江苏省南京市励志高级中学2025年高一寒假自主管理作业数学（一）

南京市励志高级中学寒假自主管理一 数学 （时间:120分钟 满分:150分） 命题人:王永吉 审题人:蒋恒峰 第I卷（选择题） 一、单选题（本大题共 8 小题,每小题 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的.） 1．已知集合，，则（   ） A． B． C． D． 2．若集合，集合，则“”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．若为奇函数，当时，，则（    ） A． B．0 C．1 D． 4．已知是函数的一个零点，则（    ） A． B． C． D． 5．下列计算正确的是（    ） A． B． C． D． 6．已知幂函数满足，则的值为（   ） A．2 B． C． D．-2 7．已知，则、、的大小关系为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数，若为偶函数，且在区间上不单调，则（   ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，有选错的得0分，若只有2个正确选项，每选对一个得3分；若只有3个正确选项，每选对一个得2分．） 9．已知，下列说法正确的是（   ） A． B． C． D． 10．下列结论中，正确的是（    ） A．函数是指数函数 B．函数的单调增区间是 C．若则 D．函数的图象必过定点 11．已知函数，若函数的值域为，则下列的值满足条件的是（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题（本大题共 3小题,每小题 5 分.把答案填在答题卡上的相应位置.） 12．已知正实数、满足，则的最小值为 ． 13．已知，则 . 14．已知函数，若对任意的，总存在，使得成立，则实数a的取值范围为 四、解答题（本题共5小题，共77分．其中第15题13分，第16~17题15分，第18~19题17分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．） 15．已知集合，集合. (1)若，求实数m的取值范围; (2)若，，p是q的充分不必要条件，求实数m的取值范围 16．已知函数. (1)求不等式的解集； (2)若函数的图象经过点，求的最大值. 17．（1）解不等式； （2）已知，求的值； （3）化简：. 18．已知函数. (1)当时，分别求出函数在上的最大值和最小值； (2)求关于的不等式的解集. 19．已知函数的部分图象如图所示. (1)求的解析式； (2)将图象上的所有点向右平移个单位长度，得到函数的图象，求在上的值域. 答案第1页,共2页 试卷第1页,共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 南京市励志高级中学寒假自主管理(数学)一参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B B D C B B A A AB BD 题号 11 答案 ACD 1．B 【分析】根据给定条件，利用并集的定义直接求解. 【详解】集合，，所以. 故选：B 2．B 【分析】根据充分、必要性定义，及推出关系判断条件间的关系. 【详解】由，则必有，但反之不一定成立， 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B 3．D 【分析】根据函数为奇函数可得，即可得解. 【详解】因为为奇函数，当时，， 所以. 故选：D. 4．C 【分析】根据题意，由条件可得函数单调递减，再由零点存在定理即可得到结果. 【详解】根据题意知函数在区间上单调递减， 函数在区间单调递减， 故函数在区间上单调递减， 又因， 又因的图象在上是连续不中断的， 所以根据零点存在定理即可得知存在使得. 故选：C 5．B 【分析】利用根式的运算性质及指数，对数的运算性质即可判断. 【详解】对于A，，故A错误； 对于B，，故B正确； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误. 故选：B. 6．B 【分析】设，代入条件，推出，利用幂的运算性质计算所求式即得. 【详解】依题意设， 由可得：， 则. 故选：B. 7．A 【分析】根据三角函数值的范围结合指数函数和对数函数的单调性可得三者大小关系. 【详解】因为，故，故， 而，， 故， 故选：A 8．A 【分析】根据偶函数的性质可得，进而利用整体法求解函数的单调增区间，根据关于原点对称，即可求解. 【详解】为偶函数， 故，故， 由于，故，则， 令, 解得， 故的一个单调递增区间为， 由于区间关于原点对称，要使在区间上不单调，故， 故选：A 9．AB 【分析】根据条件，利用不等式的性质，对各个选项逐一分析判断，即可求解. 【详解】对于选项A，由，，得，所以选项A正确； 对于选项B，由，得，所以选项B正确； 对于选项C，由，得，所以选项C错误； 对于选项D，由，得，所以选项D错误. 故选：AB. 10．BD 【分析】A选项，根据指数函数的定义判断；B选项，复合型函数的单调性根据同增异减来判断；C选项，要结合函数的单调性判断；D选项，指数函数过定点，令即可求得. 【详解】A选项，由指数函数定义得函数不是指数函数A错； B选项，函数中，，在上递增，在上递减，因此函数的单调增区间是，B正确； C选项，时，由得，C错； D选项，函数中，由得，即函数图象过点，D正确． 故选：BD 11．ACD 【解析】分和分别讨论和的值域，判断是否满足值域的并集为即可. 【详解】若，当时，，， 若函数的值域为，则时，的对称轴， 此时在单调递减，且，满足题意； 所以选项ACD符合题意， 若，当时，， 当时，的对称轴，此时， 不满足值域为，所以不符合题意； 故选：ACD 【点睛】关键点点睛：本题的关键点是熟悉一次和二次函数的图象，讨论和时 以及的单调性，且对于，当时，即可判断时，，可判断时不符合题意. 12．2 【分析】利用基本不等式求出最小值即可. 【详解】正实数、满足，则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为2. 故答案为：2 13．3 【分析】利用同角三角函数之间的基本关系由弦化切计算可得结果. 【详解】将原式分子分母同时除以， 可得. 故答案为：3 14． 【分析】根据给定条件，利用单调性求出在上的最大值，再分类讨论函数在上的最大值，结合不等式建立关系求解. 【详解】函数，函数在上单调递增，函数在上单调递减， 又在上单调递增，因此在上单调递减，， 由对任意的，总存在，使得成立， 得函数在上的最大值小于在上的最大值，即， 当时，，满足，则； 当时，在上单调递增，则，则； 当时，在上单调递减，则，则， 所以实数a的取值范围为. 故答案为：. 15．(1) (2) 【分析】（1）讨论，两种情况，结合交集运算的结果得出实数的取值范围； （2）由p是q成立的充分不必要条件，得出是的真子集，再由包含关系得出实数的取值范围． 【详解】（1）由，得 ①若，即时，，符合题意； ②若，即时，需或，解得． 综上，实数的取值范围为． （2）∵p是q的充分不必要条件， ∴， ∴是的真子集． 则不同时取等号，解得． 实数的取值范围为． 16．(1) (2)(或) 【分析】(1)根据题意求出，解对数不等式即可； (2)代入，计算得出，即，根据对数函数的性质求解最大值. 【详解】（1）由，得， 由，得，即， 所以不等式的解集为. （2）由题意得， 由，得，即， 因为，函数是增函数， 所以，即的最大值为(或). 17．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据对数函数的单调性与定义域求解即可； （2）根据同角三角函数的关系求解即可； （3）根据诱导公式结合同角三角函数的关系求解即可. 【详解】（1）则，解得. （2）. （3） . 18．(1)最大值为，最小值为； (2)答案见解析. 【分析】（1）根据二次函数的图象及性质确定区间上的最大值和最小值即可； （2）分类讨论求含参一元二次不等式解集. 【详解】（1）由题设，开口向上且对称轴为， 结合二次函数的图象，在上最大值为，最小值为. （2）由题意， 当时，解集为； 当时，解集为； 当时，解集为. 19．(1) (2) 【分析】（1）根据图象由最值分别求得，再利用周期性和对称性即可得结果； （2）由平移规则可得，再根据正弦函数的性质即可得出其值域. 【详解】（1）由，根据图象可知，解得； 设函数的最小正周期为，由图可知，又， 即可得，解得， 代入，可得， 即，又，所以， 因此. （2）由题意可得， 因为，所以. 当，即时，取得最大值； 当，即时，取得最小值. 故在上的值域为. 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$