第七章 相交线与平行线（4大易错+5大压轴）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024）

第七章 相交线与平行线 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 1 易错题型二　平行线的判定和性质多结论题 3 易错题型三　旋转使两直线平行的多解题 8 易错题型四　角的边平行的多解问题 15 【压轴题型】 17 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 17 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 23 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 29 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 37 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 43 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 2．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·广东·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 易错题型二　平行线的判定和性质多结论题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，平分，下列结论：①；② ；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 易错题型三　旋转使两直线平行的多解题 例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 易错题型四　角的边平行的多解问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画（为锐角），使的两边分别与的两边平行；再在图②中，以P为顶点画（为钝角），使的两边分别与的两边平行． （2）量一量：量出与的度数，它们之间的数量关系是_______． （3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______． （4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为，求另一个角的大小． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，于点D，于点F，，． (1)求的度数． (2)求证：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，、是、上的两点，．    (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 2．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，交于点，点在的左侧，且满足，． (1)求证：； (2)若平分，于点，，求的度数． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形中，D、E、F分别是、、上的点，且． (1)若，试判断与是否垂直，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 巩固训练 1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，点H在内部，．若，求n的值； (3)如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点C，D重合，且点E在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． / 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线 01 思维导图 目录 【易错题型】 1 易错题型一　对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 1 易错题型二　平行线的判定和性质多结论题 3 易错题型三　旋转使两直线平行的多解题 8 易错题型四　角的边平行的多解问题 15 【压轴题型】 17 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 17 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 23 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 29 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 37 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 43 【易错题型】02 易错题型 易错题型一　对同位角、内错角、同旁内角辨别不清 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，下列结论正确的是（   ） A．与互为内错角 B．与互为内错角 C．与互为同旁内角 D．与互为同位角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题考查了同位角，内错角，同旁内角和邻补角，根据同位角，内错角，同旁内角和邻补角的概念判断即可． 【详解】解：A、和是同位角，故A不符合题意； B、与不是内错角，故B不符合题意； C、与不是同旁内角，故C不符合题意； D、与互为同位角，故D符合题意； 故选：D． 巩固训练 1．（2024七年级上·全国·专题练习）下列说法不正确的是（　　） A．和是同旁内角 B．和是内错角 C．和是同位角 D．和是同旁内角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】本题主要考查了同位角，内错角，同旁内角的定义，熟练掌握同位角，内错角，同旁内角的定义是解题的关键．根据同位角，内错角，同旁内角的定义逐一判断即可． 【详解】解：A. 和是同旁内角，说法正确，选项不符合题意； B. 和是内错角，说法正确，选项不符合题意； C. 和是同位角，说法正确，选项不符合题意； D. 和互为补角，说法错误，选项符合题意； 故选：D． 2．（23-24七年级下·吉林通化·阶段练习）如图，的同位角是（     ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】同位角、内错角、同旁内角 【分析】根据同位角定义：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角进行分析即可． 本题考查了同位角的定义，正确理解定义是解题的关键． 【详解】根据题意，得 A. ，对顶角，不符合题意；     B. ，是同旁内角，不符合题意；     C. 是同位角，符合题意；     D. 是内错角，不符合题意， 故选C． 3．（23-24七年级下·广东·期末）如图，下列说法错误的是（   ） A．与是同旁内角 B．与是同位角 C．与是内错角 D．与是对顶角 【答案】D 【知识点】同位角、内错角、同旁内角、对顶角的定义 【分析】本题考查的知识点是同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义，解题关键是熟练掌握同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义．根据同旁内角、同位角、内错角、对顶角的定义对选项进行逐一判断即可求解． 【详解】解：．与是同旁内角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与是同位角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与是内错角，说法正确，不符合题意，选项错误； ．与不是对顶角，是邻补角，说法错误，符合题意，选项正确． 故选：． 易错题型二　平行线的判定和性质多结论题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，，垂足为，、分别是和的平分线，则下列五种说法：①；②；③；④；⑤．其中一定正确的个数为（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、垂线的定义理解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂线的定义，角平分线的定义，平行线的判定及性质，熟练掌握各个性质是关键． 根据已知条件及角平分线性质、平行线的判定及性质逐项判断即可． 【详解】， ，故①正确； 平分，， ． 又， ∴， ，故②正确； ， ，故④正确； 、分别平分、，， ， ∴，即，故③正确； 无法证明，故无法证明，故⑤错误 故正确的个数为4个． 故选C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东江门·期中）如图，，F为上一点，，且平分，过点F作于点G，且，则下列结论：①；②；③平分；④平分．其中正确结论的个数是（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了角平分线的性质和平行线的性质，二者有机结合，难度较大，需要作出辅助线，对能力要求较高．根据角平分线的性质和平行线的性质解答．延长，交于I，构造出直角三角形，利用直角三角形两锐角互余解答． 【详解】解：，交于I． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴①正确；②2正确， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 可见，的值未必为，未必为，只要和为即可， ∴③平分，④平分不一定正确． 故选：B． 2．（24-25八年级上·内蒙古巴彦淖尔·开学考试）如图，在三角形中，已知，，．对于下列五个结论：①；②；③；④；⑤与互补．其中正确的有（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】与余角、补角有关的计算、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，互余的概念，解决本题的关键是准确区分平行线的判定与性质，并熟练运用．根据平行线的判定与性质即可进行逐一判断． 【详解】解：①， ； 故①正确； ②， ， ， ， ； 故②正确； ③， ； 故③正确； ④， ， ， ； 故④正确； ⑤． ， 与互余． 故⑤错误． 其中正确的有①②③④4个． 故选：C． 3．（23-24七年级下·浙江杭州·阶段练习）如图，，平分，下列结论：①；② ；③；④；⑤若，则．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】C 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查了平行线的性质以及角平分线的定义的运用，解题的关键是注意：两直线平行，内错角相等． 由，可得，根据，可得，再根据平行线的性质以及角的和差关系进行计算，即可得出正确结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，故①正确； ∴，， ∴， 又∵平分， ∴，故②正确； ∵与不一定相等， ∴不一定成立，故③错误： ∵，，，， ∴ ∵， ∴°，即，故④正确； ∵， ∴为定值，故⑤正确． 综上所述，正确的选项①②④⑤共4个， 故选：C． 易错题型三　旋转使两直线平行的多解题 例题：（24-25八年级上·全国·期中）如图，将一副直角三角尺的其中两个顶点重合叠放，其中含角的三角尺固定不动，将含角的三角尺绕顶点顺时针转动(转动角度小于)，当与三角尺的其中一条边所在的直线互相平行时，的度数是（　　） A．或或 B．或或 C．或或 D．或或 【答案】C 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质、三角板中角度的计算，分三种情况：当时；当时；当时；分别求解即可得解，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵是含有角的三角板， ∴，，， ∵是含有的三角板， ∴，， ∵在旋转的过程中(转动角度小于)，与的一边平行， ∴有以下三种情况： 如图，当时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴为的平分线，即， ∴； 如图，当时， ∵， ∴， 如图，当时， ∵， ∴， ∴； 故选：C． 巩固训练 1．（23-24七年级下·全国·单元测试）将斜边上的高不相等的两块直角三角尺按如图方式摆放，，，，． （1）若，则的度数为 ； （2）若将三角形绕点转动，使得两个直角三角形的斜边平行，则的度数为 ． 【答案】 或/或 【知识点】三角板中角度计算问题、垂线的定义理解、平行公理推论的应用、根据平行线判定与性质求角度 【分析】（）设交于点，由，则，证明，然后根据平行线的性质即可求解； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，当三角形在线段右侧时进行分析即可； 本题考查了平行线的判定与性质，平行公理推论，垂直的定义，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】（）如图，设交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：； （）根据题意，分两种情况：当三角形在线段左侧时，如图①，过点作， ∵， ∴， ∴ ∴， ∵， ∴； 当三角形在线段右侧时，如图②，过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， 综上所述，的度数为或， 故答案为：或． 2．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）如图，，点，分别是，上的一点，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，射线绕点顺时针旋转，速度为每秒度，旋转至与重合便立即回转，当射线旋转至与重合时，与都停止转动．若射线先转动秒，射线才开始转动，则射线转动 秒后，与平行． 【答案】30或110 【知识点】几何问题(一元一次方程的应用)、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的性质，一元一次方程的应用．设射线转动t秒，两射线互相平行，分两种情况进行讨论：分两种情况讨论，当和时，根据平行线的性质得出方程，解方程即可求解． 【详解】解：设转动后与交于点M，转动后与交于点N， 当时，如图1， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得； ②当时，如图2， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 解得， 综上所述，射线转动30或110秒，两射线互相平行； 故答案为：30或110． 3．（23-24七年级下·辽宁沈阳·开学考试）将一副三角板中的两块直角三角尺按如图方式放置（其中），固定三角尺，将三角尺以每秒的速度绕点B按逆时针方向旋转停止．在这个过程中，当运动时间为 秒时，三角尺的一边与三角尺的某一边平行（不共线）． 【答案】0.5或1.5或3.5或4.5或5 【知识点】三角板中角度计算问题、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查平行线的性质，分5种情况进行讨论求解即可． 【详解】解：①当时，如图， 则：， ∴， ∴； ②当时，此时， ∴， ∴； ③当时，， ∴， ∴， ∴， ∴； ④当时，则：， ∴； ⑤当时，则：， ∴； 综上：0.5或1.5或3.5或4.5或5； 故答案为：0.5或1.5或3.5或4.5或5． 易错题型四　角的边平行的多解问题 例题：（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）如果两个角的两边分别平行，其中一个角α比另一个角的4倍少30度，则角α的度数为 ． 【答案】10度或138度 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】此题考查了平行线的性质，解题的关键是注意由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，注意分类讨论思想的应用． 由两个角的两边分别平行，可得这两个角相等或互补，可设另一个角的度数为，由其中一个角α比另一个角的4倍少30度，分别从这两个角相等或互补去分析，即可列方程，解方程即可求得这两个角的度数． 【详解】解：∵两个角的两边分别平行，如图1， ∵，， ∴，， ∴， 如图2，∵，， ∴，， ∴， ∴这两个角相等或互补，设另一个角的度数为 ∵其中一个角α比另一个角的4倍少30度， ∴ ①若这两个角相等，则， 解得：， ∴； ②若这两个角互补，则， 解得：， ∴ 综上，角α的度数为10度或138度． 故答案为：10度或138度． 巩固训练 1．（24-25七年级上·全国·课后作业）（1）画一画：在图①中，以P为顶点画（为锐角），使的两边分别与的两边平行；再在图②中，以P为顶点画（为钝角），使的两边分别与的两边平行． （2）量一量：量出与的度数，它们之间的数量关系是_______． （3）猜一猜：如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角的数量关系是_______． （4）做一做：如果一个角的两边分别平行于另一个角的两边，且这个角为，求另一个角的大小． 【答案】（1）见解析   （2）或  （3）相等或互补  （4）或 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，解题的关键是掌握平行线的性质和判定． （1）根据题意，画出符合条件的即可； （2）动手量一量即可得到结论； （3）根据角的两边同方向平行和反方向平行两种情况，根据平行线的性质即可才想出数量关系； （4）利用（3）的结论即可求出另一个角的度数． 【详解】解：（1）根据题意画图，如图所示．（答案不唯一）     （2）由测量得到结论：或 （3）如果一个角的两边分别与另一个角的两边平行，那么这个两个角相等或互补     （4）应用（3）的结论得另一个角的大小为或． 【压轴题型】03 压轴题型 压轴题型一　平行线的判定和性质综合问题 例题：（23-24七年级下·辽宁抚顺·期末）如图，于点D，于点F，，． (1)求的度数． (2)求证：． 【答案】(1) (2)见解析 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）首先得到，根据平行线的性质得到，再根据角的和差关系可求的度数； （2）等量代换得到，根据平行线的判定定理得到，证得，进而求解即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． （2）证明：∵， 由（1）问知， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·宁夏银川·期中）如图，在中，，、是、上的两点，．    (1)求证：； (2)若，平分，求的度数． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握平行线的判定及性质． （1）首先由得，再根据，由此得，据此可得出结论； （2）先由，求得的度数，再由平分，得，最后再根据可得的度数． 【详解】（1）证明：， ， ， ， ． （2）解：，， ， 平分， ， ， ． 2．（23-24七年级下·河北张家口·期末）如图，直线，交于点，点在的左侧，且满足，． (1)求证：； (2)若平分，于点，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线判定与性质证明、根据平行线判定与性质求角度 【分析】此题考查了平行线的判定与性质、角平分线定义，熟练运用平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质与判定求解即可； （2）根据垂直的定义及角的和差求出，结合（1）得出，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵于点，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 3．（23-24七年级下·广西南宁·期末）如图，在三角形中，D、E、F分别是、、上的点，且． (1)若，试判断与是否垂直，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质： （1）根据，可得，再由，即可求解； （2）根据，可得，从而得到，再根据角平分线的定义，可得，即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 4．（23-24六年级下·山东济南·期末）如图，已知． (1)感知与探究： 如图1，已知请求出的度数； (2)问题迁移： 如图2，、分别是的角平分线，的反向延长线与相交于点F，猜想与之间的数量关系，并说明理由； (3)联想拓展： 在（2）的条件下，若，则的度数是_____________． 【答案】(1) (2)， (3) 【知识点】根据平行线判定与性质求角度、角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】本题主要考查角平分线的性质、平行线的性质，熟记有关平行线的各种模型是解题关键 （1）过点C作，根据平行线的性质易得，以此即可求解． （2）过点F作，过点C作，由平行线的性质得，由角平分线的性质得，，于是，再由角平分线的性质得，以此可得，结合①②即可得． （3）利用（2）中的结论求解即可． 【详解】（1）如图，过点C作， 则， ∴， ∴， ∴． （2）．理由如下： 如图，过点F作，过点C作， 则， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由①②可得，即． （3）由（2）知，， ∵， ∴． 故答案为：． 压轴题型二　根据平行线的判定与性质探究角的关系 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【知识点】根据平行线的性质探究角的关系、角平分线的有关计算 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 巩固训练 1．（21-22七年级下·山东济宁·期中）如图，，点E为两直线之间的一点． (1)如图1，若，，则_______； (2)如图2，试说明，； (3)如图3，若的平分线与的平分线相交于点F，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)见解析； (3)，理由见解析． 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质求角度、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查平行线的判定及性质，解题的关键是掌握平行线的性质，利用平行线的性质探索角之间的关系． （1）过点E作直线，利用平行线的性质证明，，即可得到； （2）过点E作，利用平行线的性质证明，，即可证明，即； （3）由（1）可得，再证明，由（2）可知，，即可证明． 【详解】（1）解：过点E作直线， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴． （2）解：如图所示，过点E作， ， ， ，， ， 即． （3）解：①，理由如下： 由（1）可得， 平分，平分， ，， ， 由（2）可知，， ． 2．（23-24七年级下·云南曲靖·期末）如图1，已知直线与直线交于点，与直线交于点，平分交直线于点，． (1)试判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)点是射线上的一个动点（不与点，重合），平分交直线于点，过点作交直线于点．设，． ①如图2，当点在点的左侧，且时，求的值； ②当点在运动过程中，和之间有怎样的数量关系？请写出你的猜想，并加以证明． 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时， 【知识点】角平分线的有关计算、根据平行线的性质探究角的关系、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由角平分线的定义结合题意得出，即可得出结论； （2）①由角平分线的定义得出，，由平行线的性质得出，从而求出，再由平行线的性质即可得出答案；②分两种情况：当点在点的左侧时；当点在点的右侧时；分别求解即可得出答案． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：①∵平分，平分， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； ②如图，当点在点的左侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即； 如图，当点在点的右侧时， ， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，即， 综上所述，当点在点的左侧时，；当点在点的右侧时，． 压轴题型三　根据平行线的判定和性质解决三角形旋转问题 例题：（2025七年级下·全国·专题练习）如图1，为直线上一点，过点在直线的上方作射线，使．将一块直角三角板的直角顶点放在点处，一边在射线上，另一边在直线的下方，其中，． (1)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图2，使一边在的内部，且恰好平分，求的度数； (2)将图1中的三角板绕点按每秒的速度沿顺时针方向旋转一周，在旋转的过程中，第______s时，边恰好与射线平行；第______时，直线恰好平分锐角； (3)将图1中的三角板绕点顺时针旋转至图3，使在的内部，请探究与之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)； (2)9或27，12或30； (3)，见解析． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了旋转的性质，角平分线的定义，平行线的性质， （1）根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义求出，然后根据解答即可； （2）分别分情况根据平行线的性质和旋转的性质求出旋转角，然后除以旋转速度即可得解； （3）用和表示出，然后列出方程整理即可得解； 读懂题目信息并熟练掌握各性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ； （2）解：， ，， 当在直线上时，，此时旋转角为或， 每秒顺时针旋转， 时间为或， 当直线恰好平分锐角时，旋转角为或， ∵每秒顺时针旋转， ∴时间为或， 故答案为：9或27；或； （3）解：，理由如下： ∵在的内部， ∴，， ∴， ∴． 巩固训练 1．（23-24七年级下·河北保定·期末）如图1，图2，直线，将一副三角板中的两块直角三角尺和三角尺的一条直角边重合，另一条直角边（不重合）放在同一条直线上，如图1，，，，． (1)如图1，求的度数； (2)如图1，点H在内部，．若，求n的值； (3)如图2，固定三角尺的位置不变，转动三角尺的位置，始终保持两个三角尺的直角顶点C，D重合，且点E在直线的右侧，当三角尺与三角尺有一组边平行（不包括共线的情况）时，直接写出的度数的最大值与最小值的差． 【答案】(1) (2) (3)的度数的最大值与最小值的差为． 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、几何图形中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差等性质，解决问题的关键是分类讨论和数形结合思想的运用． （1）根据平行线的性质及角的和差即可求出； （2）过点H作．得，，，，，，即可得解； （3）当时，最大，此时，当时，最小，此时，即可求出的度数的最大值与最小值的差为． 【详解】（1）解：， ． ， ； （2）解：如图1，过点H作． ， ， ，， ． ，，，， ，， ， ； （3）解：的度数的最大值与最小值的差为． 如图2，当时，最大， ， ， ∴此时； 如图3，当时，最小， ， ， ∴此时， 的度数的最大值与最小值的差为． 2．（23-24七年级下·广西百色·期末）【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、根据平行线判定与性质证明、根据平行线的性质探究角的关系 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ， ， ； （2）解∶ ，理由如下： 如图2，过点B作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解∶ ，理由如下： ， ， ，， ， ． 3．（23-24七年级下·黑龙江齐齐哈尔·期末）在学校开展的社团活动中，“数学大师”社团开展了题为《关于三角板的数学思考》综合实践活动，使用一副三角板，分别为三角板（，），三角板（，）． (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点落在上，点与点重合，且，________． (2)如图2，小亮将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板和三角板按图3的方式摆放，使顶点在直线上，顶点在直线上，，直角顶点与重合． ①若点、、在同一直线上，则与之间的关系式为________； ②若点、、不在同一直线上，其他条件不变，如图4，则、与之间的关系式为________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)①；② 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角板中角度计算问题 【分析】本题考查了平行线的性质，角的和差运算，构造平行线是解题的关键． （1）由，得，由即可求解； （2）；过A作，则得，从而得，则可判定； （3）①过A作，过D作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，从而得与之间的关系； ②过A作，过C作，则，； 则，；再由平行的传递性质得， 有，，从而得、与之间的关系； 【详解】（1）解：， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 如图，过A作， ， ， ， ； ， ； （3）解：①如图，过A作，过D作， ，； ， ； ， ； ， ， ， ； 故答案为：； ②如图，过A作，过C作， ，； ，；， ； ， ； ，， ， ， 即， ． 故答案为：． 压轴题型四　根据平行线的判定与性质接解决光线问题 例题：（2024七年级上·全国·专题练习）跨学科试题·物理 如图1，将支架平面镜放置在水平桌面上，激光笔与水平天花板的夹角为，激光笔发出的入射光线射到上后，反射光线与形成．由光的反射定律可知，、与的垂线所形成的夹角始终相等，即． (1)的度数为_____． (2)如图2，点固定不动，调节支架平面镜，调节角为． ①若，求的度数； ②若反射光线恰好与平行，求的度数． 【答案】(1) (2)①；② 【知识点】同(等)角的余(补)角相等的应用、根据平行线的性质求角的度数 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，余角的性质等； （1）由垂直的定义得，，由余角的性质即可求解； （2）①过点作，由平行线的性质得 ，由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，求出后，即可求解；②由平行线的性质得，由平行线的判定方法得，由平行线的性质，即可求解； 掌握平行线的判定及性质，能根据题意作出辅助平行线是解题的关键． 【详解】（1）解：， ， ， ， ， ， ， 故答案：； （2）解：①过点作，如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案：； ②如图， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案：． 巩固训练 1．（23-24七年级下·广东珠海·期末）综合与实践 台灯作为一种照明工具，适合于书桌、床头等需要局部照明的地方，它能够集中光线，使得周围环境适合于阅读、学习或工作，对于保护眼睛健康也具有重要意义．如图1是一盖可折叠台灯．图2、图3是其平面示意图，底座MN位于水平位置，支架、为固定支撑杆，支架可绕点旋转，从而调节灯光照射方向．已知灯体顶角，的平分线始终与垂直． (1)求的度数： (2)如图2，当支架旋转至水平位置时，恰好与平行，求支架与水平方向夹角的度数； (3)若（2）中支架与水平方向的夹角的度数保持不变，将绕点旋转到如图3的位置，旋转后，求此时与水平方向的夹角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)． 【知识点】平行公理推论的应用、根据平行线的性质求角的度数、角平分线的有关计算、垂线的定义理解 【分析】本题考查了平行线性质等，熟练掌握平行线性质是解题关键． （1）由角平分线定义求得，再根据垂直定义可得，即可由求解； （2）根据平行线的性质可求解； （3）过点、作，，根据平行线的性质可求解． 【详解】（1）解：∵平分， ， ∵， ∴， ∴． （2）解：由题可知， ∴ ∴ 由题可知， ． （3）解：如图所示，分别过点、作， ，，， ， ， ， ， 由（1）可知， ， ． 2．（23-24七年级下·湖北武汉·期中）如图所示的是一个潜望镜模型示意图，它由入射镜筒、直管、反射镜筒以及两块平面镜构成，入射镜筒与反射镜筒互相平行，且都与直管垂直，，代表两块平面镜摆放的位置．镜筒上下壁和直管左右壁可视作分别相互平行的直线．是进入潜望镜的光线，它与入射镜筒壁平行，与直管壁垂直，是离开潜望镜的光线，光线经过镜子的反射时，满足入射角等于反射角的原理，如：，．设，． (1)如图1，当时， ①求证：； ②若光线与直管壁平行，则的度数为________； (2)如图2，当光线经过B处镜面反射后照射到直管右壁处时，若在处放置一块平面镜，使光线经平面镜上的点C处反射到平面镜上的点D处，并调整平面镜的位置，使．则此时与满足怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)①见解析；② (2)，理由见解析 【知识点】根据平行线的性质求角的度数、内错角相等两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）①根据平行线的性质得出，进而得出，则，即可求证；②根据光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行，得出，即可解答； （2）根据题意推出，过点C作，则，推出，易得，则，根据直角三角形连锐角互补即可解答． 【详解】（1）①证明：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即， ∴； ②∵光线与直管壁平行，是与入射镜筒壁平行， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为∶． （2）解：∵是与入射镜筒壁平行，， ∴， ∴， 过点C作， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 整理得：． 压轴题型五　根据平行线的判定与性质探解决平移问题 例题：（23-24七年级下·河南省直辖县级单位·期末）如图1，，，． (1)__________度； (2)与平行吗？与平行吗？请直接写出判断的结果． (3)将图1中的平移到，交射线于点，交于点，交于点，如图2所示．若，求的度数． 【答案】(1)180 (2)，不一定平行于 (3) 【知识点】垂线的定义理解、利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明 【分析】本题考查了垂线的定义，平行线的判定与性质，以及平移的性质，手里掌握平移的性质是解答本题的关键． （1）由垂直的定义得，进而可求出； （2）由可证；无法判断与是否平行． （3）由平移的性质得，然后证明可得． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴． 故答案为：180； （2），不一定平行于． ∵， ∴． 无法判断与是否平行． （3）， ． 又平移， ． ， ， ． ， ． 巩固训练 1．（24-25七年级上·湖南长沙·阶段练习）如图1，长方形的边在数轴上，O为原点，长方形的面积为30，边长为5． (1)数轴上点A表示的数为__________； (2)将长方形沿数轴水平移动，移动后的长方形记为，移动后的长方形与原长方形重叠部分（如图2中阴影部分）的面积记为S． ①当S恰好等于原长方形面积的一半时，数轴上点表示的数为__________； ②设移动距离． ⅰ）当时，__________； ⅱ）D为线段的中点，点E在线段上，且，当点D表示的数是点E表示的数的2倍时，求x的值． 【答案】(1)6 (2)①：3或9；②ⅰ）20；ⅱ） 【知识点】数轴上两点之间的距离、图形的平移、几何问题(一元一次方程的应用) 【分析】本题考查矩形的性质，数轴上点的特点；能够将数轴上的点与矩形的边长之间的关系联系起来是解题的关键． （1）由矩形的面积即可表示点； （2）①分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求出，即可求解； ②ⅰ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，根据长方形面积公式求解即可； ⅱ）分两种情况讨论：长方形向左平移和向右平移，分别表示出D、E表示的数，然后列方程求解即可． 【详解】（1）解：长方形的面积为30，边长为5． ， 点表示6； 故答案为：6； （2）解：当向左移动时，如图， ， ， 移动后的表示3； 当向右移动时，如图， ， 又 ， 移动后表示9， 故答案为：3或9； ②ⅰ）当向左移动时，如图， ， ， 当向右移动时，如图， ， ， 综上，， 故答案为：20； ⅱ）由题意知： 为线段的中点，点E在线段上，且， ，， 当向左移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得（不符合题意，舍去）； 当向右移动时，如图， ， 表示的数为，E表示的数为， 根据题意，得， 解得； 综上，． 2．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，在四边形中，于点．     (1)如图，延长交的延长线于点，延长至点，连接，使得，求的度数； (2)如图，连接，，延长至点，使得平分．将三角形沿射线方向平移，使点的对应点在的延长线上，点，点的对应点分别为点，点，作于点． 若，请在图中找出一条线段的长度与相等，并说明理由； 当，，时，判断和的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)见解析；，理由见解析． 【知识点】利用平移的性质求解、根据平行线判定与性质证明 【分析】（）根据，得，又故有，从而求解； （）由平移的性质可得，又，则有，最后由线段和差即可求解； 由平分，则，设，从而有，，根据，则， 通过平移的性质可得，由平行线的性质得，，故有， 得，即，则点与点重合，又，根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短即可判断． 【详解】（1）∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴； ，理由如下： ∵平分， ∴， 设， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵三角形沿平移得三角形， ∴， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴，                          ∴， ∴，     ∴点与点重合， ∵， 根据连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，平移的性质，垂直的定义，平行线的性质，垂线段最短，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． / 学科网（北京）股份有限公司 $$