(1)当时，， ∵， ∴y随着x的增大而减小， 当时，，当时，， ∴， 当时，， .∵， ∴y随着x的增大而增大， ∴当时，，当时，， ∴ ∴y的取值范围为：， 故答案为：； (2)  当时，， ∵，x越大，越小， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，x越大，越大， ∴当时，y取得最小值， ∴y的最小值为， ∵y有最小值5， ∴， ∴， 当时，， ∵，y在时取得最小值， ∵y有最小值5， ∴， ∴， ∵不满足这个条件， ∴舍去， 综上所述：a的值是8或， 故答案为：8或． 33．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一次函数的图象，根据一元一次不等式组的解集求参数，不等式组的整数解，由一次函数的图象可得，得到，又根据不等式组的解集可得，即得，得到的整数值，把它们相加即可求解，掌握一次函数的图象和解不等式组是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数的图象不经过第四象限， ∴， 解得， 又不等式组， 由得，， 由得，， ∵不等式组的解集是， ∴， ∴， ∴的取值范围为， ∴的整数值为，，，，， ∴满足所有条件的整数之和为， 故答案为：． 34．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了根据不等式的解的情况确定字母的取值范围．先分别解两个不等式得到，，根据不等式有5个整数解得到不等式的整数解是，即可得到，解得． 【详解】解：解不等式得， 解不等式得， ∵不等式有5个整数解， ∴不等式的整数解是， ∴， ∴． 故答案为： 35．定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 【答案】(1)； (2) (3) 【分析】本题考查二元一次方程组的解法、一元一次不等式的解法和一元一次不等式组的解法． （1）根据定义的新运算，列出二元一次方程组，解方程组可求出，的值； （2）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式组，解不等式组并根据不等式组解集的情况可求出的取值范围； （3）根据（1）求出的，的值和新运算列出一元一次不等式，根据解集为可得出与的数量关系；再根据，的值和新运算列出一元一次不等式求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：， 故答案为：；； （2）把，代入得， ∴不等式组可转化为， 解得：， ∵关于的不等式组无解， ∴， 解得：， ∴的取值范围是； （3）不等式转化为， 整理，得：， ∵的解集为， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 解得：， 不等式转化为， 整理，得：， ∴， ∴， ∴， ∴不等式的解集为． 36．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)；， (2) (3)存在， 【分析】本题考查解一元一次不等式组及求不等式组的整数解，正确理解“长度”与“整点”的定义，并分类讨论是解题关键． （1）先解不等式组，求出不等式组的解集，根据及“整点”的定义即可得答案； （2）先整理不等式得出，分和两种情况，根据及列不等式完成不等式的解集即可得答案； （3）分情况，根据得出值，得出不等式组，用表示不等式组的解集，根据恰有4个“整点”列不等式组求出解集即可得答案． 【详解】（1）解： 解不等式①得：， 解不等式②得：， ∴不等式组的解集为， ∴，整点为， 故答案为：；，； （2）解： 解不等式得：， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得：， ∴， 当时，即时，， ∵，，， ∴， 解得，, ∴ 当时，方程组解为：， 满足题意， 综上所述：的取值范围． （3）解：存在，理由如下： 当时，不等式的解集为， ∴，不符合， 当时，不等式的解集为， ∵， ∴， 解得：， 当时，不等式的解集为， ∴， 解得：， 当，不等式的解集为， ∴， 解得：，当时，，不符合， 当或，方程组无解， 综上所述：， ∴为， 解不等式组得：， ∵关于y的不等式组恰有4个“整点”， ∴， 解得：． 37．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 【答案】(1)①② (2) (3) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解， （1）先求出方程的解和不等式组的解集，再判断即可； （2）先求出不等式组的解集，然后再解方程求出，最后根据“关联方程”的定义列出关于k的不等式组，进行计算即可； （3）先求出不等式组的解集，不等式组有4个整数解，即可得出的范围，然后求出方程的解为，根据“关联方程”的定义得出关于的不等式，最后取公共部分即可． 【详解】（1）①，解得； ②，解得； ③，解得； 解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵在范围内， ∴不等式组“关联方程”是①②； 故答案为：①②； （2）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得； （3）解不等式得：， 解不等式得：， ∴的解集为， ∵此时不等式组有4个整数解， ∴， 解得 关于的方程的解为， ∵关于的方程是不等式组的“关联方程”， ∴在范围内 ∴， 解得， 综上所述，． 类型五、方程（组）与不等式（组）的综合问题 38．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，解一元一次不等式，解二元一次方程组，先解方程组可得，再由为负数，为非正数，求得，再由不等式的解集为得到，最后取整数即可． 【详解】解：解方程组， 得， 因为为负数，为非正数， 所以， 解得， 因为， 所以． 要使不等式的解集为， 必须， 解得． 又因为3，且为整数， 所以． 故答案为：． 39．已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【分析】（）把代入不等式组，解不等式组即可求解； （）求出不等式组的解集，根据不等式组解集的情况求出的取值范围，得到的整数解，相加即可求出的值； （）求出方程组的解，把方程组的解和的值代入不等式，解不等式即可求解； 本题考查了解一元一次不等式组，求不等式组的整数解，解二元一次方程组，掌握解一元一次不等式组和二元一次方程组是解题的关键． 【详解】（1）解：当时，不等式组为， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为； （2）解：， 由得，， 由得，， ∴不等式组的解集为， ∵不等式组有且只有个整数解， ∴， 即， 解得， ∴的整数解为，，， ∴； （3）解：， 方程组化简得，， 得，， 解得， 把代入得，， ∴， ∴方程组的解为， 把，代入不等式得，， 解得． 40．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 【答案】(1)； (2)或； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次方程和一元一次不等式，解二元一次方程组和一元一次不等式组，理解“梦想解”的定义是解题的关键． （）分别把代入每个不等式，判断是否是不等式的解即可； （）求出方程组的解，代入不等式组，再解不等式组求出的取值范围，最后结合为整数即可求解， （）求出方程的解为，不等式组的解集为，由所有整数“梦想解”的和为可得，解得． 【详解】（1）解：把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴不是不等式的解； 把代入不等式得，左边， ∴是不等式的解； 故答案为：； （2）解：解方程组得， ∵二元一次方程组和不等式组有“梦想解”， ∴是不等式组的解， 把代入不等式组得，， 解不等式组得， ∵为整数， ∴或； （3）解：由方程得，， 解不等式组得：， ∵所有整数“梦想解”的和为， ∴整数“梦想解”为1、2、3、4或0、1、2、3、4， ∵关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”， ∴，解得∶． 综上，． 41．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 【答案】(1)， (2)， (3) 【分析】本题主要考查了新定义下的实数运算，解二元一次方程组，三角形的三边关系，解一元一次不等式组，正确理解题意是解题的关键． （1）根据题目所给的新定义得到关于a、b的二元一次方程组，解方程组即可； （2）先根据题意得到关于x、y的二元一次方程组，解方程组用m表示出x、y，再根据等腰三角形的三边关系得到，代入即可求出m的取值范围，进而表示出三角形的周长C，即可解答； （3）可令再根据同解题意可知关于m、n的方程组的解为，则，据此求解即可． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得； （2）解：∵ ∴， ∴， ∵y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度， ∴ ∴， ∴ ∵该等腰三角形的周长， ∴． （3）解：可变形为， ∴令， ∴， ∵关于 x，y的方程组的解为， ∴关于m、n的方程组的解为， ∴， 解得． 故答案为： 42．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 【答案】(1)是“无缘组合”，理由见解析 (2) (3) 【分析】（1）分别解方程和不等式，判定是否符合定义； （2）分别解方程和不等式，根据方程的解在不等式的解集范围内确定的取值范围； （3）分别解方程和不等式，根据方程的解不在不等式的解集范围内确定的取值范围. 【详解】（1）解方程，得， 解不等式，得， 不在范围内， 组合是“无缘组合”． （2）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“有缘组合， 在范围内， （3）解方程，得， 解不等式，得， 关于的组合是“无缘组合”， ， 解得． 43．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 【答案】(1)① (2)； (3)． 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，一元一次方程的解，理解材料中的不等式组的“相依方程”是解题的关键． （1）分别解三个一元一次方程与不等式组，再根据新定义作判断即可； （2）分别解不等式组与方程，再根据新定义列不等式组，解不等式组可得答案； （3）先解不等式组可得，再根据此时不等式组有5个整数解，令整数的值为：，，，，，再求解，而为整数，则或0，分两种情况讨论，从而可得答案． 【详解】（1）解：①， 整理得：， 解得：； ②， 解得：； ③， 解得：； ， 解不等式可得：， 解不等式可得：， 所以不等式组的解集为：； 根据新定义可得：方程①是不等式组的“相依方程”． 故答案为：①； （2）解：， 由①得：， 由②得：， 所以不等式组的解集为：， ， ， 根据“相依方程”的含义可得： ， ， 解得：； （3）解：， 由①得：， 由②得：， ∴不等式组的解集为：， 此时不等式组有5个整数解， 令整数的值为：，，，，， ， ∴， 则， 解得：，而为整数，则或0， 当时，， ∴， 因为， 解得：， 根据“相依方程”的含义可得：， 解可得：， 解可得：， 所以不等式组的解集为：； 当时，， ∴， 综上：． 44．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 【答案】(1)不是 (2) (3) 【分析】本题考查解一元一次方程，解一元一次不等式，根据方程组的解的情况，求参数的范围，掌握“友好解”的定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，判断即可； （2）两个方程相减后，结合不等式，得到关于的不等式，求解即可； （3）求出方程的解，不等式的解集，根据“友好解”的定义，求出的范围，进而求出的最小整数值即可． 【详解】（1）解：解，得：， 解，得：， ∴方程的解不是不等式的解， ∴不是； （2）， ，得：， ∵， ∴， 即：， ∴； （3）由，得 ， ∵， ∴， ∴，即， 由，得 ． ∵方程的解是不等式的“友好解”． ∴， 解得 ， ∴的最小整数值为：． 类型六、一元一次不等式的实际应用 45．重庆某服装店经营一品牌羽绒服，有轻型、中型、厚型三种，12月底，店里购进轻型、中型、厚型羽绒服的数量比为，今年重庆将迎来近20年最冷寒冬店里紧急加购了三种羽绒服，其中厚型羽绒服增加的数量占总增加数量的，厚型羽绒服总数量将达到三种羽绒服总量的，此时轻型羽绒服与中型羽绒服增加的数量之比为，已知轻型、中型、厚型三种羽绒服每件的成本分别为190元，250元，300元．在销售时，轻型羽绒服每件售价为240元，1月底结束销售时，只有轻型羽绒服的作为促销礼物送给了顾客，其余全部卖完，最后三种羽绒服的总利润率为，若要使中型羽绒服的利润率不低于，那么厚型羽绒服的售价最高为 元． 【答案】 【分析】此题考查的是利用代数式表示，一元一次不等式和一次函数的性质，设购进轻型、中型、厚型羽绒服的数量分别为，，，紧急加购，厚型羽绒服的加购数量为b，可得厚型羽绒服总数量，轻型羽绒服与中型羽绒服的总数量，根据题意得轻型羽绒服总数量，中型羽绒服总数量，厚型羽绒服总数量，设中型羽绒服每件售价为x元，厚型羽绒服每件售价为y元，根据题意列方程化简得，由中型羽绒服利润解得，结合一次函数得性质即可求得最大值． 【详解】解：店里购进轻型、中型、厚型羽绒服的数量比为， 设购进轻型、中型、厚型羽绒服的数量分别为，，， 紧急加购，厚型羽绒服的加购数量为 厚型羽绒服总数量， ， 轻型羽绒服与中型羽绒服的总数量=， 轻型羽绒服与中型羽绒服的总数量之比为， 轻型羽绒服总数量=， 中型羽绒服总数量=， 厚型羽绒服总数量， 设中型羽绒服每件售价为x元，厚型羽绒服每件售价为y元， 根据题意 ， 整理得， ∴， ∴中型羽绒服利润， 解得， ，，y随x的增大而减小， 当时，y最大=． 故答案为：354． 46．甲、乙两人分别骑自行车和电动车同时从A地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速骑往B地，甲到达B地后，立即以原来速度的1.5倍沿原路返回，直至到达A地，乙到达B地后立即停止．甲的速度为．设出发小时后，甲、乙两人离B地的距离分别为．图中线段表示与的函数关系． (1)乙的速度为_______； (2)直接写出的函数关系式并画出的函数图象（标上必要的数据）； (3)若乙到达B地休息后返程，比甲提前回到A地，则乙返程速度（单位：）的取值范围是_______． 【答案】(1)18 (2),作图见解析； (3)． 【分析】本题主要考查了一次函数的时间运用、一次函数的图像、列函数关系式、不等式的应用等知识点，根据题意正确列出函数关系式和不等式成为解题的关键． (1)根据图像可知两地距离为36千米, 甲到达B地用时2小时,然后再根据行程问题即可解答; (2)分甲到达B地前后两种情况,分别列出函数解析式,并化成函数图像; (3)根据题意列不等式求解即可． 【详解】（1）解: 根据图像可知两地距离为36千米, 甲到达B地用时2小时,则甲的速度为: ． 故答案为:18． （2）解: 甲以速度为到达B地之前的函数解析式为:; 甲返程的速度为,则返程的函数解析式为: ; 与x的函数关系式为 根据函数解析式画出函数图像如下: （3）解:设乙返程的速度为, 根据题意可得:,解得: ． 47．足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 【答案】(1)3 (2)2000 【分析】本题考查了二元一次方程，三元一次方程组的实际应用，一元一次不等式的实际应用，解题的关键是正确理解题意，根据题意找出数量关系，列出方程组和不等式解答． （1）设胜x场，平y场，则，，分别写出x和y的值即可解答． （2）设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为，列出不等式，求出x的取值范围为，设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n，根据题意列出方程组，得出，则，进而推出，根据题意得出，则，，，，即可解答． 【详解】（1）解：设胜x场，平y场， ∵共进行了8场比赛， ∴， ， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，符合题意； 当时，，不符合题意； 综上：该队获胜的场数有3种可能； （2）解：设手办、毛绒公仔、徽章套组的售价分别为， ， 解得：， ∵三种纪念品售价均为整数， ∴， 设甲够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为a、b、c；乙够买手办、毛绒公仔、徽章套组的数量分别为m，b，n； ， 整理得：， ∵a、b、c、m、n均为整数，且1200和1440在x的取值范围内只有一个公因数40， ∴， ∴， 整理得：， ∵每种纪念品每人购买不超过6件， ∴，，， ∴，或， 当时，，不符合题意，舍去； 当时，； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； 当时，，不符合题意，舍去； ∴，； ∴，，，， ∴两人购买手办的费用之和最多是（元）， 48．我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 【答案】(1)①，；②人； (2)名工人进行水果采摘，名工人加工罐头；最大利润为元． 【分析】本题考查了列代数式、一元一次不等式的应用，根据题意正确列出不等式是解题的关键． （）①根据题意列式即可求解；②根据题意列出不等式即可求解； （）根据题意，列出不等式即可求解； 【详解】（1）解：①由题意得，加工罐头的工人为人，可以加工罐头千克， 故答案为：，； ②由题意可得，， 解得， ∵为整数， ∴采摘水果的工人至少人； （2）解：由题意得，， 解得， 要使直接出售所获利润不超过总利润的，应该有名工人进行水果采摘，名工人加工罐头， 所获最大利润为元． 49．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 【答案】(1)3，4 (2)制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个 (3)12 (4)27 【分析】本题考查二元一次方程和不等式的应用，找准数量关系，列等式或不等式解题即可； （1）根据无盖纸盒的图示可以得到结果； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据所需纸板的数量列方程组解题即可； （3）根据题意得到所需纸板的数量，然后根据大纸板的数量不超过18张列不等式计算最大整数接即可； （4）设可以制作横式纸盒个，根据横式纸盒所需的型长方形和型正方形纸板的数量计算出所需大纸板的数量，根据题意列不等式，求最大值即可． 【详解】（1）由题意可得， 1个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型，1个竖式无盖长方体纸盒需要4张型和1张型， 故答案为：3，4； （2）设制作横式纸盒个，竖式纸盒个，根据题意得， ，解得， 答：制作横式纸盒12个，竖式纸盒3个； （3）解：根据题意，得． 解得． 为非负整数， 的最大值为12； （4）设可以制作横式纸盒个． 个横式无盖长方体纸盒需要3张型和2张型， 需要张型和张型， ，解得， 在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒27个． 故答案为：27． 50．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 【答案】探究一：（1）见详解；（2）最多能做6个礼品盒；探究二：最多能做20个礼品盒；探究三：11或24 【分析】该题主要考查了一元一次方程，二元一次方程，一元一次不等式的应用，解题的关键是读懂题意，正确列出等量关系式和不等量关系式． 探究一：（1）根据一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板，共有大长方形硬纸板13张即可解答；（2）根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 探究二：若，设能做a个礼品盒，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列不等式即可解答； 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板，根据一个礼品盒需要用到3个A种型号纸板和2个B种型号纸板，列方程即可解答； 【详解】探究一：根据题意可得，一个大长方形硬纸板可裁剪得2个A种型号纸板、3个B种型号纸板， 当时， （1）补全填表如图： 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 （2）根据题意可得， 即， 解得：， ∴个， 故所裁剪的A、B型纸板恰好用完时，最多能做6个礼品盒． 探究二：若，按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，设能做a个礼品盒， 则， 解得：， ∵a为正整数， ∴a最大为20， 即最多能做20个礼品盒． 探究三：设恰好用完能做b个礼品盒，则需要裁剪个A型纸板、个B 型纸板， 则， 化简得：， ∵， ∴， 解得：， ∵n，b为正整数， ∴或符合要求， 故n的值为：11或24． 51．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 【答案】(1)该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨 (2)向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元 【分析】本题考查了一次函数的应用，二元一次方程组的应用及一元一次不等式的应用； （1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨，根据题意列出方程组即可求出答案； （2）先根据题意列不等式求出的范围，然后根据与的函数关系式即可求出的最小值． 【详解】（1）设该厂出口、两款普洱茶分别是，吨， 由题意得，解得， 该厂出口款普洱茶120吨，款普洱茶80吨； （2）由题意得向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨，向甲地出口款普洱茶吨，则向乙地出口款普洱茶吨， ． 由题意得：，，， ， ， 随的增大而增大， 当时，总运费有最小值， 且（千元）． 答：向甲地出口款普洱茶70吨时，总运费最小，最小值为1190千元． 52．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 【答案】(1) (2)型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台；型设备台，型设备台 (3)选购型设备台，型设备台 【分析】本题主要考查二元一次方程组，一元一次不等式的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据题意可列二元一次方程组，求解即可得到结果． （2）设型设备台，型设备台，根据题意可列一元一次不等式，求解可得的值，对应四种采购方案． （3）根据题意可列一元一次不等式，求解可得的两个值，分别计算当，时，对应的总资金，即可得出最省钱的购买方案． 【详解】（1）解：根据题意可列， 解得， ∴，． （2）解：设型设备台，型设备台， 根据题意可列：， 解得：， 取正整数， ， 有四种方案： ①型设备台，型设备台； ②型设备台，型设备台； ③型设备台，型设备台； ④型设备台，型设备台； （3）解：由题意得：， 解得：， ， 取正整数， 或， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 当时，型设备台， ∴需要资金：（万元）， 应选购型设备台，型设备台． 53．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)不存在． 【分析】把和分别用含的代数式表示出来，再求它们的差得到根据是正整数可得，所以可知； 根据、可得：，解不等式求出从而得到的最大值为； （3）根据得到关于的方程，求解得出，因为正整数，所以不存在这样的值． 【详解】（1）解：， ， ， 是正整数， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解：，， ， ， 解得：， 的最大值为； （3）解：不存在， 理由如下： 如下图所示， ， ， ， ， 整理得：， 解得： 为正整数， 不存在使得． 【点睛】本题主要考查了列代数式、解一元一次方程、整式的乘法、作差法比较两数的大小． 54．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 【答案】(1) (2)通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等 (3)当，选择套餐省钱 【分析】本题考查了一元一次方程以及一元一次不等式的生活应用，根据问题，把实际问题转化成相应的一元一次方程知识解答是解题的关键． （1）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，代入解答即可； （2）设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元，分类解答即可； （3）设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元，分类计算可． 【详解】（1）解：设通话时长为分钟，根据题意得：套餐的通话费用计算方式为：， 当时， （元， 故答案为：； （2）解：设两位老师的相同通话时长为分钟，根据题意，得王老师的通话费用计算方式为：或元，李老师的通话费用计算方式为：或元， 当两位老师的费用都是元时，根据题意得： ， 解得：； 当两位老师的费用超过元时，根据题意得： ， 解得． 故通话时长为分钟或分钟时，两人通话时长相等，费用相等． （3）解：设通话时长为分钟，根据题意，得套餐的通话费用计算方式为：或元，套餐的费用为或元， 根据（2）解答得： 时，套餐便宜， 此时； 当时，套餐便宜， 此时； 故当，选择套餐省钱． 类型七、几何背景下的不等式应用 55．如图，有一根长度为的木条，从两端各截取长度为的木条． (1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求的值； (2)若得到的三根木条能组成三角形，写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质及三角形的三边关系的综合应用，能够熟练运用三角形三边关系列出不等式，并能够考虑多种情况下不等式的求解是解决本题的关键． （1）抓住等边三角形三条边相等的性质，通过简单的方程即可求解． （2）根据三角形三边关系，列出不等式，然后根据不同情况分别求解化简，最终得出 x 的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：组成等边三角形的三条边分别为、、． 等边三角形的三条边相等． ． 解得：． 即的值为． （2）根据题意可知：组成三角形的三根木条长度分别为、、． 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． ． ①当，即时． 则， 解得：． ． ②当，即时． 则， 解得：． ． 综上所述：． 56．如图1，四边形为正方形（四个边相等，四个内角都是），平行于y轴．    (1)①已知正方形的边长为4，点的坐标满足，求点A，C的坐标； ②在①的条件下，如图2，连接交于点M，连接，求的值    (2)如图3，已知，，且，点Q在直线上且其纵坐标为整数，满足，当这样的点Q存在三个时，直接写出a的取值范围            ．    【答案】(1)①，；② (2) 【分析】（1）①由绝对值、算术平方根和偶次方的非负性质求出x，y的值，再根据正方形的性质和点A和C所在的象限即可得出答案； ②利用待定系数法分别求出直线和直线的解析式，并求出两直线的交点M的坐标，然后根据即可得出结果； （2）根据题意得出，，设，得出，，再由不等式的性质求解即可 【详解】（1）解：①， ∴，解得， ∴， ∵正方形的边长为4， ∴，； ②由（1）得， 设直线的解析式为，直线的解析式为：， ∴，， 解得：，， ∴直线的解析式为，直线的解析式为：， 联立两个函数解析式得：，解得：， ∴点， ∴ ；    （2）∵，，且， ∴，， 设， ∴，， ∴=， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴a小于等于的最小值且x>0，x为整数， ∴的最小值取当x=1时， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查直角坐标系、绝对值的非负性、算术平方根的非负性等知识点，掌握数形结合、及割补法求面积是解答本题的关键． 57．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1) (2)或或5； (3)， 【分析】（1）根据二次根式有意义的条件得出，然后结合图形即可得出点的坐标； （2）分三种情况：当时，当时，当时，结合图形根据面积得出一元一次方程求解即可； （3）分两种情况分析：当时，当时，结合图形，根据面积列出方程求解即可 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴，， ∵轴， ， ∵轴，， ； （2）解：∵， ∴点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， 如图1所示：    当时，延长交于点F， ∵， ∴， 解得：； 如图2所示：    当时，过点P作PG⊥x轴，延长DC交PG于点H， ∵， ∴， 解得：； 如图3所示：    当时， ∵， 解得：； 综上可得：或或5； （3）解：∵点运动的路径长为，所用时间为7秒；点运动的路径长为，所用时间为秒， ∴根据其中一点到达终点时运动停止可知，运动时间的取值范围为， 点运动到点所用时间为4秒，点运动到点所用时间为， 因此，分以下两种情况： 如图，当时，，    则三角形的面积为， 解得， ∴当时，三角形的面积小于16； ②当时， 如图，过点作，交延长线于点，    ， ， 则三角形的面积为 ， ， ∴， 解得：； ∴当时，三角形的面积小于16； 综上可得：当或时，三角形的面积小于16． 【点睛】本题考查了坐标与图形、三角形的面积公式、一元一次不等式的应用及一元一次方程的应用等知识点，理解题意，作出相应图形，进行分类讨论是解题关键． 58．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 【答案】(1)3 (2)9 (3)或 【分析】本题考查了三角形的面积、坐标与图形性质、不等式的解法；熟练掌握坐标图形性质，分类讨论是解题的关键． （1）由，即可得出的长； （2）由题意可得，由面积公式即可得出结果； （3）分两种情况：当时及当时，进行讨论求解即可． 【详解】（1）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴， ∴， 故答案为：3； （2）∵点A的坐标为，点B的坐标为，轴，轴， , ， ， 四边形的面积; （3）②分两种情况： 第一种，当时，如图所示： 的面积的面积四边形的面积 ， ， ， ， ， ， ， 第二种，当时，如图所示： 的面积四边形的面积的面积 ， ， ， ， ， ， ， 又， ， 综上所述，当时，或． 类型八、不等式组的实际应用问题 59．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 【答案】(1)该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张 (2)该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； (3)该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【分析】（1）设该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张，根据四月份销售两种儿童床共20张和销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，可得二元一次方程组，解方程即可； （2）设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张，根据购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的和两种儿童床的资金不超过115000元，可列一元一次不等式组，解不等式组即可解答； （3）在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台，分类讨论，求的正整数解，从而得出结论． 【详解】（1）解：设该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张， 根据题意可得方程， 解得， 该店四月份售出品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （2）解：设该店四月份售出品牌儿童床为张，则品牌儿童床为张， 由题意可得， 解得， 是正整数， 或17， 或13， 故所有可能的进货方案由两种，分别为：该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张；该店五月份购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张； （3）解：在（2）的条件下，设该店捐甲、乙两款机器的数量分别为台， ①当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， ， ②当购进品牌儿童床为张，品牌儿童床为张时， 售出后的利润为（元）， ， 即， 是正整数， 无解， 综上所述，该店捐甲、乙两款机器的数量分别为3台、13台． 【点睛】本题考查了二元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，解答本题的关键是仔细审题，将实际问题转化为数学方程或不等式组． 60．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 【答案】(1)该药品在未纳入医保前的售价为330元，成本为55元 (2)①该药店纳入医保后的售价为元/盒；②该药企的制定该药品价格范围为，理由见解析 【分析】（1）设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元,根据利润为元/盒，售价是其成本的倍列二元一次方程组求解即可得解； （2）①设该药品纳入医保后的售价为元/盒,根据两家药店销售该款药品的总收入为元列方程求解即可；②先根据材料总结药品价格与销量之间的规律：该药品价格每降低，销售量增长率为，设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为，列不等式组求解即可。 【详解】（1）解：设该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元 根据题意，列出方程组： ， 解得：， 答：该药品在未纳入医保前的售价为元，成本为元； （2）解：①设该药品纳入医保后的售价为元/盒 因为第二个月的总销量比第一个月增加， 所以第二个月的总销量为（）盒 因为第二个月甲药店出售盒，所以乙药店出售盒, 根据题意可列方程： 解得： 所以该药店纳入医保后的售价为元/盒, ②因为该药品的价格不变，则销量基本保持稳定，根据题意可得四个月的销售情况如下： 第一个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第二个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第三个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，共售出盒 第四个月，甲药店的销售量为盒，乙药店销售盒，甲乙两家药店共售出盒 由第二个月可发现：乙药店价格下降，乙药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第三个月可发现：甲药店价格下降，甲药店销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 由第四个月可发现：甲乙两家药店价格下降，甲乙药店总销售量增长率为，即价格每降低，销售量增长率为； 总结规律：该药品价格每降低，销售量增长率为， 设该药品价格定为元，则下降率为，销售增长率为， 依题意得：， 解得, 因为盈利不低于，则≥， 解得≥ 所以 因此该药企的制定该药品价格范围为 【点睛】本题主要考查了不等式组的应用，数字规律，一元一次方程的应用以及二院一次方程的应用，明确题意，正确找出相等关系及不等关系是解题的关键。 61．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 【答案】(1)a＝60，b＝40 (2)①64，38；②，，，；③20 【分析】（1）由图示列出关于a、b的二元一次方程组求解； （2）①根据已知和图示计算出两种裁法共产生A型板材和B型板材的张数； ②同样由图示完成表格； ③根据做成竖式和横式两种无盖礼品盒共需A型板材不超过64张，B型板材不超过38张，列不等式组即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：， 解得：． 答：图甲中a与b的值分别为：60、40． （2）解：①由图示裁法一产生A型板材为：，裁法二产生A型板材为：，所以两种裁法共产生A型板材为（张）， 由图示裁法一产生B型板材为：，裁法二产生A型板材为，， 所以两种裁法共产生B型板材为（张）． 故答案为64，38． ②由已知和图示得： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） x ③由上表可知横式无盖款式共个面，用A型张，则B型需要张． 则做两款盒子共需要A型张，B型张． 则， 两式相加得． 则． 所以最多做20个． 【点睛】本题考查的知识点是二元一次方程组的应用，关键是根据已知先列出二元一次方程组求出a、b的值，再是根据图示解答． 62．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 【答案】任务1：；任务2：预计2号机着陆点的坐标为；任务3： 【分析】本题考查一次函数的应用，理解题意并利用待定系数法求出函数关系式是解题的关键． 任务1：设段h关于s的函数解析式为正比例函数的一般形式，根据与水平方向的夹角求出k值，从而求出对应函数解析式；根据勾股定理，求出点O与A的距离，1号机与2号机在水平方向的速度相同，由速度＝路程÷时间求出2号机的爬升速度即可； 任务2：先求出点B的坐标，再利用待定系数法求出段h关于s的函数解析式；当时对应s的值，从而求得2号机着陆点的坐标； 任务3：分别求出2号机在段和段时对应的s的值，根据图象，当s处于这两者之间时不超过，根据时间＝路程÷速度求解即可． 【详解】解：任务1：∵号飞机爬升角度为， ∴上的点的横纵坐标相同． ∴． 设的解析式为：， ∴． ∴． ∴的解析式为：．     ∵2号试飞机一直保持在1号机的正下方， ∴它们的飞行的时间和飞行的水平距离相同． ∵2号机爬升到处时水平方向上移动了，飞行的距离为， 又1号机的飞行速度为， ∴2号机的爬升速度为：．         任务2：设的解析式为， 由题意：点的横坐标为， ∴， 又， ∴，解得：． ∴的解析式为．             令，则． ∴预计2号机着陆点的坐标为．         任务3：∵不超过， ∴． ∴， 解得：．                 ∴两机距离不超过的时长为：． 63．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 【答案】(1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元， (2)8种 (3)该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元，根据前两个月的销售数据列出方程组求解即可； （2）设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个，根据该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，列出不等式组求解即可； （3）由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元，儿童头盔最多时，利润最多，据此列式计算即可． 【详解】（1）解：设该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为50元，80元； （2）解；设该商店3月份销售儿童头盔m个，则销售成人头盔个， ∵该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元， ∴ 解得， ∵是非负整数， ∴m必须是5的倍数， ∴当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 当时，； 答：该商店3月份有8种销售方案； （3）解：由（2）可知，8种方案中，儿童头盔每增加5个，成人头盔就减小8个，则利润增加元， ∴儿童头盔最多时，利润最多， ∴该商店3月份销售儿童头盔60个，成人头盔48个时，利润最大，最大利润为元． 64．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2)或 【分析】（1）根据定义，分别求得三个点，先将其关于y轴对称，再关于直线对称得到点的坐标，看是否在与x轴之间，即可求解； （2）根据定义，先将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。再将关于x轴对称得到点，再将点关于直线对称得到点，点在直线与x轴之间，列出不等式组，解不等式组。综合起来即可得到m的取值范围。 （3）根据题意，底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，则长为4的线段在直线和与之间，或长为的线段在直线和与之间据此列出不等式即可求解． 【详解】（1）①过点作直线， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点不在直线和x轴之间， ∴不是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线上， ∴点是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， 点在直线和x轴之间， ∴是近2对称点； 故答案为：， ②根据题意，该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，且该线段上存在近2对称点， ∴点或是近2对称点， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， 将点关于x轴对称得到， 再将关于直线对称得到， ∵点在直线和x轴之间， ∴， ∴， ∴m的取值范围是或； 故答案为：或； （2）解：底边为4的等腰直角三角形腰长为， 设底边为4的等腰直角三角形，底边上的中点纵坐标为n， ∵底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点， ∴①当底边平行于y轴时，长为4的线段上每一点既是近t对称点又是近对称点，所以长为4的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． ②当一条腰平行于y轴时，长为2的线段上的每一点既是近t对称点又是近对称点， 同理可得，长为的线段夹在直线和之间， ∴， 解得或． 综上所述，或． 【点睛】本题考查了坐标与图形，不等式的应用，轴对称的性质，中点坐标公式，理解新定义是解题的关键． 65．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 【答案】(1)①，；② (2)， (3) 【分析】本题考查一元一次不等式和一元一次方程的应用； （1）①根据题中等量关系计算即可．②利用①中关系计算即可． （2）建立关于a，b的方程组计算即可． （3）根据甲乙两商场费用一样得出，进而得出，根据题意解不等式组，进而即可求解． 【详解】（1）解：①由题意得到甲商场实际花费：(元)， 到乙商场实际花费：(元)． 故答案为：， ②若，到甲商场实际花费：． 到乙商场实际花费：． ∵， ∴． 故答案为：； （2）解：当时，到甲商场无优惠， ， 当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元， %． ． 当时，到甲或乙商场实际花费一样， %%， ． ，． （3）解：时，到甲或乙商场实际花费一样， ， ． ， ∴ 解得： ∴ ∴ ∴即 ∴的最大值为 66．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 【答案】（1）6，10；（2）31；（3）能，图见解析 【详解】3．解：（1）6   10 （2）设小矩形的长为m、宽为n．由题意，得解得则． （3）由题意，得 解得因为且a，b，c均为正整数，所以所以． 所以或．当时，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，故此时不能放置；当时，，，分别取A，B，C卡片3，2，5张，拼成的不重叠的图形面积为，此时能放置，放置方式如下图： 67．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 【答案】(1)表格中的值为，的值为 (2)共有3种租车方案，选择二汽公司来运输这批货物，总费用最少，见解析 【分析】本题考查了一元一次不等式组和二元一次方程组的实际应用，正确理解题意是解题关键. （1）依题意得：，即可求解； （2）设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车，依题意得：，即可求解 【详解】（1）解：依题意得：， 解得：． 答：表格中的值为，的值为． （2）解：设需租用辆A型汽车，则租用辆型汽车， 依题意得：， 解得：， 取整数， ． 共有3种租车方案． 每辆A型汽车的费用小于每辆B型汽车的费用， 租用30辆A型汽车，10辆B型汽车更省钱． 选择一汽公司所需总费用为：（元）； 选择二汽公司所需总费用为：（元）． ， 选择二汽公司来运输这批货物，安排辆A型汽车，辆B型汽车时，总费用最少． 类型九、平面直角坐标系中的不等式（组）问题 68．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点． (1)若点，求点和点的“阶距离”； (2)若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标； (3)若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】（1）根据新定义列式计算即可； （2）根据新定义列方程再解方程即可； （3）根据新定义可得 则可得 再分四种情况讨论即可． 【详解】（1）解：∵点，， 由新定义可得：点和点的“阶距离”为： （2） 点在轴上，设 且点和点的“阶距离”为4，    整理得： 解得：或 或 （3）∵点，且点和点的“阶距离”为1， 整理得： 由 可得： 同理可得： 当时，则 即 当时，则 则 即 当时，则 ∴ 同理可得： 当时，则 综上： 【点睛】本题考查的是新定义运算，利用新定义构建方程，不等式的基本性质，化简绝对值，清晰的分类讨论是解本题的关键． 69．生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”． (1)在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：____________； (2)已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）根据白银点的概念，利用绝对值解得即可； （2）根据平移的性质和三角形的面积公式解得即可； （3）根据平移的性质和二次根式的估计解答即可． 【详解】（1）解：， 点能与坐标原点互为“白银点”， ， ，点不能与坐标原点互为“白银点”， ， 点能与坐标原点互为“白银点”， 综上所述，在，，，，，四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是，； 故答案为：，； （2）解：解：∵， ∴，又面积为， 由，得， 解得． ∴． ∵点B为点A的“白银点”， ∴． ∴，即， 解得或． ∴点B的坐标为． （3）解：已知、，在（2）的条件下，将线段向轴方向平移个单位值为正则向上平移个单位，值为负则向下平移个单位），则，，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，设线段上的点，与线段中的点，互为“白银点”，则，， ， ，， ，， ，， 即的取值范围为：或． 故答案为：或． 【点睛】本题考查三角形综合题，二次根式的性质，不等式的性质等，关键是根据绝对值和三角形的面积公式解答． 70．在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． (1)当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)①，；②或 (2) 【分析】本题考查了轴对称，坐标与图形，不等式组的应用； （1）①根据题意在坐标系中描出两次对称的点，根据新定义，即可求解； ②根据题意求得两次对称的点的坐标，结合新定义，列出不等式组，解不等式组，即可求解； （2）根据新定义，求得点关于两次对称后的点的坐标，列出不等式组，解不等式组，即可求解． 【详解】（1）解：①如图所示， ∴，；是图形N的“双称图形”； ②设点关于轴的对称点为，则，设点关于直线的对称点为， 则，即 ∴ 同理可得，关于轴和直线两侧对称后的对称点分别为， ∵是图形N的“双称图形”， ∴与正方形有交点， ∴或， 解得：或 （2）解：∵已知点，， ∴关于轴的对称点为，关于轴对称的点的为 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， 设点关于的对称点为， 则，即 ∴， ∵图形N是它自身的“双称图形”， ∴①或② 解不等式组①得 解不等式组②得 综上所述， 71．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“近似距离”，给出如下定义：若，则点，与点，的“近似距离”为；若，则，与点，的“近似距离”为． (1)已知点，点，求点与点的“近似距离”； (2)已知点，为轴上的动点． ①若点与点的“近似距离”为4，试求出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“近似距离”的最小值：　 　． 【答案】(1) (2)①或；② 【分析】 （1）根据题意即可得点与点的“近似距离”； （2）①设点的坐标为．由，，解得或，即可得出答案； ②设点的坐标为，且，则，，若，则点、两点的“近似距离”为，若，则点、两点的“近似距离”为；即可得出结果 【详解】（1） 点、点，， 点与点的“近似距离”为5． （2） ①为轴上的一个动点， 设点的坐标为． 、两点的“近似距离”为4，， ，， 解得或， 点的坐标是或， ②设点的坐标为，且， ，， 若，则点、两点的“近似距离”为， 若，则点、两点的“近似距离”为； 、两点的“近似距离”的最小值为2， 故答案为：2． 【点睛】本题考查了新定义“近似距离”、点的坐标、绝对值、绝对值不等式等知识；本题综合性强，正确理解新定义“近似距离”是解题的关键． 72．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” (1)如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； (2)如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； (3)如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 【答案】(1)①；②； (2)①见解析；②等腰三角形； (3)或． 【分析】本题考查了平面直角坐标系中的新定义问题，涉及到平移和轴对称的性质，“主从运动”模型，解不等式组，分类讨论等知识技能．根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系是解答本题的关键． （1）①根据“关联点”的定义求出、、三点之间的坐标关系，然后代入、两点坐标即可； ②把点看作，然后根据、、三点之间的坐标关系求出点坐标即可； （2）①根据、、三点之间的坐标关系求出点关于、、三点对应的“关联点”的坐标，然后连接这三个对应点，三条边即为点所有“关联点”组成的图形； ②同理①求出点关于、、、四点对应的“关联点”的坐标，连接四个对应点得到一个矩形，再分别讨论线段和矩形四条边有交点，根据不等式组求出的范围． 【详解】（1）①和如图所示． 根据“关联点”的定义，将点向左平移个单位长度，再作其关于直线的对称点，得到点． ；． ，． 点坐标为． 故答案为：． ②点坐标为，点坐标为． 由①可得，． 点为点的“关联点”，点相当于这里的点． ，． 坐标为． 故答案为：； （2）①当、、三点作为点时，设点的“关联点”分别为、、． 由 （1）可知，． 将、、三点分别与点坐标代入可得： 、、． 连接、、三点，则点的所有的“关联点”形成的图形为的三条边． ②如图，，这些所有的关联点组成的图形形状为等腰三角形． 故答案为：等腰三角形； （3）根据，分别求出点关于、、、四点作为“点”时的四个“关联点”坐标：、、、． 如图所示，矩形四条边即点的“关联点”的轨迹． 、，并且线段上存在点的“关联点”． 线段需与矩形四条边有交点． 当线段与有交点时： ，解得． 当线段与有交点时： ，无解，则没有交点． 当线段与有交点时： 或， 解得，． 因为线段和线段分别在轴下方和上方，不可能有交点． 故的取值范围为：或． 73．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)和； (2)a的最小值为1； (3)t的取值范围为或． 【分析】（1）先求得正方形的边长为4，并根据“长聚点”新定义可得，若题目所给的点到正方形的每一边直线的距离均不小于1，则为“长聚点”，否则不为“长聚点”，逐个验证四个点即可得到结论； （2）在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域，由条件可以得到在的垂直平分线上，先利用C、D坐标得到直线：，再由垂直平分线的性质得到在直线上，然后结合图形可以求得a的范围，即可得a的最小值； （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围，根据三个顶点的坐标，通过平移和对称的性质逐步算得三个顶点的坐标，然后结合图形并分9种情况讨论可以求得t的范围． 【详解】（1）解：由题意得正方形的边长为4， P为正方形的“长聚点”， P到正方形每一边所在直线的距离均不小于1， 到直线的距离为，到直线的距离为， 和不是正方形的“长聚点”， 到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为，到直线的距离为， 是正方形的“长聚点”， 同理可得，是正方形的“长聚点”， 和是正方形的“长聚点”． （2）如图所示，在坐标平面内作直线、直线、直线、直线，以及直线、直线、直线、直线，则这8条直线将平面分成25个区域，并由题意得，正方形的“长聚点”所围成的全部区域为标注序号的9个区域． ， 直线：， ， 在的垂直平分线上， 设的垂直平分线：， 代入中点得，， 直线：， ， 点是正方形OABC在第一象限的“长聚点”， 在区域⑤或区域③， 结合图形得：或， 解得：或． a的最小值为1． （3）将向左平移个单位得到，并将关于直线对称得到，再将关于直线对称得到，则根据题意可将该问题转化为：若内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内，求出t的取值范围． 向左平移个单位得到， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 关于直线对称得到，直线：， 点，，， 内的每一点都在正方形的“长聚点”所围成的区域内， 在如图所示标注序号的9个区域内． 下面分9种情况讨论： 若在区域①内，则结合图形得，无解； 若在区域②内，则结合图形得，无解； 若在区域③内，则结合图形得，； 若在区域④内，则结合图形得，无解； 若在区域⑤内，则结合图形得，无解； 若在区域⑥内，则结合图形得，无解； 若在区域⑦内，则结合图形得，； 若在区域⑧内，则结合图形得，无解； 若在区域⑨内，则结合图形得，无解； 综上所述，t的取值范围为或． 【点睛】本题考查了一次函数与几何综合、坐标与图形综合、坐标系中的平移与对称、解一元一次不等式（组），解题的关键是熟练运用一次函数的图象与性质和待定系数法求解析式，学会理解新定义并结合图形解一元一次不等式（组），学会分类讨论处理复杂的情景问题，题目综合性较强，适合有能力解决难题的学生． 74．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程的解，且a为不等式的最大整数解． (1)证明：； (2)如图1，连接，过点A作交y轴于点D，在射线上截取，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接．当点A在第一象限内运动（不经过点C）时，证明：的大小不变； (3)如图2，连接，点A为边的中点，点M是上一点，连接，过点A作交于点N，连接，若，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分） 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）先根据a为不等式的最大整数解，求出，再代入求出，得出，，即可得出答案； （2）连接，证明，得出，，证明，得出，，求出，得出答案即可； （3）连接，，在的延长线上截取，使得，过点B作于H．证明，得出，，证明，得出，根据，得出，求出，即可得出答案． 【详解】（1）证明：由， 解得：， ∵a为不等式的最大整数解， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴． （2）证明：如图1中，连接． ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴的值不变． （3）解：如图2中，连接，，在的延长线上截取，使得，过点B作于H． ∵，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形全等的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，余角的性质，解不等式，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质，作出辅助线，数形结合． 75．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 【答案】(1)； (2)2； (3)或； (4)或． 【分析】本题主要考查了三角形的面积、一元一次不等式的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用是关键． （1）依据题意，由“友好点”的意义进行计算可以得解； （2）依据题意得，由点求出它的“友好点”，再根据轴，即可判断得解； （3）依据题意，由“友好点”的意义求出，结合轴，可得、坐标，再由三角形的面积为2，求出高，进而可以判断得解； （4）依据题意，设，设，再根据“友好点”的意义，求、，又，且点在过且与轴平行的直线上，进而画出图形，结合，可求出的长，最后分类讨论即可判断得解． 【详解】（1）解：由题意，由“友好点”的意义， ，． 的“友好点”为； （2）解：由题意得，， 又，， 的“友好点”为． ， ∴轴． ； （3）解：由题意，的“友好点”为， ． ∵轴， ． ． ，． ． 设点到直线的距离为． ， ．． ． 故当点在直线右侧时，； 当点在直线左侧时，． 或； （4）解：由题意，点在轴上， 可设． 又点在轴上，设， ， 点的“友好点”为点， ． ，． ， 点在过且与轴平行的直线上． 如图，设点，过作轴交直线于点，则点在直线上，连接， ． ． ． ． ． 连接，则． 当点在线段上时，， 若点在点左侧，则， ， ． ． 当点在点右侧时， ， ， ． 综上所述，或． 类型十、不等式（组）与几何的综合问题 76．对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题是新定义型题目，主要考查了有理数与数轴，数轴上的点与表示这个的点的数字的特征，解不等式组，理解新定义并熟练应用以及用数轴上的点对应的数字表示线段的长度，然后逐个分析即可． 【详解】点，，分别表示，，2， ，， ， 点是点到点的倍分点，故①正确； ， 点是点到点的倍分点．故②错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点B到点C的3倍分点，对应的数字为，则，，， ∴ ∴ ∴或， 解得或， ∴点到点的3倍分点表示的数是1或4．故③错误； 设点是点A到点D的4倍分点，对应的数字为，则， ∵点在线段上， ∴， ∴，， ∴ ∴ 当时，， 解得， ∴，解得， 当时，， 解得， ∴，解得， 综上所述，或， ∴，故④正确； 正确的有2个， 故选：B． 77．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    【答案】 【分析】本题考查等腰三角形的性质，三角形的外角的性质，以及不等式的应用，利用等腰三角形的性质和三角形的外角的性质，依次求得，，，，，再根据角内部最多只能构造5根等长的钢条，得出最多只能取到点，从而列出不等式求解即可，正确列出不等式是解题的关键． 【详解】∵，， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， 又∵， ∴，， ∵角内部最多只能构造5根等长的钢条， ∴最多只能取到点， ∵存在点， ∴， 解得：， ∵最多只能取到点， ∴， 解得：， ∴x的取值范围是：． 故答案是：． 78．如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则 ． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为 ． 【答案】 30 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理、角平分线的定义、解不等式等知识点，画出图形发现当为锐角时，点D在的内部成为解题的关键． （1）先根据三角形内角和定理求得，再根据角平分线的定义可得，进而得到，最后根据角的和差即可解答； （2）先画图发现当为锐角时，点D在的内部；然后根据三角形内角和定理、角平分线的定义得到，再根据为锐角列不等式并结合实际意义即可求得的取值范围． 【详解】解：（1）∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：30． （2）如图：当为锐角时，点D在的内部，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵为锐角， ∴，解得：， ∵， ∴． 故答案为：． 79．如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 【答案】(1)12秒 (2)2或6 (3)或 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，一元一次不等式的实际应用，注意分情况讨论是解题的关键． （1）利用速度、路程、时间的关系求解； （2）当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，，分点P在点D左侧与右侧两种情况，根据列方程，即可求解； （3）点运动总路程为，分“点在边上运动”和“点在边上运动”两种情况，根据的长大于点运动总路程的列不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：， （秒）， 即点整个运动过程共需12秒； （2）解：是边上的高， 当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，， 当点P在点D左侧时，，即， 解得； 当点P在点D右侧时，，即， 解得； 综上可知，的值为2或6； （3）解：点运动总路程为， 当点在边上运动时，， 则， 解得； 当点在边上运动时，， 则， 解得， 点整个运动过程共需12秒， ， 综上可知，的取值范围为或． 80．对于同一平面内以点O为端点的射线与，其中，给出定义：、、……、是内或与射线、重合的n条不同的射线，这些射线与射线形成的不大于平角的角的大小分别为、、……、、，若这n个角满足，则称这n条射线为关于射线的一个基准射线族，其中为该基准射线族的基准角度．    (1)如图1，当射线与射线恰为的两条三等分线时，判断射线、、是否为关于射线的一个基准射线族?如果是，写出它的基准角度；如果不是，请说明理由； (2)如图2，的边与射线重合，固定射线不动，将以每秒的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为秒时，射线、射线、……、射线是关于射线的一个基准射线族，该基准射线族的基准角度为． ①当时，直接写出的取值范围； ②当n的最大值为6时，直接写出t的取值范围． 【答案】(1)是， (2)①；②或 【分析】本题考查新定义情境下角的大小和比较， 熟练掌握有关方法和技巧是解题关键． （1）根据题中所给定义进行判断和求解； （2）①根据基准射线族的定义解答即可；②分四种情况，根据基准射线族的定义逐一画出图形讨论解答即可． 【详解】（1）解：射线，，是关于射线l的一个基准射线族， 如图1，在射线l上任取一定点B， ∵，为的三等分线，， ∴， ∴， ∴， ∴基准角度为． （2）①如图2，在射线l上任取一定点B， 时，， ∴在内部或与，重合， ，即有最大值； 令，则当与重合时，最小，为， ∴， ∴， 即的取值范围为． ②∵n最大值为6， ∴时存在且时等式不成立， 分如下四种情况讨论： 第1种情况：如图3，当时，即在直线上侧．对于， ∵在内部或与，重合 ∴ ∴ ∴，当且仅当与重合时取等， ∵互不相同， ∴等号不成立，． 另一方面，∵时等式不成立， ∴恒成立， ∴的最小值大于的最大值， ∴即， ∵互不相同， ∴时满足要求 ∴． 所以本情况下， 第2种情况：如图4，当时，即射线的反向延长线在内部或与一边重合 ∵或 ∴， 所以本情况下不存在满足要求的t． 第3种情况：如图5，当时，即在直线下侧．对于： ∵在内部或与，重合， ∴， ∴ ∴，当且仅当与重合时取等， ∵互不相同， ∴等号不成立，． 另一方面，∵时等式不成立， ∴恒成立， ∴的最小值大于的最大值， ∴即， ∵互不相同， ∴时满足要求， ∴． 所以本情况下，， 第4种情况：如图6，当时，即射线的反向延长线在内部或与一边重合取（即可），， 则有， 从而有成立， 所以本情况下不存在满足要求的t． 综上所述，或满足要求． 试卷第146页，共146页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第二章 一元一次不等式与一元一次不等式组 内容导航 知识点…………………………………………………………………………………2 类型一、不等式性质的应用………………………………………………………………3 类型二、应用不等式解决数值讨论问题……………………………………………………9 类型三、一次函数与不等式的综合问题…………………………………………………21 类型四、不等式（组）的解有关的参数讨论问题…………………………………………47 类型五、方程（组）与不等式（组）的综合问题…………………………………………60 类型六、一元一次不等式的实际应用……………………………………………………72 类型七、几何背景下的不等式应用………………………………………………………88 类型八、不等式组的实际应用问题………………………………………………………98 类型九、平面直角坐标系中的不等式（组）问题…………………………………………115 类型十、不等式（组）与几何的综合问题………………………………………………136 知识点1．不等式的性质 ①性质1：不等式的两边同时加上(或减去)同一个数(或式子)，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果，那么； 如果，那么 ； 如果，那么； 如果，那么 。 ②性质2：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 正数 ，不等号的方向 不变 。 用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； ③性质3：不等式的两边同时乘以(或除以)同一个 负数 ，不等号的方向 改变 。 用字母表示为： 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 如果，那么(或)；如果，那么(或)； 知识点2．解一元一次不等式 解一元一次不等式的过程与解一元一次方程类似，特别要注意，当不等式两边都乘以一个负数时，不等号要改变方向※ 解一元一次不等式的步骤: ①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤系数化为1(不等号的改变问题) 知识点3．一元一次不等式的应用 用不等式表示不等关系时，要抓住题目中的关键词，如“大于(小于)、不超过(不低于)、是正数(负数)”“至少”、“最多”等等，正确选择不等号，因此建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵，不同的词里蕴含这不同的不等关系 知识点4．一元一次不等式与一次函数 利用一次函数图象解一元一次不等式、一元一次方程，就是在画好函数图象的基 础上，观察图象，指出在x取什么值的情沉下，图象满足给定的条件 知识点5．一元一次不等式组 不等式组中含有一个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1，这样的不等式组叫一元一次不等式组。使不等式组中的每个不等式都成立的未知数的值叫不等式组的解，一个不等式组的所有的解组成的集合，叫这个不等式组的解集解(简称不等式组的解)。不等式组的解集可以在数轴上表示出来。求不等式组的解集的过程叫解不等式组。 知识点6．解一元一次不等式组 解一元一次不等式组的一般步骤：①求出这个不等式组中各个不等式的解集；②利用数轴求出这些不等式的解集的公共部分，得到这个不等式组的解集。如果这些不等式的解集的没有公共部分，则这个不等式组无解 ( 此时也称这个不等式组的解集为空集 )。 3、确定不等式组的解的口诀：大大取大，小小取小，大小小大取中间，大大小小无处找。 类型一、不等式性质的应用 1．不等式（a-2012）x＞a-2012的解集是x＜1．则a应满足的条件是（    ） A．a=2012 B．a＜2012 C．a＞2012 D．无法确定 2．若关于x的不等式的解集为，则关于x的不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．已知实数a，b，c满足，则下列结论不正确的是（    ） A． B． C．若，则 D．若，则 4．已知一次函数和的图象如图所示，有下列结论：①；②；③；④、是直线上不重合的两点，则．其中正确的是（    ） A．①④ B．①③ C．②④ D．②③ 5．已知，，，，为正整数，且，若，则的最大值为 ． 6．若，且，设，则的取值范围为 ． 7．若，且，，设，则t的取值范围为 ． 8．已知由（a﹣b）2≥0，可得a2+b2≥2ab，运用上述结论解决问题： (1)当a，b满足　 　时，a2+b2＝2ab成立； (2)若x为正数，　 　，当x＝　 　时，取得最小值； (3)若x为正数，的最小值为　 　； (4)若x＞3，则最小值为　 　． 类型二、应用不等式解决数值讨论问题 9．材料一：对于一个三位正整数，若百位数字与个位数字之和减去十位数字的差为6，则称这个三位数为“中顺数”，例如：237，因为，所以237是“中顺数”； 材料二：若（，，，且a，b，c均为整数），记． 已知，是两个不同的“中顺数”，且能被13整除，则 ．满足条件最小的 ． 10．对于一个四位自然数，如果满足各数位上的数字不全相同且均不为0，它的千位数字减去个位数字之差等于百位数字减去十位数字之差，那么称这个数为“差同数”．对于一个“差同数”，将它的千位和个位构成的两位数减去百位和十位构成的两位数所得差记为，将它的千位和十位构成的两位数减去百位和个位构成的两位数所得差记为，规定：．例：，因为，故：是一个“差同数”．所以：，，则：．已知4378是一个“差同数”，则 ．若自然数都是“差同数”，其中（都是整数），规定：，当能被11整除时，则的最小值为 ． 11．若一个四位自然数各个数位上的数字均不为0，且前两位数字之和为5，后两位数字之和为8，则称为“幸福数”．把四位数的前两位数字和后两位数字整体交换得到新的四位自然数．规定．例如：，，，是“幸福数”，则．若P是最大的“幸福数”，则 ；若S是“幸福数”，且恰好能被8整除，则所有满足题意的S的值共有 个． 12．一个各个数位上的数字互不相等且都不为0的四位正整数M，从四位数中取出千位、百位数字依次组成两位数x，从四位数中取出十位、个位数字依次组成两位数y，若，则称这个四位数为“圆满数”，把y放在前x放在后组成新的四位数N，并且规定：等于M的前两位数字之和．例如：一个四位数1783，因为，所以1783是“圆满数”，且，如果四位数（，且a，b，c，d为整数）是一个“圆满数”，则 ，如果为整数，且为奇数，则满足条件的S的最小值是 ． 13．对于任意一个四位数，若满足各数位上的数字都不为0，且千位与百位上的数字不相等，十位与个位上的数字不相等，那么称这个数为“智慧数”．将一个“智慧数”的任意一个数位上的数字去掉后可以得到四个新三位数，把这四个新三位数的和与3的商记为．例如“智慧数”，去掉千位上的数字得到234，去掉百位上的数字得到134，去掉十位上的数字得到124，去掉个位上的数字得到123．这四个新三位数的和为，，所以． (1)计算：______；______； (2)若“智慧数”（，，，都是正整数），也是“智慧数”，且能被12整除，求满足条件的的值． 14．材料一：一个整数能够被9整除，则它的各个数位上数字之和能被9整除； 材料二：我们把形如（其中且为整数）的五位正整数称为“对称凹数”，例如：86068、71017都是“对称凹数”． （1）最小的“对称凹数”是___________，最大的“对称凹数”是___________； （2）五位正整数都是“对称凹数”，若满足的同时，与之和仍构成一个新的“对称凹数”，且该新“对称凹数”能被9整除，请求出“对称凹数”与． 15．二次根式的学习，我们不仅要关注二次根式本身的性质、运算，还要用到与完全平方，不等式等相结合的一些运算，从而更好地指导我们解决生活实际问题． 【问题提出】比较与（，）的大小， 【问题探究】我们不妨特殊化问题，分别给a、b进行赋值． (1)比较下列各式大小，（填“>”或“<”或“≥”或“≤”或“=”） ______；______；______ (2)由（1）中各式猜想______（，），当且仅当a______b时，． 猜想证明过程如下： =… 请补全上述证明过程； (3)【灵活应用】万众一心齐携手，众志成城抗疫情．其中，高速入检处就解决临时隔离问题用48米长的钢丝网靠墙（墙的长度不限）围建了6间相同的矩形隔离房．设每间隔离房的面积为S（米），当每间隔离房的长、宽各为多少时，每间隔离房的面积S最大？最大面积是多少？ 类型三、一次函数与不等式的综合问题 16．我们常用来表示实数a，b，c中最小的数，如．已知x为实数，则的最大值为（    ） A． B．2 C． D． 17．已知一次函数和，当时，函数的图象在函数的图象上方，则a的取值范围为 18．在平面直角坐标系中，直线与轴交于点，直线经过点A，且与轴交于点． (1)点A的坐标为_______，直线的解析式为_______； (2)直线与直线关于直线对称，若直线与直线围成的区域内（不包含边界）恰有1个整点，则的取值范围为_______．（注：横、纵坐标都是整数的点叫作整点） 19．【发现问题】已知，求的值． 方法一：先解方程组，得出，的值，再代入，求出的值． 方法二：将①②，求出的值． 【提出问题】怎样才能得到方法二呢？ 【分析问题】 为了得到方法二，可以将①②，可得． 令等式左边，比较系数可得，求得． 【解决问题】 （1）请你选择一种方法，求的值； （2）对于方程组利用方法二的思路，求的值； 【迁移应用】 （3）已知，求的范围． 20．如图，是平面直角坐标系中的一个动点，直线与x轴，y轴分别交于点，B，点C在x轴的正半轴上，且．    (1)求直线的解析式； (2)判断点P是否有可能落在直线上？并说明理由； (3)当点P在的内部（不包括边界）时，求a的取值范围； (4)连接CP．把横、纵坐标都是整数的点称为“好点”．点，在直线上，若直线CP将线段MN（包括端点）上的“好点”的个数平分，请直接写出满足条件的“好点”P的坐标． 21．在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交轴、轴于点，． (1)点的坐标为 　　，点的坐标为 　　（用含有的式子表示）； (2)若一次函数经过点，平行于轴的两条直线，分别与一次函数的图象交于点，，点，的横坐标分别为，．当时，线段的长度是否发生变化？若不变，请求出的长；若变化，请说明理由． (3)若一次函数的图象与函数的图象、轴所围成的三角形的面积不小于，求的取值范围．    22．【概念引入】对于给定的一次函数（其中，为常数，且），则称函数为一次函数的伴随函数． 例如：一次函数，它的伴随函数为 【理解运用】（1）对于一次函数，写出它的伴随函数的表达式． （2）为了研究函数的伴随函数的图象某位同学制作了如下表格： x … 0 1 2 … y … _________ 2 0 _________ … ①补全表格中横线部分的数据并根据表中的结果在图所给的坐标系中画出函数的伴随函数的图象； ②已知直线与的伴随函数的图象交于，两点（点在点的下方），点在轴上，当的面积为时，求的值． 【拓展提升】（3）在平面直角坐标系中，点，的坐标分别为，，连接，当一次函数的伴随函数的图象与线段的交点有且只有个时，直接写出的取值范围． x … 0 1 2 … y … 0 2 0 … 23．【发现问题】 小明在辅导弟弟作业时发现一个问题：数轴上点A对应的数为1，点为数轴上一个动点，A，B两点的距离随点的位置改变而改变，于是他意识到这可能与他学过的函数有关. 【提出问题】如图，设AB两点的距离为，点所表示的数为，那么是的函数吗？ 【分析问题】从“形”的角度思考：表示的是数轴上一动点与一定点的距离，即当点在点A右侧时，距离为，当点B在点A左侧时，距离为；从“数”的角度思考：数轴上的动点x到1的距离可以用函数来表示，可以按照研究函数的方法来研究，即在自变量的范围内通过列表，描点，连线画出函数的图象，进而借助图象研究函数的有关性质. 【解决问题】 （1）画函数的图象 ①补全如表，再描点，连线，绘制函数的图象： x … 0 1 2 3 4 … y … … ②若点在该函数的图象上，则的值为________ （2）仿照画函数的过程，可以画出函数图象，通过图象可以写出不等式的解集为：________ 【拓展延伸】 不等式的解集为：________ 24．如图，已知函数的图象与轴交于点，一次函数的图象经过点，与轴以及的图象分别交于点，且点的坐标为． (1)则_________，_________； (2)关于的不等式的解集是_________； (3)四边形的面积_________； (4)在平面内是否存在点，使得以点为顶点的三角形是以为腰的等腰直角三角形，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 25．如图，已知直线与直线交于点，直线在轴上的截距为．    (1)求的值； (2)过直线上一点作轴的垂线交直线于点，交直线于点． ①当时，求点的坐标； ②当时，请通过计算比较与的大小． 26．［了解概念］ 对于给定的一次函数（其中、是常数，且），则称函数为一次函数（其中、是常数，且）的“相关函数”，此“相关函数”的图像记为． ［理解运用］ 已知一次函数， （1）这个一次函数的相关函数是 （2）若点在这个一次函数的相关函数图像上，则 （3）若过点且平行于轴的直线与图像有两个交点、，当时，求的取值范围． ［拓展提升］ 在平面直角坐标系中，点、的坐标分别是、，连接，我们发现：线段与一次函数的相关函数的图像的交点个数随着的值的改变而改变，请你探究线段与图像有不同的交点个数时，相应的的取值范围． 类型四、不等式（组）的解有关的参数讨论问题 27．已知关于的不等式组的整数解有且仅有4个：，0，1，2，那么适合这个不等式组的所有可能的整数对的个数有（    ） A．1 B．2 C．3 D．6 28．已知关于的不等式组的解集中恰好有两个整数，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．已知关于、的方程组，其中，有下列说法：①当时；②是原方程组的解；③无论为何值时，；④若设，则；以上说法正确的是 ． 30．若关于的不等式组有且只有个奇数解，且关于的方程解为整数．则符合条件的所有整数的和为 ． 31．若三个代数式满足：只要其中有两个代数式之和大于另外一个代数式的解集为大于1，则称这三个代数式构成“雅礼不等式”．例如：三个代数式有：当时的解集为，则称构成“雅礼不等式”．若构成“雅礼不等式”，则关于的不等式组的解集为 ． 32．已知函数 （1）若，当时，的取值范围是 （2）当时，有最小值5，则的值是 33．若一次函数的图象不经过第四象限，且关于的不等式组的解集是，则满足所有条件的整数之和为 ． 34．已知关于x的不等式组有5个整数解，则a的取值范围是 ． 35．定义运算：．已知，． (1)直接写出：________，________； (2)若关于x的不等式组无解，求t的取值范围； (3)若的解集为，求不等式：的解集． 36．我们约定：不等式组，，，的“长度”均为，，不等式组的整数解称为不等式组的“整点”．例如：的“长度”，“整点”为，0，1，2．根据该约定，解答下列问题： (1)不等式组的“长度”______；“整点”为______； (2)若不等式组的“长度”，求a的取值范围； (3)若不等式组的“长度”，此时是否存在实数m使得关于y的不等式组恰有4个“整点”，若存在，求出m的取值范围；若不存在，请说明理由． 37．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“关联方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“关联方程” (1)在方程①；②；③中，不等式组的“关联方程”是___________；（填序号） (2)若关于的方程是不等式组的“关联方程”，求的取值范围； (3)若关于的方程是关于的不等式组的“关联方程”，且此时不等式组有4个整数解，试求的取值范围 类型五、方程（组）与不等式（组）的综合问题 38．已知关于的方程组，为负数，为非正数．若为整数，则当 时，不等式的解集为． 39．已知关于的不等式组． (1)当时，求该不等式组的解集． (2)若该不等式组有且只有个整数解，求的所有整数解的和． (3)在（）的条件下，已知关于的方程组的解满足不等式，求的取值范围． 40．定义：使方程（组）和不等式（组）同时成立的未知数的值称为此方程（组）和不等式（组）的“梦想解”． 例：已知方程与不等式，方程的解为，使得不等式也成立，则称“”为方程和不等式的“梦想解”． (1)是方程和下列不等式______的“梦想解”：（填序号） ，，； (2)若关于的二元一次方程组和不等式组有“梦想解”，且为整数，求的值． (3)若关于的方程和关于的不等式组有“梦想解”，且所有整数“梦想解”的和为，试求的取值范围． 41．对于有理数x，y，定义新运算：，其中a，b是常数，已知． (1)求a，b的值； (2)若关于x，y 的方程组中，y 是等腰三角形腰的长度，x是底的长度，求 m 的取值范围以及等腰三角形周长C 的取值范围； (3)若 关 于 x，y的方程组的解为，则关于x，y的方程组的解为______． 42．我们把关于的一个一元一次方程和一个一元一次不等式组合成一种特殊组合，且当一元一次方程的解正好也是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“有缘组合”；当一元一次方程的解不是一元一次不等式的解时，我们把这种组合叫做“无缘组合”． (1)请判断组合是“有缘组合”还是“无缘组合”，并说明理由； (2)若关于的组合是“有缘组合”，求的取值范围； (3)若关于的组合是“无缘组合”，求的取值范围． 43．新定义：若一元一次方程的解在一元一次不等式组解集范围内，则称该一元一次方程为该不等式组的“相依方程”，例如：方程的解为，而不等式组的解集为，不难发现在的范围内，所以方程是不等式组的“相依方程”． (1)在方程①：②；③中，不等式组的“相依方程”是______；（填序号） (2)若关于x的方程是不等式组的“相依方程”，求k的取值范围； (3)若关于x的方程是关于x的不等式组的“相依方程”，且此时不等式组有5个整数解，试求m的取值范围． 44．阅读理解： 定义：若一个方程（组）的解也是一个不等式（组）的解，我们称这个方程（组）的解是这个不等式（组）的“友好解”．例如，方程的解是，同时也是不等式的解，则称方程的解是不等式的“友好解”． (1)试判断方程的解是不是不等式的“友好解”？不必说明理由； (2)若关于、的方程组的解是不等式的“友好解”，求的取值范围； (3)当时，方程的解是不等式的“友好解”，求的最小整数值． 类型六、一元一次不等式的实际应用 45．重庆某服装店经营一品牌羽绒服，有轻型、中型、厚型三种，12月底，店里购进轻型、中型、厚型羽绒服的数量比为，今年重庆将迎来近20年最冷寒冬店里紧急加购了三种羽绒服，其中厚型羽绒服增加的数量占总增加数量的，厚型羽绒服总数量将达到三种羽绒服总量的，此时轻型羽绒服与中型羽绒服增加的数量之比为，已知轻型、中型、厚型三种羽绒服每件的成本分别为190元，250元，300元．在销售时，轻型羽绒服每件售价为240元，1月底结束销售时，只有轻型羽绒服的作为促销礼物送给了顾客，其余全部卖完，最后三种羽绒服的总利润率为，若要使中型羽绒服的利润率不低于，那么厚型羽绒服的售价最高为 元． 46．甲、乙两人分别骑自行车和电动车同时从A地出发，沿笔直的公路以各自的速度匀速骑往B地，甲到达B地后，立即以原来速度的1.5倍沿原路返回，直至到达A地，乙到达B地后立即停止．甲的速度为．设出发小时后，甲、乙两人离B地的距离分别为．图中线段表示与的函数关系． (1)乙的速度为_______； (2)直接写出的函数关系式并画出的函数图象（标上必要的数据）； (3)若乙到达B地休息后返程，比甲提前回到A地，则乙返程速度（单位：）的取值范围是_______． 47．足球是世界第一运动． (1)在上海市高中足球联赛中，某足球队共进行了8场比赛，得了12分，根据比赛规定：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，求：该队获胜的场数几种可能； (2)在2022卡塔尔世界杯期间，以吉祥物拉伊卜为主题元素的纪念品手办、毛绒公仔、徽章套组深得广大球迷喜爱．某官方授权网店销售的手办、毛绒公仔、徽章套组售价之比为，三种纪念品售价均为整数，售价之和大于300元且小于360元，每种纪念品每人购买不超过6件．甲乙二人分别在该网店购买纪念品，结算时，两人购物车中均有三种纪念品若干，已知两人购买的毛绒公仔数相同，徽章套组数不同，乙购买的手办数量大于甲购买的手办数量，甲选购的纪念品合计1200元，乙选购的纪念品合计1440元，则两人购买手办的费用之和最多为多少元？ 48．我市某水果生产基地，用名工人进行采摘或加工水果，每名工人只能做其中一项工作．采摘的工人每人可以采摘水果千克；加工罐头的工人每人可加工千克．加工水果数量不能多于采摘数量．设有名工人进行水果采摘．水果的销售方式有两种：一种是可以直接出售；另一种是可以将采摘的水果加工成罐头出售．直接出售每吨获利元；加工成罐头出售每吨获利元． (1)①加工罐头的工人为 人，可以加工罐头 千克；（用含的式子表示） ②采摘水果的工人至少多少人？ (2)直接出售和加工成罐头出售的利润如表所示： 销售方式 直接出售 加工成罐头销售 利润（元/千克） 要使直接出售所获利润不超过总利润的，请问应如何分配工人？所获最大利润是多少？ 49．用若干张规格为的大纸板剪裁成图①所示的型长方形纸板和型正方形纸板，再制作成图②所示的横式和竖式两种无盖长方体纸盒．已知一张大纸板可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板． (1)制作一个横式纸盒需要型长方形纸板 张，制作一个竖式纸盒需要型长方形纸板 张． (2)若用8张大纸板裁成型长方形纸板，用3张大纸板剪裁型正方形纸板，且裁成的、两种型号纸板恰好都用完，求可以制作横式纸盒和竖式纸盒各多少个？ (3)如果制作横式纸盒和竖式纸盒均为个，若可用于剪裁的大纸板不超过18张，求的最大值． (4)如果一张大纸板既可以恰好裁成6张型长方形纸板或者恰好裁成9张型正方形纸板，也可以同时裁出若干张型长方形纸板和型正方形纸板．若要用20张大纸板，剪裁后再制作成横式纸盒，在充分利用大纸板的情况下，最多可以制作横式纸盒 个． 50．根据以下素材，探索完成任务． 如何设计礼品盒制作方案 素材1 七年级数学兴趣小组计划制作底面为等边三角形的直三棱柱有盖礼品盒，每个礼品盒由3个形状、大小完全相同的小长方形侧面（A型号）和2个形状、大小完全相同的等边三角形底面（B型号）组成（如图1所示）．而A、B两种型号纸板可由一个大长方形硬纸板裁剪得到，具体裁剪方法见下面的裁法一、裁法二． 素材2 现有大长方形硬纸板张．（说明：裁剪后的余料不可以再使用．） 问题解决 任务1 初探方案 探究一：按素材1的裁剪方法，若张大长方形硬纸板裁剪A型号纸板，张大长方形硬纸板裁剪B型号纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完． 若， （1）完成以下填表； 型号裁法 （裁法一） （裁法二） 合计 大长方形硬纸板（张） 大长方形硬纸板（张） A型号（张数） 0 B型号（张数） 0 _________ _________ （2）最多能做多少个礼品盒？ 任务2 反思方案 探究二： 若按素材1的裁剪方法分别裁剪出A、B型纸板，请问最多能做多少个礼品盒？并说明理由． 任务3 优化方案 探究三：为不浪费纸板，进行了裁剪再设计： 首先从张大长方形硬纸板中选出1张大长方形纸板裁剪出一张A型和一张B型纸板（见裁法三），然后从剩余的纸板中按素材1的方法继续裁剪出A、B型纸板，所裁剪的A、B型纸板恰好用完，若在10张至30张之间（包括边界），则的值为____． 型号 裁法 （裁法一） （裁法二 ） 合计 大长方形硬纸板x（张） 大长方形硬纸板y（张） A型号(张数） 0 B型号（张数） 0 51．近年来，云南乘着高质量共建“带一路”的东风，加快建设中国面向南亚东南亚的辐射中心，与南亚各国交流合作不断拓展．某普洱茶厂将480吨茶叶原材料制作成、两款普洱茶共计200吨，计划通过铁路将200吨普洱茶出口到甲地和乙地，已知制作、两款普洱茶每吨所需茶叶原材料以及出口、两款普洱茶到甲地、乙地的运费如下表： 每吨需要茶叶原材料 （单位：吨） 到甲地的平均运费 （单位：千元/吨） 到乙地的平均运费 （单位：千元/吨） 款 2 8 5 款 3 6 4 现计划出口100吨普洱茶到甲地，其余出口到乙地，设该厂向甲地出口款普洱茶吨，出口、两款普洱茶到甲地和乙地的总运费为千元． 根据上述信息，解答下列问题： (1)该厂出口的、两款普洱茶分别是多少吨？ (2)若向乙地出口的款普洱茶的重量不超过款普泪茶的重量，则怎样出口茶叶，才能使总运费最小，最小值是多少？ 52．某厂为了提高生产力，计划新购置、两种型号的生产设备共台．已知型每台元，每月可以生产吨产品；型每台元，每月可以生产吨产品．购买一台型设备比购买一台型设备多万元，则买台型设备比购买台型设备少万元．根据以上信息，解答下列问题： (1)求出、的值． (2)若计划购置总费用不超过万元，且两种型号设备都要购买，该厂有哪些购买方案？ (3)在（2）的条件下，若每月生产产品不得低于吨，为了节约资金，请你为该厂设计一种最省钱的购买方案． 53．甲、乙两个长方形，它们的边长如图所示，面积分别，（为正整数）． (1)写出与的大小关系：____．（填“”“”或“”）； (2)若，求满足这个不等式的的最大值； (3)设有4块长方形甲，3块长方形乙，以及两块面积分别为，的矩形恰好拼成一个矩形图案，如图所示．问：是否存在，使得，若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由． 54．有下列两种移动电话计费方法： 月使用费元 主叫限定时间 主叫超时费（元 被叫 套餐 免费 套餐 免费 （月使用费固定收，主叫不超过限定时间不再收费，主叫超过部分加收超时费，被叫免费） (1)若张老师选用套餐，9月份主叫时间分钟，则他9月份的通话费用为 元． (2)若王老师选择套餐，李老师选择套餐，10月份两位老师的主叫时间与通话费用恰好都相同，求两位老师10月份的主叫时间． (3)设主叫时间为分钟，直接写出满足什么条件时，选择套餐省钱． 类型七、几何背景下的不等式应用 55．如图，有一根长度为的木条，从两端各截取长度为的木条． (1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求的值； (2)若得到的三根木条能组成三角形，写出的取值范围． 56．如图1，四边形为正方形（四个边相等，四个内角都是），平行于y轴．    (1)①已知正方形的边长为4，点的坐标满足，求点A，C的坐标； ②在①的条件下，如图2，连接交于点M，连接，求的值    (2)如图3，已知，，且，点Q在直线上且其纵坐标为整数，满足，当这样的点Q存在三个时，直接写出a的取值范围            ．    57．如图，在平面直角坐标系中，轴，轴，，，，且满足，动点P从点A出发，以每秒的速度沿路线向点C运动，动点Q从点O出发以每秒的速度，沿路线向点D运动．若P、Q两点同时出发，其中一点到达终点时，运动停止．    (1)求B、D两点的坐标； (2)设P、Q两点运动时间为t，当三角形的面积为4时，求t的值； (3)设两点运动时间为t，当三角形的面积小于16时，直接写出t的取值范围． 58．在平面直角坐标系中，点A的坐标为，点B的坐标为，连接． (1)如图①，当轴时，的长为 ； (2)如图②，轴，轴，且满足，求四边形的面积S： (3)在（2）的条件下，连接，且，当时，求a的取值范围． 类型八、不等式组的实际应用问题 59．某家具店经销A、B两种品牌的儿童床，已知A品牌儿童床的售价为4200元，利润率为，B品牌儿童床的成本价为4200元，而每张B品牌儿童床的售价在成本的基础上增长了． (1)该店销售记录显示，四月份销售两种儿童床共20张，且销售A品牌儿童床的总利润与B品牌儿童床总利润相同，求该店四月份售出两种品牌的儿童床的数量； (2)根据市场调研，该店五月份计划购进这两种儿童床共30张，要求购进B品牌儿童床张数不低于A品牌儿童床张数的，而用于购买这两种儿童床的资金不超过115000元，请通过计算设计所有可能的进货方案： (3)在（2）的条件下，该店打算将五月份按计划购进的30张儿童床全部售出后，所获得利润的用于购买甲、乙两款教学仪器捐赠给某希望小学．已知购买甲款仪器每台300元，购买乙款仪器每台130元，且所捐的钱恰好用完，求该店捐赠甲，乙两款仪器的数量． 60．根据国家医保局数据显示，近年来医保药品目录累计新增了种药品，涵盖多数医疗领域，使患者用较低的价格用上疗效更好的药品．某药企在年研发一款特效新药，未纳入医保前，该种药物利润为元/盒，售价是其成本的倍．年经过医保局谈判，将该种药纳入医保，制药成本不变，但价格大幅度下调，该药企为了解该药品价格与销售量的关系，在甲乙两家药店进行调研，结果如下： ①第一个月，甲乙两家药店均按纳入医保后的价格出售，当月共售出盒； ②第二个月，甲药店按纳入医保后的价格出售盒，乙药店按纳入医保后的价格打九折出售，该月两家药店销售该款药品的总收入为元，且两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ③第三个月，甲药店按纳入医保后的价格打八五折出售，乙药店按纳入医保后的价格出售，该月两家药店销售该款药品总销量比第一个月增加； ④第四个月，两家药店均按纳入医保后的价格打八五折出售，该月两家药店销售该款药品的总销量比第一个月增加； ⑤若该药品的价格不变，则销量基本保持稳定． (1)求该药品在未纳入医保前的售价与成本； (2)①求该药品纳入医保后的售价； ②该药企在年的销量为万盒．为惠及更多患者并有足够的利润用于新药研发，该药企计划在年继续下调该药品的价格，希望年的年销量超过万盒，且盈利不低于．根据以上调研结果，请你为该药企设定该药品价格的范围，并说明理由． 61．我县某包装生产企业承接了一批上海世博会的礼品盒制作业务，为了确保质量，该企业进行试生产．他们购得规格是170cm×40cm的标准板材作为原材料，每张标准板材再按照裁法一或裁法二裁下A型与B型两种板材．如图所示，（单位：cm） (1)列出方程（组），求出图1中a与b的值． (2)在试生产阶段，若将30张标准板材用裁法一裁剪，4张标准板材用裁法二裁剪，再将得到的A型与B型板材做侧面和底面，做成图2的竖式与横式两种无盖礼品盒． ①两种裁法共产生A型板材 张，B型板材 张； ②设做成的竖式无盖礼品盒x个，横式无盖礼品盒的y个，根据题意完成表格： 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） ③做成的竖式和横式两种无盖礼品盒总数最多是 个（在横线上直接写出答案）． 礼品盒板材 竖式无盖（个） 横式无盖（个） x y A型（张） B型（张） x 62．某校八年级学生在数学课上进行了项目化学习研究，某小组研究如下： 【提出驱动性问题】机场监控问题． 【设计实践任务】选择“素材1”“素材2”，设计了“任务1”“任务2”“任务3”的实践活动．请你尝试帮助他们解决相关问题． 机场监控问题的思考 素材1 如图是某机场监控屏显示两飞机的飞行图象，1号指挥机（看成点）始终以的速度在离地面高的上空匀速向右飞行． 素材2 2号试飞机（看成点）一直保持在1号机的正下方从原点处沿角爬升，到高的处便立刻转为水平飞行，再过到达处开始沿直线降落，要求后到达处． 问题解决 任务1 求解析式和速度 求出段关于的函数解析式，直接写出2号机的爬升速度； 任务2 求解析式和坐标 求出段关于的函数解析式，并预计2号机着陆点的坐标； 任务3 计算时长 通过计算说明两机距不超过的时长是多少． 63．为进一步提升摩托车、电动自行车骑乘人员和汽车驾乘人员安全防护水平，公安部交通管理局部署在全国开展“一盔一带”安全守护行动．某商店销售成人、儿童两种头盔，该商店第一季度的销售记录(有部分缺损)如表所示． 请解答下列问题： 日期 产品类别 销售量（单位：个） 销售额（单位：元） 1月 成人头盔 60 7400 儿童头盔 55 2月 成人头盔 48 7520 儿童头盔 64 3月 成人头盔 7200 儿童头盔 (1)该商店成人、儿童两种头盔的销售单价各为多少元？ (2)已知成人头盔的利润是10元/个，儿童头盔的利润是20元/个；并且该商店3月份儿童头盔的销售量不高于60个，第一季度所获利润不低于5000元，则该商店3月份有多少种销售方案？ (3)在（2）的条件下，请你通过计算判断，哪种销售方案会使商店3月份利润最大，并求出最大利润． 64．平面直角坐标系中，过点作平行于x轴的直线l，若对于点P，先将其关于x轴对称得到点，再将点关于直线l对称得到点，若在x轴和直线l之间（可以在x轴或者直线l上），我们就称点P为近l对称点． (1)①在点，和中，近2对称点是________． ②该坐标系所在平面上一条平行于y轴的线段长为7个单位，若该线段上存在近2对称点，直接写出该线段中点纵坐标m的取值范围是________； (2)若存在底边为4的等腰直角三角形上每一点既是近t对称点又是近对称点，求t的取值范围． 65．甲、乙两商场以同样的价格出售同样的商品，并各自推出了优惠方案：在甲商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费；在乙商场累计购物金额超过元后，超出元的部分按收费，已知，顾客累计购物金额为元顾客只能选择一家商场． (1)若，， ①当时，到甲商场实际花费元，到乙商场实际花费元； ②若，那么当时，到甲或乙商场实际花费一样； (2)经计算发现：当时，到甲商场无优惠，而到乙商场则可优惠元；当时，到甲或乙商场实际花费一样，请求出，的值； (3)若时，到甲或乙商场实际花费一样，，且，求的最大值． 66．【项目式学习】 项目主题：数学智慧拼图 项目背景：为了缓解同学们的学习压力，提高思维能力，增强学习兴趣，并促进同学们的全面发展，王老师将数学学习小组分成三组，每组领取一些矩形卡片，开展以“数学智慧拼图”为主题的项目式学习． 任务一：观察建模 （1）如图1，第一小组领了8个大小、形状完全相同的小矩形，拼成一个大矩形，每个小矩形的长和宽分别为y，，小组同学测得拼成的大矩形长为30，宽为16，可得方程组则_________，_________． 任务二：推理分析 （2）第二小组也领了8个大小、形状完全相同的小矩形，把它们按图2方式放置在一个大矩形中，求图2中阴影部分的面积． 任务三：设计方案 （3）第三小组领了A，B，C三种类型的矩形卡片，它们的长都为18，宽分别为a，b，c，其中且a，b，c均为正整数，分别取A，B，C卡片2，3，4张，把它们按图3方式放置在一个边长为36的正方形中，则阴影部分的面积为144；若分别取A，B，C卡片3，2，5张，则能否把它们放置在边长为36的正方形中（不能有重叠）？如果能，请你在图4中画出放置好的示意图，并标注a，b，c的值；如果不能，请说明理由． 67．我市计划将一批爱心物资运往灾区，这一批爱心物资为甲种货物吨和乙种货物吨，准备租用A、B两种型号的汽车共辆，现有一汽和二汽两家汽车公司竞争这次运输任务，他们均有足够量的A、B型汽车，收费标准如表： 一汽 二汽 A型每辆费用（元） B型每辆费用（元） (1)已知二汽公司每辆B型汽车的费用比每辆A型汽车的费用多元，且在二汽公司租4辆A型汽车和5辆B型汽车的总费用为元．求表格中，的值； (2)已知每辆A型汽车最多可以装甲种货物7吨和乙种货物4吨，每辆B型汽车最多可装甲种货物5吨和乙种货物8吨，按此要求安排同一家汽车公司的A、B两种型号汽车将这批物质一次性运往灾区，请问共有多少种租车方案？从运费最少的角度考虑，怎选择哪家公司来运输这批货物？请说明理由． 类型九、平面直角坐标系中的不等式（组）问题 68．在平面直角坐标系中，对于任意两点，，定义为点和点的“阶距离”，其中．例如：点，的“阶距离”为．已知点． (1)若点，求点和点的“阶距离”； (2)若点在轴上，且点和点的“阶距离”为4，求点的坐标； (3)若点，且点和点的“阶距离”为1，直接写出的取值范围． 69．生活常用打印纸A4纸的长宽比为，此比值也叫白银比．现对于平面直角坐标系中的不同两点，给出如下定义：若，则称A，B互为“白银点”．例如，点互为“白银点”． (1)在四个点中，能与坐标原点互为“白银点”的是：____________； (2)已知，点B为点A的“白银点”，且面积为，求点B的坐标； (3)已知，在（2）的条件下，将线段向y轴方向平移m个单位（m值为正则向上平移m个单位，m值为负则向下平移m个单位）得线段，若线段上存在线段中某个点的“白银点”，则m的取值范围为_______________． 70．在平面直角坐标系中，已知点，直线l经过点T且与x轴垂直．对于图形M和图形N，给出如下定义：将图形M关于y轴对称的图形记为，图形关于直线l对称的图形记为，若图形与图形N有公共点，则称图形M是图形N的“双称图形”． 例如，如图1，当时，对于点和第三象限角平分线，点P关于y轴的对称点是，点关于直线l的对称点在射线上，则点P是射线的“双称图形”． 已知点，，图形N是以线段为一边在直线上方所作的正方形． (1)当时，直线l和正方形如图2所示． ①在，，这三个点中，点 是图形N的“双称图形”； ②点，，，是图形N的“双称图形”，求m的取值范围； (2)若图形N是它自身的“双称图形”，直接写出t的取值范围． 71．在平面直角坐标系中，对于任意两点，与，的“近似距离”，给出如下定义：若，则点，与点，的“近似距离”为；若，则，与点，的“近似距离”为． (1)已知点，点，求点与点的“近似距离”； (2)已知点，为轴上的动点． ①若点与点的“近似距离”为4，试求出满足条件的点的坐标； ②直接写出点与点的“近似距离”的最小值：　 　． （1）根据题意即可得点与点的“近似距离”； （2）①设点的坐标为．由，，解得或，即可得出答案； ②设点的坐标为，且，则，，若，则点、两点的“近似距离”为，若，则点、两点的“近似距离”为；即可得出结果 点、点，， 点与点的“近似距离”为5． ①为轴上的一个动点， 设点的坐标为． 、两点的“近似距离”为4，， ，， 解得或， 点的坐标是或， ②设点的坐标为，且， ，， 若，则点、两点的“近似距离”为， 若，则点、两点的“近似距离”为； 、两点的“近似距离”的最小值为2， 故答案为：2． 72．在平面直角坐标系中，已知点．对于点P给出如下定义：先将点P向右()或向左()平移个单位长度，再关于直线对称，得到点，则称点为点P的“R关联点” (1)如图1，点P坐标为 ①当点R坐标为时，则点P的“R关联点”的坐标为：________； ②若点为点P的“R关联点”，则R的坐标________； (2)如图2，点，点B与点A关于y轴对称点R在边上，点P坐标为 ①画出点P所有的“R关联点”； ②这些关联点组成的图形形状是：________； (3)如图3，点，，点R在正方形边上，点．若线段上存在点的“R关联点”，直接写出n的取值范围． 73．在平面直角坐标系中，对于点P和多边形G，给出如下的定义：如果点P到多边形G每一边所在直线的距离均不小于多边形G最短边长度的，则称P为多边形G的“长聚点”．已知点，，，． (1)在点，，，，______是正方形的“长聚点”； (2)已知点，点是正方形OABC在第一象限中的“长聚点”，且，结合图形，求a的最小值； (3)将点O、A、B、C分别向右平移个单位，得到点、、、，已知点，，．若对内（不含边界）的每一点Q，都有正方形的“长聚点”，将点关于直线的对称点记作，满足点Q和关于直线对称，直接写出t的取值范围． 74．如图，在平面直角坐标系中，点A在第一象限，点，点分别在x轴，y轴上，其中a，b是二元一次方程的解，且a为不等式的最大整数解． (1)证明：； (2)如图1，连接，过点A作交y轴于点D，在射线上截取，连接，取的中点F，连接并延长至点G，使，连接．当点A在第一象限内运动（不经过点C）时，证明：的大小不变； (3)如图2，连接，点A为边的中点，点M是上一点，连接，过点A作交于点N，连接，若，求点M的坐标．（此问用勾股定理不给分） 75．对于平面直角坐标系中的任意一点，给出如下定义：如果，，那么点就是点P的“友好点”．例如：点的“友好点”是点． (1)求点的“友好点”坐标； (2)点B在第二象限，点B到x轴的距离为1个单位长度，到y轴的距离为2个单位长度，点B的“友好点”为点C，求线段的长度； (3)点的“友好点”为点E，直线轴，点F在x轴上，三角形的面积为2，求点F的坐标； (4)点G在x轴上，点G的“友好点”为点H，点H在y轴上，点，三角形的面积大于6，直接写出m的取值范围． 类型十、不等式（组）与几何的综合问题 76．对于点，，给出如下定义：在直线上，若存在点，使得，则称点是“点到点的倍分点”．例如：如图，点，，在同一条直线上，，，则点是点到点的倍分点，点是点到点的3倍分点． 已知：在数轴上，点A，B，C分别表示，，2． 下列说法正确的有（    ） ①点B是点A到点C的倍分点；②点C是点B到点A的倍分点； ③点B到点C的3倍分点表示的数是1；④点D表示的数是x，线段上存在点A到点D的4倍分点，则x的取值范围为 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 77．如图，是一个钢架结构，在角内部最多只能构造5根等长的钢条，且满足，设，则x的取值范围是 ．    78．如图，在中，平分，交于点，过点作于点．    （1）若，则 ． （2）若的度数为，则当点在的内部时，的取值范围为 ． 79．如图，在中，是边上的高，，，．点在高上，且．点从点出发，沿折线方向以每秒2个单位长度运动，到达点时停止，设点运动时间为秒． (1)求点整个运动过程共需多少秒？ (2)当点在边上运动，且以点、、为顶点的三角形是等腰直角三角形时，求的值； (3)当的长大于点运动总路程的时，求的取值范围． 80．对于同一平面内以点O为端点的射线与，其中，给出定义：、、……、是内或与射线、重合的n条不同的射线，这些射线与射线形成的不大于平角的角的大小分别为、、……、、，若这n个角满足，则称这n条射线为关于射线的一个基准射线族，其中为该基准射线族的基准角度．    (1)如图1，当射线与射线恰为的两条三等分线时，判断射线、、是否为关于射线的一个基准射线族?如果是，写出它的基准角度；如果不是，请说明理由； (2)如图2，的边与射线重合，固定射线不动，将以每秒的速度绕着点O逆时针转动一周．当转动时间为秒时，射线、射线、……、射线是关于射线的一个基准射线族，该基准射线族的基准角度为． ①当时，直接写出的取值范围； ②当n的最大值为6时，直接写出t的取值范围． 试卷第146页，共146页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！2 学科网（北京）股份有限公司 $$