专题01 二次根式（五大题型）（题型专练）-2024-2025学年八年级数学下册《知识解读•题型专练》（浙教版）

专题01 二次根式（五大题型） 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 【题型1 二次根式的概念】 1．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）下列各式是二次根式的为（    ） A．2 B． C．6 D．0 【答案】B 【分析】本题考查了二次根式的定义，即含有二次根号且被开方数为非负数，据此即可作答． 【详解】解：∵二次根式是指含有二次根号且被开方数为非负数， ∴是二次根式， 故选：B． 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）求下列各式的值，其结果是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查二次根式化简，立方根计算，实数分类．根据题意逐一对选项进行计算，再利用无理数定义即可选出本题答案． 【详解】解∶∵，是有理数， ∵，5为有理数， ∵，结果为无限不循环小数，为无理数， ∵，是有理数， 故选：C． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的概念进行判断即可． 【详解】解：A、该代数式无意义，不符合题意； B、π是无理数，不是二次根式，故此选项不合题意； C、该代数式是三次根式，故此选项不合题意； D、是二次根式，故此选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查二次根式的概念，确定被开方数恒为非负数是解题的关键． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二次根式的定义．解题的关键是掌握二次根式的概念．形如“”且的式子叫二次根式．二次根式一定要满足被开方数为非负数且根指数为2，根据概念逐项判断，即可解题． 【详解】解：A、，被开方数为负数，不是二次根式，不符合题意； B、，根指数为3，不是二次根式，不符合题意； C、，不能确定被开方数是否为非负数，不一定是二次根式，不符合题意； D、，能满足被开方数为非负数，故是二次根式，符合题意； 故选：D． 【题型2 求二次根式的参数】 5．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 【答案】D 【分析】本题考查了二次根式的定义，解题的关键是熟练掌握二次根式的定义． 根据二次根式的定义即可求出答案． 【详解】由题意可知：， ， ∵是整数，是正整数， ∴或7或8， ， 故选：D． 6．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是 ． 【答案】 【分析】将代入待求式子，根据根号具有括号的作用，按含乘方的有理数的混合运算的运算顺序算出被开方数即可． 【详解】解：当时，． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了二次根式的化简求值，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求二次根式中参数的值，先根据二次根式中被开方数是非负数求出的范围，再分析求出的值． 【详解】解：根据被开方数是非负数可得，中的， 解得：， ∵是自然数， ∴， ∵是整数， ∴，， ∴自然数的值是或， 故答案为：或． 8．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 【答案】/0.5 【分析】本题考查了二次根式的非负性，求整式的值；可得，由二次根式的非负性得，，求出和，代值即可求解；理解二次根式的非负性（）是解题的关键． 【详解】解：由题意得 ， ，， 解得：，， ； 故答案：． 9．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 【答案】3 【分析】根据二次根式的定义可得，解得，再根据是一个正整数，可得或4或9，即可得到答案． 【详解】解：由二次根式的定义可得， 解得：， 是一个正整数， 或4或9， 解得：或8或3， 的最小正整数是3， 故答案为：3． 【点睛】本题考查了二次根式的定义，求得或4或9是解题的关键． 10．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【答案】51 【分析】根据，且是整数，n是整数，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∵是整数，且n是整数， ∴n的最小值为：51， 故答案为：51． 【点睛】本题考查开方的有关知识，熟练掌握二次根式的定义是解题的关键． 【题型3二次根式有意义的条件】 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查二次根式有意义的条件，根据在实数范围内有意义，得到，解不等式即可得到答案，熟记二次根式有意义的条件是解决问题的关键． 【详解】解： 在实数范围内有意义， ，解得， 故选：B． 12．（2024八年级上·北京·专题练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，解不等式等知识，利用二次根式的被开方数是非负数得出关于x的不等式求解即可． 【详解】解：∵在实数范围内有意义， ∴， 解得， 故答案为：． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有意义，则x的取值范围为 ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式与分式有意义的条件，根据被开方数是非负数且分母不等于零列式求解即可． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 故答案为：． 14．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如果，那么 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，二次根式中被开方数的取值范围．二次根式中的被开方数是非负数．根据二次根式有意义的条件可得、的值，再代入计算即可． 【详解】解：∵， ， 解得， ， 故答案为：． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查函数自变量的取值范围，根据被开方数大于或等于0，分母不等于0，可以求出x的范围． 【详解】解：在函数中，， 解得， 故答案为：． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 16．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了化简二次根式，先判断m、n的符号，再根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：∵有意义， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 17．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 【答案】D 【分析】根据，有意义可得，进而即可求解． 【详解】解：∵，有意义， ∴， ∴ ， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，根据二次根式的性质化简，得出是解题的关键． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 【答案】/ 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，绝对值的性质，根据、、在数轴上的位置，判断出、、的正负情况，继而得出，，，然后根据绝对值和二次根式的性质去掉根号和绝对值号，再进行计算是解题关键． 【详解】解：由图可知，， ∴，，， 则 ， 故答案为：． 19．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、利用二次根式的性质进行化简，先由二次根式有意义的条件得出，再根据二次根式的性质化简即可，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 20．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次根式的性质与化简和解一元一次不等式，能根据二次根式的性质得出是解此题的关键．根据二次根式的性质得出，再求出不等式的解集即可． 【详解】解： ， ， 解得． x的取值范围是． 故答案为：． 21．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 【答案】5 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理和二次根式的性质，能熟记二次根式的性质是解此题的关键．根据三角形三边关系定理求出，再根据二次根式的性质和绝对值意义化简即可． 【详解】解：∵2，5，n为三角形的三边长， ∴，即， ∴原式． 22．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．    【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质，利用数轴判断式子的正负，掌握二次根式的性质是解答本题的关键．先根据数轴判断的正负，然后根据二次根式的性质、绝对值的性质化简，然后合并同类项即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴ ． 【题型5复合二次根式的化简】 23．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了化简复合二次根式，仿照题意设，再把等式两边同时平方进行计算求解即可． 【详解】解：设， ∴ ， ∴， ∵， ∴， ∴． 24．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 【答案】 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简，读懂阅读材料中的方法是解题的关键．先将原式变形，再由，，仿照阅读材料中的方法计算即可． 【详解】解：，这里， 由于，， ∴， ∴ ． 25．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 【答案】(1) (2) (3)或． 【分析】此题考查化简二次根式，完全平方公式的应用，准确变形是解题的关键． （1）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （2）利用题中复合二次根式借助构造完全平方式的新方法求解； （3）利用完全平方公式，结合、n为正整数求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为： （2）； 故答案为： （3）∵ ∴， ∴，， ∴ 又∵、n为正整数， ∴，或者， ∴当时，； 当时，． ∴k的值为：或． 26．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； （2）分别根据二次根式的乘法运算，以及二次根式的性质计算即可求解； 【详解】（1）解： ， ； （2）解： ， ． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，二次根式的性质，完全平方公式的应用，熟练掌握二次根式的混合运算法则，二次根式的性质，完全平方公式是解题的关键． 27．（23-24八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 【答案】(1) (2) (3)a的值为或 【分析】（1）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （2）根据题目提供的方法将，化简为，进而得到答案； （3）将化简为，继而得到，， 再根据为正整数，即可求出其值，代入即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ，， 又 为正整数， ，或者， 当时，； 当，， 综上所述，a的值为或． 【点睛】本题考查完全平方公式，二次根式的性质与化简，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的前提． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01 二次根式（五大题型） 【题型1 二次根式的概念】 【题型2 求二次根式的参数】 【题型3二次根式有意义的条件】 【题型4 利用二次根式的性质化简】 【题型5复合二次根式的化简】 【题型1 二次根式的概念】 1．（23-24八年级下·重庆开州·阶段练习）下列各式是二次根式的为（    ） A．2 B． C．6 D．0 2．（23-24七年级上·山东烟台·期末）求下列各式的值，其结果是无理数的是（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级·全国·假期作业）下列式子一定是二次根式是（　　） A． B．π C． D． 4．（23-24八年级上·全国·单元测试）在下列各式是二次根式的是（    ） A． B． C． D． 【题型2 求二次根式的参数】 5．（23-24八年级下·云南昭通·期中）已知是整数，是正整数，则的所有可能的取值的和是（    ） A．11 B．12 C．15 D．19 6．（22-23八年级下·浙江湖州·期中）当时，二次根式的值是 ． 7．（23-24八年级下·浙江绍兴·期末）已知是整数，则自然数的值是 ． 8．（23-24八年级下·福建南平·期中）二次根式与 的和为0，则的值为 ． 9．（22-23八年级下·辽宁营口·阶段练习）是一个正整数，则的最小正整数是 ． 10．（22-23八年级下·湖北咸宁·期中）若是整数，则正整数n的最小值是 ． 【题型3二次根式有意义的条件】 11．（24-25九年级上·吉林长春·期末）若在实数范围内有意义，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 12．（2024八年级上·北京·专题练习）若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是 ． 13．（24-25八年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）有意义，则x的取值范围为 ． 14．（24-25八年级上·四川遂宁·期末）如果，那么 ． 15．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）函数中，自变量的取值范围是 ． 【题型4 利用二次根式的性质化简】 16．（24-25八年级上·上海·期中）化简：，那么化简结果正确的是（   ） A． B． C． D． 17．（22-23九年级上·四川遂宁·阶段练习）若，则 化简后的结果是（      ） A．xy B． C． D． 18．（24-25九年级上·四川宜宾·期中）实数在数轴上所对应的点的位置如图所示，化简： ． 19．（24-25八年级上·上海浦东新·期中）化简： ． 20．（24-25九年级上·福建漳州·期中）已知，则x的取值范围是 ． 21．（24-25八年级上·福建三明·期中）若2，5，n为三角形的三边长，化简 22．（24-25八年级上·四川遂宁·阶段练习）已知：实数在数轴上的对应点如图所示，化简：．    【题型5复合二次根式的化简】 23．（24-25八年级上·上海·阶段练习）“分母有理化”是我们常用的一种化简方法，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故． 由， 解得，即． 根据以上方法，求的值． 24．（22-23八年级上·河南郑州·开学考试）先阅读下列的解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个数a、b，使，使得，那么便有：． 例如：化简． 解：首先把化为，这里，由于即，； ． 由上述例题的方法化简：． 25．（23-24八年级下·江苏淮安·期末）像，这样的根式叫做复合二次根式．有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简： 如：， 再如：， 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简： (2)化简： (3)若，且为正整数，求的值． 26．（23-24九年级上·四川眉山·阶段练习）有这样一类题目，例如： ． 请仿照上例化简下列各式： (1)； (2)． 27．（23-24八年级下·山东聊城·期末）像这样的根式叫做复合二次根式有一些复合二次根式可以借助构造完全平方式进行化简． 例1： ； 例2： 请用上述方法探索并解决下列问题： (1)化简：； (2)化简：； (3)若，且为正整数，求a的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！6 1 学科网（北京）股份有限公司 $$