寒假作业10 相交线与平行线动点问题分类训练（4种类型40道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年七年级数学寒假作业（人教版2024）

寒假作业10 分式方程含参问题（5种类型50道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点存在性问题】 5 【题型3 动点求角度】 9 【题型4 动点证明题】 13 【题型1 动点定值问题】 1．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，． (1)__________； (2)当点运动时，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当点运动到使时，求的度数． 2．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 3．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 4．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 5．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 6．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 7．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 8．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 9．如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 10．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线和直角三角形，其中．    (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由． 【题型2 动点存在性问题】 11．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 12．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 13．如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 14．如图1，，直线a与b，c交于A，C两点．在直线a上有一点B，直线c上有点D，连接，作的平分线交b于E． (1)直接写出，和之间的数量关系：______． (2)如图2，作的平分线交直线c于点F，作的平分线交BF于G，若，求的度数． (3)如图3，在（2）的前提下，作的平分线交c于H，延长交于I，是否存在，使得是D与直线上各点所连线段中最短的一条，若存在请求出的度数，若不存在，请说明理由． 15．如图，已知直线，．是射线上一动点，连接，作，交直线于点，平分交直线于点G．为射线上一点，． (1)若点在点的右侧，求的度数； (2)是否存在一点，使？若存在；请求出的度数；若不存在，请说明理由． 16．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； (2)【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 17．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 18．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 19．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 20．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【题型3 动点求角度】 21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 22．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 23．如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 24．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 25．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 26．如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 27．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 28．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，求的度数； (2)如图2，当点P在点A左侧运动时，若平分，交直线于点D．的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由． 29．如图，直线，分别被直线，所截，已知． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），是线段上的一个动点，求证：． 30．如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数； (2)若点运动到上方，且满足，，求的值； 【题型4 动点证明题】 31．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 32．点E在射线上，点F、G为射线上两个动点，满足，，平分．    (1)如图1，当点G在点F右侧时，求证：； (2)如图2，当点G在点F左侧时，求证：；   33．如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，若M为线段EF上一定点，P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．当点P在射线FC上移动时，求证：∠FMP+∠FPM＝∠AEF； （3）如图3，当点P在射线FD上移动时，求证：∠FPM+∠AEF＝∠EMP． 34．如图1，直线，被所截，． (1)求证：； (2)如图2，点是直线上的一个动点（点不与，重合），试探究与，之间的数量关系． 35．如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 36．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 37．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交CD于点于点．当点在点的右侧时，若，求的大小． 38．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点．    (1)求证：； (2)如图，为线段上一个定点，点为射线上一个动点，当点在射线上运动（点除外）与有何数量关系？猜想结论并说明理由． 39．已知，，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC．      (1)如图①，当P在AB，CD之间时，求证：； (2)如图②，当P在射线ME上时，探究，，的关系并证明； (3)如图③，当P在射线NF上时，直接写出，，三者之间关系．   40．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业10 分式方程含参问题（5种类型50道） 目录 【题型1 动点定值问题】 1 【题型2 动点存在性问题】 20 【题型3 动点求角度】 49 【题型4 动点证明题】 67 【题型1 动点定值问题】 1．如图，已知，，点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和，交射线于点，． (1)__________； (2)当点运动时，是否为定值？若是定值，请求出这个定值；若不是，请说明理由； (3)当点运动到使时，求的度数． 【答案】(1)60 (2)是定值， (3) 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义： （1）根据角平分线的定义，和平行线的性质，两直线平行，同旁内角互补，进行求解即可； （2）根据两直线平行，内错角相等，以及角平分线的定义，进行求解即可； （3）根据平行线的性质，以及，推出，进而推出，即可得解． 【详解】（1）解：∵，， ， ∵，分别平分和， ∴， ∵， ∴， 故答案为：60． （2）是定值，理由如下： 平分， ， 设，则， ， ，， ． （3）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又平分， ， 由（2）知，， ， ， ． 2．如图，，点E在直线和之间，且在直线的左侧，． (1)如图1，求的度数（用含的式子表示）； (2)连接，过点E作，交于点F，动点G在射线上，． ①如图2，若，平分，判断与的位置关系并说明理由． ②连接，若，于点G，是否存在常数k，使为定值，若存在，求出k的值，若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；②存在使得，为定值 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）如图所示，过点E作，则，根据平行线的性质得到，，则； （2）①由平行线的性质得到，则，则，进而得到，由角平分线的定义得到，则，即可得到；②分当在左侧时，当在右侧时，两种情况先根据平行线的性质得到，进而得到，再由，得到，可得，进而求出，据此可得答案． 【详解】（1）解：如图所示，过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）解：①，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴； ②如图所示，当在左侧时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ， ∴此时不存在常数k使得为定值， 如图所示，当在右侧时， 同理可得， ∴当，即时，，为定值； 综上所述，存在使得，为定值． 3．【问题情境】 在综合实践课上，老师组织七年级（2）班的同学开展了探究两角之间数量关系的数学活动，如图，已知射线，连接，点P是射线上的一个动点（与点A不重合），分别平分和，分别交射线于点C、D． 【初步探究】 “快乐小组”经过探索后发现： （1）当时，试说明； （2）不断改变的度数，与始终存在某种数量关系，用含的式子表示； 【类比探究】 （3）“智慧小组”发现，当点P在AM上继续运动到使时，的结果是一个定值，请你帮助探究并说明理由． 【答案】（1）；（2）；（3）定值，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、有关角平分线的计算等知识点，灵活运用平行线的性质成为解题的关键 （1）根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，然后代入计算即可求证结论； （2）根据角平分线的定义可得、，再根据平行线的性质可得即可解答； （3）根据平行线的性质可得，从而得到，进而得到，再根据角平分线的定义可得，然后根据平行线的性质可得，最后代入计算即可求解． 【详解】解：（1）∵， ∴， 又∵， ∴. ∵，分别平分和， ∴， ∴. （2）∵，分别平分和， ∴，， ∴. ∵， ∴， ∴， ∴. （3）∵， ∵， 当时，有， ∴， ∴. ∵，分别平分和， ∴. ∵， ∴， ∴. 4．已知直线，点E、F分别在直线、上，连接，平分． (1)如图1，连接，若平分．求的度数； (2)如图2，连接，若，猜想和的数量关系，并说明理由； (3)如图3，点H为线段（端点除外）上的一个动点，过点H作的垂线交于M，连接，若平分，问的度数是否为定值？若是，求出的度数；若不是，请说明理由． 【答案】(1)∠EGF＝90° (2)∠EGF＋∠EHF＝180°；理由见解析 (3)∠MGF​的度数是为定值，且∠MGF＝45°​ 【分析】（1）根据EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD，得到∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠GFE，由干 到∠BEF＋∠EFD＝180°，于是得到2∠FEG＋2∠GFD＝180°，即可得到结论： （2）过点G作，因为，所以．设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．由已知可得∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β，∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β，即可解答； （3）过点 G作，因为，所以．所以设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β．即∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β．根据∠EMH、∠EFD的平分线相交于G，得到∠MEF＝∠EFD＝2β．所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再因为MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据MG平分∠BMH，利用等量代换即可得到结论MH⊥EF，所以∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β．再根据条件MG平分∠BMH，得到∠EMG＝45°−β，即可得解． 【详解】（1）解：∵EG、FG分别平分∠BEF和∠EFD， ∴∠BEF＝2∠FEG，∠EFD＝2∠EFG， ∵， ∴∠BEF＋∠EFD＝180°， ∴2∠FEG＋2∠GFE＝180°， ∴∠FEG＋∠GFE＝90°， ∵∠EGF＋∠FEG＋∠GFE＝180°， ∴∠EGF＝90°． （2）解：猜想：∠EGF＋∠EHF＝180°， 过点G作， ∵， ∴， ∴设∠EGN＝∠BEG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠EGF＝∠BEG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵∠EHF＝180°−∠EFG−∠FEH＝180°−α−β， ∴∠EHF＝180°−α−β＝180°−∠EGF， ∴∠EGF＋∠EHF＝180°． （3）解：结论：∠MGF＝45°，理由如下： 过点 G作， ∵， ∴， ∴设∠MGN＝∠BMG＝α，∠NGF＝∠GFD＝β， ∴∠MGF＝∠BMG＋∠GFD＝α＋β， ∵FG平分∠EFD， ∴∠EFG＝∠GFD＝β， ∵， ∴∠MEF＝∠EFD＝2β， ∵MH⊥EF， ∴∠HME＝90°−∠MEF＝90°−2β， ∵MG平分∠BMH， ∴∠EMG＝∠GMH＝α＝∠HME， ∴∠EMG＝α＝∠HME＝(90°−2β)＝45°−β， ∴∠MGF＝α＋β＝45°−β＋β＝45°， ∴∠MGF＝45°， ∴∠MGF的度数是为定值． 【点睛】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质定理是解题的关键． 5．已知，点M，N分别是、上的点，点G在、之间，连接、． (1)如图1．若，已知的平分线交的平分线于点H．求的度数； (2)如图2．若点P是下方一点，平分，平分，已知．证明：为定值． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题主要考查平行的常见模型，对于平行的辅助线添加，可过转折点处作已知直线的平行线，再利用平行的性质求解．关于度数的定值问题，可以借助代数式求证． （1）过点作，利用平行线的性质得到，过点作，利用平行的性质得到对应的角度关系，进而求取的值； （2）根据角平分线的定义求出，，，设，求出，，相减即可证明． 【详解】（1）解：如图所示，过点作， ， ， ，， ， ， ． 过点作， ，，， 平分，平分， ， ， ，， ； （2）如图所示，将与的交点记作， 平分，且， ，， 平分， ， 设， ， 由（1）同理可得，， ， ， 在中，， ，即为定值． 6．如图1，，点A、C分别在射线和上，． (1)若，则 ； (2)小明同学发现：无论如何变化，的值始终为定值，并给出了一种证明该发现的辅助线作法：如图2，过作A作，交于M．请你根据小明同学提供的辅助线（或自己添加其它辅助线），确定该定值，并说明理由； (3)如图3，若把题干中的“改为“”，其它条件保持不变，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)．理由解解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定： （1）过点F作，如图，由已知，，根据平行线的性质可计算出的度数，由，可计算出的度数，由平行线的性质即可得出答案； （2）由已知条件，根据平行线的性质可得，计算出的度数，由平行线的性质可得，由即可得出答案； （3）过点A作与相交与点N，再同（2）求解即可． 【详解】（1）解：过点F作，如图所示， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：； （2）解：该定值为．理由如下： ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴无论如何变化，的值始终为定值，且该定值为． （3）解：．理由如下： 过点A作，交于点N，如图所示， ∵，， ∴，． ∵， ∴． ∴． ∴． 7．如图，已知，点E，F分别为， 之间的点． (1)如图1，若 ，求的度数； (2)若 ． ①如图2，请探索的度数是否为定值，请说明理由； ②如图3，已知 平分，平分，反向延长 交 于点P，求 的度数． 【答案】(1) (2)①，是定值  ② 【分析】（1）：过点E作，则，然后根据平行线的性质得到，，即可解题； （2）①如图, 过作，过作，证明，可得，，再利用角的和差运算可得结论； ②如图，平分，平分，可得 ，由三角形的内角和定理可得，结合① 得: ，从而可得． 【详解】（1）解：过点E作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）①，是定值，理由如下： 如图, 过作，过作， ∵， ∴，而， ∴，，， ∴； ②如图, ∵平分，平分， ， ， ∵由①得: ， ． 【点睛】本题考查的是平行公理的应用，平行线的性质，角平分线的定义，三角形的内角和定理的应用，熟练的构建平行线，利用平行线的性质解决问题是解本题的关键． 8．如图1，直线，点A，B在直线上，点、在上，线段交线段于点，且． (1)求证：； (2)如图2，当F，G分别在线段、上，且，，标记为，为． ①若，求的度数； ②当k为何值时，为定值，并求此定值． 【答案】(1)证明见解析 (2)①；②当时，为定值，此时定值为． 【分析】本题考查平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解答本题的关键． （1）利用平行线的性质解答即可； （2）①设，，则，，结合平行线的性质，利用方程的思想方法，依据已知条件列出方程组即可求解； ②利用①中的方法，设，，则，，通过计算，令计算结果中的的系数为即可求得结论． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ （2）设，， ∵，， ∴，， ∵， ∴，， 由（1）可得： ，，， ∴， ∴，， ①∵， ∴， ∴，， ∴； ②，定值为，理由如下： 当时，， ∴当时，为定值，此时定值为． 9．如图，已知，连结和交于点． (1)求证：； (2)如图，，点分别在线段上，，． ①请直接写出和（用含的代数式表示）． ②请判断是否为定值，若是，请求出该定值；若不是，请说明理由． 【答案】(1)证明见详解 (2)①， ②是定值，定值为 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形的外角的应用，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）根据平行线的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，即可证明． （2）①根据三角形的外角等于与它不相邻的两个内角之和，结合题意，即可得出，． ②根据平行线的性质可得，即，因为，∴，结合，，可得，代入中，得是定值． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴． （2）①解：∵，，， ∴， 即． ∵， ∴， 又∵，， ∴， 即． 故，． ②解：是定值． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 化简得， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴是定值． 10．问题情境 在综合与实践课上，同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．如图1，已知两直线和直角三角形，其中．    (1)在图1中，，求的度数； (2)如图2，创新小组的同学把直线向上平移，并把的位置改变，发现是一个定值，请写出这个定值，并说明理由． 【答案】(1) (2)定值为135°，理由见解析 【分析】（1）平角的定义，求出的度数，再根据两直线平行，同位角相等，进行求解即可； （2）过点B作，得到，进而得到，，再根据，进行转化求解即可． 【详解】（1）解：如图标记．    ∵， ∴． ∵， ∴． （2）定值为135°，理由如下：    过点B作． ∵ ∴， ∴，． ∵， ∴． 又， ∴， ∴． 【点睛】本题考查平行线的判定和性质，解题的关键是掌握平行线的判定定理和性质定理，过拐点构造平行线． 【题型2 动点存在性问题】 11．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线，，且，直角三角尺中，，． （1）【操作发现】 如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则____； （2）【探索证明】 如图（2），当三角尺的顶点在直线上时，请写出与间的数量关系，并说明理由； （3）【拓展应用】 如图（3），把三角尺的顶点B放在直线b上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线b上一点）的上方，若存在（），请直接写出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】（1）34；（2），理由见解析；（3）或． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ∴， ，， ， ， ，， ， 故答案为：34． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 12．线段与线段互相平行，点是平面内的一点，且点不在直线上． (1)连接，如图1，，求的度数．小紫的思路是： 如图2，过点作，通过平行线性质可求的度数．请你按小紫的思路，写出度数的求解过程； (2)若点在线段上，如图3，射线分别是和的平分线． ①依题意补全图3； ②判断与的位置关系，并证明； (3)连接，射线分别是和的平分线．是否存在点，使若存在，直接写出点的位置；若不存在，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①见解析；②，证明见解析 (3)当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂线的定义： （1）过点作，则，根据两直线平行，同旁内角互补分别求出的度数即可得到答案； （2）①根据题意作图即可；②由平行线的性质得，由角平分线定义得，，进而得，最后根据平行线的判定定理得出结论便可； （3）当点在直线上，位于与两平行线之外时，．根据平行线的性质得出，结合角平分线的定义得出，即得． 【详解】（1）解：如图2，过点作， ∵，， ∴， ∴,， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②，证明如下： ∵， ∴， ∵射线分别是和的平分线， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，当P点在直线上，位于与两平行线之外时，，理由如下： ， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ， ， ， ， ， ． 13．如图1，直线分别交直线于E，F两点，且． (1)求证：； (2)如图2，已知．分别为的角平分线． ①求的值； ②已知，射线绕点K以的速度逆时针方向旋转至，同时射线绕点K以的速度顺时针方向旋转至设旋转时间为，其中，在旋转过程中，是否存在的两边恰好分别平行于的两边，若存在，直接写出m的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)①；②存在，17或或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，解答的关键是理解清楚题意，作出正确的辅助线，分类讨论，明确角与角之间的关系． （1）由对顶角的定义得到，结合，根据同旁内角互补即可证明； （2）①分别过点K，G作，则 ，推出，根据．分别为的角平分线，得到，，进而得到，即可求出结果；②由①中结论，求出，，分，，第二次且在右侧，，第二次且在左侧，五种情况讨论即可． 【详解】（1）证明： ，， ， ； （2）解：①分别过点K，G作， ， ， ， ．分别为的角平分线， ，， ， ， ， ， ； ②， ，，， ， 由①知，，， ，，，， ，， ，， 如图，当时， ， ， （符合题意）； 如图，当时， ， 由①知， ，， ， （符合题意）； 如图，当第二次，且在右侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， ， （不符合题意）； 如图，当时， ， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 如图，当第二次且在左侧时， ， ， 旋转得到，旋转得到， （符合题意）； 综上，m的值为17或或或，的两边恰好分别平行于的两边． 14．如图1，，直线a与b，c交于A，C两点．在直线a上有一点B，直线c上有点D，连接，作的平分线交b于E． (1)直接写出，和之间的数量关系：______． (2)如图2，作的平分线交直线c于点F，作的平分线交BF于G，若，求的度数． (3)如图3，在（2）的前提下，作的平分线交c于H，延长交于I，是否存在，使得是D与直线上各点所连线段中最短的一条，若存在请求出的度数，若不存在，请说明理由． 【答案】(1)，理由见解析； (2)； (3)存在，． 【分析】本题考查了角平分线的性质，平行线的性质，掌握角平分线的性质和平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，则，得出即可求解； （2）过点作，过点作，则，设，，则，，，进而得到，即可求解； （3）过点作，由，，再利用角平分线的平行线的性质即可求解． 【详解】（1）解：过点作，则，如图： ∴， ∴ （2）解：过点作，过点作，则， 是的平分线，是的平分线，是的平分线， ∴， 设，， ∴，，， ∴，， ∵， ∴， 即， ∴， ∵， ∴， ， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ （3）解：当点在直线的上方时存在使得DI是D与直线BH上各点所连线段中最短的一条， 过点作，如图： ∵是与直线上各点所连线段中最短的一条， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴ ， ∵，， ∴， ∴， ∴． 15．如图，已知直线，．是射线上一动点，连接，作，交直线于点，平分交直线于点G．为射线上一点，． (1)若点在点的右侧，求的度数； (2)是否存在一点，使？若存在；请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)存在，的度数为或 【分析】本题考查平行线的性质， （1）依据平行线的性质以及角平分线的定义，即可得到的度数； （2）设，，则，分两种情况讨论：①当点在点的右侧时，②当点在点的左侧时，依据等量关系列方程求解即可； 解题的关键是掌握：两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵，平分， ∴，， ∴， ∴的度数为； （2）存在． 理由如下： 设，， ①如图，当点在点的右侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； ②如图，当点在点的左侧时， ∵， ∴，， ∴， ∵平分， ∴，， ∵，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 综上所述，的度数为或． 16．在综合与实践课上，老师让同学们以“一个含的直角三角尺和两条平行线”为背景开展数学活动．已知两直线a、b，且，直角三角尺中，，． (1)【操作发现】如图（1），当三角尺的顶点B在直线b上时，若，则__________； (2)【探索证明】如图（2），当三角尺的顶点C在直线b上时，请写出∠1与∠2间的数量关系，并说明理由； (3)【拓展应用】如图（3），把三角尺的顶点B放在直线上且保持不动，旋转三角尺，点A始终在直线（D为直线上一点）的上方，若存在，请求出射线与直线a所夹锐角的度数． 【答案】(1)35 (2)，理由见解析 (3)或 【分析】（1）过点作，先证，从而得，，则，再根据，可求出的度数； （2）先求出，由（1）可知，再由平角的定义得，据此可得与间的数量关系； （3）依题意可分为以下两种情况：①当在直线的上方时，先求出，设，则，由平角的定义得，即由此求出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；②当在直线的下方时，同理得，设，则，进而得，由平角的定义得，即，由此解出，进而得，然后根据平行线的性质可求出的度数；综上所述可得射线与直线所夹锐角的度数． 此题主要考查了平行线的判定和性质，准确识图，熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 【详解】（1）解：过点作，如图1所示： 直线， ， ，， ， ， ，， ， 故答案为：35． （2）解：与间的数量关系是：，理由如下： 如图2所示： ，， ， 由（1）可知：， ， ， ， ， 即， （3）解：依题意有以下两种情况： ①当在直线的上方时，如图3所示： ，， ， 设， 则， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， ②当在直线的下方时，如图4所示： 同理得：， 设， 则， ， 点在直线上且保持不动， ， ， 解得：， ， 直线， ， ， 综上所述：射线与直线所夹锐角的度数为或． 17．综合与实践数学社团的同学以“两条平行线，和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点E，F不能同时落在直线和之间． (1)观察猜想：如图1，把三角板的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______；（直接写出结论，不说明理由） (2)类比探究：如图2，把三角板的锐角顶点G放在上，且保持不动，绕点G转动三角板，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)解决问题：把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若存在，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2) (3)存在，射线与相交所夹锐角的度数为或 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点，漏解是易错点． （1）由，得，再由得，由此根据邻补角的定义可得的度数； （2）过点作，依题意得，，证，根据平行线的性质得，，进而得，由此可求出，然后根据邻补角的定义可得的度数； （3）分两种情况讨论如下：①当点在上方时，设交于点，设，则，根据得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数；②当点在下方时，延长交于点，设，则，进而得，由得，由此得，则，然后由根据平行线的性质可求出的度数，综上所述即可得出射线与相交所夹锐角的度数． 【详解】（1）解：，， （两直线平行，同旁内角互补）， ， ， ； 故答案为：； （2）解：过点作，如图1所示： 依题意得：，， ，， ， （两直线平行，内错角相等）， ， ， ， （邻补角概念）； （3）解：存在，射线与相交所夹锐角的度数为或． 分两种情况讨论如下： ①当点在上方时，设交于点，如图2所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）； ②当点在下方时，延长交于点，如图3所示： 依题意得：， 设，则， ， （邻补角概念）， ， 解得：， ， ， （两直线平行，同旁内角互补）． 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 18．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不可能同时落在直线和之间．    (1)如图①，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为___________； (2)如图②，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，若存在，求出射线与所夹锐角的度数． 【答案】(1) (2)； (3)或 【分析】本题主要考查了平行线的性质，解题的关键是掌握平行线的性质：两直线平行，同位角相等，内错角相等，同旁内角互补． （1）根据平行线的性质得出，得出，即可求解． （2）设交于点，则，过点作，推出．根据平行线的性质得出则．求出，即可求解； （3）根据题意，进行分类讨论：①当点在上方时，②当点在下方时，正确画出图形，根据平行线的性质求解即可. 【详解】（1）解：∵， ． 又， ， ， 故答案为：； （2）解：如图1，设交于点，则，过点作，    ∵， ． ． ． 又， ， ． （3）或． 如图2，交于点，当点在上方时，    设，则， ∴， 解得． ∴； 如图3，延长交于点，当点在下方时，    设，则， ∴， 解得， ∴． 综上所述，的度数为或． 19．已知两条平行线，和一块含角的直角三角尺，且点E，F不能同时落在直线和之间． (1)如图1，把三角尺的角的顶点E，G分别放在，上，若，则的度数为______； (2)如图2，把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，若点E恰好落在和之间，与相交于点M，且所夹锐角为，求的度数； (3)把三角尺的锐角顶点G放在上，且保持不动，旋转三角尺，是否存在？若存在，请求出射线与所夹锐角的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）依据题意，根据平行线的性质可得，即可求解． （2）依据题意，先求出的度数即可求解． （3）依据题意，分两种情况进行讨论，点E在上方和在下方两种情况求解即可． 本题主要考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，注意分类讨论是解题的关键． 【详解】（1）解： ， ， ， ． 故答案为：． （2）解：由题意，过点E作，如图， ， ，． ， ， ； （3）解：存在，有两种情况； ①当点E在上方时，如图； ， ， ， ∴射线与所夹锐角的度数为． ②当点E在下方时，如图； ， ， 即， ． ∴射线与所夹锐角． 综上所述射线与所夹锐角的度数为或． 20．如图1，直线与直线，分别相交于点，三条直线把平面分成①，②，…，⑥六个区域．规定：三条直线上的点不属于任何一个区域．当任意一点落在某个区域时，连接，，可得到，，． (1)如图2，当动点落在区域④时，如果，那么与平行吗？请说明理由； (2)如图3，当动点落在区域③时，，，三角满足什么等量关系时，？（请说明理由） (3)如果直线，试探究动点落在______区域时，存在． 【答案】(1)，理由见解析 (2)当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；理由见解析 (3)② 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、三角形外角的性质等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． （1）如图：过点P作，根据平行线性质可得，然后再证明，进而证明结论； （2）如图：过点P作，根据平行线的性质可得、，然后再利用角的和差即可解答； （3）如图：当点P在①区域时，过点P作，先证明，再根据平行线的性质可得，由三角形外角和定理可得，然后根据等量代换即可判定区域①；同理判定区域②③④⑤⑥即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∴， ∵， ∴． （2）解：当动点落在区域③时，，，三角满足时，有；，理由如下： 如图：过点P作， ∴，即， ∵， ∴，即， ∵ ， ∴当动点落在区域③时，，，三角满足时，有． （3）解：如图：当点P在①区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在①区域时不符合题意； 同理：可判定点P在③④⑤⑥区域时不符合题意； 当点P在②区域时，过点P作，交于J， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即，即点P在②区域时符合题意； 综上，点P在②区域时存在． 故答案为：②． 【题型3 动点求角度】 21．如图，已知，．点是射线上一动点（与点不重合），，分别平分和交射线于点E，F． (1)求的度数，若，请直接用含的式子表示； (2)随着点的运动，设，，与之间的数量关系是否改变？若不改变，请求出此数量关系；若改变，请说明理由； (3)当时，请直接写出的度数． 【答案】(1)， (2)不改变，恒为，理由见解析 (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质、角平分线的定义的运用等知识点，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． （1）先根据平行线的性质得出，再根据分别平分和，即可得出的度数；同理：当，用含的式子表示即可； （2）根据平行线的性质得出，再根据平分，即可得到进而得出，进而完成解答； （3）根据，得出，进而得，根据，进而求得的度数． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴ ∴； 若， ∵，． ∴， ∴， ∵分别平分和， ∴， ∴； （2）解：不变．恒为，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （3）解：∵， ∴，， 当时，则有， ∴， ∴， ∴． 22．如图1，，． (1)①如果，求的度数； ②设，，直接写出、之间的数量关系： 　； (2)如图2，、的角平分线交于点P，当的度数发生变化时，的度数是否发生变化？如果变化，请说明理由；如果不变，请求出的度数； (3)在（2）的条件下，若，点E为射线上的一个动点，过点E作交直线于点F，连接．已知，求的度数． 【答案】(1)①°；② (2)不发生变化；，理由见详解 (3)当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，则有，然后得到，，然后计算解题； 过点作，则有，，再根据直角得到结论； （2）由（1）可得，，然后根据角平分线的定义得到，，然后利用（1）的推导过程得到结论； （3）由（2）可得，，，然后分点在点的左侧和点在点的右侧两种情况进行解题． 【详解】（1）解：过点作， ， ， ，， 又， ， ； 过点作， ， ， ，， 又， ， ， 故答案为：； （2）解：不发生变化；，理由为： 由可得，， 、的角平分线交于点， ，， ， 过作， ， ； （3）由（2）得，，， ， ， 过点作， ， ， ，， ， 当点在点的左侧时，如图， 则， ， ； 当点在点的右侧时，如图， 则， ， ． 综上所述，当点F在点P的左侧时，；当点F在点P的右侧时，． 23．如图，直线，直线与，分别交于点，，，分别是与的平分线，交于点，过点作交于点，    (1)如图，求证：； (2)连接，点是线段上一动点，作的平分线交于点， ①如图，当时，求的度数． ②如图，在上取一点，连接，使得，请猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见详解； (2)①；② 【分析】本题考查平行线的性质与判定，解题关键是两直线平行，内错角相等；同旁内角互补，两直线平行． （1）根据平行线的性质以及角平分线得到定义，即可得出，再根据，即可得到，进而得到； （2）①先设，则，，根据平分，可得，再根据，可得方程，进而解得．②设，，则，根据即可求解； 【详解】（1）解： ， ， ，分别是与的平分线， ，， ， 即， 又， ， ； （2）①设， 则，， 平分， ， 又， ， 解得． ②猜想：， 设，， ，， 则， ， ， 是的平分线， ∴， ∴， ． 24．如图1，，，，M是线段上一点，过点M分别作，，分别交于点E，点F． (1)求的度数； (2)点N为直线上的一个动点，连接． ①如图2，当点N在点A的左侧，且时，判断与的位置关系，并说明理由； ②在整个运动过程中，是否存在点N，使得？若存在，请求出的度数；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)①，证明见解析；②存在，或 【分析】本题考查了平行线的性质，垂线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． （1）由平行线性质，，则，再由平行线性质求出，根据即可求解； （2）①根据题意可得，根据平行线的性质可得，求得，即可得出结论； ②当点在点的左侧时．当点在点的右侧时．分别画出图形，根据平行线的性质结合图形，即可求解． 【详解】（1）解： ， ， ， ． ．                        ， ． ．     ． （2）①．                                                               理由如下： ， ． ， ． ． ．                                                     ②存在点，使得． 下分两种情况： Ⅰ．如图，当点在点的左侧时． ， ． ， ． ， ， ．                       Ⅱ．如图，当点在点的右侧时． ， ． ， ． ， ， ． 25．如图，直线、被所截，，，点E是直线上的动点（点E与点D不重合），连结，作的角平分线交直线于点． (1)如图1，点E在点D左侧，若，求的度数； (2)射线平分． ①如图2，点E在点D左侧，求的度数． ②若是反向延长线上的一点，请直接写出的度数． 【答案】(1)； (2)①；②或． 【分析】本题主要考查平行线的性质、角平分线的定义以角的计算，熟练掌握平行线的性质、角平分线的定义以及角的和差倍分的计算是解决本题的关键． （1）首先推导出，进而得到．由平分，得到； （2）①由平分，得．由平分，得，进而求得； ②分两种情况讨论：当点位于点左侧时，当点位于点右侧时，分别解答即可． 【详解】（1）解： ，， ， ， ， 又平分， ； （2）解：①由（1）知：， ， 又平分， ， 平分， ， ； ②当点位于点左侧时，如图2． 由①得：， ， 当点位于点右侧时，如图3， 由题意可得，， 又平分，平分， ，， ， 综上，为或． 26．如图，已知两条直线，被直线所截，分别交于点E，F，平分交于点M，且． (1)如图1，判断直线与的位置关系，并说明理由； (2)如图2，点P是射线上一动点（不与点M，F重合），平分交于点N，设． ①若，则的度数为 ； ②求的度数．（结果用含α的代数式表示） 【答案】(1)，理由见解析 (2)①；②或 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质以及角平分的性质， 根据角平分线的性质得．结合题意得．即可判定； ①由（1）得，则，求得，结合角平分的性质得，．利用角之间的关系得即可； ②分两种情况：当点P在F的右侧时，可得，则．有角平分线的性质得，，则有；当点P在F的左侧时，则．由角平分的性质得，，那么， 即可． 【详解】（1）解：（1），理由如下： ∵平分交于点M， ∴． ∵， ∴． ∴． （2）①由（1）知，则， ∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，． ∴； ②当点P在F的右侧时， ∵，， ∴． ∴． ∵平分，平分， ∴，， ∴． 当点P在F的左侧时， ∵，， ∴． ∵平分，平分， ∴，． ∴ ． 27．已知直线，点A是上的动点，点B在上，点C、D在上，，的平分线交于点E（不与点B，D重合）． (1)若点A在点B的左侧，，，过点E作，如图① 所示，求的度数． (2)若点A在点B的左侧，，，如图② 所示，求的度数： (3)若点A在点B的右侧，，，如图③ 所示，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】此题考查了平行线的性质和判定、角平分线的相关计算． （1）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （2）根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数； （3）过点E作，根据角平分线得到的度数，再由平行线的性质得到、的度数，根据角的和即可得到的度数． 【详解】（1）解： ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （2）∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； （3）过点E作， ∵，的平分线交于点E（不与点B，D重合） ∴ ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ 28．已知直线，点P是直线上的一个动点（不与点A重合），平分，交直线于点C． (1)如图1，当点P在点A左侧时，若，求的度数； (2)如图2，当点P在点A左侧运动时，若平分，交直线于点D．的度数是否会发生变化？若不变，求出该度数；若变化，请说明理由． 【答案】(1) (2)的度数不发生变化，，理由见解析 【分析】本题考查的知识点是平分线的性质、角平分线的定义，解题关键是熟练掌握平行线的性质． （1）延长到点，根据平行线性质及角平分线定义即可求解； （2）延长到点，设，根据平行线性质及角平分线定义分别表示、、，由即可得到． 【详解】（1）解：延长到，如图所示： ，， ， ， 平分， ， ， ． （2）点在点左侧运动时，的度数不发生变化，，理由如下： 延长到，如图所示： 设， 平分， ，， ，， ， ， ， 平分， ， ， 29．如图，直线，分别被直线，所截，已知． (1)如图（1），若，求的度数； (2)如图（2），是线段上的一个动点，求证：． 【答案】(1) (2)证明见解析 【分析】本题考查了平行线的性质与判定，根据平行线的性质探究角的关系，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先由同旁内角互补，得出，结合，进行角的运算，即可作答． （2）过点作，得出，根据平行线的性质，进行列式代数计算，即可作答． 【详解】（1）解：， ， ． ， ． （2）解：过点作． ，， ， ， ， 30．如图，，平分，设为，点是射线上的一个动点．    (1)若时，且，求的度数； (2)若点运动到上方，且满足，，求的值； 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据平行线的性质可得的度数，再根据角平分线的定义可得的度数，计算的度数，由已知条件可计算出的度数； （）根据题意画出图形，先根据可计算出的度数，可计算出的度数, 再根据平行线的性质和角平分线的定义，计算出的度数，即可得出结论； 本题主要考查了平行线的性质和角平分线的定义，合理应用平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）∵，， ∴ ∵平分， ∴， ∴， 又∵， ∴ ； （2）根据题意画图，如图所示，    ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵平分， ∴ ， ∴． 【题型4 动点证明题】 31．已知、分别是、上的动点，也是平面内的一动点．    (1)如图1，若，求证：； (2)如图2，若，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论． 【详解】（1）证明：过作，    ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作，    ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 32．点E在射线上，点F、G为射线上两个动点，满足，，平分．    (1)如图1，当点G在点F右侧时，求证：； (2)如图2，当点G在点F左侧时，求证：； 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）先根据平分，可得出,从而得到,然后根据内错角相等，两直线平行，得出，又，所以,根据同位角相等，两直线平行，及可得出答案； （2）过点G作，交于点H，可得到,所以，，故可得到． 【详解】（1）证明：（1）∵平分， ∴, 又∵，     ∴, ∴（内错角相等，两直线平行）， ∴, ∵， ∴, ∴（同位角相等，两直线平行）； （2）证明：过点G作，交于点H，如图，    由（1）可得， ∴, ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的判定与性质，解题的关键是找到各个角度之间的关系． 33．如图1，直线EF与直线AB，CD分别交于点E，F，∠1+∠2＝180°． （1）求证：AB∥CD； （2）如图2，若M为线段EF上一定点，P是直线CD上的一个动点（点P不与点F重合）．当点P在射线FC上移动时，求证：∠FMP+∠FPM＝∠AEF； （3）如图3，当点P在射线FD上移动时，求证：∠FPM+∠AEF＝∠EMP． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析． 【分析】（1）根据邻补角的定义等量代换得出∠1＝∠EFD，即可判定AB∥CD； （2）过点M作MH∥AB，则MH∥AB∥CD，根据平行线的性质即可得解； （3）过点M作MK∥AB，则MK∥AB∥CD，根据平行线的性质即可得解． 【详解】（1）证明：如图1， ∵∠2+∠EFD＝180°，∠1+∠2＝180°， ∴∠1＝∠EFD， ∴AB∥CD； （2）如图2，过点M作MH∥AB， 由（1）得，AB∥CD， ∴MH∥AB∥CD， ∴∠HMF＝∠AEF，∠HMP＝∠FPM， ∵∠HMF＝∠HMP+∠FMP， ∴∠FMP+∠FPM＝∠FMP+∠HMP＝∠HMF＝∠AEF； （3）过点M作MK∥AB， 由（1）得，AB∥CD， ∴MK∥AB∥CD， ∴∠EMK＝∠AEF，∠KMP＝∠FPM， ∵∠EMP＝∠EMK+∠KMP， ∴∠FPM+∠AEF＝∠KMP+∠EMK＝∠EMP． 【点睛】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理及作出合理的辅助线是解题的关键． 34．如图1，直线，被所截，． (1)求证：； (2)如图2，点是直线上的一个动点（点不与，重合），试探究与，之间的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2)或或 【分析】本题主要考查平行线的性质，解答的关键是作出适当的辅助线． （1）证明，根据“同位角相等，两直线平行”即可证明； （2）分三种情况讨论，当点在线段上、点在点的上方和点在点的下方，过点作，则由平行线的性质分别求解． 【详解】（1）证明：∵，且， ∴， ∴； （2）解：当点在线段上运动，猜想：，理由如下： 过点作，如图①， ∵， ∴， ，， ， ， 即； 当点在点的上方时，猜想：，理由如下： 过点作，如图②， ∵， ∴， ，， ，即， ∴； 当点在点的下方时，猜想：，理由如下： 过点作，如图③， ∵， ∴， ，， ， ，即． 综上，或或． 35．如图1，，若点为平面内一动点（点不在直线和直线上），连接，过点作，且点在点的右侧． (1)当点运动到如图2所示位置时，求证：； (2)直接用等式表示出，，之间存在的所有数量关系． 【答案】(1)证明见解析 (2)；；； 【分析】本题考查了平行线的性质，进行分类讨论是解题的关键． （1）利用平行线的性质，得到和，利用角度的转换即可解答； （2）根据分类讨论，依次画出情况即可，解答即可． 【详解】（1）证明：， ． ， ， ， 即． （2）解：当点在左侧，且在上方，根据（1）可得； 如图，当点在右侧时，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在左侧，且在下方， ， ． ， ， ； 如图，当点在右侧，且在下方， ， ． ， ， ， 综上所述，可得；；；． 36．已知E、F分别是、上的动点，P也是平面内的一动点． (1)如图1，若，求证：． (2)如图2，若，求证： (3)如图3，，移动E、F，使，试探索与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查的是平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定定理与性质、三角形外角的性质是解答此题的关键． （1）过作，由，得到，利用两直线平行内错角相等得到两对角相等，再由，等量代换就可得证； （2）过作，得到，然后推导，由此可得出结论； （3）由（1）中的结论，则有，利用平角定义表示出，即可得到结论． 【详解】（1）证明：过作， ∵， ∴， ∴，， ∴； （2）证明：过作， ∴， 又∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴； （3），理由为： 过点作， 由（1）可得：，即， ∵， ∴． 37．如图1，直线与直线、分别交于点E、F，平分交于点，且． (1)求证：； (2)如图2，点是射线上一动点（不与点M、F重合），平分交CD于点于点．当点在点的右侧时，若，求的大小． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质，角平分线的定义，作辅助线构造平行线利用平行线的性质计算是解题的关键． （1）根据角的平分线得到，进而；利用等量代换得到，然后根据平行线的判定得到结论； （2）现根据平行线的性质得到，然后利用角平分线的定义得到，过点作，然后利用平行线的性质解题即可． 【详解】（1）证明：∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴； （2）如图2, ∴ , 又∵平分，平分， ， ， 又∵ ， ， 过点作， ， ． 38．如图，已知，的平分线与的平分线相交于点．    (1)求证：； (2)如图，为线段上一个定点，点为射线上一个动点，当点在射线上运动（点除外）与有何数量关系？猜想结论并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 【分析】（1）根据平行线的性质得出，根据角平分线的定义即可得出，进而即可得证； （2）过点作 ， 则，根据平行线的性质得出，，进而得出． 【详解】（1）证明： ， 平分，平分 ， （2） 证明：过点作 ，    ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义，垂直的定义，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 39．已知，，AB，CD被直线l所截，点P是l上的一动点，连接PA，PC．      (1)如图①，当P在AB，CD之间时，求证：； (2)如图②，当P在射线ME上时，探究，，的关系并证明； (3)如图③，当P在射线NF上时，直接写出，，三者之间关系． 【答案】(1)见解析 (2)，见解析 (3) 【分析】（1）过 点作 ，则 ，再由 得出 ，故，利用等量代换即可得出结论； （2）先由平行线的性质得出 ，再由三角形外角的性质即可得出结论； （3）根据 得出 ，再由三角形外角的性质即可得出结论； 【详解】（1）证明：过点P作             ∵ ∴                     ∴， ∴ 即    （2） 理由：过点P作 ∵ ∴ ∴ ∴ ∴    （3） ∵    【点睛】本题考查的是平行线的性质，根据题意作出辅助线，构造出平行线是解答此题的关键 40．已知：如图，直线，直线与、分别交于E、F两点．过F作射线平分，交于点G．射线上有一动点P，过P作，交直线于点Q．        (1)如图1，当经过点E时，求证：平分； (2)当点P在运动过程中，作的角平分线，交射线于点M，试探究与的数量关系，请写出你的猜想并加以证明． 【答案】(1)证明见解析 (2)或 【分析】（1）根据是角平分线，可得得到，由根据，得到，则为等腰三角形，又因为为垂线，可得为角平分线，从而证得结论； （2）分两种情况讨论，当点在的延长线上时，令，分别用表示出与，然后再代换即可找到它们之间的关系；当点在线段上时，在四边形中根据四边形内角和以及外角定理可以得到，然后再结合与之间的关系，通过代换可找到与的数量关系． 【详解】（1）证明：    ∵， ∴， 又∵为角平分线， ∴， ∴， 又∵， ∴平分． （2）解：如下图，当在的延长线上时，    ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 即：， 由：， ∴， 当点在线段上时，    由图一可知，①， 即：②， ， 即：③， 由①②③可知： ④， 又∵， ∴， 有， ， 由④⑤可知 ， ， 即， 综上：或． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$