1.2  等式的性质（一）和解方程（2个知识点+2类热点题型精讲+习题巩固）同步分层作业-2024-2025学年数学五年级下册（苏教版）

1.2   等式的性质（一）和解方程 学习重难点 学习目标 1、重点：理解等式的性质(一)，并根据等式的性质(一)解简单的方程。 2、难点：掌握解方程的方法。 1、根据天平平衡的原理，初步理解等式的性质(一)。 2、利用等式的性质(一)，会解只含有加、减法运算的方程，养成自觉检验的习惯。 知识点一等式的性质（一） 1、等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果仍然是等式。即：若a=b，则a+c=b+c或a-c=b-c。 知识点二利用等式的性质（一）解方程 1、方程的解及解方程：使方程左右两边相等的未知数的值叫作方程的解，求方程的解的过程叫作解方程。 2、解形如x+a=b或x-a=b的方程，可根据等式的性质(一)，在方程两边同时减去或加上α，使方程左边只剩下未知数x，方程右边的数b-a或b+a就是x的值。 3、检验方法：将所求未知数的值分别代入方程的左边和右边，看方程两边是否相 等，若相等，所求未知数的值就是方程的解。 题型一等式的性质（一）的运用 1．如果＋＋＝＋＋＋＋，＋＋＝＋＋＋＋＋，那么1个和（ ）个相等。 【分析】＋＋＝＋＋＋＋，等式的两边同时减去两个，可以得到＝＋＋，然后将＝＋＋ 代入＋＋＝＋＋＋＋＋ 中，得到＝＋＋＋＋＋，即1个和6个相等。 【解答】由分析可知： 如果＋＋＝＋＋＋＋，＋＋＝＋＋＋＋＋，那么1个和6个相等。 2．如下图，两个天平都是平衡的： 则5个的重量＝（ ）个的重量。7个的重量＝（ ）个的重量。 【分析】根据题目可知， 等式①：1个桃子的重量＋1个梨的重量＝2个苹果的重量； 等式②：3个梨的重量＝3个苹果的重量＋2个桃子的重量； （1）根据等式的性质，由等式①得到3个桃子的重量＋3个梨子的重量＝6个苹果的重量，再结合等式②得到5个桃子的重量＝3个苹果的重量； （2）根据等式的性质，由等式①得到4个苹果的重量＝2个桃子的重量＋2个梨的重量，再结合等式②得到7个苹果的重量等于5个梨的重量。 【解答】3个桃子的重量＋3个梨子的重量＝6个苹果的重量，3个梨子的重量＝3个苹果的重量＋2个桃子的重量，所以5个桃子的重量＝3个苹果的重量； 4个苹果的重量＝2个桃子的重量＋2个梨的重量，3个苹果的重量＝3个梨的重量－2个桃子的重量，所以7个苹果的重量＝5个梨子的重量。 【点评】本题主要考查的是等式的性质，掌握等式的性质是解题的关键。 3．看图解题。 分析与解答： 从图中可以看出，天平的左右两边都（ ）同样质量的物体，天平仍然平衡。天平左右两边都（ ）同样质量的物体，天平仍然平衡。 【分析】等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立；据此即可解答。 【解答】分析与解答： 从图中可以看出，天平的左右两边都加上同样质量的物体，天平仍然平衡。天平左右两边都减去同样质量的物体，天平仍然平衡。 【点评】熟练掌握等式的性质是解答本题的关键。 4．小明买了1支钢笔和4支中性笔，小丽买了11支同样的中性笔，两人用去的钱同样多。1支钢笔相当于（ ）支中性笔的价钱。 【分析】由于1支钢笔和4支中性笔的价格等于11支中性笔，由此即可列式为：1支钢笔＋4支中性笔＝11支中性笔，两边同时减去4支中性笔即可求出1支钢笔等于多少支中性笔。 【解答】1支钢笔＋4支中性笔＝11支中性笔 1支钢笔＋4支中性笔－4支中性笔＝11支中性笔－4支中性笔 1支钢笔＝7支中性笔 所以1支钢笔相当于7支中性笔的价钱。 【点评】本题主要考查等量代换，同时要熟悉掌握等式的性质是解题的关键。 题型二运用等式的性质（一）列方程解决问题 5．组装车间要装配两轮电动车和三轮电动车共21辆，需要51个轮胎。装配两轮电动车（ ）辆，三轮电动车（ ）辆。 【分析】根据题意可知，每辆两轮电动车有2个轮胎，每辆三轮电动车有3个轮胎；根据“两轮电动车和三轮电动车共21辆”，可以设三轮电动车有辆，则两轮电动车有（21－）辆。 等量关系：三轮电动车的辆数×3＋两轮电动车的辆数×2＝两轮电动车和三轮电动车轮胎的总数，据此列出方程，并求解。 【解答】解：设三轮电动车有辆，则两轮电动车有（21－）辆。 3＋2（21－）＝51 3＋42－2＝51 ＋42＝51 ＋42－42＝51－42 ＝9 21－9＝12（辆） 装配两轮电动车12辆，三轮电动车9辆。 【点评】本题考查列方程解决问题，从题目中找到等量关系，按等量关系列出方程。也可以用鸡兔同笼的假设法解答。 6．求方程2.98＋x＝11.23中的未知数x时，要在方程的两边同时（ ），则x＝（ ）。 【分析】利用等式的性质1，求方程2.98＋x＝11.23中的未知数x时，要在方程的两边同时减去2.98，此时2.98＋x－2.98＝11.23－2.98，即x＝11.23－2.98，据此求解即可。 【解答】2.98＋x＝11.23 解：2.98＋x－2.98＝11.23－2.98 x＝8.25 求方程2.98＋x＝11.23中的未知数x时，要在方程的两边同时减去2.98，则x＝8.25。 7．地球表面的海洋面积大约是3.62亿平方千米，比陆地面积多2.13亿平方千米。陆地面积大约是多少亿平方千米？（列方程解答） 【分析】设陆地面积大约是x亿平方千米，根据数量关系：陆地面积＋2.13亿平方千米＝海洋面积，据此列方程，再根据等式的性质解方程。 【解答】解：设陆地面积大约是x亿平方千米。 x＋2.13＝3.62 x＋2.13－2.13＝3.62－2.13 x＝1.49 答：陆地面积大约是1.49亿平方千米。 8．小明今年10岁，爷爷年龄比爸爸年龄的2倍少8岁，妈妈比小明大26岁，爷爷年龄比小明年龄的7倍少2岁。爷爷多少岁？（先写出等量关系式，再列方程解答） 等量关系式：（    ） 【分析】根据题意，爷爷年龄比小明年龄的7倍少2岁，由此可以列出等量关系式为：爷爷的年龄＋2＝小明今年的年龄×7，由此我们可以设爷爷今年x岁，根据等量关系式，列出方程，解出方程即可。 【解答】等量关系式：（爷爷年龄＋2岁＝小明年龄×7） 解：设爷爷x岁。 x＋2＝7×10 x＋2＝70 x＋2－2＝70－2 x＝68 答：爷爷68岁。 一、选择题 1．如果m＋4＝n－6，那么m和n的关系是（    ）。 A．m＞n B．m＜n C．m＝n D．无法比较 2．已知a＋3.2＝b＋5.4，那么a（    ）b。 A．＞ B．＜ C．无法确定 3．如果＋13＝25，那么－7＝19－（    ）。 A．12 B．14 C．16 4．幻方是古老的数学问题，我国古代《洛书》中记载了最早的幻方—九宫格。将9个数填入幻方的空格中，要求每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等。如表，表①就是一个幻方，表②是一个未完成的幻方，则m的值是（    ）。 ① 4 9 2 3 5 7 8 1 6 ② m 6 20 22 A．9 B．10 C．11 D．12 5．在一场班级篮球比赛中，规定进一球得1分。上半场两班比分为22∶14，六（1）班领先8个球。六（2）班在中场休息得到教练的指导，下半场占了上风，进球数是六（1）班的2倍，最终六（1）班以1球之差赢得比赛，这场比赛的最终比分是（    ）。 A．28∶27 B．29∶28 C．30∶29 D．31∶30 二、填空题 6．如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝( )。 7．如图所示，2个菠萝的质量等于( )根香蕉的质量；如果从天平左端拿下1个菠萝，要使天平平衡，天平右端要拿下( )根香蕉；如果往天平左端加上2个菠萝，要使天平平衡，天平右端要加上( )根香蕉。（每个菠萝的质量相等，每根香蕉的质量相等） 8．如图，天平平衡了，如果要拿掉南瓜x千克，天平的右边应该拿掉( )千克，才能使天平继续保持平衡。 9．列方程并求出x的值。 解：( )( ) ( ) 10．用方程表示下面的数量关系。 小明x岁，妈妈36岁。他们俩相差26岁。   三、计算题 11．解方程。 x＋65＝213             x－425＝533 7.9＋x＝9               四、解答题 12．天平左边放1个梨和1个李子，右边放6个李子时天平刚好保持平衡。若两边都拿掉1个李子，天平还会平衡吗？1个梨和几个李子一样重？ 13．甲粮仓运出60吨面粉给乙粮仓，这时乙粮仓存放的面粉还比甲粮仓少20吨，现在乙粮仓存放了100吨面粉，求原来甲粮仓仔放了多少吨面粉？ 14．买1把茶壶比买6只茶杯贵19.4元，每只茶杯8.7元，每把茶壶多少元？（用方程解） 15．邮票常常体现一个国家或地区的历史、科技、经济、文化、风土人情、自然风貌等特色，这也让邮票除了邮政价值外还有收藏价值。花花原来有一些邮票，后来又收集了37枚，送给朋友18枚后，还剩32枚。花花原来有邮票多少枚？（列方程解答） 参考答案 1．【分析】根据等式的性质1，等式两边同时加上6，再减去m，再根据化简后的式子进行判断。 【解答】m＋4＝n－6 m－m＋4＋6＝n－6＋6－m n－m＝10，所以m＜n。 如果m＋4＝n－6，那么m和n的关系是m＜n。 故答案为：B 2．【分析】根据等式的性质可知，等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式，据此解答。 【解答】将等式两边同时减去3.2，得到： 所以。 故答案为：A 3．B 【分析】先根据等式的性质1，方程＋13＝25的两边同时减去13，求出方程的解； 求－7＝19－（    ），相当于求19－（－7），把的值代入式子中，计算出得数即可。 【解答】＋13＝25 解：＋13－13＝25－13 ＝12 当＝12时 19－（－7） ＝19－（12－7） ＝19－5 ＝14 所以，如果＋13＝25，那么－7＝19－14。 故答案为：B 4．【分析】幻方中每一横行、每一竖列以及两条对角线上的3个数之和相等，称为幻和。 可以通过设一些空格为字母，将连通的一横行、一竖列或对角线上的三个数相加后相等，通过等式的关系求解。 根据幻方的特征可知，第一行数相加等于第一列数相加，即可求出第一列第3个数A的值；通过观察表①，可以发现中心的数始终等于两边的数的平均值，可以通过这个规律求出表②中心的数，然后求出幻和，再进一步解答即可。 【解答】如下图，设22下方的数字为A，22右边的数字为B。 m 6 20 22 B A ①m＋22＋A＝m＋6＋20 解：m＋22＋A－m＝m＋6＋20－m 22＋A＝26 22＋A－22＝26－22 A＝4 ②B＝（4＋20）÷2 ＝24÷2 ＝12 ③4＋20＋12＝m＋6＋20 解：36＝m＋26 m＋26－26＝36－26 m＝10 则m的值是10。 故答案为：B 5．【分析】将六（1）班下半场的得分设为未知数x个，那么六（2）班下半场得（2x）个。根据“六（1）班总分－六（2）班总分＝1分”列出方程，解出x。将x代入六（1）班总分（x＋22）中，求出具体总分。同理求出六（2）班的总分，从而得出最终的分数比。 【解答】解：设下半场六（1）班进球x个。 x＋22－（2x＋14）＝1 x＋22－2x－14＝1 8－x＝1 x＝8－1 x＝7 2×7＋14 ＝14＋14 ＝28（个） 7＋22＝29（个） 所以，这场比赛的最终比分是29∶28。 故答案为：B 6．【分析】根据加法交换律：a＋b＝b＋a，以及加法结合律：（a＋b）＋c＝a＋（b＋c），将“☆＋☆＋☆＋△＋△＝72”整理为“☆＋（☆＋△）＋（☆＋△）＝72”，再将“☆＋△＝30”整体代入，得“☆＋30＋30＝72”。根据等式的性质1，将等式两边同时减去60，求出☆。等式的性质1：等式两边同时加上或减去同一个数，等式仍然成立。 【解答】因为☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，所以☆＋（☆＋△）＋（☆＋△）＝72。 又因为☆＋△＝30，所以☆＋30＋30＝72。 ☆＋30＋30＝72 ☆＋60＝72 ☆＋60－60＝72－60 ☆＝12 所以，如果☆＋△＝30，且☆＋☆＋☆＋△＋△＝72，那么☆＝12。 7．【分析】从图中可知，天平左端有2个菠萝，天平右端有8个香蕉，天平平衡，所以2个菠萝的质量等于8根香蕉的质量，由此可知1个菠萝的质量等于4根香蕉的质量，据此解答。 【解答】2个菠萝的质量等于8根香蕉的质量； 如果从天平左端拿下1个菠萝，要使天平平衡，天平右端要拿下4根香蕉； 如果往天平左端加上2个菠萝，要使天平平衡，天平右端要加上8根香蕉。 8．【分析】等式的性质1是指等式两边都加上（或减去）同一个数，等式仍然成立。 天平平衡意味着左右两边的重量是相等的，可将天平左右两边的物品重量看作一个等式关系，所以，根据等式的性质1解方程，等式两边同时减去0.2求解x。 如果要拿掉南瓜x千克，为了使天平继续保持平衡，也需要在天平的右边拿掉与南瓜相同重量的物品，所以解方程求得x的数值就是天平右边应该拿掉的重量。 【解答】 解： 如果要拿掉南瓜x千克，天平的右边应该拿掉3.4千克，才能使天平继续保持平衡。 9．【分析】看图可知，帽子钱数＋上衣钱数＝总钱数，据此可以列出方程，根据等式的性质1，两边同时减去58，即可求出的值；等式的性质：等式两边同时加上或减去同一个数，所得结果还是等式；据此解答。 【解答】 解：5858 21 所以一顶帽子21元。 10．【分析】根据题意，等量关系为：小明的年龄＋26＝妈妈的年龄，假设小明的年龄是x岁，据此列出方程即可解答。 【解答】由分析可得： x＋26＝36 解：x＋26－26＝36－26 x＝10 小明的年龄是10岁。 11．【分析】（1）利用等式的性质1，方程两边同时减去65； （2）利用等式的性质1，方程两边同时加上425； （3）利用等式的性质1，方程两边同时减去7.9； 【解答】（1）x＋65＝213 解：x＋65－65＝213－65 x ＝148 （2）x－425＝533 解：x－425＋425＝533＋425 x ＝958 （3）7.9＋x＝9 解：7.9＋x－7.9＝9－7.9 x＝1.1 12．【分析】由题意可知，1个梨＋1个李子＝6个李子，两边都拿掉1个李子，因为原来重量相等，拿掉的重量也相等，则剩下的重量也会相等，据此解答。 【解答】1个梨＋1个李子＝6个李子 1个梨＋1个李子－1个李子＝6个李子－1个李子 1个梨＝5个李子 答：天平还会平衡；1个梨和5个李子一样重。 13．【分析】由题可知，甲粮仓运给乙仓库60吨后的面粉吨数，再减去20吨就是乙粮仓现在的面粉吨数，可以设甲粮仓原来存放了x吨，等量关系为：原来甲粮仓的x吨－60吨－20吨＝乙粮仓现在的100吨，据此列方程解答。 【解答】解：设原来甲粮仓存放了x吨面粉。 x－60－20＝100 x－60－20＋60＋20＝100＋60＋20 x＝180 答：原来甲粮仓存放了180吨面粉。 14．【分析】由题意可得等量关系：每把茶壶的钱数－每只茶杯的钱数×6＝19.4元。设每把茶壶x元，根据等量关系列出方程，再根据等式的性质解方程即可。 【解答】解：设每把茶壶x元。 x－8.7×6＝19.4 x－52.2＝19.4 x－52.2＋52.2＝19.4＋52.2 x＝71.6 答：每把茶壶71.6元。 【点评】此题考查列方程解应用题，关键是根据题意找出等量关系，设未知数为x，由此列方程解决问题。 15．【分析】根据题意可得等量关系是：原来有邮票的枚数＋后来又收集的枚数－送给朋友的枚数＝还剩下的枚数，设花花原来有邮票x枚，据此列方程并解答即可。 【解答】解：设花花原来有邮票x枚，可得： x＋37－18＝32 x＋（37－18）＝32 x＋19＝32 x＋19－19＝32－19 x＝13 答：花花原来有邮票13枚。 【点评】理清题意，找出数量关系，正确列式，是解答此题的关键。 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$