专题1.3 二次根式的应用（压轴题专项讲练）-2024-2025学年八年级数学下册压轴题专项讲练系列（浙教版）

专题1.3 二次根式的应用 · 典例分析 【典例1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解： 当且仅当 即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； （3）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【思路点拨】 （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 【思路点拨】 本题考查分式的求值，二次根式的运算，将转化为的形式，利用完全平方的非负性，进行求解即可． 【解题过程】 解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴当，即：时，有最小值， ∴， ∴； 故选D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 【思路点拨】 先分别化简所给的两个二次根式，分别求出a、b对应的小数部分，然后化简、运算、求值，即可解决问题． 【解题过程】 解： ∴a的小数部分为， ∴b的小数部分为， ∴， 故选：B． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的应用，解题的关键是明确题意，列出相应的等式．根据各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等可得，求出、、的值即可求解． 【解题过程】 解：各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等， ， 解得：，，， ， 故答案为：． 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的应用，先算出三个小正方形的边长，再得到大正方形的边长，通过面积的计算得结论． 【解题过程】 解：三个小正方形的面积分别为18、12、2， 三个小正方形的边长分别为、、， 由题图知：大正方形的边长为：， ． 故答案为：． 5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的应用，观察图形得到各个正方形边长之间的关系是解题的关键．根据面积可求得大正方形和阴影部分的边长，从而求得空白部分的长；观察可知两块空白部分全等，则可得到一块空白的面积；通过长方形面积公式可求空白部分的宽，最后求出小正方形的边长即可求出面积． 【解题过程】 解：观察可知，两个空白部分的长相等，宽也相等，面积相等 重叠部分也为正方形， 空白部分的面积为， 一个空白长方形面积为， 大正方形面积为12，重叠部分面积为3， 大正方形边长为，重叠部分边长为， 空白部分的长为， 设空白部分宽为，可得：， 解得：， 小正方形的边长空白部分的宽阴影部分边长， 小正方形面积， 故答案为：10 6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．    【思路点拨】 欲求，需求以及．由题意得，，故，，进而解决此题． 【解题过程】 解：如图．    由题意知：，， ，． ． 故答案为：． 7．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，正方形和的边长分别为，点、分别在边、上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为 ． 【思路点拨】 本题考查的是完全平方公式的几何背景，利用图形和、还有之间的关系，求出x，y，用面积公式计算即可．解题的关键是正确掌握、还有之间的关系． 【解题过程】 解：∵正方形和的边长分别为，且， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 解方程组得， ∵四边形和四边形是正方形， ∴， 则， 故答案为：． 8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．    【思路点拨】 根据题意，设小长方形长为，宽为，则由盒子底部大长方形长为，宽为，可得大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；；从而列式求两块阴影部分的周长和即可得到答案． 【解题过程】 解：设小长方形长为，宽为， 盒子底部大长方形长为，宽为， 大阴影部分长为，宽为；小阴影部分长为，宽为；且； 两块阴影部分的周长和 ， 将代入上式，原式， 故答案为：． 9．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体；求： （1）长方体的表面积是多少？ （2）长方体的体积是多少？ 【思路点拨】 此题考查二次根式的混合计算，掌握长方体的表面积和体积计算方法是解决问题的关键． （1）设长方体的高为，则长为，宽为，根据长方体的底面积等于长宽列方程求得答案即可，再利用长方体的表面积计算公式计算即可； （2）利用长方体的体积计算公式计算即可． 【解题过程】 （1）设长方体的高为，则长为，宽为，由题意得： 解得， 则， 所以这个长方体的长、宽、高分别是、、． 答：长方体的表面积是． （2） 答：体积是． 10．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 【思路点拨】 本题考查了二次根式的混合运算的实际应用，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据长方形的周长公式进行计算即可求解； （2）先求得长方形的面积，根据面积乘以6即可求解． 【解题过程】 （1）解：         （米）． 答：长方形的周长为米． （2）解： （平方米）． （元）． 答：购买地砖需要花费元． 11．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． （1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ （2）现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式的应用： （1）分别求出正方形和正方形的面积相除即可得出答案； （2）求出两个正方形的周长，即可判断彩带的长度够不够． 【解题过程】 （1）解∶∵大相框的面积为，小相框的面积为， ∴， 答∶大相框的面积是小相框面积的倍； （2）解：不够用． 镶边所需要的彩带长为， 则现有的彩带不够用，还需买， 答∶现有的彩带不够用，还需要购买约长的彩带． 12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 【思路点拨】 本题考查的是二次根式的应用． （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和范围，根据题意解答． 掌握二次根式的性质、无理数的估算是解题的关键． 【解题过程】 （1）解：∵两个正方形的面积分别为和， ∴这两个正方形的边长分别为和， 由图可知，矩形的长为：，宽为， 则原矩形的面积为：， 答：原矩形的面积为； （2）最多能裁出3快，理由如下： 根据（1），可知：这两个正方形的边长分别为和， 即此时阴影部分的宽为：， 长为：， ∵，， ∴，， ∴，， 则， ∴阴影部分可以最多裁剪出3块长宽的木条． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【思路点拨】 本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【解题过程】 （1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． （1）若，求甲盒子的侧面积； （2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 【思路点拨】 本题考查了二次根式的运用、完全平方公式以及因式分解等知识点，掌握长方体的体积和侧面积公式是解题关键． （1）由题意得甲、乙底面积相同，可得，据此即可求解； （2）由题意可得甲的侧面积为：，乙的侧面积为：．作差即可求解． 【解题过程】 （1）解长方体体积相同，高相同， 甲、乙底面积相同． ． ， ． ． 甲盒子的侧面积； （2）解：①由②可知， 故答案为：； ②由题意，， ， 均为非负数，， ， 即， ． ， ， ． 15．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 【思路点拨】 本题考查二次根式的应用． （1）先根据已知条件求出h的值，再代入公式即可得时间； （2）将代入公式即可得高度h； （3）先根据公式求出，再代入动能计算公式求出这个玩具产生的动能，即可判断． 【解题过程】 （1）解：小明家住21层，每层楼的高度近似为， ， ， 故答案为：； （2）解：当时，， ， 故答案为：45； （3）解：能伤害到楼下无防护的行人，理由如下： 当时，，解得， ， ∴质量为的玩具经落地所带能量能伤害到楼下无防护的行人． 16．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 【思路点拨】 本题考查二次根式的化简和利用二次根式的性质求解，审清题意并根据题意正确列式和方程是解题的关键． （1）根据即可判断； （2）将代入计算求出T，即可得解； （3）令求出l即可． 【解题过程】 解：（1）令， ∵g>0， ∴， ∴， ∴， 即， ∴摆线越长，周期越长，摆得越慢， 故答案为：长，慢； （2）将代入得：， ∴该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数约为：(次)， 答：该摆钟1分钟发出43次“滴答”声； （3）令，即， 解得：． 答：该摆钟的摆长为0.25米． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． （1）当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； （2）一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； （3）若，，求此时三角形面积的最大值． 【思路点拨】 （1）直接利用已知得出的值，再利用三角形面积公式得出答案； （2）将变形为再代入求值即可； （3）根据公式计算出，再表示成，代入公式即可求出解．． 【解题过程】 （1）解：∵，，， 则：， ∴ ； （2） ， 则三边长依次为、，，代入可得： （3）∵，，， ∴，则， ∴ ， ∴当时，有最大值，为． 18．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． （1）填空：________；________． （2）试猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【思路点拨】 （1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【解题过程】 （1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 19．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 （1）若，求的最大值； （2）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； （3）用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 【思路点拨】 本题主要考查完全平方公式的应用，二次根式的应用． （1）根据基本不等式即可求解； （2）设这个长方形的长为x米，则另一边为米，则，，所以所用篱笆的长为米，再根据材料提供的信息求出的最小值即可； （3）设一边为，则另一边长为，则，根据基本不等式，即可求解． 【解题过程】 （1）解：∵ ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时，的最大值为； （2）解：设这个长方形的长为x米，另一边为米， 则， ∴， ∴所用篱笆的长为米， ， ∵当且仅当时，的值最小，最小值为， ∴或（舍去）． ∴这个长方形的长、宽分别为米，米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是米； （3）解：设一边为，则另一边长为，则 ∴ ∴ ∴ ∴ ∴当时的最大值为 ∴当时，菜园的面积有最大值为平方米， 答：菜园的长为，宽为时，面积最大为平方米． 20．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： （1）若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）若时，求式子的最值，并说明此时的值． （3）时，式子成立吗？说明理由． 【思路点拨】 本题考查基本不等式的应用，二次根式混合运算，解题的关键是理解题意，学会仿照例子解决问题． （1）仿照材料中的例子求解即可； （2）仿照材料中的例子利用二次根式混合运算法则进行计算即可； （3）仿照材料中的例子求出时，有最小值2，根据，不能取到最小值2，得出时，，原等式不成立． 【解题过程】 （1）解：∵， ∴， ∴， 当且仅当， 解得：，负值舍去， 经检验：是方程的解， ∴当时，函数有最小值，最小值为； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴当取最小值时，取最小值， ∴当时，有最小值，且最小值为， ∴的最小值为， 解方程得：，（舍去）， 经检验是方程的解， ∴当时，的最小值为； （3）解：式子不成立．理由： ∵， ∴，， ∴， 当且仅当，即时，有最小值，且最小值为2， ∵， ∴不等式不能取等号， 即不等式不成立． 21．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 【思路点拨】 本题考查二次计算与化简与应用， （1）根据题目所给的方法将根号下的数变成完全平方的形式进行计算； （2）根据题目给出的、与、的关系式，列式算出结果即可； （3）将所给式子两边平方求解即可； （4）先判断B，C两种型号的包装纸箱符合条件，再求出体积进行比较即可； 解题的关键是掌握二次根式的运算法则． 【解题过程】 解：（1）， 故答案为：； （2）∵，且a，b，m，n均为正整数， ∴， 即， ∴，， 故答案为：；； （3）∵，且x，y均为正整数， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴x的值为； （4）∵，， ∴底面积的饰品盒底面边长为， 底面积的饰品盒底面边长为， ∵，， ∴两个正方形的长之和：， ∴B，C两种型号的包装纸箱符合条件， B型号的包装纸箱的体积为：， C型号的包装纸箱的体积为：， ∵， ∴应选择C型号包装纸箱． 22．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解决问题： 【观察发现】 因为， 所以； 因为， 所以． 【建立模型】 形如的化简（其中为正整数），只要找到两个正整数，使，，那么． 【问题解决】 （1）化简：①______； ②______； （2）已知正方形的边长为，现有一个长为，宽为的长方形，当它们的面积相等时，求正方形的边长； （3）已知，则代数式的值为______． 【思路点拨】 本题以完全平方公式为背景，考查复合二次根式的化简．读懂模型是解决问题的关键． （1）根据模型解释，找到使，成立的两个正整数m、n即可求解； （2）由题意得即可求解， （3）先计算，，代入原式化简计算，最后利用材料方法对化简后的式子变形，开方即可． 【解题过程】 （1）解：①令，， 解得：或， ， 故答案为：； ②， 令，， 解得：或， ， 故答案为：； （2）由题意得：， ， 令，， 解得：或， ， ， 解得：； （3）∵， ∴，， ∴ 令，， 解得：或， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题1.3 二次根式的应用 · 典例分析 【典例1】阅读下列两份材料，理解其含义并解决问题． 【阅读材料1】如果两个正数a，b，则 即，当且仅当时取等号，此时有最小值为 【实例展示1】已知，求式子最小值． 解： 当且仅当 即时，式子有最小值为6． 【阅读材料2】我们知道，分子比分母小的分数叫做“真分数”；分子比分母大，或者分子、分母同样大的分数，叫做“假分数”．类似的，我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”． 【实例展示2】如：这样的分式就是假分式；如：这样的分式就是真分式，假分数 可以化成带分数的形式，类似的，假分式也可以化为带分式．如： 【学以致用】根据上面两份材料回答下列问题： （1）已知，则当______时，式子取到最小值，最小值为______； （2）分式是______（填“真分式”或“假分式”）；假分式可化为带分式形式为______；如果分式的值为整数，则满足条件的整数x的值有______个； （3）用篱笆围一个面积为的长方形花园，这个长方形花园的两邻边长各为多少时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是多少？ （4）已知，当x取何值时，分式取到最大值，最大值为多少？ 【思路点拨】 （1）根据题中的公式确定出原式的最小值即可； （2）根据新定义判断分式是真分式，将假分式化为真分式再判断满足条件的整数x的值； （3）设这个矩形的长为x米，则宽面积长，即宽米，则所用的篱笆总长为2倍的长倍的宽，本题就可以转化为两个负数的和的问题，从而根据： 求解； （4）根据实例剖析1和实例剖析2，将原式改写，然后使用不等式的性质进行计算即可得到答案． 【解题过程】 （1）解：令，则有， 得， 当且仅当时，即正数时，式子有最小值，最小值为8； 故答案为：4，8； （2）解：根据新定义分式是真分式， ， x为整数，的值为整数， ∴为整数， 或或或， 解得：或或或， 则满足条件的整数x的值有4个， 故答案为：真分式，，4； （3）解：设这个矩形的长为x米，则宽为米，所用的篱笆总长为y米， 根据题意得： 由上述性质知：∵， ∴， 此时，， ∴， 答：当这个长方形的长、宽各为15米时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是60米； （4）解： ， ， ， 当且当时，即时，式子有最小值为4， 当时，分式取到最大值，最大值为． · 学霸必刷 1．（23-24九年级上·江苏南通·期末）设，的最小值为，使得取最小值的x值为n，则（    ） A．8 B．6 C． D． 2．（23-24九年级上·河南洛阳·阶段练习）设a为的小数部分，b为的小数部分，则的值为（     ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级下·广西梧州·期中）如图所示的幻方中，各行、各列及各条对角线上的三个实数之积均相等，则 ． 4．（23-24八年级下·山东临沂·期末）如图，在大正方形纸片中放置两个小正方形，已知两个小正方形的面积分别为，，重叠部分是一个正方形，其面积为2，则空白部分的面积为 ． 5．（23-24八年级下·陕西西安·期中）在一个正方形的内部按照如图方式放置大小不同的两个正方形，其中较大的正方形面积为12，重叠部分的面积为3，空白部分的面积为，则较小的正方形面积为 ． 6．（23-24九年级上·山西临汾·阶段练习）如图，在一个长方形中无重叠的放入面积分别为和的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为 ．    7．（23-24八年级上·重庆渝中·期中）如图，正方形和的边长分别为，点、分别在边、上，若，，则图中阴影部分图形的面积的和为 ． 8．（23-24八年级下·浙江金华·阶段练习）把四张形状大小完全相同的小长方形卡片（如图①）不重叠地放在底面为长方形（长为，宽为）的盒子底部（如图②），盒子底面未被卡片覆盖的部分用阴影表示．则图中两块阴影部分的周长和是 ．    9．（23-24八年级下·广东江门·开学考试）做一个底面积为，长、宽、高的比为的长方体；求： （1）长方体的表面积是多少？ （2）长方体的体积是多少？ 10．（23-24八年级下·云南大理·期中）如图，某小区有一块矩形空地，矩形空地的长为，宽为，现要在空地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为，宽为．    （1）求矩形空地的周长；（结果化为最简二次根式） （2）除去修建花坛的地方，其他空地全修建成通道，通道上要铺造价为6元的地砖，要铺完整个通道，购买地砖需要花费多少元？ 11．（23-24八年级下·湖南邵阳·阶段练习）如图，正方形和正方形分别是边长为和的正方形相框． （1）求大相框的面积是小相框面积的多少倍？ （2）现在小华想用长为的彩带给这两个相框镶边，请你帮忙计算现有的彩带够吗？如果不够用，大约还需要买多长的彩带？（参考数据：） 12．（23-24九年级上·河南南阳·期中）有一块矩形木板，木工采用如图沿虚线在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． （1）求原矩形木板的面积； （2）如果木工想从剩余的木块（阴影部分）中裁出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出多少块这样的木条，请你直接写出答案． 13．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． （1）木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； （2）求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； （3）乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 14．（23-24八年级下·安徽合肥·期中）如图是两个长方体容器甲和乙，它们的体积相同，高均为，甲盒子底面是边长为的正方形，乙盒子底面是长为，宽为的长方形． （1）若，求甲盒子的侧面积； （2）设甲，乙两个盒子侧面积分别为，， ①______（填“>”“=”“<”） ②说明①的理由． 15．（24-25九年级上·河南洛阳·阶段练习）高空抛物是一种非常危险的行为．据研究，从高处坠落的物品，其下落的时间t（s）和下落高度h（m）近似满足公式（不考虑空气阻力的影响）． （1）小东家住某小区21层，每层楼的高度近似为，若从小东家坠落一个物品，则该物品落地的时间为_________s（结果保留根号）； （2）某物体从高空落到地面的时间为，则该物体的起始高度_________m； （3）资料显示：伤害无防护人体只需要的动能，从高空下落的物体产生的动能E（单位：J）可用公式计算，其中，m为物体质量（单位），，h为高度（单位：m）．根据以上信息判断，一个质量为的玩具经过落在地面上，该玩具在坠落地面时所带能量能伤害到楼下无防护的行人吗？请说明理由． 16．（23-24八年级下·广西百色·期中）【综合与实践】 摆钟的“滴答”声提醒着我们时光易逝，我们要珍惜当下，抓住每一秒，努力前行．某学习兴趣小组通过观察实验室的摆钟发现：摆钟的摆球的摆动快慢与秒针的走动，摆钟的“滴答”声，摆长都有关系．于是他们通过查阅资料知道：摆钟的摆球来回摆动一次的时间叫做一个周期．它的计算公式是：，其中T表示周期(单位：s)，l表示摆线长(单位：m)， ，π是圆周率．(π取3.14，摆线长精确到0.01米，周期精确到0.01s，参考数据：，) 【思考填空】 （1）通过上面的计算公式我们知道了：摆球的快慢只与摆线的长短有关，摆线越长，周期越______(填“长”或“短”)，摆得越______；(填“快”或“慢”) 【实践与计算】 （2）若一个摆钟的摆线长为，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，学习兴趣小组的2名同学数该摆钟1分钟发出“滴答”声的次数，其余成员计算摆钟1分钟发出“滴答”声次数，再对照是否一致．请你也计算该摆钟1分钟发出多少次“滴答”声； （3）对于一个确定的摆钟，其内部的机械结构决定了它每来回摆动一次记录的时间是一定的，如一个准确的摆钟的摆球的摆动周期为1s，它每摆动一个周期发出一次“滴答”声，秒针就会走1格，显示的时间1s，求该摆钟的摆线长． 17．（23-24八年级下·湖南长沙·阶段练习）我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边求面积的公式，此公式与古希腊几何学家海伦提出的公式如出一辙，即三角形的三边长分别为a，b，c，记，则其面积．这个公式也被称为海伦-秦九韶公式． （1）当三角形的三边，，时，请你利用公式计算出三角形的面积； （2）一个三角形的三边长依次为、，，请求出三角形的面积； （3）若，，求此时三角形面积的最大值． 18．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． （1）填空：________；________． （2）试猜想与的大小，并说明理由． （3）请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 19．（23-24八年级下·宁夏石嘴山·期中）【阅读下列材料】 若，则（注：）． ．“”称为“基本不等式”，利用它可求一些代数式的最值及解决一些实际问题．（a、b为正数；积定和最小；和定积最大：当时，取等号．） 【例】：若，求的最小值． 解：， ． 时，的最小值为8． 【解决问题】 （1）若，求的最大值； （2）用篱笆围成一个面积为的长方形菜园，当这个长方形的边长为多少时，所用篱笆最短？最短篱笆的长是多少； （3）用一段长为的篱笆围成一个长方形菜园，当这个长方形的边长是多少时，菜园面积最大？最大面积是多少． 20．（24-25九年级上·四川自贡·阶段练习）阅读材料：基本不等式当且仅当时，等号成立，其中我们把叫正数的算术平均数，叫正数的几何平均数，它是解决最大（小）值问题的有力工具． 例如：在的条件下，当为何值时，有最小值，最小值是多少？ 解：∵，∴，即 ∴．当且仅当时，有最小值，最小值为2； 请根据阅读材料解答下列问题： （1）若，函数，当为何值时，函数有最值，并求出其最值． （2）若时，求式子的最值，并说明此时的值． （3）时，式子成立吗？说明理由． 21．（24-25八年级上·江西萍乡·期中）【观察发现】 ∵． ∴； ∵， ∴． 【初步探索】 （1）化简： ； （2）形如可以化简为，即，且a，b，m，n均为正整数，用含a，b的式子分别表示m，n，得 ， ； （3）若，且x，y均为正整数，求x的值； 【解决问题】 （4）某饰品店铺要将甲、乙两个饰品盒放在一个包装纸箱中寄出．甲、乙两个饰品盒都是正方体，底面积分别为和．快递公司现有三款包装纸箱，纸箱内部规格如下表（说明：纸箱厚度不计，参考数据）； 型号 长 宽 高 A型 B型 C型 请你通过计算说明符合条件的包装纸箱型号有几种？若从节约空间的角度考虑，应选择哪种型号的纸箱？ 22．（23-24八年级下·河南周口·阶段练习）阅读下列材料，并解决问题： 【观察发现】 因为， 所以； 因为， 所以． 【建立模型】 形如的化简（其中为正整数），只要找到两个正整数，使，，那么． 【问题解决】 （1）化简：①______； ②______； （2）已知正方形的边长为，现有一个长为，宽为的长方形，当它们的面积相等时，求正方形的边长； （3）已知，则代数式的值为______． 第 1 页 共 18 页 学科网（北京）股份有限公司 $$