第02讲 二次根式的乘除（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第02讲 二次根式的乘除 【题型1 二次根式的乘法运算】 【题型2 二次根式的除法运算】 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【题型4 最简二次根式的判定】 【题型5 化简二次根式】 【题型6 已知最简二次根式求参数】 考点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式的乘法： （1）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （2）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； （3）根据二次根式的乘法法则进行计算即可； 【详解】（1）解：原式； （2）原式； （3）原式． 【变式1-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （2）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可 （3）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可； （4）根据二次根式的乘法运算法则计算，再化简即可． 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【变式1-2】（23-24八年级上·广东·单元测试）计算： 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的乘法，根据二次根式的乘法法则计算即可． 【详解】解： 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)12 (2)6 000 (3)10 (4) 【分析】本题考查了二次根式的乘法运算，二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． （1）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （2）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （3）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； （4）直接运用二次根式的乘法运算，然后化为最简二次根式即可； 【详解】（1）； （2）； （3）； （4）． 考点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2)2 (3) (4) 【分析】根据二次根式的除法计算法则求解即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【点睛】此题考查了二次根式的除法，正确掌握二次根式的除法计算法则是解题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查二次根式的除法计算，熟知二次根式的除法法则是解题的关键． （1）根据二次根式的除法法则可解决问题． （2）根据二次根式的除法法则可解决问题． 【详解】（1） （2） 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）计算：÷． 【答案】 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求出答案． 【详解】解：原式＝ ＝ ＝ 【点睛】本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型． 【变式2-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）4；（2）；（3）；（4） 【分析】（1）根据二次根式的除法运算法则进行计算，可以先化简再除，也可以先除再化简． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． （1）根据二次根式的除法运算法则进行计算． 【详解】（1）方法一： ； 方法二：； （2） （3） （4）方法一: 方法二： 【点睛】本题考查二次根式的除法，理解二次根式的性质，掌握二次根式除法运算法则是解题关键． 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】（1）根据二次乘法法则计算即可； （2）根据二次除法法则计算即可； （3）根据二次乘法法则计算即可； （4）根据二次除法法则计算即可． 【详解】（1）解： （2）解： （3）解： （4）解： 【点睛】本题主要考查二次根式的乘除法，熟练掌握二次根式的乘除法法则是解题的关键． 【变式3-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可； （2）根据二次根式的乘除混合运算法则求解即可． 【详解】（1） ； （2） ． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算 （1）根据二次根式乘除法法则计算即可； （2）根据二次根式乘除法法则计算即可； （3）根据二次根式乘除法法则计算即可； （4）根据二次根式乘除法法则计算即可． 【详解】（1）解：原式 （2）原式 ； （3）原式； （4）原式． 【变式3-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）利用二次根式的性质化简，再进行乘除运算即可； （2）先计算括号内的二次根式的除法，再计算二次根式的乘法即可． 【详解】（1）解： （2） 考点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数的因数是整数，因式是整式；（2）被开方数中不含有可化为平方数或平方式的因数或因式．根据最简二次根式的定义进行判断． 【详解】解：解：A、，被开方数含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，选项不符合题意； B、，被开方数含分母，不是最简二次根式，选项不符合题意； C、，被开方数不是整数，不是最简二次根式，选项不符合题意； D、是最简二次根式，选项不符合题意； 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开得尽方的因数或因式．据此进行判断即可． 【详解】A、，被开方数里含有能开得尽方的因数4，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； B、符合最简二次根式的条件，故是最简二次根式，本选项符合题意； C、，被开方数里含有分母，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； D、，被开方数里含有能开得尽方的因式，故不是最简二次根式，本选项不符合题意； 故选：B． 【变式4-2】（23-24八年级下·山东德州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，最简二次根式的被开方数不含分母，不含能开方开的尽的因式和因数，解决本题的关键是根据最简二次根式的定义进行判断 ． 【详解】解：A、被开方数中不含分母，不含能开的尽方的因数，是最简二次根式，故A选项符合题意； B、被开方数中含有分母，不是最简二次根式，故B选项不符合题意； C、中的能开的尽方，不是最简二次根式，故C选项不符合题意； D、可以写成，其中的能开的尽方，不是最简二次根式，故D选项不符合题意． 故选：A． 【变式4-3】（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了最简二次根式，熟练掌握最简二次根式的定义是解题的关键． 根据最简二次根式的定义逐项判断即可． 【详解】解：A.，故不是最简二次根式； B.是最简二次根式； C.，故不是最简二次根式； D.，故不是最简二次根式； 故选：B． 【题型5 化简二次根式】 【典例5】（24-25九年级上·四川内江·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查二次根式的性质，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键；因此此题可根据二次根式的性质进行求解． 【详解】解：， 故选B． 【变式5-1】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： ． 【答案】 【分析】由，即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为： 【点睛】本题考查的是化为最简二次根式，掌握二次根式的化简方法是解本题的关键． 【变式5-2】（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【答案】 【分析】本题考查的是最简二次根式，熟练运用二次根式的性质是解题的关键．直接利用二次根式性质化简即可． 【详解】解：． 故答案为：． 【变式5-3】（22-23八年级下·河北唐山·期中）将化成最简根式为 ． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质进行化简即可． 【详解】解：； 故答案为：． 【点睛】本题考查二次根式的性质，解题的关键是掌握二次根式的性质． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【答案】2 【分析】本题主要考查的是同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键．一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式、同类次根式即可求得的值． 【详解】解：∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查最简二次根式和同类二次根式，根据同类二次根式的被开方数相等列方程求解即可 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴与是同类二次根式， ∴，解得， 故答案为：3． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了同类二次根式的定义，即：化成最简二次根式后，被开方数相同的二次根式叫做同类二次根式．根据最简二次根式及同类二次根式的定义列方求解． 【详解】解：最简二次根式与是同类二次根式， ， 解得：， 故答案为：． 【变式6-3】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为 【答案】1 【分析】本题考查最简二次根式与同类二次根式，解题关键是理解同类二次根式的概念．根据两个根式能够合并，化简后它们的被开方数相同解答即可． 【详解】解：∵，最简二次根式能与合并， ∴， 解得， 故答案为：1． 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查最简二次根式的定义.根据最简二次根式的定义，最简二次根式必须满足两个条件：被开方数不含分母；被开方数不含能开得尽方的因数或因式．根据最简二次根式的定义判定即可． 【详解】A、被开方数含分母，不是最简二次根式，此选项不符合题意； B、故不是最简二次根式，此选项不符合题意； C、是最简二次根式，此选项符合题意； D、，故不是最简二次根式，此选项不符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的除法运算，掌握运算法则是解题的关键．根据二次根式的除法运算法则直接计算即可． 【详解】解： ， 故选：B． 3．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）计算 的结果是（  ） A．6 B． C．3 D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的乘法．根据进行计算即可． 【详解】解： 故选：D 4．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 【答案】B 【分析】此题考查了二次根式胡运输，无理数的估算，估算确定出所求范围即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 故选：B． 二、填空题 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算的结果为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法，掌握二次根式的乘法运算法则是解题的关键． 直接利用二次根式的乘法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算： ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式除法，掌握二次根式除法法则成为解题的关键． 直接运用二次根式的除法运算法则计算即可． 【详解】解：． 故答案为：． 7．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式、最简二次根式，根据同类二次根式的定义（　一般地，把几个二次根式化为最简二次根式后，如果它们的被开方数相同，就把这几个二次根式叫做同类二次根式．）进行解题即可． 【详解】解：∵与最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴． 故答案为：3． 三、解答题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：． 【答案】3 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，先计算乘法，再计算除法，即可求解． 【详解】解：． 9．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的乘除运算．先计算二次根式的乘法，再计算二次根式的除法即可． 【详解】解：原式 ． 10．（2023·山东青岛·模拟预测） 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的乘除混合运算，熟练掌握运算法则是解答本题的关键．根据二次根式的乘除法法则计算即可． 【详解】解：原式 ． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第02讲 二次根式的乘除 【题型1 二次根式的乘法运算】 【题型2 二次根式的除法运算】 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【题型4 最简二次根式的判定】 【题型5 化简二次根式】 【题型6 已知最简二次根式求参数】 考点1：二次根式的乘法法则 1. 二次根式的乘法法则： （二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变） 2.二次根式的乘法法则的推广 （1） （2） ，即当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘单项式的法则进行计算，即将系数之积作为系数，被开方数之积作为被开方数。 3.二次根式的乘法法则的逆用 （二次根式的乘法法则的逆用实为积的算数平方根的性质） 4.二次根式的乘法法则的逆用的推广 【题型1 二次根式的乘法运算】 【典例1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)； (3)． 【变式1-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式1-2】（23-24八年级上·广东·单元测试）计算： 【变式1-3】（24-25八年级上·全国·课后作业）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 考点2：二次根式的除法法则 1.二次根式的除法法则 （二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变） 2.二次根式的除法法则的推广 注意： （1） a≥0，b＞0时，才有意义； （2） 如果被开方数时带分数，应先化成假分数 【题型2 二次根式的除法运算】 【典例2】（22-23八年级上·全国·单元测试）计算： (1) (2) (3) (4) 【变式2-1】（23-24八年级下·全国·课后作业）计算： (1) (2) 【变式2-2】（23-24八年级下·江苏常州·阶段练习）计算：÷． 【变式2-3】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： （1） （2） （3） （4） 【题型3 二次根式的乘除法运算】 【典例3】（22-23八年级·上海·假期作业）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-1】（23-24八年级上·全国·单元测试）计算∶ (1)； (2)． 【变式3-2】（23-24八年级下·全国·假期作业）计算： (1) ； (2)； (3)； (4)． 【变式3-3】（23-24八年级下·福建福州·阶段练习）计算： (1)； (2)． 考点3：最简二次根式 1. 最简二次根式的概念 （1） 被开方数不含分母 （2） 被开方数中不含能开方开得尽得因数或因式 2. 化简二次根式的一般方法 方法 举例 将被开方数中能开得尽得因数或因式进行开方 化去根号下的分母 若被开方数中含有带分数，先将被开方数化成假分数 若被开方数中含有小数，先将小数化成分数 若被开方数时分式，先将分式分母化成能转化为平方的形式，再进行开方运算 (a＞0，b＞0，c＞0） 被开方数时多项式的要先因式分解 （x≥0，y≥0） 3.分母有理化 （1） 分母有理化：当分母含有根式时，依据分式的基本性质化去分母中的根号。 方法：根据分式的基本性质，将分子和分母都乘上分母的“有理化因式”，化去分母中的根号。 【题型4 最简二次根式的判定】 【典例4】（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列式子中，是最简二次根式的是（     ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）下列根式是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（23-24八年级下·山东德州·期末）下列各式中，是最简二次根式的是(   ) A． B． C． D． 【变式4-3】（23-24八年级下·青海玉树·期末）下列式子中，属于最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【题型5 化简二次根式】 【典例5】（24-25九年级上·四川内江·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（22-23八年级下·辽宁葫芦岛·阶段练习）计算： ． 【变式5-2】（23-24八年级上·山西太原·期中）将化成最简二次根式为 ． 【变式5-3】（22-23八年级下·河北唐山·期中）将化成最简根式为 ． 【题型6 已知最简二次根式求参数】 【典例6】（24-25九年级上·福建泉州·期中）已知最简二次根式与是同类二次根式，则x的值为 ． 【变式6-1】（24-25九年级上·吉林长春·期中）最简二次根式与可以合并，则a的值为 ． 【变式6-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·阶段练习）如果最简根式与是同类二次根式，那么 ． 【变式6-3】（23-24八年级下·广东湛江·阶段练习）若与最简二次根式能合并，则m的值为 一、单选题 1．（24-25九年级上·河南南阳·期中）下列二次根式中，是最简二次根式的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）计算的结果是（   ） A．4 B．2 C．3 D． 3．（24-25九年级上·河南开封·阶段练习）计算 的结果是（  ） A．6 B． C．3 D． 4．（24-25八年级上·重庆·期中）估算的值应在（    ） A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间 二、填空题 5．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算的结果为 ． 6．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算： ． 7．（23-24九年级上·四川资阳·期末）若与最简二次根式是同类二次根式，则 ． 三、解答题 8．（23-24八年级上·全国·单元测试）计算：． 9．（2024·甘肃兰州·模拟预测）计算：． 10．（2023·山东青岛·模拟预测） 学科网（北京）股份有限公司 $$