第01讲 二次根式（知识解读+达标检测）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式1-3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（22-23八年级下·广东惠州·期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【变式2-1】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【变式2-2】22-23八年级上·全国·单元测试）是整数，则正数的最小值是 【变式2-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式4-1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【变式5-1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25九年级上·重庆万州·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 7．（24-25九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 8．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 9．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）已知满足，则 ． 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第01讲 二次根式 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 考点1：二次根式的相关概念 一般地，我们把形如 的式子的式子叫做二次根式，称为 称为二次根号．如都是二次根式。 二次根式满足条件： （1） 必须含有二次根号 （2） 被开方数必须是非负数 【题型1 二次根式的概念】 【典例1】（23-24八年级下·广西柳州·期末）下列式子一定是二次根式是（   ） A． B． C．37 D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的概念，属于基础题型． 根据二次根式的概念即可判断． 【详解】解：A、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故A错误； B、是二次根式，故B正确； C、37不是二次根式，故C错误； D、若被开方数是负数，此时不是二次根式，故D错误； 故选：B． 【变式1-1】（23-24八年级下·河南商丘·期末）下列式子中，是二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，掌握一般地，我们把形如的式子叫做二次根式是解题的关键． 【详解】根据二次根式的定义可得：是二次根式 故选：C． 【变式1-2】（23-24八年级下·安徽亳州·期末）当时，二次根式的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了代数式求值，二次根式的化简，掌握二次根式的性质是解题关键．将代入二次根式计算求值即可． 【详解】解：当时，， 故选：C． 【变式1-3】（23-24八年级下·山东泰安·期中）下列各式中，属于二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的定义，理解定义是解题的关键． 根据二次根式的定义逐项分析判断即可， 【详解】A． 是分式，不是二次根式，故该选项不符合题意； B． ，是整式，不是二次根式，故该选项不符合题意； C． 是二次根式，故该选项符合题意； D． 是三次根式，故该选项不符合题意； 故选：C． 【题型2 求二次根式的参数】 【典例2】（22-23八年级下·广东惠州·期中）已知：是整数，则满足条件的最小正整数为（　　） A．2 B．4 C．5 D．20 【答案】C 【分析】将化简为，要是一个数开平方后为整数，那么这个数一定是完全平方数，即可解答． 【详解】解：， 是整数， 满足条件的最小正整数为5， 故选：C． 【点睛】本题考查了求二次根式中参数的值，熟知二次根式的计算结果是整数的情况是解题的关键． 【变式2-1】（23-24八年级下·云南怒江·阶段练习）已知是整数，则自然数x的所有取值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的定义，形如（）的式子叫做二次根式，还考查了二次根式的性质：．由已知可得且为完全平方数求解． 【详解】解：由已知得， 又∵为整数 为完全平方数， 或或或 自然数x的所有取值为：． 【变式2-2】22-23八年级上·全国·单元测试）是整数，则正数的最小值是 【答案】/0.05 【分析】根据是整数，n为正数，得出的最小值为1，得出的最小值为，即可求出答案． 【详解】解：∵是整数，n为正数， ∴的最小值为1， ∴的最小值为， ∴正数的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义，解题的关键是根据乘除法法则和二次根式有意义的条件．二次根式有意义的条件是被开方数是非负数进行解答． 【变式2-3】（22-23八年级上·全国·单元测试）若是整数，则整数n的所有可能的值为 ． 【答案】1，4，9，36 【分析】是整数，则，且是完全平方数，即可求出n的值． 【详解】解：∵是整数， ∴，且是完全平方数， ∴①，即； ②，即； ③，即； ④，即； 综上所述，整数n的所有可能的值为1，4，9，36． 故答案是：1，4，9，36． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，理解是整数的条件是解题的关键． 【题型3二次根式有意义的条件】 【典例3】（24-25九年级上·河南新乡·期末）若代数式在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查的是二次根式有意义的条件，根据二次根式中的被开方数是非负数、分母不为零列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故选：D． 【变式3-1】（24-25八年级上·辽宁大连·期末）若二次根式有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式的意义“二次根式中被开方数是非负数”．根据被开方数即可求解． 【详解】解：， ∴． 故选：B． 【变式3-2】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）要使式子有意义，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点为：二次根式的被开方数是非负数．掌握被开方数是非负数是解答本题的关键．根据被开方数列式计算即可得解． 【详解】解：根据题意得，， 解得． 故选：D． 【变式3-3】（23-24八年级下·广东河源·期末）二次根式中字母的取值范围是 ． 【答案】 【分析】主要考查了二次根式的意义和性质，熟练掌握二次根式的意义是解题的关键； 二次根式有意义的条件就是被开方数是非负数，即可求解． 【详解】解：根据题意得：， 解得 故答案为： 考点2：二次根式的性质 （1） 双重非负性 ≥0, a≥0: (主要用于字母的求值) （2）回归性: (主要用于二次根式的计算) （3）转化性： 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【典例4】（23-24八年级下·新疆昌吉·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】D 【分析】本题主要考查了化简绝对值，利用二次根式的性质化简，代数式求值等知识点，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 先根据化简绝对值和二次根式，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵， ，， ∴， 故选：D． 【变式4-1】（24-25八年级上·北京·阶段练习）实数a、b在数轴上的位置如图所示，化简的结果是（   ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，数轴，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键．观察数轴可得，从而得到，再根据绝对值的性质，即可求解． 【详解】解：观察数轴得：， ∴， ∴． 故选：A 【变式4-2】（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）实数在数轴上的位置如图所示，则化简后为（    ） A．7 B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质和绝对值，首先根据数轴得到a的范围，从而得到与的符号；然后利用二次根式的性质和绝对值的性质即可求解． 【详解】解：根据数轴得：， ∴， ∴ ． 故选：A． 【变式4-3】（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）当时，化简的结果是 ． 【答案】 【分析】先配方，把二次根式转化为绝对值，化简解答即可． 本题考查了二次根式的化简，熟练掌握完全平方公式，绝对值的化简是解题的关键． 【详解】解： ， ∵， ∴ ． 故答案为：． 【题型5复合二次根式的化简】 【典例5】（23-24八年级下·江西新余·期中）先阅读下列解答过程，然后作答： 形如的化简，只要我们找到两个正数，使，，这样，，那么便有，例如：化简 解：首先把化为，这里，；由于，，即， 。 根据上述例题的方法化简： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，二次根式的性质及完全平方公式， （1）根据解答过程即可得解， （2）将转化为，再根据解答过程即可得解， （3）将转化为，再根据解答过程即可得解； 先把各题中的无理式变成的形式，进而可得出结论．解题的关键是理解和掌握：二次根式根号内含有根号的式子化简主要是根据完全平方公式的特点将该式子转化为平方的形式． 【详解】（1）解：； （2）； （3） ． 【变式5-1】（23-24八年级下·广东东莞·期中）阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方，如：这样小明就找到了一种把部分的式子化为平方式的方法． 请你仿照小明的方法探索并解决下列问题： (1)试着把化成一个完全平方式． (2)若a是216的立方根，b是16的平方根，试计算：． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方根、立方根、完全平方公式、二次根式的混合计算，二次根式的化简： （1）根据完全平方公式即可解答； （2）先根据立方根和算术平方根的定义求出a、b的值，进而得到，再把化成完全平方式，最后利用二次根式的性质化简即可． 【详解】（1）解： ． （2）解：∵a是216的立方根，b是16的平方根， ∴， ∴ ． 【变式5-2】（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）阅读下面这道例题的解法，并回答问题． 例如：化简． 解：． 依据上述计算，填空： (1) ， ； (2)根据上述方法求值：． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式： （1）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解； （2）根据例题的方法，凑完全平方公式，然后根据二次根式的性质化简即可求解． 【详解】（1）解： ； ； 故答案为：；； （2）解： ． 【变式5-3】（23-24八年级上·湖南娄底·期末）阅读材料：数学上有一种根号内又带根号的数．形如，如果你能找到两个数、，使，且，则可变形为．从而达到化去一层根号的目的．例如化简，且， ． (1)填上适当的数：______； (2)当时，化简． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的性质与化简，正确应用完全平方公式，掌握完全平方公式的特征是解题的关键． （1）将8写成，将写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． （2）将x写成，然后将被开方数变形成完全平方公式的形式，即可得出答案． 【详解】（1）解： ， 故答案为：，，； （2）， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（2024八年级上·全国·专题练习）若二次根式有意义，则实数x的取值范围是（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，是解题的关键． 根据二次根式有意义的条件：被开方数是非负数，即可得出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：， 故选：A． 2．（24-25九年级上·重庆万州·期中）下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的判断，根据形如的式子叫做二次根式进行判断即可． 【详解】解：A、被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、是二次根式，符合题意； C、被开方数，不是二次根式，不符合题意； D、，形式不符合，不是二次根式，不符合题意， 故选：B． 3．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式化简性质，难度较小，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 根据二次根式化简性质即可作答． 【详解】解：． 故选：A． 4．（24-25八年级上·山东枣庄·期中）已知，化简的结果为（    ） A．1 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二次根式的性质、绝对值的性质，由题意可得，，再由二次根式的性质和绝对值的性质化简即可得解． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 故选：A． 5．（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）若，则的值为（   ） A． B．4 C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查二次根式的性质，根据二次根式的性质得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴． 故选：A． 6．（24-25八年级上·福建三明·期中）下列各式中计算正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了立方根与算术平方根的性质，二次根式的性质，根据立方根与算术平方根，以及二次根式的性质逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. ，故该选项正确，符合题意；     B. ，故该选项不正确，不符合题意；     C. ，故该选项不正确，不符合题意；     D. ，故该选项不正确，不符合题意； 故选： A． 7．（24-25九年级上·山西·阶段练习）化简的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，根据公式进行求解即可，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 【详解】解：， 故选：． 二、填空题 8．（24-25八年级上·上海·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，利用二次根式的性质进行化简即可，解题的关键是正确理解二次根式的性质． 【详解】解：， 故答案为：． 9．（22-23八年级上·山东菏泽·期末）已知满足，则 ． 【答案】2023 【分析】本题主要考查二次根式的性质，绝对值的化简，掌握二次根式的性质是解题的关键． 根据二次根式的性质可得，由此可化简绝对值，得，所以有，由此即可求解． 【详解】解：由题意，得， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2023 三、解答题 10．（24-25八年级上·广东河源·期中）已知的立方根是，的算术平方根是，是的整数部分． (1)求的值； (2)求的平方根． 【答案】(1)，， (2) 【分析】（）根据立方根、算术平方根的定义求出的值，估算无理数的大小确定的值； （）根据（）求出的值，再根据平方根的定义进行计算即可； 本题考查立方根、算术平方根以及估算无理数的大小，掌握算术平方根的定义是正确解答的关键． 【详解】（1）解：∵的立方根是，的算术平方根是， ∴，， ∴，， ∵是的整数部分，， ∴； （2）解：∵，， ∴， ∴， ∴的平方根为． 学科网（北京）股份有限公司 $$