第四单元 长方体（二） 知识归纳与题型突破（知识清单）-2024-2025学年五年级数学下册单元速记·巧练（北师大版）

第四章 长方体（二） 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、体积与容积的意义 1.物体所占空间的大小，是物体的体积。 2.容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 二、认识常见的体积单位和容积单位识 1.常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别用字母表示为cm3、dm3和m3。 2.常用的容积单位有升和毫升，分别用字母L和mL表示。 三、长方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a×a×a或V= a3。 3.长方体(正方体)的体积=底面积×高，V=Sh。 四、体积、容积单位之间的换算 1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。 2.1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³，1L=1000mL。 五、测量不规则物体的体积 在测量不规则物体的体积时，水面升高部分水的体积（或水满杯时溢出的水的体积）等于不规则物体的体积。 03 题型归纳 题型一　体积、容积及其单位 例1．（2021秋•襄汾县期末）同学们，你们都听过《乌鸦喝水》的故事吧！刚开始乌鸦喝不到水，后来聪明的乌鸦往瓶里投入一些石子，就喝到水了。你知道乌鸦为什么能喝到水吗？ 巩固训练 1．淘气和笑笑各自有同样的一瓶矿泉水，淘气用自己的杯子正好可以倒满3杯，笑笑用自己的杯子正好可以倒满4杯，　 　的杯子大。 2．（2024秋•大同月考）把下面3个量杯里的液体合起来与1升相比，在下面答案下面的括号里画“√”。 3．（2024秋•甘州区月考）下图中大圆球所占的容量是多少毫升？ 题型二　长方体和正方体的体积 例2．（2024秋•洪泽区期中）一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积？ 巩固训练 1．（2024秋•洪泽区期中）求木料的体积：木料长3米，横截面为边长4分米的正方形。 2．（2024秋•洪泽区期中）如图是一个长方体的空心管，掏空部分的长方体的长为12厘米，宽为7厘米。这个空心管的体积是多少立方厘米？ 3．（2024秋•洪泽区期中）有一个长为40厘米、宽为40厘米、高为45厘米的长方体容器，里面装有深18厘米的水，现将一个横截面是边长10厘米的正方形，长为24厘米的铁块放入水中． （1）如果横放在水中，水面将升高多少厘米？ （2）如果竖直放入水中，水面将升高多少厘米？ 题型三　体积、容积进率及单位换算和测量方法 例3．（2024秋•隰县期中）笑笑为了测量一个土豆的体积，设计了下面的实验步骤，但顺序打乱了。 ①列式计算土豆的体积。 ②找到一个长方体无盖塑料罐，测得底面积为48平方厘米，高30厘米。 ③将土豆浸没，量出水面高度为22厘米。 ④倒入合适的水，量出水面高度是15厘米。 （1）实验步骤的正确顺序应该是：　 　→　 　→　 　→　 　。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 巩固训练 1．（2024春•交城县期中）　 　dm3＝125cm3＝L（填最简分数）。 2．（2023春•老河口市期中）700dm2＝　 　m2；53mL＝L；48L＝　 　dm3＝　 　mL。 3．（2024秋•盐都区期中）一个长方体容器，底面是一个边长为40厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长10厘米的长方体铁块．这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提，提起多少厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米？ 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第四章 长方体（二） 知识归纳与题型突破 01 思维导图 02 知识速记 一、体积与容积的意义 1.物体所占空间的大小，是物体的体积。 2.容器所能容纳物体的体积，是容器的容积。 二、认识常见的体积单位和容积单位识 1.常见的体积单位有立方厘米、立方分米、立方米，分别用字母表示为cm3、dm3和m3。 2.常用的容积单位有升和毫升，分别用字母L和mL表示。 三、长方体的体积 1.长方体的体积=长×宽×高，V=abh。 2.正方体的体积=棱长×棱长×棱长，V=a×a×a或V= a3。 3.长方体(正方体)的体积=底面积×高，V=Sh。 四、体积、容积单位之间的换算 1.相邻两个体积单位之间的进率是1000。 2.1m³=1000dm³，1dm³=1000cm³，1L=1000mL。 五、测量不规则物体的体积 在测量不规则物体的体积时，水面升高部分水的体积（或水满杯时溢出的水的体积）等于不规则物体的体积。 03 题型归纳 题型一　体积、容积及其单位 例1．（2021秋•襄汾县期末）同学们，你们都听过《乌鸦喝水》的故事吧！刚开始乌鸦喝不到水，后来聪明的乌鸦往瓶里投入一些石子，就喝到水了。你知道乌鸦为什么能喝到水吗？ 【分析】本题根据体积的有关知识：由于瓶的容积与水的体积是一定的，当瓶中投入小石子时，占用了瓶的容积而使水面上升，从而使乌鸦喝到水。 【解答】解：原来瓶中水的体积较小，乌鸦喝不到水，当乌鸦将小石子不断的投入瓶中，由于石头密度大，会下沉，而石头有体积，沉到底部，相当于增加水的体积，水的体积增大，而瓶子的容积不变，故水面上升，水上升到一定的位置时，乌鸦就喝到水了。 【点评】本题考查了学生运用数学中体积的有关知识解决和解释生活中有简单事物体积变化的现象。 巩固训练 1．淘气和笑笑各自有同样的一瓶矿泉水，淘气用自己的杯子正好可以倒满3杯，笑笑用自己的杯子正好可以倒满4杯，　 　的杯子大。 【分析】同样的一瓶矿泉水，倒满某型号杯子的数量越多，说明该型号杯子的容量越小。 【解答】解：淘气的杯子只倒满了3杯，笑笑的杯子正好倒满4杯。 因为4＞3， 所以淘气用的杯子大。 故答案为：淘气。 【点评】本题是一道有关体积与容积的题目。 2．（2024秋•大同月考）把下面3个量杯里的液体合起来与1升相比，在下面答案下面的括号里画“√”。 【分析】根据1升＝1000毫升，将三个量杯中液体的体积相加，再与1升进行比较，即可解答。 【解答】解：200+450+350＝1000（毫升） 1000毫升＝1升 【点评】本题考查容积单位的换算。 3．（2024秋•甘州区月考）下图中大圆球所占的容量是多少毫升？ 【分析】观察图示可知，1大球+1小球＝12毫升，1大球+4小球＝24毫升，先求出1小球有多少毫升，据此解答即可． 【解答】解：因为1大球+1小球＝12毫升 1大球+4小球＝24毫升 所以3小球＝12毫升 1小球：12÷3＝4（毫升） 1大球：12﹣4＝8（毫升） 答：图中大圆球所占的容量是8毫升． 【点评】本题主要考查了整数除法的意义的理解和灵活运用情况，解答本题的关键是求出1小球有多少毫升． 题型二　长方体和正方体的体积 例2．（2024秋•洪泽区期中）一个长方体，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，剩下部分成为一个正方体，求原长方体的体积？ 【分析】根据题意，高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，又知剩下部分成为一个正方体，说明原来长方体的长和宽相等，由此可知，减少的4个侧面是完全相同的长方形，用减少的面积除以4求出减少的一个面的面积，面积除以宽（2厘米），即可求出原来长方体的长和宽，然后根据长方体的体积公式解答． 【解答】解：原来长方体的长和宽是： 48÷4÷2＝12÷2＝6（厘米）； 原来长方体的高是： 6+2＝8（厘米）； 原来长方体的体积是： 6×6×8＝288（立方厘米）； 答：原来长方体的体积是288立方厘米． 【点评】此题解答关键是理解高截去2厘米，表面积就减少了48平方厘米，表面积减少的只是4个侧面的面积，底面积不变，进而求出长方体的长、宽、高，再根据体积公式解答即可． 巩固训练 1．（2024秋•洪泽区期中）求木料的体积：木料长3米，横截面为边长4分米的正方形。 【分析】根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】解：3米＝30分米 4×4×30 ＝16×30 ＝480（立方分米） 答：这根长方体木料的体积是480立方分米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 2．（2024秋•洪泽区期中）如图是一个长方体的空心管，掏空部分的长方体的长为12厘米，宽为7厘米。这个空心管的体积是多少立方厘米？ 【分析】根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式求出大小两个长方体的体积差即可。 【解答】解：18×15×40﹣12×7×40 ＝270×40﹣84×40 ＝10800﹣3360 ＝7440（立方厘米） 答：这个空心管的体积是7440立方厘米。 【点评】此题主要考查长方体体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 3．（2024秋•洪泽区期中）有一个长为40厘米、宽为40厘米、高为45厘米的长方体容器，里面装有深18厘米的水，现将一个横截面是边长10厘米的正方形，长为24厘米的铁块放入水中． （1）如果横放在水中，水面将升高多少厘米？ （2）如果竖直放入水中，水面将升高多少厘米？ 【分析】（1）如果横放在水中，水面上升部分水的体积＝铁块的体积，所以根据长方体的体积，得到水面上升的高度＝铁块体积÷长方体容器的底面积（长×宽），即可得解； （2）因为升高的水的体积就是没入水中铁块的体积，所以可以设水面升高为x厘米，那么没入水中的铁块长度是（18+x）厘米，根据体积相等列式解答即可． 【解答】解：（1）10×10×24÷（40×40） ＝2400÷1600 ＝1.5（厘米） 答：水面将升高1.5厘米． （2）解：设如果竖直放入水中，水面将升高x厘米． 40×40×x＝10×10×（18+x） 1600x＝1800+100x x＝1.2 答：如果竖直放入水中，水面将升高1.2厘米． 【点评】本题解决的关键是理解上升水的体积就是没入水中铁块的体积，关键弄清第一问铁块全部没入水中，第二问铁块没有全部没入水中． 题型三　体积、容积进率及单位换算和测量方法 例3．（2024秋•隰县期中）笑笑为了测量一个土豆的体积，设计了下面的实验步骤，但顺序打乱了。 ①列式计算土豆的体积。 ②找到一个长方体无盖塑料罐，测得底面积为48平方厘米，高30厘米。 ③将土豆浸没，量出水面高度为22厘米。 ④倒入合适的水，量出水面高度是15厘米。 （1）实验步骤的正确顺序应该是：　 　→　 　→　 　→　 　。（填序号） （2）这个土豆的体积是多少立方厘米？ 【分析】（1）根据不规则物体体积的测量方法，实验步骤的正确顺序应该是：②，④，③，①。 （2）先求出放入土豆后水面上升的高，再根据长方体的体积公式：V＝Sh，把数据代入公式解答。 【解答】解：（1）实验步骤的正确顺序应该是：②，④，③，①。 （2）48×（22﹣15） ＝48×7 ＝336（立方厘米） 答：这个土豆的体积是336立方厘米。 故答案为：②，④，③，①。 【点评】此题考查的目的是理解掌握不规则物体体积的测量方法及应用，长方体的体积公式及应用。 巩固训练 1．（2024春•交城县期中）　 　dm3＝125cm3＝L（填最简分数）。 【分析】高级单位换低级单位乘进率，低级单位换高级单位除以进率，根据1dm3＝1000 cm3，1dm3＝1L，据此进行计算即可。 【解答】解：因为125÷1000＝0.125，所以125cm3＝0.125dm3 0.125 dm3＝L 即0.125dm3＝125cm3＝L（填最简分数） 故答案为：0.125；。 【点评】熟练掌握各单位的换算，是解答此题的关键。 2．（2023春•老河口市期中）700dm2＝　 　m2；53mL＝L；48L＝　 　dm3＝　 　mL。 【分析】根据1m2＝100dm2，1L＝1000mL，1L＝1dm3，单位大变小乘进率，单位小变大除以进率，进行换算即可。 【解答】解：700dm2＝7m2 53mL＝L 48L＝48dm3＝48000mL 故答案为：7；；48；48000。 【点评】此题考查名数的换算，把高级单位的名数换算成低级单位的名数，就乘单位间的进率；把低级单位的名数换算成高级单位的名数，就除以单位间的进率。 3．（2024秋•盐都区期中）一个长方体容器，底面是一个边长为40厘米的正方形，容器里直立着一个高1米，底面边长10厘米的长方体铁块．这时容器里的水深为0.5米．现在把铁块轻轻地向上提，提起多少厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米？ 【分析】如图，设提h厘米，则由水的体积和浸入水的铁块体积均不变可知，左图中水和浸入水的铁块的总体积等于右图中水和浸入水的铁块的体积加上露出水面铁块浸湿部分的体积，即：40×40×（18+h）+10×10×32＝40×40×50，解此方程即可． 【解答】解：设提h厘米，则由水的体积和浸入水的铁块体积均不变可得：40×40×（18+h）+10×10×32＝40×40×50 28800+1600h+3200＝80000 1600h＝48000 h＝30 答：提起30厘米时，露出水面的铁块上被水浸湿的部分长32厘米． 【点评】解决此题要明确原来水和浸入水的铁块的总体积等于后来水和浸入水的铁块的体积加上露出水面铁块浸湿部分的体积． 学科网（北京）股份有限公司 $$