17.2 一元二次方程的解法（第2课时 配方法）（同步课件）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（沪科版）

17.2 一元二次方程的解法 主讲： 沪科版八年级数学下册 第17章 一元二次方程 第2课时 配方法 目录 学习目标 01 情景导入 02 新知探究 03 课本例题 04 05 课本练习 06 分层练习 08 07 课本习题 课堂小结 学习目标 1. 理解配方法，会利用配方法熟练地解二次项系数为1的一元二次方程； 2. 会利用配方法灵活地解决二次项系数不为1的一元二次方程； 3. 通过不同方程的转化，获得解决问题的经验，体会数学中的转化思想； 4. 经历由已知知识到新知识的探究过程，培养学生观察能力和运用所学过的知识解决问题的能力，使学生感受数学的严谨性以及数学结论的确定性. 情景导入 问题1.你还记得吗？填一填下列完全平方公式. (1) a2+2ab+b2=( )2； (2) a2-2ab+b2=( )2. a+b a-b 问题2.填上适当的数或式,使下列各等式成立. （1）x2+4x+ = ( x + )2 （2）x2-6x+ = ( x- )2 （3）x2+8x+ = ( x+ )2 （4） x2- x+ = ( x- )2 你发现了什么规律？ 22 2 32 3 42 4 二次项系数为1的完全平方式： 常数项等于一次项系数一半的平方. 配方的方法 新知探究 思考 怎样解上节问题1中得到的方程 x2+2x-1=0? 这个方程，显然不能通过直接开平方来解，能否把这个方程转化成直接开平方来解的形式？ 下面，对这个方程进行变形： 把常数项移到等号右边，得 对等号左边配方，得 这时，对上式直接开平方，得 所以原方程的根是 x2+2x=1 x2+2x+1= 1+1 (x+1)2= 2 即 为什么在方程两边同时加上数“1”而不是其他数？ 为了使左边配成 x2+2bx+b2的形式 新知探究 （考虑到问题1的实际情况，这里只能取，即：年平均增长率应是41％ ） 像这种先对原一元二次方程配方，使它出现完全平方式后，再直接开平方求解的方法，叫做配方法. “化归方法”是将待解的问题转化成先前已经解决的问题的一种数学思想方法，配方法就是将一元二次方程通过配方转化成可直接开平方解方程的方法. p＞0 P=0 P＜0 根的个数 两个不等的实数根： 两个相等的实数根： p的范围 x1=x2= 0 无实数根 形如(x+n)2=p的方程的根的情况 一般地，如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么就有： 一移常数项；二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 配方法解方程的基本步骤 配方法解方程的基本思路 把方程化为（x+n)2=p的形式，将一元二次方程降次，转化为一元一次方程求解． 要点归纳 例题讲解 课本例题例1 用配方法解下列方程： (1) x2 – 4x–1=0 解：(1) 移项，得 x2 – 4x = 1 配方，得 (x–2)2=5 x2 – 2×2x +22=1+22 开平方，得 所以原方程的根是 用配方法解一元二次方程： x2 ＋ x－ =0； 解： 移项，得x2+x= . 配方，得x2+x+()2= +()2. 即 (x+ 2=1. ∴ x1= ，x2=－ . 变式练习 例题讲解 课本例题例1用配方法解下列方程： (2) 2x2 – 3x–1=0 解：先把x2的系数化为1，即把原方程两边同除以2，得 移项，得 配方，得 开平方，得 所以原方程的根是 用配方法解一元二次方程： 2x2－4x－1=0； 解：移项，得2x2－4x=1. 二次项系数化为1，得x2－2x= . 配方，得x2－2x+12= +12，即(x－1)2= . ∴ x1=1+ ，x2=1－ . 变式练习 综合变式练习 用配方法解解下列方程： 解：（1）移项，得 x2－8x=－1, 配方，得 x2－8x+42=－1+42 , ( x－4)2=15 由此可得 即 配方，得 由此可得 二次项系数化为1，得 解：移项，得 2x2－3x=－1, 即 解法提醒 1. 用配方法解一元二次方程的实质就是对一元二次方程进行变形，将其转化为直接开平方所需要的形式，再利用平方根的意义把一个一元二次方程转化成两个一元一次方程来求解. 2. 方程两边同时加上一次项系数一半的平方的前提是二次项系数为1. 交流 根据上面的例题，请你归纳出用配方法解一般一元二次方程应有的步骤． 其中，最关键的是配哪一项，这一项怎样确定？ ①把方程整理成ax2+bx+c=0的形式； ②方程两边同时除以二次项系数， 使方程系数为“1”，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化成一个常数； ⑤若右边是非负数，可利用直接开平方法求解;若右边是负数，则方程无实数解. 课堂练习 1. 填空： (1) x2 –8x+( )2=(x–____)2 (2) y2 +5y+( )2=(y + ___)2 (3) x2 – x +( )2 =(x – ____)2 (4) x2 +px+( )2 =(x + ___)2 4 4 2. 用配方法解下列方程： (1) x2 +x –1=0 (2) x2 –3x –2=0 解： (1) x2 +x –1=0 x2 +x=1 x2 +x+ =1+ (x+ )2= x + = x1= - ，x2= - (2) x2 –3x –2=0 x2 –3x =2 x2 –3x+ =2+ (x –)2= x –= x1= ，x2= (3) 2x2+5x –1=0 (4) 3x2 – 6x +1=0 解： (3) 2x2+5x –1=0 (x + )2= x + = x1=-，x2= =- x2+ x –=0 x2+ x+ = + x2 + x= (4) 3x2-6x +1=0 (x -1)2= x -1= x1=1，x2= =1 x2-2x +=0 x2-2x+ = -+ x2 -2x= - 2. 用配方法解下列方程： 分层练习 知识点1 用配方法解二次项系数为1的一元二次方程 1.[2024合肥蜀山区期末] 若 是一个完全平方式， 则 的值是( ) C A.4 B. C. D.以上都不对 2.若一元二次方程能化成 的形式， 则 的值为( ) C A.11 B. C.17 D. 基础练 3. 填空： （1）____（___） ； （2）____（___） ； （3）_ __（__） ； （4）__（__） . 25 5 36 6 4. 用配方法解方程： （1） ； 【解】 ， ， ， ， . （2） . ， ， ， ， . 知识点2 用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程 5.将方程配方成 的形式为 ( ) A A. B. C. D. 6. 设,是两个整数，若定义一种运算“ ”， ，则方程 的实数根是( ) A. B.， C. D., C 7. 用配方法解方程： （1） ； 【解】 ， ， , , ， ， . （2） . ， ， ， ， ， . 易错点 配方时，错用完全平方公式 8.下面是小明用配方法解一元二次方程 的过程， 请认真阅读并完成相应的问题. 解：移项，得 ，第一步 二次项系数化为1，得 ，第二步 配方，得 ，第三步 由此可得 ，第四步 所以， .第五步 （1）小明的解答过程，从第____步开始出现错误； 三 （2）请写出你认为正确的解答过程. 【解】 ，移项，得 ， 二次项系数化为1，得 ，配方，得 ， 由此可得 ，所以， . 8.下面是小明用配方法解一元二次方程 的过程， 请认真阅读并完成相应的问题. 解：移项，得 ，第一步 二次项系数化为1，得 ，第二步 配方，得 ，第三步 由此可得 ，第四步 所以， .第五步 9. 已知实数,满足，且 ， 则下列结论正确的是( ) D A.或 B. C. D. 【点拨】 ， ，即 ， ，或（舍去）， 选项错误. ， ， ， ， . ，C选项错误，D选项正确.故选D. 提升练 10. 如图，在用配方法解一元二次方程 时， 配方的过程可以用拼图直观地表示，即看成将一个长是 、宽是 、面积是40的长方形割补成一个正方形， 则 的值是___. 3 11.已知，求 的值. 【解】原方程可化为 ， ，，， ， . 12. 若的三边长,, 满足 ,试判断 的形状. 【解】原等式可变形为 . ,, . ,, . 是等边三角形. 13.李老师提出问题：求代数式 的最小值.要求同 学们运用所学知识进行解答. 同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解： . ， . 当时， 的值最小，最小值是1. 即 的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. （1） 的最小值为___. 3 拓展练 （2）求代数式 的最小值. 【解】 . ， ， 当时， 的值最小，最小值为7， 即 的最小值为7. 13.李老师提出问题：求代数式 的最小值.要求同学们运用所 学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解： . ， . 当时， 的值最小，最小值是1.即 的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. （3）你认为代数式 有最大值还是有最小值？ 求出该最大值或最小值. 有最大值 ， ， 当时，代数式 有最大值，最大值为8. 13.李老师提出问题：求代数式 的最小值.要求同学们运用所 学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解： . ， . 当时， 的值最小，最小值是1.即 的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. （4）若，求 的最小值. ， ， . ， ， 当时， 的值最小，最小值为2， 即 的最小值为2. 13.李老师提出问题：求代数式 的最小值.要求同学们运用所 学知识进行解答.同学们经过探索、交流和讨论，最后总结出如下解答方法： 解： . ， . 当时， 的值最小，最小值是1.即 的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题. 课堂小结 配方法 定义 通过配成完全平方形式解一元二次方程的方法. 步骤 一移常数项； 二配方[配上 ]； 三写成（x+n)2=p (p ≥0); 四直接开平方法解方程. 特别提醒： 在使用配方法解方程之前先把方程化为x2+px+q=0的形式. 应用 求代数式的最值或证明 直接开平方法 利用平方根的定义求方程的根的方法 主讲： 沪科版八年级数学下册 感谢聆听 $$