第1章 二次根式能力提升测试卷-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第1章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 3．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 4．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 6．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 8．设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 9．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 12．如图，周末小华骑自行车在我区的大学城游玩，从大学城的太原师范学院东门点处出发，先向南行驶约，再向东行驶约，最后再向南行驶约，到达山西传媒学院西门点处，根据你的计算，太原师范学院东门点到山西传媒学院西门点的直线距离约为 ．（结果化为最简二次根式） 13．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 14．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 15．如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 16．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 18．（6分）先化简，再求值：，其中 19．（8分）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 20．（10分）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 21．（10分）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 22．（10分）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第1章 二次根式能力提升测试卷 （考试时间：90分钟 试卷满分：100分） 一．单项选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。） 1．下列运算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了二次根式的性质、立方根等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据次根式的性质以及立方根的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、，则运算错误，故A选项不符合题意； B、，则运算错误，故B选项不符合题意； C、，则运算错误，故C选项不符合题意； D、，则运算正确，故D选项符合题意． 故选：D． 2．下列计算中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的运算，根据二次根式的减法，同类二次根式，二次根式的乘法和二次根式的除法对各选项进行判断即可得出结论．掌握相应的运算法则、定义和性质是解题的关键． 【详解】解：A．，故此选项符合题意； B．和不是同类二次根式，不能合并，故此选项不符合题意； C．，故此选项不符合题意； D．，故此选项不符合题意． 故选：A． 3．若，则代数式的值为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，求代数式的值，解题的关键是掌握：在二次根式中，要求字母必须满足条件，即被开方数是非负的，则当时，二次根式有意义，当时，二次根式无意义．据此得到关于的不等式组，继而得到、的值，再代入计算即可．也考查了负整数指数幂． 【详解】解：根据题意，得， 解得：， ∴， ∴， ∴代数式的值为． 故选：A． 4．估计的值在数轴上最可能表示的点是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，估算无理数．先化简二次根式，计算乘法，再估算结果得到答案． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴式子的值在数轴上最可能表示的点是D， 故选：D． 5．如果，那么（    ） A． B． C． D．为一切实数 【答案】B 【分析】本题考查二次根式乘法法则成立的条件，解题的关键是掌握：二次根式的乘法法则是，注意：只有、都是非负数时法则才成立．据此列式求解即可．也考查一元一次不等式组的解法． 【详解】解：∵， ∴， 解得：． 故选：B． 6．函数中，自变量的取值范围是（    ） A． B．且 C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查函数自变量有意义的条件，根据分式的分母不为零，二次根式的被开方数为非负数解题即可． 【详解】解：由题可得：，， 解得：且， 故选：D． 7．如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，若是的高，则的长为（） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了勾股定理，三角形的面积的计算，掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理计算的长，利用面积差可得三角形的面积，由三角形的面积公式即可得到结论． 【详解】解：由勾股定理得：， ， ， ， ； 故选：C． 8．设的整数部分为，小整数部分为，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先根据题意求出和的值，将值代入即可求出答案. 本题考查了无理数整数部分的有关计算、代数式求值，二次根式的运算以及平方差公式，解题的关键在于熟练掌握无理数的估算方法和平方差公式. 【详解】解： ， . 的整数部分为，小整数部分为 ，. . 故答案为：A . 9．已知，化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的化简和不等式的性质，解题关键是熟练掌握二次根式的性质． 根据题意得到，，根据完全平方公式把被开方数变形，根据二次根式的性质计算即可； 【详解】解： ， ， ，， ，， 原式； 故选：A 10．对依次排列的两个二次根式，进行如下操作：第1次操作，得到二次根式串：，，；第2次操作，得到二次根式串：，，，；第3次操作，得到二次根式串：，，，，；…，每次操作增加的项，都是用上一次操作得到的最末项减去其前一项的差，某数学兴趣小组对操作后得到的二次根式串展开研究，得到下面3个结论： ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是0． ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有9个． ③第2024次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和是． 以上结论正确的个数有（    ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】先逐步操作前几次，找到规律，再计算即可．本题考查二次根式的加减，掌握相应的运算法则是关键． 【详解】解：第1次操作，得到二次根式串：，，； 第2次操作，得到二次根式串：，，，； 第3次操作，得到二次根式串：，，，，； 第4次操作，得到二次根式串：，，，，，； 第5次操作，得到二次根式串：，，，，，，； 第6次操作，得到二次根式串：，，，，，，，； 第7次操作，得到二次根式串：，，，，，，，，； ， ①第4次操作后得到二次根式串中，所有二次根式之和为：，故①正确； ②第7次操作后得到二次根式串中，不相同的二次根式有：，，，，，，共6个，故②错误； ③归纳可得：以上二次根式串每六个一循环，之和为0， ， 第2024次操作后得到的整式中各项之和与第2次操作后得到整式串之和相等， 这个和为：，故③正确． ∴正确的个数为2个． 故选：B． 二．填空题（本题共6小题，每小题3分，共18分．） 11．若二次根式在实数范围内有意义，则实数x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据二次根式的被开方数不小于零的条件进行解题即可． 【详解】解：根据题意可知，， 解得． 故答案为：． 12．如图，周末小华骑自行车在我区的大学城游玩，从大学城的太原师范学院东门点处出发，先向南行驶约，再向东行驶约，最后再向南行驶约，到达山西传媒学院西门点处，根据你的计算，太原师范学院东门点到山西传媒学院西门点的直线距离约为 ．（结果化为最简二次根式） 【答案】 【分析】本题考查了勾股定理，化简二次根式，熟练掌握二次根式的化简是解题的关键． 根据勾股定理计算即可． 【详解】解：由题意得 ， 故答案为： ． 13．已知a，b对应的点在数轴上的位置如图所示，化简的结果等于 ． 【答案】 【分析】根据数轴判断、、与0的大小关系，然后根据二次根式的性质以及绝对值的性质即可求出答案．本题考查实数与数轴，化简绝对值，二次根式的性质，解题的关键是熟练运用二次根式的性质，本题属于基础题型． 【详解】 解：由数轴可知：，，， ∴ ． 故答案为：． 14．如图，这是一个供滑板爱好者使用的U型池的示意图，该U型池可以看作是长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是直径为（即）的半圆，其边缘，点在上，．一名滑板爱好者从点滑到点，则他滑行的最短距离为 m．（边缘部分的厚度可以忽略不计，取3） 【答案】 【分析】本题考查了平面展开最短路径问题，U型池的侧面展开图是一个矩形，此矩形的宽等于半径的半圆的弧长，矩形的长等于，解决本题的关键是把U型池的侧面展开成矩形，“化曲面为平面”，用勾股定理解决．要求滑行的最短距离，需将该U型池的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果． 【详解】解：如图是其侧面展开图：，，， 在中，， 故他滑行的最短距离约为； 故答案为：． 15．如图，若数轴上点对应的实数分别为和，用圆规在数轴上画点，则点对应的实数是 ． 【答案】 【分析】由题意可得，，因为，所以，再根据点对应的数，求出点对应的实数．本题考查了二次根式的加减法，实数与数轴，数轴上两个点，对应的实数分别为，则线段．特别的，当点在点的右侧时，． 【详解】解：∵点，对应的实数分别为，． ． 由题图可知，． ． 设点对应的数为． ． 解得． ∴点对应的数为． 故答案为：． 16．形如的根式叫做复合二次根式，有些复合二次根式可以进一步化简，例如，复合二次根式化简的结果是 ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质．根据题目给出的方法结合完全平方公式将转化为，进一步计算即可求解． 【详解】解： ． 故答案为：． 三．解答题（本题共6小题，共52分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 17．（8分）计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算：关键是先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可． （1）利用二次根式的乘除法则运算； （2）利用平方差公式和完全平方公式计算． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 18．（6分）先化简，再求值：，其中 【答案】， 【分析】本题考查了分式化简求值；先对括号内进行通分运算，同时对分子、分母进行因式分解，再将除转化为乘，进行约分，结果化为最简分式或整式，然后代值计算，即可求解；掌握分式化简的步骤是解题的关键． 【详解】解：原式 ； 当时， 原式 ． 19．（8分）阅读与思考 请阅读下列材料，并完成相应的任务． 在学习完实数的相关运算之后，数学兴趣小组的同学们提出了一个有趣的问题：两个数的积的算术平方根与这两个数的算术平方根的积存在什么样的关系？ 小南用自己的方法进行了探究：，而，即． 任务： (1)结合材料，猜想：当时，请直接写出和之间的关系． (2)运用以上结论，计算：①，② (3)运用上述规律，解决实际问题：已知一个长方形的长为，宽为，求长方形的面积． 【答案】(1)当时， (2)①；② (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的乘法与性质， （1）根据阅读材料中的例题，即可解答； （2）①利用（1）的结论，进行计算即可解答；②利用（1）的结论，进行计算即可解答； （3）根据长方形的面积公式，并利用（1）的结论，进行计算即可解答． 熟练掌握二次根式的乘法法则和性质是关键． 【详解】（1）根据阅读材料中的例题得，当时，； （2）①， ②； （3）由题意，得长方形的面积． 20．（10分）已知与最简二次根式可以加减合并，b是27的立方根． (1)求a，b的值； (2)求的平方根； (3)若，求的值． 【答案】(1)， (2) (3)6 【分析】本题考查最简二次根式，平方根和立方根，化简求值： （1）根据题意，得到和是同类二次根式，求出的值，立方根的定义求出的值即可； （2）先求出代数式的值，再根据平方根的定义进行求解即可； （3）求出的值，将转化为，再代值计算即可． 【详解】（1）解：，由题意，得：， ∴， ∵b是27的立方根， ∴； （2）解：当，时， ， ∴的平方根； （3）， ∴ ． 21．（10分）材料一：我国南宋的数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”：若把三角形的三条边分别称为小斜、中斜和大斜，记小斜为a，中斜为b，大斜为c，则三角形的面积为，这个公式称之为秦九韶公式； 材料二：希腊数学家海伦在其所著的《度量论》中给出了用三角形的三条边长表示三角形的面积的公式，即已知三角形的三条边长分别为a，b，c，则它的面积为，其中，这个公式称之为海伦公式． 请解决下列问题： (1)若一个三角形边长依次为，求这个三角形的面积．小明利用海伦公式很快就可以求出这个三角形的面积．以下是他的部分求解过程，请你把它补充完整． 解：∵一个三角形边长依次为，即，，， ∴___________． 根据海伦公式可得：___________． (2)请你选择海伦公式或秦九韶公式计算：若一个三角形的三边长分别是，，，求这个三角形的面积． 【答案】(1)9， (2) 【分析】本题主要考查三角形面积的计算方法，实数的运算，二次根式的运算，理解材料提示的计算方法，掌握实数的计算，二次根式的运算法则是解题的关键． （1）直接代入求解即可； （2）根据材料提示，运用二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解：， ， 故答案为：，． （2）解：∵，，， ∴，，， ∴ ． 22．（10分）阅读材料：像，这种两个含二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．在进行二次根式运算时，利用有理化因式可以化去分母中的根号．例如： 请你根据上述材料，解决如下问题： (1)的有理化因式是______，______； (2)比较大小：______（填>，<，或中的一种） (3)计算： (4)已知，求的值． 【答案】(1)， (2) (3) (4)1 【分析】本题主要考查了分母有理化，二次根式的运算，平方差公式； （1）根据有理化因式的定义即可解决问题； （2）根据题意得出所给两个二次根式都是正数，再结合有理化因式的定义比较它们的倒数大小即可解决问题； （3）先将括号内里的分母有理化，然后合并，再乘，最后算减法即可； （4）根据题干所给示例进行计算即可． 【详解】（1）解：的有理化因式是 故答案为：；． （2）解：∵， ∴ 故答案为：． （3）解： ； （4）∵ 又∵ ∴ 学科网（北京）股份有限公司 $$