4.2.1 等差数列的概念（第2课时 等差数列的性质）（教学课件）-【大单元教学】高二数学同步备课系列（人教A版2019选择性必修第二册）

人教版2019高一数学（选修二） 第四章　数列 第2课时 等差数列的性质 4.2.1　等差数列的概念 目录/CONTENTS 新知探究 情景导入 学习目标 课堂小结 随堂检测 错因分析 1.能用等差数列的定义推导等差数列的性质. 2.能用等差数列的性质解决一些相关问题. 3.能用等差数列的知识解决一些简单的应用问题. 学习目标 问题1 你能说出等差数列的概念吗？ 文字 语言 如果一个数列从第__项起，每一项与它的 ______的差都等于_____________，那么这个数列就叫做等差数列，这个______叫做等差数列的公差，公差通常用字母___表示 符号 语言 an＋1－an＝d(d为常数，n∈N*) 2 前一项 同一个常数 常数 d 情景导入 问题2 你能回忆等差中项的概念吗？ 等差 中项 条件 结论 关系式 如果成等差数列 那么叫做与的等差中项 情景导入 问题3 等差数列的通项公式为？通项公式的应用？ 通项公式 应用 函数与方程 的思想 情景导入 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 问题1：如何根据实际意义建立数列模型?题目条件中包含哪些不等关系? 利用什么公式列不等式? 课本例题 分析 解析 例1：某公司购置了一台价值为220万元的设备，随着设备在使用过程中老化，其价值会逐年减少．经验表明，每经过一年其价值就会减少 d（d 为正常数）万元．已知这台设备的使用年限为10年，超过10年，它的价值将低于购进价值的5%，设备将报废．请确定 d 的取值范围． 问题2：如何确定新的等差数列 的首项和公差?判断一个数是否为某数列中的项的方法是什么? 分析 解析 思考： 如果插入数，那么的公差是多少？ 分析 解析 思考： 对于(2),你还有其他解法么？ 思考： 对于第(2)小题的教材解法，你能否给出一个推广形式？ 其实这种解法蕴含的是等差数列的一个重要性质：若是等差数列，公差为，则，，，…()是公差为的等差数列． 证明：∵是等差数列，公差为，∴ ，， 即，，，…()是公差为的等差数列． ∴， 即. 分析 证明 思考： 当公差 d = 0 时, 不一定成立; 当 d ≠ 0 时, 一定成立. 思考： 思考：例3是等差数列的一条性质（角标和性质），图4.2-2是它的一种情形． 你能从几何角度解释等差数列的这一性质吗？ 若是等差数列，公差为，正整数满足， 则. 解析 课本练习 解析 解析 4. 已知数列{an}, {bn}都是等差数列, 公差分别为d1, d2, 数列{cn}满足cn= an +2bn . (1) 数列{cn}是否是等差数列? 若是, 证明你的结论; 若不是, 请说明理由. (2) 若{an}, {bn}的公差都等于2, a1= b1=1, 求数列{cn}的通项公式. 5. 已知一个无穷等差数列{an}的首项为a1, 公差为d. (1) 将数列中的前m项去掉, 其余各项组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (2) 依次取出数列中的所有奇数项, 组成一个新的数列, 这个新数列是等差数列吗? 如果是, 它的首项和公差分别是多少? (3) 依次取出数列中所有序号为7的倍数的项, 组成一个新的数列, 它是等差数列吗? 你能根据得到的结论作出一个猜想吗? 典例剖析 错因分析 等差数列的每相邻两项之间都插入 )个合适的数，仍然可以构成一个新的等差数列。 等差数列，, 则 应用等差数列解决生活中实际问题的方法。 课堂小结 这台设备使用年后的价值构成一个数列，由题意可知，10年之内 （含10年)，这台设备的价值应不小于万元；而10年后， 这台设备的价值应小于11万元．可以利用的通项公式列不等式求解. 设使用年后，这台设备的价值为万元，则可得数列． 由已知条件，得:， 由于是与无关的常数，所以数列是一个公差为的等差数列． 因为购进设备的价值为220万元，所以， 于是 根据题意，得：，即： 解这个不等式组，得： 所以，的取值范围为. (1) 是一个确定的数列，只要把表示为中的项，就可以 利用等差数列的定义得出的通项公式； 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． 因为，所以，所以， 所以． 所以，数列的通项公式是 例2：已知等差数列的首项，公差，在中每相邻两项之间 都插入3个数，使它们和原数列的数一起构成一个新的等差数列． （1）求数列的通项公式． （2）是不是数列的项?若是，它是的第几项?若不是，说明理由． （1）设数列的公差为．由题意可知，，， 于是， 因为，所以，即， 所以数列的通项公式是： 由题意可知，，，于是， （2）数列的各项依次是数列的第1，5，9，13，…项， 这些下标构成一个首项为1，公差为4的等差数列，则． 令，解得． 所以，是数列的第8项． (2) 设中的第项是中的第项，根据条件可以求出与 的关系式，由此即可判断是否为的项. 因为，所以，令，解得， 所以，是数列的第8项． （2）由第（1）知，所以， 设数列的公差为，则 所以， 因为， 所以 例3：已知数列是等差数列，，且． 求证：． 只要根据等差数列的定义写出，再利用已知条件 即可得证． （1）由的表达式，你能发现它们之间的关系么？ 由，易得. 所以，，这也是等差数列的重要性质. 等差数列通项公式需要基本量和,该公式是用等差数列 的某一项和公差d表达第n项，即， 变形可得. 已知数列是等差数列，，且， 则成立么？ (2)设点与点的中点为，点与点的中点为， 因为，所以点M与点N重合，所以它们的纵坐标相等，即， 所以.特别地，当时，. (1)等差数列的图象是点组成的集合， 这些点均匀分布在同一条直线上，所以，点 在同一条直线上； （2）等差数列的某一项和公差d表达第n项，即 ，变形可得. 1．某体育场一角看台的座位是这样排列的：第1排有15个座位，从第2排 起每一排都比前一排多2个座位．你能用表示第排的座位数吗? 第 10排有多少个座位? 由条件可知，每排的座位数看成等差数列，首项，， 则，． 综上可知，，第10排的座位数个． 由， 其图象如下由图可知，通过图象上 所有点的直线的斜率为． 2．画出数列的图象，并求通过图象上所有点 的直线的斜率． （方法一）设等差数列的公差为， ，两式相减得， ，， ． （方法二）是等差数列，， ，，． 3．在等差数列中，，且，求． 题型一　等差数列的性质应用 例1　在等差数列{an}中，已知a2＋a5＋a8＝9，a3a5a7＝－21，求an. 解析：∵a2＋a8＝a3＋a7＝2a5， a2＋a5＋a8＝9 ∴a5＝3，∴a3＋a7＝6① 又a3a5a7＝－21，∴a3·a7＝－7② 由①②解得a3＝－1，a7＝7或a3＝7，a7＝－1 ∴当a3＝－1时，d＝2；当a3＝7时，d＝－2. ∴an＝－1＋(n－3)×2或an＝7＋(n－3)×(－2) 即an＝2n－7或an＝－2n＋13. (2)已知数列{an}是等差数列，若a4＋a7＋a10＝17，a4＋a5＋a6＋…＋a12＋a13＋a14＝77且ak＝13，则k＝________. 解析：(2)∵a4＋a7＋a10＝3a7＝17， ∴a7＝eq \f(17,3). 又∵a4＋a5＋…＋a13＋a14＝11a9＝77，∴a9＝7. 故d＝eq \f(a9－a7,9－7)＝eq \f(7－\f(17,3),2)＝eq \f(2,3). ∵ak＝a9＋(k－9)d＝13，∴13－7＝(k－9)×eq \f(2,3)，∴k＝18. 答案：(2)18 方法归纳 利用等差数列的性质“若p＋q＝s＋t，且p，q，s，t∈N＋，则ap＋aq＝as＋at”来求等差数列的某一项，可以简化解题过程，减少计算量． 跟踪训练1　(1)在等差数列{an}中，若a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝100，则3a9－a13的值为(　　) A．20 B．30 C．40 D．50 解析：(1)∵a3＋a11＝a5＋a9＝2a7， ∴a3＋a5＋a7＋a9＋a11＝5a7＝100， ∴a7＝20. ∴3a9－a13＝3(a7＋2d)－(a7＋6d)＝2a7＝40.故选C. 答案：(1)C　 题型二　等差数列的综合问题 例2　已知无穷等差数列{an}，首项a1＝3，公差d＝－5，依次取出序号被4除余3的项组成数列{bn}． (1)求b1和b2； (2)求数列{bn}的通项公式； (3)数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第几项？ 解析：(1)由题意，等差数列{an}的通项公式为 an＝3－5(n－1)＝8－5n， 设数列{bn}的第n项是数列{an}的第m项，则需满足m＝4n－1，n∈N*. 所以b1＝a3＝8－5×3＝－7，b2＝a7＝8－5×7＝－27. (2)由(1)知bn＋1－bn＝a4(n＋1)－1－a4n－1＝4d＝－20， 所以数列{bn}也为等差数列， 且首项为b1＝－7，公差为d′＝－20，所以bn＝b1＋(n－1)d′＝－7＋(n－1)×(－20)＝13－20n. (3)因为m＝4n－1，n∈N*， 所以当n＝110时，m＝4×110－1＝439， 所以数列{bn}中的第110项是数列{an}中的第439项． 方法归纳 (1)已知等差数列{an}的基本量后，求解由{an}的部分项构成的数列{bn}的通项公式，首先要搞清{bn}中的项是由{an}中的哪些项构成，从而确定数列{bn}的特性(公差)是解决本题的关键． (2)有关两个等差数列公共项问题，处理办法有两种，一是将公共项组成等差数列；二是从通项公式入手，利用最小公倍数，建立am＝bn这样的方程，再求一定范围内的整数解． 跟踪训练2　已知数列{an}是等差数列，且a1＋a2＋a3＝12，a8＝16. (1)求数列{an}的通项公式； (2)若从数列{an}中，依次取出第2项，第4项，第6项，…，第2n项，按原来顺序组成一个新数列{bn}，试求出数列{bn}的通项公式． 解析：(1)设等差数列的公差为d. 因为a1＋a2＋a3＝12， 所以a2＝4， 因为a8＝a2＋(8－2)d， 所以16＝4＋6d， 所以d＝2， 所以an＝a2＋(n－2)d＝4＋(n－2)×2＝2n.故an＝2n. (2)a2＝4，a4＝8，a6＝12，a8＝16，…，a2n＝2×2n＝4n. 当n>1时，a2n－a2(n－1)＝4n－4(n－1)＝4. 所以数列{bn}是以4为首项，4为公差的等差数列． 所以bn＝b1＋(n－1)d＝4＋4(n－1)＝4n. 故bn＝4n. 题型三　等差数列的实际应用 例3　某公司经销一种数码产品，第1年可获利200万元．从第2年起，由于市场竞争等方面的原因，其利润每年比上一年减少20万元，按照这一规律，如果公司不开发新产品，也不调整经营策略，从哪一年起，该公司经销这一产品将亏损？ 解析：设从第1年起，第n年的利润为an，则由题意知a1＝200，an－an－1＝－20(n≥2，n∈N＋)．所以每年的利润an可构成一个等差数列{an}，且公差d＝－20.从而an＝a1＋(n－1)d＝220－20n. 若an<0，则该公司经销这一产品将亏损，由an＝220－20n<0，得n>11， 即从第12年起，该公司经销此产品将亏损． 方法归纳 解决实际应用问题，首先要认真领会题意，根据题目条件，寻找有用的信息．若一组数按次序“定量”增加或减少时，则这组数成等差数列． 合理地构建等差数列模型是解决这类问题的关键，在解题过程中，一定要分清首项、项数等关键的问题． 跟踪训练3　某市出租车的计价标准为1.2元/km，起步价为10元，即最初的4 km(不含4 km)计费10元．如果某人乘坐该市的出租车去往14 km处的目的地，且一路畅通，等候时间为0，求需要支付的车费． 解析：根据题意，当该市出租车的行程大于或等于4 km时，每增加1 km，乘客需要支付1.2元．所以可以建立一个等差数列{an}来计算车费． 令a1＝11.2，表示4 km处的车费，公差d＝1.2，那么当出租车行至14 km处时，n＝11，此时需要支付车费a11＝11.2＋(11－1)×1.2＝23.2(元)． 易错辨析　混淆等差数列的公共项问题中n的取值致错 例4　两个等差数列5,8,11，…和3,7,11，…都有100项，那么它们共有多少相同的项？ 解析：设已知两个数列的所有相同的项将构成的新数列为{cn}，c1＝11 又等差数列5,8,11，…的通项公式为an＝3n＋2， 等差数列3,7,11，…的通项公式为bn＝4n－1. ∴数列{cn}为等差数列，且公差d＝12. ∴cn＝11＋(n－1)×12＝12n－1. 又∵a100＝302，b100＝399，cn＝12n－1≤302. 得n≤25eq \f(1,4)，可见已知两数列共有25个相同的项． 【易错警示】 出错原因 混淆了两个等差数列中n的取值，误认为3n＋2＝4n－1，解得n＝3，致错. 纠错心得 解题时一定要理解好两个通项公式的n值的含义，否则会造成不必 $$