专题03 二次根式的加减（六大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题03 二次根式的加减（六大题型） 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 【题型1 同类二次根式的相关概念】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的性质、同类二次根式，先根据二次根式的性质化简各选项，再根据同类二次根式的定义即可判断出正确答案． 【详解】解：A，，与不是同类二次根式； B，，与不是同类二次根式； C，与不是同类二次根式； D，，与是同类二次根式； 故选D． 2．（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，先把每一个二次根式化成最简二次根式，然后再看被开方数是否相同，判断即可，掌握同类二次根式的定义是解题的关键． 【详解】解：、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与不是同类二次根式，符合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 、，与是同类二次根式，不合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 【答案】B 【分析】本题考查了同类二次根式，掌握二次根式的化简及同类二次根式的定义是解题的关键． 根据几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式是同类二次根式，逐项判断即可． 【详解】解：A．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； B．，，被开方数相同，是同类二次根式，该选项符合题意； C．，，被开方数不同，不是同类二次根式，该选项不符合题意； D．，，被开方数不同，不是同类二次根式； 故选：B． 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 【答案】B 【分析】本题主要考查同类二次根式的定义，掌握同类二次根式的定义是解题的关键，首先得出，再根据同类二次根式的定义令即可得出结论． 【详解】 ， 且与是同类二次根式， 时，成立 m的最小正整数值是3， 故选：B． 5．（24-25八年级上·福建三明·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 【答案】3 【分析】本题考查同类二次根式的概念，同类二次根式是化为最简二次根式后，被开方数相同的二次根式称为同类二次根式．根据同类二次根式的概念，它们的被开方数相同，列出方程求解即可． 【详解】解：， ∵最简二次根式与是同类二次根式， ∴， 解得：． 故答案为：3． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）最简二次根式与可以合并，则算术平方根为 ． 【答案】 【分析】本题考查了同类二次根式的定义，求算术平方根，属于基础概念题型，熟知同类二次根式的概念是关键．令求解即可． 【详解】解：∵最简二次根式与可以合并， ∴， 解得：， ∴算术平方根为． 故答案为：． 【题型2 二次根式的加减】 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了二次根式的混合运算和实数的混合运算． （1）利用绝对值、算术平方根、立方根计算后进行加减法计算即可； （2）先把二次根式化简为最简二次根式，再进行加减法即可． 【详解】（1）解： （2） 8．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次根式的加减运算，利用二次根式的性质化简，合并同类二次根式等知识点，熟练掌握二次根式的性质及运算法则是解题的关键． 利用二次根式的性质先把各个二次根式化成最简二次根式，然后再合并同类二次根式即可． 【详解】解：原式． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算．先化简各二次根式，再合并同类二次根式即可得． 【详解】解： ． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了实数的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再根据二次根式的加减计算即可； （2）先计算绝对值、零指数幂、二次根式、乘方，再计算加减即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 11．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查二次根式的加减运算及立方根，熟练掌握二次根式的加减运算及立方根是解题的关键． （1）化为最简二次根式即可进行求解． （2）根据二次根式的加减运算及立方根和绝对值可进行求解． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查绝对值的性质，和二次根式的加减运算，掌握二次根式的加减运算法则是解题的关键．首先化简绝对值，再根据二次根式的加减运算法则计算即可． 【详解】 13．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查二次根式的加减运算，先化简各个二次根式，再合并同类二次根式即可． 【详解】解： ． 【题型3 二次根式的混合运算】 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）先利用二次根式的性质化简，再计算加减即可； （2）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （3）先根据二次根式的性质、二次根式的乘法进行计算，再计算加减即可； （4）根据二次根式的乘除混合运算计算即可得解； （5）根据二次根式的乘法法则计算即可得解； （6）根据二次根式的混合运算法则计算即可得解． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ； （5）解： ； （6）解： ． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】此题考查的是二次根式混合运算法则，二次根式性质，完全平方公式、零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则及性质，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先根据二次根式的性质进行化简，再合并同类二次根式即可． （2）根据二次根式的乘法和除法法则即可求解； （3）利用完全平方公式和二次根式的性质解答即可． （4）利用零指数幂、绝对值、负整数指数幂的运算法则及性质解答即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 16．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的运算，对于（1），先化简二次根式，同时去括号，再合并同类二次根式； 对于（2），根据乘法公式计算，再根据二次根式的加减法计算即可． 【详解】（1）原式 ； （2）原式 ． 17．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算． （1）利用二次根式性质先化简，先计算二次根式的除法，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）利用平方差公式和完全平方公式先化简，再根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了二次根式性质，二次根式的减法运算，以及二次根式的混合运算，解题的关键在于掌握相关运算法则． （1）利用二次根式性质化简各项，再利用二次根式的减法运算法则计算，即可解题； （2）利用二次根式性质化简各项，再根据先乘除，后加减，有括号的先算括号的运算顺序计算，即可解题． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 19．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 【答案】 【分析】此题考查了二次根式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先利用平方差公式和完全平方公式计算，然后合并即可． 【详解】 ． 20．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了二次根式的混合运算和完全平方公式，先把各二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算，再合并即可．掌握以上知识是解答本题的关键； （1）先利用完全平方公式化简，在通过积的乘方和二次根式的加减运算即可求解； （2）把分子分母中的二次根式化简为最简二次根式，即可求解； （3）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的加减运算即可求解； （4）先把二次根式化简为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除加减运算即可求解； 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ； （3）解：原式 ； （4）解：原式 ． 【题型4 二次根式的化简求值】 21．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 【答案】(1)16 (2)4 【分析】本题考查了二次根式的化简求值，完全平方公式的运用，注意整体思想的运用； （1）先分别计算出的值，由完全平方公式得，再代入求值即可； （2）原式化为，再整体代入即可． 【详解】（1）解：∵，； ∴； （2）解：． 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，先根据二次根式的混合运算化简，再代入字母的值进行计算即可求解． 【详解】解：原式 当，时， 原式 ． 23．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 【答案】， 【分析】本题考查分解因式，二次根式的化简求值，先提公因式进行因式分解，再代值计算即可． 【详解】解：， 当，时， 原式 ． 24．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式化简求值，分式加减运算，平方差公式，解题的关键是熟练掌握二次根式混合运算法则． （1）先根据，，求出，，然后再根据平方差公式进行化简求值即可； （2）根据，，得出，，然后根据分式加减运算法则对进行化简，再整体代入求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ， ∴ ； （2）解：∵，， ∴，， ∴． 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 【答案】，． 【分析】本题考查了整式的混和运算及化简求值以及实数的混合运算，熟练掌握完全平方公式是解题的关键，先根据完全平方公式及单项式乘多项式化简，再把代入求解即可。 【详解】解：原式 ， 当时， 原式 ． 26．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了二次根式的化简求值，分母有理化： （1）先利用分母有理化法则求出，进而得到，，再根据完全平方公式的变形求解即可； （2）根据进行求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， ，， ∴； （2）解： ． 27．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 【答案】(1) (2)49 【分析】本题考查了乘法公式，分式的加减运算，二次根式的混合运算． （1）根据平方差公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解； （2）根据完全平方公式将原式整理成，再根据二次根式的运算法则计算即可求解． 【详解】（1）解：∵，， ∴，， 则． （2）解：∵，， ∴，， 则． 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）直接分母有理化得出答案； （2）直接分母有理化得出答案； （3）根据题意得出的值，再得出，然后把原式变形得出答案即可． 【详解】（1）解：． 故答案为：； （2）原式 ； （3）∵， ∴， ∴，即， ∴， ∴． 【点睛】此题主要考查了二次根式的混合运算、二次根式化简求值、运用平方差公式和完全平方公式进行运算等知识，正确完成二次根式的化简是解题关键． 29．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1)19 (2) 【分析】（1）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． （2）先计算的值，根据题意，将代数式进行适当的变形如下， ，后整体代入求值． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴． （2）∵，， ∴， ∴ ． 【点睛】本题考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质，灵活进行公式变形是解题的关键． 【题型5 二次根式的实际应用】 30．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 【答案】电流I的值为4A 【分析】本题考查代入求值，以及二次根式的运算，解题的关键是根据已知量代入公式求解．先把公式变形为，然后代入已知量求出结果，即可解题． 【详解】解： ， ， 将，，代入，得， 因为，所以． 答：电流I的值为4A． 31．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 【答案】(1) (2)元 【分析】本题主要考查二次根式的混合运算， 根据圆的面积公式可求求得半径，再作差即可； 根据半径求得面积作差，再乘以单价即可． 【详解】（1）解： ， 故圆环的宽度为． （2）解：（元）， 则购买地砖需要花元钱． 32．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 【答案】(1)2，， (2)阴影部分面积为； (3)不能截出；理由见解析 【分析】本题主要考查了二次根式混合运算的实际应用， （1）根据正方形的面积，即可求出边长； （2）先求出木板①的边长，根据长方形面积公式即可求解； （3）求出两个面积为的正方形木板的边长，即可得出所需木板的长和宽，将其与实际木板长和宽进行比较，即可解答． 【详解】（1）解：∵正方形木板A的面积为，正方形木板B的面积为，正方形木板C的面积为， ∴正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， 故答案为：2，，； （2）解：∵正方形木板A的边长为，正方形木板B的边长为，正方形木板C的边长为， ∴长方形木板①的长为，宽为， ∴阴影部分面积为； （3）解：不能截出； 理由：，， ∴两个正方形木板放在一起的宽为，长为． 由（2）可得长方形木板的长为，宽为． ∵，但， ∴不能截出． 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查二次根式的应用，勾股定理，关键是根据三角形的面积公式解答． （1）根据秦九韶公式即可得到结论； （2）根据勾股定理求出，再由秦九韶公式，二次根式的计算解答即可． 【详解】（1）解： ，，， ， 故答案为：； （2）解：连接， 四边形中，，，， ， 的面积， ， 的面积， 四边形的面积为． 34．（24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 【答案】通道的面积为平方米 【分析】本题考查的是二次根式的加法与二次根式的乘法及混合运算的应用，熟练的进行二次根式的化简与运算是解本题的关键．分别求出矩形绿地和小矩形花坛的面积，再相减求通道面积即可． 【详解】解：矩形绿地的长为米，宽为米， 平方米， 小矩形花坛的长为米，宽米， 小矩形花坛的面积为平方米， 通道的面积为平方米． 35．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【答案】(1)； (2)，理由见解析 (3)厘米 【分析】（1）将需要比较大小的两个数作差，其结构符合完全平方式，利用平方的非负性证明即可； （2）根据（1）中结果猜想，并利用完全平方公式及平方的非负性对猜想进行证明即可； （3）做对角线的竹条的和符合（2）中的形式，根据风筝面积求出对角线长度的积，应用（2）中的结论即可． 【详解】（1）解：∵ ， ∴； ∵， ， ∴； 故答案为：；． （2）猜想：． 理由：∵， ∴ ， ∴； （3）设，， ∵四边形为，， ∴ ， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴用来做对角线的竹条至少要厘米． 【点睛】本题考查平方的非负性，二次根式的大小比较，完全平方公式，二次根式的实际应用，识别出完全平方式的结构是解题的关键，同时注意已证明结论的迁移应用． 【题型6 分母有理化】 36．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了分母有理化，根据，分子和分母同时乘上，化简即可作答． 【详解】解：依题意， 故答案为：． 37．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查的是二次根式的化简求值，掌握分母有理化是解题的关键． （1）根据平方差公式计算； （2）利用分母有理化把化简，再根据完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：， ， ， ， ， ， ． 38．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是分母有理化，二次根式的混合运算，求解代数式的值； （1）把分子分母都乘以即可； （2）由，可得，可得，再把变形，再逐步代入计算即可． 【详解】（1）解：； （2）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ； 39．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算， 按照二次根式的混合运算法则求解即可 （1）根据分母有理化的步骤进行计算即可． （2）首先求出矩形的另外一边长，再按矩形的周长公式计算即可． （3）把各分母先有理化再进行加减运算． 【详解】（1）解：， （2）矩形的另外一边长为： ∴矩形的周长为：． （3）当时 40．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 【答案】(1)①； ② (2) 【分析】本题主要考查了分母有理化以及分式的加减法运算，根据分母有理化的方法进行运算即可． （1）根据分母有理化的两种方式分别进行运算即可． （2）根据分母有理化的结果进行分式的加法运算即可． 【详解】（1）解：①， ② （2） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题03 二次根式的加减（六大题型） 【题型1 同类二次根式的相关概念】 【题型2 二次根式的加减】 【题型3 二次根式的混合运算】 【题型4 二次根式的化简求值】 【题型5 二次根式的实际应用】 【题型6 分母有理化】 【题型1 同类二次根式的相关概念】 1．（24-25九年级上·河南新乡·期末）下列各式中，与是同类二次根式的是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·广东河源·期中）下列二次根式化简后，与不是同类二次根式的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·上海·期中）下列各组二次根式中，是同类二次根式的是（   ） A．与 B．与 C．与 D．与 4．（24-25八年级上·上海闵行·期中）如果与是同类二次根式，那么m的最小正整数值是（   ） A．2 B．3 C．6 D．8 5．（24-25八年级上·福建三明·期中）若最简二次根式与是同类二次根式，则 ． 6．（24-25八年级上·福建漳州·期中）最简二次根式与可以合并，则算术平方根为 ． 【题型2 二次根式的加减】 7．（24-25八年级上·黑龙江大庆·期中）计算： (1)； (2) 8．（2024八年级上·上海·专题练习）计算：． 9．（24-25九年级上·吉林长春·期末）计算：． 10．（24-25八年级上·四川成都·期中）计算下列各题 (1) (2) 11．（24-25八年级上·江西景德镇·期中）计算 (1) (2) 12．（23-24八年级上·全国·课后作业）计算：． 13．（24-25八年级上·上海·期中）计算：． 【题型3 二次根式的混合运算】 14．（24-25八年级上·辽宁锦州·期中）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 15．（24-25八年级上·宁夏银川·期中）计算 (1)； (2)； (3)； (4)． 16．（24-25八年级上·全国·期中）计算： (1) (2)． 17．（24-25八年级上·山东济南·期中）计算： (1) (2) 18．（24-25九年级上·河南南阳·期中）计算： (1)； (2)． 19．（24-25九年级上·湖南衡阳·期中）计算：． 20．（24-25八年级上·宁夏中卫·期中）计算 (1) (2) (3) (4) 【题型4 二次根式的化简求值】 21．（23-24八年级上·四川成都·期末）已知，，求代数式的值： (1)； (2) ． 22．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）先化简，后求值：，其中，． 23．（23-24八年级下·新疆乌鲁木齐·期末）先分解因式，再代入求值：，其中，． 24．（24-25八年级上·辽宁沈阳·单元测试）已知，，求下列代数式的值： (1) (2) 25．（23-24八年级上·全国·单元测试）先化简，再求值：，其中． 26．（23-24八年级下·河南信阳·阶段练习）已知，，求下列各式的值： (1)； (2)． 27．（23-24八年级上·福建泉州·阶段练习）已知，，求下列代数式的值. (1)； (2). 28．（23-24八年级上·陕西西安·期中）已知，求的值．小明是这样分析与解答的： ∴， ∴． ∴，即． ∴， ∴． 青你根据小明的分析过程，解决下列问题： (1)化简：_________； (2)计算：； (3)若，求的值． 29．（22-23九年级上·四川巴中·阶段练习）已知，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型5 二次根式的实际应用】 30．（24-25八年级上·山西晋中·期中）电流通过导线时会产生热量，电流（单位：A）、导线电阻（单位：）、通电时间（单位：s）与产生的热量（单位：J）满足．若导线电阻为，1s时间导线产生的热量为80J，则电流的值是多少？ 31．（22-23八年级下·四川德阳·阶段练习）一桥连山水，一窗现云涧．作为中江招商的“门面担当”，“凯州之窗”俨然成为中江新地标建筑．规划馆的“窗”，不仅是整个建筑的视觉焦点，更是将建筑融于天地之中，让人们感受到自然之美．已知“窗”的形状是一个圆环，内圆半径为，外圆面积为． (1)求圆环的宽度． (2)计划在圆环的地方铺上地砖，地砖造价为元，则购买地砖需要花多少钱？ 32．（24-25八年级上·河北邯郸·阶段练习）现有两块同样大小的长方形木板①，②，甲木工采用如图1所示的方式，在长方形木板①上截出三个面积分别为，和的正方形木板A，B，C． (1)木板①中截出的正方形木板A的边长为___________，B的边长为___________，C的边长为___________； (2)求木板①中剩余部分（阴影部分）的面积； (3)乙木工想采用如图2所示的方式，在长方形木板②上截出两个面积均为的正方形木板，请你判断能否截出，并说明理由． 33．（24-25八年级上·河南郑州·期中）某班同学们以“已知三角形三边的长度，求三角形面积”为主题开展了数学活动，同学们想到借助曾经阅读的数学资料进行探究： 材料1．我国南宋时期数学家秦九韶曾提出利用三角形的三边长求面积的秦九韶公式：（其中a，b，c为三角形的三边长）． 材料2．古希腊的几何学家海伦在《度量》一书中，给出了求面积的海伦公式（其中a，b，c为三角形的三边长，） 请你用适合的公式解决问题． (1)三角形的三边长为，，，则面积为 ； (2)如图，在四边形中，，，，，，求四边形的面积． 34．（24-25八年级上·北京·期中）某居民小区有块矩形绿地，矩形绿地的长为米，宽为米，现要在矩形绿地中间修建一个小矩形花坛（阴影部分），小矩形花坛的长为米，宽米，除去修建花坛的地方，其他地方全修建成通道，求通道的面积（结果化为最简二次根式）． 35．（24-25九年级上·吉林长春·期中）在学习二次根式计算时，思思同学进行了如下思考： ． (1)填空：________；________． (2)试猜想与的大小，并说明理由． (3)请利用上述结论解决下面问题：某同学在做一个面积为，对角线相互垂直的四边形风筝时，求用来做对角线的竹条至少要多少厘米？ 【题型6 分母有理化】 36．（23-24八年级下·湖南湘西·期中）分母有理化： ． 37．（23-24八年级下·山东潍坊·期中）阅读材料： 在解决问题“已知，求的值”时，小亮是这样分析与解答的：，，，，，． 请你根据小亮的分析过程，解决如下问题： (1)化简：； (2)若，求的值． 38．（23-24八年级下·广西南宁·开学考试）在解决问题“已知，求的值”时，小明是这样分析与解答的：先将a进行分母有理化，过程如下， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 请你根据上述分析过程，解决如下问题： (1)若，请将a进行分母有理化； (2)在（1）的条件下，求的值． 39．（23-24八年级下·广东广州·期末）在进行二次根式化简时，我们有时会碰上形如 的式子，这样的式子我们可以将其进一步化简， ，，这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题： (1)化简： ______；______； (2)矩形的面积为 ，一边长为 ，求这个矩形的周长； (3)当时，化简：． 40．（23-24八年级下·河北承德·期中）阅读下列材料，然后回答问题：在进行二次根式运算时，我们有时会碰上如、 、一样的式子，其实我们还可以将其进一步化简： （Ⅰ） （Ⅱ） （Ⅲ） 以上这种化简的步骤叫做分母有理化． 还可以用以下方法化简： （Ⅳ） (1)请用不同的方法化简 ①参照（Ⅲ）式得 ； ②参照（Ⅳ）式得 ； (2)化简： 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$