第03讲 二次根式的加减（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第03讲 二次根式的加减 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 考点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【典例1】（2024八年级上·北京·专题练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 【变式1-3】（24-25九年级上·山西·阶段练习）小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 考点2：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2-1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式2-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【变式2-3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 考点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1) (2) 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算 （1）； （2）． 【变式3-3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 、 【题型4 二次根式的化简求值】 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中：． 【变式4-1】（23-24九年级上·全国·开学考试）先化简，再求值，其中 ，． 【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：，求： (1) (2) 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【变式4-3】（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【题型5 二次根式的实际应用】 【典例5】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【变式5-1】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【变式5-3】（22-23八年级下·广西来宾·期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里   (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； (2)若救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 考点5：分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型6 分母有理化】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 【变式6-1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）阅读下列解题过程 ； 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简： 【变式6-3】（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A．3 B． C．1 D．0 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 8．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为 10．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 12．（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第03讲 二次根式的加减 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 考点1： 同类二次根式 1. 同类二次根式概念：化简后被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式。 2. 合并同类二次根式的方法：把根号外的因数（式）相加，根指数和被开方数不变，合并的依据式乘法分配律，如 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【典例1】（2024八年级上·北京·专题练习）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，根据同类二次根式的定义判断即可，正确理解同类二次根式的定义和掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】、与不是同类二次根式，不符合题意； 、与不是同类二次根式，不符合题意； 、∵， ∴与是同类二次根式，符合题意； 、∵， ∴与不是同类二次根式，不符合题意； 故选：． 【变式1-1】（24-25八年级上·上海浦东新·期中）下列各组二次根式中，属于同类二次根式的是（　　） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式，同类二次根式，掌握“把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式”是解题的关键． 先化简成最简二次根式，逐项比较被开方数即可， 【详解】解：A、，，两者被开方数相同，是同类二次根式，故本选项正确； B、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； C、，与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误； D、与，两者被开方数不相同，不是同类二次根式，故本选项错误． 故选：A． 【变式1-2】（24-25八年级上·广东梅州·期中）若与最简二次根式能够合并，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查了同类二次根式及最简二次根式，先计算，再根据题意得，进而可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：， 依题意得：， 解得， 故答案为：3． 【变式1-3】（24-25九年级上·山西·阶段练习）小明和小亮暑期在家做数学运算游戏，他们在一个密闭不透明的盒子里放入四张大小一样，颜色分别为白色、灰色的圆形卡片，在卡片上分别标有如图所示的数．他们要从盒子中分别摸出卡片，并制定了如下规定：若摸到白色卡片，则加上卡片上的数：若摸到灰色卡片，则减去卡片上的数． (1)（1）若小明摸到如下两张卡片，请计算出结果． （2）若小亮摸出全部的四张卡片，计算结果为x，小明认为x的值与属于同类二次根式，你认为小明的说法对吗？并说明理由． 【答案】(1) (2)小明的说法对，理由见解析 【分析】本题主要考查二次根式，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． （1）根据二次根式的计算法则进行计算即可； （2）四张卡片均与是同类二次根式，只需判断与是否是同类二次根式即可得到答案． 【详解】（1）解：依题意，得； （2）解：小明的说法对． 理由：依题意，得． ， 与是同类二次根式， x的值与属于同类二次根式， 故小明的说法对． 考点2：二次根式的加减 1. 二次根式加减法则：先将二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并。 2. 二次根式加减运算的步骤： ①化：将各个二次根式化成最简二次根式； ②找：找出化简后被开方数相同的二次根式； ③合：合并被开方数相同的二次根式——将”系数”相加作为和的系数，根指数与被开方数保持不变。 【题型2 二次根式的加减运算】 【典例2】（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查二次根式的加减混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握． （1）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （2）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （3）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． （4）利用二次根式的化简的法则，二次根式的加减法的法则，对各项进行运算即可． 【详解】（1）解： ; （2）解： ; （3）解： ; （4）解： . 【变式2-1】（24-25八年级上·山西太原·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的加减混合运算． （1）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可； （2）先把各二次根式化简为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式2-2】（24-25八年级上·四川达州·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2)7 【分析】此题主要考查了实数的运算，解答此题的关键是要明确：在进行实数运算时，和有理数运算一样，要从高级到低级，即先算乘方、开方，再算乘除，最后算加减，有括号的要先算括号里面的，同级运算要按照从左到右的顺序进行． （1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先去绝对值，化简二次根式及立方根，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： （2）解： 【变式2-3】（24-25八年级上·江西九江·期中）计算： (1)； (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的运算及二次根式的加减运算． （1）根据化简绝对值，算术平方根以及立方根的定义进行计算即可求解； （1）先化简二次根式，再计算加减即可求解． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 考点3：二次根式的混合运算 二次根式的混合运算顺序与整式的混合运算顺序一样：先乘方，再乘除，最后加减，有括号的先算括号里面的（或先去掉括号） 【题型3 二次根式的混合运算】 【典例3】（24-25八年级上·广东梅州·阶段练习）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，乘法公式的应用； （1）先依次计算二次根式的除法与乘法，再合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式与完全平方公式展开，再合并同类二次根式即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：， ， ， ． 【变式3-1】（23-24八年级上·安徽安庆·期末）计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（）根据二次根式的乘法运算法则和完全平方公式运算，再合并即可； （）利用二次根式的性质及乘法运算法则运算，再合并即可； 本题考查了二次根式的运算，掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 【变式3-2】（24-25八年级上·陕西宝鸡·阶段练习）计算 （1）； （2）． 【答案】（1）；（2） 【分析】此题主要考查了二次根式的混合运算、实数的运算等知识． （1）先算除法，再化简二次根式，最后合并同类二次根式即可； （2）直接利用完全平方公式、平方差公式化简，进而计算得出答案． 【详解】解：（1） ； （2） ． 【变式3-3】（2024八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式的性质，解决本题的关键是把二次根式化简，然后再合并同类二次根式． 首先化简二次根式，然后再合并同类二次根式即可； 首先把二次根式化为最简二次根式，根据除以一个不为的数等于乘以这个数的到数，把除法转化为乘法，再利用乘法分配律进行简便计算． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 二次根式的化简求值】 【典例4】（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）先化简，再求值：，其中：． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值．先算乘法，再合并同类项，最后代入求出答案即可． 【详解】解： ， 当时，原式． 【变式4-1】（23-24九年级上·全国·开学考试）先化简，再求值，其中 ，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握知识点是解题的关键． 先进行括号内化简，再合并同类二次根式，最后再代入求值即可． 【详解】原式 ， 当 ， 时， 原式 ． 【变式4-2】（23-24八年级下·黑龙江绥化·期中）已知：，求： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了分式的化简，二次根式的混合运算； （1）先计算的值，然后根据整式的乘法化简，代入代数式，即可求解； （2）将分式化简，再代入即可求解． 【详解】（1）解：∵ ∴，， ∴ （2）解：∵ ∴，， ∴ 26．（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， （1）将和的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可； （2）先将转化为，然后和的值代入计算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 【变式4-3】（23-24八年级下·广东广州·期中）已知：，． (1)求的值． (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式， （1）将和的值直接代入，再利用平方差公式进行计算即可； （2）先将转化为，然后和的值代入计算即可； 掌握相应的运算法则和公式是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）∵，， ∴， ∴ ． 【题型5 二次根式的实际应用】 【典例5】（23-24八年级下·安徽合肥·期中）有一块长方形木板，木工采用如图的方式在木板上截出两个面积分别为和的正方形木板． (1)求原长方形木板的面积； (2)如果木工想从剩余的木块中(阴影部分)截出长为，宽为的长方形木条，估计最多能裁出 块这样的木条？请你直接写出答案.(参考数据：) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是二次根式的应用； （1）根据二次根式的性质分别求出两个正方形的边长，结合图形计算得到答案； （2）求出和的近似数，再根据题意解答． 【详解】（1）解：两个正方形的面积分别为和 ， 这两个正方形的边长分别为和， 原长方形木板的面积= ； （2）最多能裁出块这样的木条．理由如下： ，， 块， 块， 块． 从剩余的木块阴影部分中截出长为，宽为的长方形木条，最多能裁出块这样的木条． 故答案为：． 【变式5-1】（23-24八年级下·山东德州·阶段练习）古希腊的几何学家海伦给出了求三角形面积的公式：，其中，，为三角形的三边长，．若一个三角形的三边长分别为，，，求该三角形的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算的应用；先将代入求得，然后再将它们代入计算即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 【变式5-2】（23-24八年级下·河南驻马店·阶段练习）如图，从一个大正方形中裁去面积为和的两个小正方形， (1)求大正方形的边长； (2)求留下的阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的应用： （1）根据正方形面积计算公式求出两个小正方形的边长，然后求和即可得到答案； （2）根据（1）所求求出大正方形的面积，再减去两个小正方形的面积即可得到答案． 【详解】（1）解：∵两个小正方形面积为和， ∴大正方形的边长； （2）解：∵大正方形的面积为， ∴阴影部分的面积． 【变式5-3】（22-23八年级下·广西来宾·期末）在一次海上救援中，两艘专业救助船A，B同时收到某事故渔船的求救讯息，已知此时救助船B在A的正北方向，事故渔船P在救助船A的北偏西方向上，在救助船B的西南方向上，且事故渔船P与救助船A相距80海里．    (1)求收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离； (2)若救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发，匀速直线前往事故渔船P处搜救，试通过计算判断哪艘船先到达． 【答案】(1)海里 (2)救助B船先到达 【分析】（1）如图，作于，在中先求出的长，继而在中求出的长即可； （2）根据“时间路程速度”分别求出救助船A和救助船B所需的时间，进行比较即可． 【详解】（1）解：如图，过点P作于C，    则， 由题意得：海里，，， ∴海里，是等腰直角三角形， ∴海里， ∴海里， 答：收到求救讯息时事故渔船P与救助船B之间的距离为海里． （2）解：∵海里，海里，救助船A，B分别以40海里/小时、海里/小时的速度同时出发， ∴救助船A所用的时间为（小时），救助船B所用的时间为（小时）， ∵， ∴救助B船先到达． 【点睛】本题主要考查了勾股定理的实际应用，含30度角的直角三角形的性质，二次根式的意义，正确作出辅助线构造直角三角形是解题的关键． 考点5：分母有理化 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型6 分母有理化】 【典例6】（24-25八年级上·四川成都·期中）阅读下列材料，然后回答问题： 在进行类似于二次根式的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简： 方法一：； 方法二：． (1)请用两种不同的方法化简：； (2)化简：． 【答案】(1) (2)4 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，平方差公式，分母有理化等知识点，熟练掌握题中所给的两种化简方法是解题的关键． （1）按照题中所给的两种化简方法进行化简即可； （2）先进行分母有理化，再进行二次根式的加减混合运算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： 【变式6-1】（24-25九年级上·四川内江·阶段练习）阅读下列运算过程： ， ，， ， 数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”．通过分母有理化，可把不是最简的二次根式化成最简二次根式．请参考上述方法，解决下列问题： (1)化简： ， ， ； (2)计算：； (3)计算：． 【答案】(1)， ，   (2)3 (3) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）分别分母有理化计算即可； （2）先分母有理化，然后合并即可； （3）先分母有理化，然后合并即可． 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：，，； （2）解：∵==， ==， ==，   ……， ==， 原式 ； （3）解：原式= = = = = =． 【变式6-2】（24-25八年级上·广东佛山·期中）阅读下列解题过程 ； 请解答下列问题： (1)观察上面解题过程，计算 (2)请直接写出的结果．（） (3)利用上面的解法，请化简： 【答案】(1) (2) (3)9 【分析】本题考查了分母有理化，利用平方差公式进行分母有理化是解题关键． （1）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （2）根据平方差公式，进行分母有理化即可； （3）根据平方差公式，分母有理化，根据实数的运算，可得答案． 【详解】（1）解：原式； （2）解：， 故答案为：； （3）解：原式 ． 【变式6-3】（22-23八年级上·辽宁锦州·期中）阅读下列材料，然后回答问题，在进行二次根式的化简与运算时，我们有时会碰上如一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． (1)请参照上面的方法化简： (2)直接写出化简结果：_______，_______ (3)计算： 【答案】(1) (2)， (3) 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算，解题的关键是掌握分母有理数的两种方法． （1）仿照已知分母有理化方法求解可得答案； （2）分母有理化即可； （3）先分母有理化，再提取公因数，继而两两相消，进一步计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， 故答案为：，； （3）解： ． 一、单选题 1．（24-25九年级上·吉林长春·期末）下列二次根式中，与是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了同类二次根式，把几个二次根式化为最简二次根式以后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式叫做同类二次根式，据此判断即可． 【详解】解：， ，，，， ∴与是同类二次根式的是， 故选：C． 2．（24-25九年级上·福建泉州·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式的加法法则以及二次根式的性质．根据二次根式的加法运算以及二次根式的性质逐一分析即可． 【详解】解：A、与不是同类项，不能合并，故本选项计算错误，不符合题意； B、，故本选项计算错误，不符合题意； C、，故本选项计算正确，符合题意； D、，故本选项计算错误，不符合题意； 故选：C． 3．（2024八年级上·上海·专题练习）如果最简二次根式与是同类二次根式，那么的值是（   ） A．3 B． C．1 D．0 【答案】C 【分析】本题考查的是同类二次根式的概念，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据同类二次根式的概念列出方程，解方程求的值． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故选：C． 4．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）农场打算修建一个底面为长方形的蓄水池，若蓄水池的长为，宽为，则蓄水池的占地面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，利用二次根式的性质化简等知识点，熟练掌握二次根式的性质和运算法则是解题的关键． 根据题意可得，蓄水池的占地面积为蓄水池的长乘以蓄水池的宽，即，然后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】解：根据题意可得： 蓄水池的占地面积为： ， 故选：． 5．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）化简时，甲的解法是：原式，乙的解法是： 原式，以下判断正确的是（   ） A．甲的解法正确，乙的解法不正确 B．甲的解法不正确，乙的解法正确 C．甲、乙的解法都正确 D．甲、乙的解法都不正确 【答案】C 【分析】本题考查了分母有理化、运用平方差公式进行计算，根据甲的做法是将分母有理化，乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简，判断即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：甲的做法是将分母有理化，运用分数的基本性质，分子、分母都乘以不为0的同一个数；乙的做法是将分子转化为平方差公式，然后约分化简；均正确， 故选：C． 6．（24-25九年级上·河南郑州·阶段练习）如图，在中，，，，则的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查直角三角形性质，等腰三角形判定，勾股定理，二次根式的运算，解题的关键在于作辅助线构造直角三角形．过点作于点，利用直角三角形性质、勾股定理，得到，，利用等腰三角形性质，得到，进而得到，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】解：过点作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 则的面积为， 故选：D． 二、填空题 7．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算： ． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的减法运算，利用二次根式的性质化简，解题的关键是掌握以上运算法则． 先把各二次根式化为最简二次根式，然后合并即可． 【详解】 ． 故答案为：． 8．（24-25八年级上·河北保定·阶段练习）定义运算“”为，其中a，b均为非负实数，则的算术平方根为 ． 【答案】5 【分析】本题考查定义新运算，二次根式的运算，求一个数的算术平方根，根据新运算的法则，列出算式，利用平方差公式进行计算，再根据算术平方根的定义，进行计算即可． 【详解】解：， ∴的算术平方根为； 故答案为：5． 9．（24-25八年级上·山东济南·阶段练习）七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，设，可得，解方程即可解决问题． 【详解】解：如图：设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 10．（22-23八年级上·四川宜宾·开学考试）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值是 ． 【答案】1 【分析】此题主要考查了无理数的估算，平方差公式，由于，可求出a，进而求出b，代入计算即可求得． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴整数部分为，小数部分为， ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25八年级上·山西·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)5 【分析】本题考查二次根式的混合运算： （1）先进行除法运算，化简二次根式，再合并同类二次根式即可； （2）先进行乘法运算，再计算加减即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）原式 ． 12．（24-25八年级上·山西晋中·期中）发生交通事故后，交道警察通常根据刹车后车轮滑过的距离估计车辆行驶的速度，所用的经验公式是，其中表示车速（单位：），表示刹车后车轮滑过的距离（单位：），表示摩擦因数．在某次交通事故调查中，测得，，则肇事汽车的车速大约是多少？（，结果精确到） 【答案】肇事汽车的车速大约是 【分析】本题主要考查了二次根式的应用，化简二次根式等知识点，将，代入即可求出肇事汽车的车速大约是多少，熟练掌握运用二次根式的性质化简求值是解决此题的关键． 【详解】解：∵，代入， ∴， ∵， ∴， 答：肇事汽车的车速大约是． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$