第七章 相交线与平行线（单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第七章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 2．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 5．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 6．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 7．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 8．如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 9．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D． 10．如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q． 若恰好平分，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．利用如图的工具可以测得的大小是 °． 12．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 13．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 14．如图，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ． 15．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 16．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在上，，．小明将从图中位置开始，绕点A按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 18．如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，且，求的度数． 19．如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 20．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，，则线段与之间的关系是________； (3)点到直线的距离是_______个单位长度． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 22．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数． 23．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 25．如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（单元重点综合测试） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1．下列各图中，与是对顶角的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】对顶角的定义 【分析】本题主要考查了对顶角的识别，理解并掌握对顶角的定义是解题关键．如果一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，且这两个角有公共顶点，那么这两个角是对顶角．根据对顶角的定义逐项分析判断即可． 【详解】解：A. 不是对顶角，本选项不符合题意； B. 是对顶角，本选项符合题意； C. 不是对顶角，本选项不符合题意； D. 不是对顶角，本选项不符合题意． 故选：B． 2．下列各组图案中，属于平移变换的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】生活中的平移现象 【分析】本题考查图形的平移变换，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小，运动前后形状与大小没有改变，并且对应线段平行且相等的图形即为平移得到的图案学生易混淆图形的平移与旋转或翻转，以致选错． 【详解】解：由于平移只改变位置，不改变方向，大小和形状，故四个选项中，只有D选项符合题意， 故选：D． 3．下列命题的逆命题是真命题的是（   ） A．如果两个角是直角，那么它们相等 B．若，则 C．两直线平行，内错角相等 D．对顶角相等 【答案】C 【知识点】判断命题真假、对顶角相等、两直线平行内错角相等、写出命题的逆命题 【分析】本题考查了判断命题的真假，分别写出各命题的逆命题，再判断真假即可 【详解】解：如果两个角是直角，那么它们相等的逆命题为：如果两个角相等，那么它们是直角，该命题为假命题，不符合题意； 若，则的逆命题为：若，则；，但，该命题为假命题，不符合题意； 两直线平行，内错角相等的逆命题为：内错角相等，两直线平行；该命题为真命题，符合题意； 对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，该命题为假命题，不符合题意； 故选：C 4．如图，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】两直线平行同旁内角互补、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，根据垂线的定义得到，进而求出，再根据两直线平行，同旁内角互补即可解答． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：C． 5．如图，下列结论正确的是（　　） A．与是对顶角 B．与是同位角 C．与是同旁内角 D．与是同旁内角 【答案】D 【知识点】对顶角的定义、同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了对顶角的定义，相交线及其所成的角等知识点，熟练掌握相关定义是解题的关键：对顶角：有一个公共顶点，且一个角的两条边分别是另一个角的两条边的反向延长线，那么这两个角就叫做对顶角；同位角：两个角都在截线的同旁，又分别处在被截的两条直线同侧的位置的角；内错角：两个角在截线的异侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为内错角； 同旁内角：两个角都在截线的同一侧，且在两条被截线之间，具有这样位置关系的一对角互为同旁内角． 根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断即可． 【详解】解：根据对顶角、同位角、同旁内角的定义进行判断， A. 与是对顶角，该结论错误，故选项不符合题意； B. 与是同位角，该结论错误，故选项不符合题意； C. 与没有处在两条被截线之间，该结论错误，故选项不符合题意； D. 与是同旁内角，该结论正确，故选项符合题意； 故选：． 6．下列说法中：①如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行；②直线外一点到这条直线的垂线段叫做点到直线的距离；③过一点有且只有一条直线平行于已知直线；④过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；其中正确的个数有（   ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【知识点】点到直线的距离、平行公理的应用、垂线的定义理解、平行公理推论的应用 【分析】本题考查平行公理及其推论，点到直线的距离的定义，垂直的性质，熟练掌握这些性质和定义是解题的关键．分别利用平行公理推论、点到直线的距离的定义、垂直的性质、平行公理判断即可． 【详解】解：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行，故①正确； 直线外一点到这条直线的垂线段的长度叫做点到直线的距离，故②不正确； 过直线外一点，有且只有一条直线平行于已知直线，故③不正确； 在同一平面内，过一点有且只有一条直线垂直于已知直线，故④不正确； 所以正确的有①，共个． 故选：A． 7．如图，三角形中，，于点，若，，，则点到直线的距离是（   ） A． B．3 C．4 D．5 【答案】A 【知识点】点到直线的距离 【分析】本题主要考查了点到直线的距离的定义，点到直线的距离∶直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离， 根据定义可知点C到直线的距离即垂线段的长即可解答． 【详解】解：∵，， ∴点C到直线的距离是， 故选A． 8．如图，直线、被直线所截，平分交于点．下列条件中，不能判定的是（） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定及角平分线的定义，解题时注意：平行线的判定是由角的数量关系判断两直线的位置关系．根据平行线的判定及角平分线的定义进行判断即可． 【详解】解：A．根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； B．∵平分交于点． ， ∵， ， 根据内错角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； C．∵，， ∴， 根据同位角相等，两直线平行，由可得，故本选项不符合题意； D．不能得出，故本选项符合题意． 故选：D． 9．如图，在锐角中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点A，B，C的对应点分别是点），连接，若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则不可能的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题主要考查了平移的性质，平行线的性质与判定，分如图，当点在上时，当点在延长线上时，两种情况种又分当时，当时，过点作，证明，得到，再通过角之间的关系建立方程求解即可． 【详解】解：第一种情况：如图，当点在上时，过点作，    ∵由平移得到， ， ∵，， ， ， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 第二种情况：当点在延长线上时，过点作，    同理可得， 当时， 设，则， ∴， ， ， 解得：， ； 由于，则这种情况不存在； 综上所述，的度数可以为18度或36度或108度， 故选：C． 10．如图，，以射线为边作，其另一边与直线相交于点E，作直线交射线于点F，过点F作，连接，过点E作于点Q． 若恰好平分，且，则下列结论： ①； ②； ③平分； ④平分． 其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，直角三角形的性质，能够作出辅助线是解题的关键．延长，交于G，过点P作，构造出直角三角形，再结合平行线的性质，即可推出①②正确，借助平行线的性质推得，即可判断③④不一定正确． 【详解】解：延长，交于G．过点P作，如图所示： ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∴，故②正确； ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴不一定平分，不一定平分，故③④不一定正确． 综上分析可知，正确的有2个， 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11．利用如图的工具可以测得的大小是 °． 【答案】30 【知识点】对顶角相等 【分析】本题考查对顶角相等，熟练掌握对顶角的性质是解题的关键． 利用对顶角相等，求解即可． 【详解】解：根据对顶角相等可得， 故答案为：30． 12．把命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式： ． 【答案】如果两个角相等，那么这两个角的补角相等 【知识点】写出命题的题设与结论 【分析】本题考查了命题的改写，理解命题的构成成为解题的关键． 根据命题的条件与结论即可改写即可． 【详解】解：命题“等角的补角相等”改写成“如果……，那么……”的形式为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 故答案为：如果两个角相等，那么这两个角的补角相等． 13．如图，欲在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，可在图中画出垂直，垂足为P，然后沿铺设，则能使铺设的管道长最短，这种设计的依据是： ． 【答案】垂线段最短 【知识点】垂线段最短 【分析】本题考查点到直线距离的知识，根据两点之间垂线段最短即可得出答案． 【详解】解：解：已知在河岸上某处P点修建一水泵站，将水引到村庄C处，又知直线外一点到该直线的最短距离是其垂线段，这种设计的依据是：垂线段最短， 故答案为：垂线段最短 14．如图，，点O在直线a上，且，则a与b的位置关系是 ． 【答案】 【知识点】同位角相等两直线平行 【详解】， ． ， ． ， ， ． 15．如图，在中，，将沿的方向平移2个单位后，得到，连接，则的面积为 ． 【答案】6 【知识点】利用平移的性质求解 【分析】本题考查平移的基本性质：①平移不改变图形的形状和大小；②经过平移，对应点所连的线段平行且相等，对应线段平行且相等，对应角相等．熟练掌握平移的基本性质是解题的关键．根据平移的性质，可得答案． 【详解】解：∵，将沿射线的方向平移2个单位， ∴， ∴，的高的高的高， ∴， 故答案为：6． 16．在一次课外活动中，小明将一副直角三角板如图放置，E在上，，．小明将从图中位置开始，绕点A按每秒的速度顺时针旋转一周，在旋转过程中，第 秒时，边与边平行． 【答案】5或17 【知识点】根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定和性质．分两种情况：①在上方；②在下方，画出相应的图形，利用平行线的性质即可求得答案． 【详解】解：①当在上方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴旋转时间为：（秒）； ②当在下方， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴旋转角度为：， ∴旋转时间为：（秒）， 综上所述：在旋转过程中，第5或17秒时，边与边平行， 故答案为：5或17． 三、（本大题共4小题，每小题6分，共24分） 17．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【知识点】同位角相等两直线平行、内错角相等两直线平行、利用邻补角互补求角度 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 18．如图，直线，相交于点O，把分成两部分． (1)直接写出图中的对顶角为______，的邻补角为______； (2)若，且，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【知识点】对顶角相等、利用邻补角互补求角度、几何图形中角度计算问题 【分析】本题主要考查了对顶角、邻补角的定义等知识点，掌握对顶角相等的性质和互为邻补角的两个角的和等于求解即可． （1）直接利用对顶角、邻补角的定义解答即可； （2）根据对顶角相等求出的度数，再根据可求得,然后根据角的和差即可解答． 【详解】（1）解：的对顶角为，的邻补角为； 故答案为：，． （2）解：∵， ∴, ∵， ∴, ∴． 19．如图，于点B，于点F，，试说明．请补充完整下面的说理过程： 解：，理由如下：因为， 所以（ ① ） 所以， 所以（ ② ） 所以（ ③ ） 又因为（已知）所以 ④ （等量代换） 所以（ ⑤ ） 【答案】垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行 【知识点】垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂直的意义，平行线的判定和性质，解决本题的关键是正确理解题意，熟练掌握平行线的判定方法．根据垂直的定义，平行线的判定方法判断出，再利用平行线的性质找到相等的角，最后等量代换利用平行线的判定方法证明即可． 【详解】解：，理由如下：因为， 所以（垂直定义） 所以， 所以（同旁内角互补，两直线平行） 所以（两直线平行，同位角相等） 又因为（已知） 所以（等量代换） 所以（内错角相等，两直线平行） 故答案为：垂直定义；同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，同位角相等；；内错角相等，两直线平行． 20．在正方形网格中，每个小正方形的边长均为个单位长度，三角形的三个顶点的位置如图所示．现将三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点． (1)请画出平移后的三角形； (2)连接，，则线段与之间的关系是________； (3)点到直线的距离是_______个单位长度． 【答案】(1)见解析 (2)， (3) 【知识点】平移(作图)、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了作图——平移变换，平移的性质，解题的关键是数形结合． （1）利用点和点的位置确定平移的方向与距离，再画出，、对应点、即可； （2）根据平移的性质即可求解； （3）结合图形即可求解． 【详解】（1）解：如图，三角形即为所求； （2）三角形平移，使点与点重合，点，分别是，的对应点， ，， 故答案为：，； （3）根由图可知，点到直线的距离是个单位长度， 故答案为：． 四、（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 21．如图，将中的边沿着方向平移到，交于点，连接，． (1)若，，求的大小；； (2)若，，，边在平移的过程中，点始终在边上（不与点，点重合），求与周长的和． 【答案】(1) (2) 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平移的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）利用三角形的外角的性质求解； （2）利用平移的性质，证明与周长的和． 【详解】（1）解：边沿着方向平移到， ， ， ， ； （2）由平移可得，， 与周长的和． 22．如图是一种躺椅及其结构示意图，扶手与底座都平行于地面，前支架与后支架分别与交于点和点，与交于点，． (1)求证：； (2)若平分，，求：扶手与靠背的夹角的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质的运用，角平分线的定义，平行公理推论，掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （）结合题意，根据对顶角相等推出，根据“同位角相等，两直线平行”即可得解； （）根据平行线的性质及角平分线定义求解即可； 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵与底座都平行于地面， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 23．如图，已知，． (1)求证：； (2)若，的角平分线与的角平分线交于点F，与交于点M，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的性质探究角的关系以及平行线的性质与判定的综合，正确作出辅助线是解题的关键． （1）先由平行线的性质，得出，再进行角的等量代换，得，即可作答． （2）过点F作直线，得，结合角平分线的定义，得，，再通过角的差运算，即可作答． 【详解】（1）解：如图： ∵ ∴ ∵ ∴ ∴； （2）解：如图：过点F作直线， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 五、（本大题共2小题，每小题12分，共24分） 24．综合与实践 如图1，在三角形中，，点是上一点，将线段沿方向平移，点的对应点是，点的对应点正好落在上． (1)如图1，与的数量关系是：________． (2)如图2，当点在的延长线上时，将线段沿方向平移，点的对应点正好落在的延长线上． ①求证：平分； ②试探究与，的等量关系，并说明理由．（用平行线的知识解答） 【答案】(1) (2)①详见解析；②，理由见解析 【知识点】三角形的外角的定义及性质、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算、利用平移的性质求解 【分析】本题考查了平移的性质，平行线的性质，三角形的外角性质等知识，解题的关键是掌握平移的性质． （1）根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可求解； （2）①根据平移可得：，，进而得到，，结合，即可证明；②由，可得，再根据三角形的外角性质和对顶角即可求解． 【详解】（1）解：根据平移可得：，， ，， ， ， 故答案为：； （2）①根据平移可得：，， ，， ， ， 平分； ②， ， ， ， ． 25．如图，，直线与，分别相交于点G，H，（）．小安将一个含角的直角三角尺按如图1所示的方式放置，使点N，M分别在直线，上，且在点G，H的右侧，． (1) ____（填“”“ ”或“=”）． (2)如图2，的平分线交直线于点O． ①当时，求α的度数． ②小安将三角尺保持并向左平移，在平移的过程中求的度数（用含α的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①；②或 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算 【分析】（1）过点P作，交于点Q，利用平行线的判定和性质，解答即可． （2）①利用平行线的性质，角的平分线的定义，等量代换思想解答即可． ②根据平移性质，平行线的性质，分类思想解答即可． 本题考查了平行线的判定和性质，角的平分线的定义，三角板的应用，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 【详解】（1）解：如答图1，过点P作，交于点Q， 则. 答图1 ∵， ∴， ∴， ∴. 故答案为：=. （2）解：①∵， ∴ 又∵的平分线交直线于点O． ∴ 又∵， ∴. 又∵， ∴. ②当点N在点G的右侧时． ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴. 又∵平分， ∴ 又∵， ∴； 当点N在点G的左侧时，如答图2. 答图2 ∵， ∴， ∴. 又∵， ∴ 又∵平分， ∴， ∴. 综上所述，的度数为或. / 学科网（北京）股份有限公司 $$