寒假作业09 相交线与平行线按梯度分类训练（5种类型50道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年七年级数学寒假作业（人教版2024）

寒假作业09 相交线与平行线按梯度分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 平行线判定基础题】 12 【题型3 探究两角数量关系】 17 【题型4 三角板与平行线综合】 29 【题型5 探究三角的数量关系】 49 【题型1 补全解答过程】 1．补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，求的度数． 解：，（已知） ．（______） ．（______） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（______） ．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（______） ，（平角定义） ．（等式性质） ，（已证） ______°．（______） 【答案】垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等． 【分析】本题主要考查了平行线的判定、平行线的性质、垂线的定义等知识点，灵活运用平行线的判定与性质成为解题的关键． 根据平行线的判定、平行线的性质进行推理即可解答． 【详解】解：，（已知） ．（垂直于同一直线的两直线平行） ．（两直线平行、同旁内角互补） ，（已知） ．（同角的补角相等） ．（内错角相等、两直线平行） ．（两直线平行、内错角相等） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（垂直的定义） ，（平角定义） ．（等式性质） （已证）， ．（两直线平行、同位角相等）． 故答案为：垂直于同一直线的两直线平行；两直线平行、同旁内角互补；；内错角相等、两直线平行；两直线平行、内错角相等；垂直的定义；40；两直线平行、同位角相等． 2．补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 【答案】两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】证明：， （两直线平行，内错角相等）， 平分， （角平分线定义）， （等量代换）， ， （垂直的定义）， ， ， 与互余， （互余的定义）， （同角的余角相等）， （同位角相等，两直线平行）． 故答案为：两直线平行，内错角相等；；；；；90；90；同角的余角相等；同位角相等，两直线平行 3．补全下面的证明： 已知：如图，，平分、平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（________）． ∵平分，平分（已知）， ∴，________________（角平分线的定义）． ∴________（等式的性质）． ∴（________）． 【答案】；两直线平行，同位角相等；；；；同位角相等，两直线平行 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键．先根据平行线的性质可得，再根据角平分线的定义可得，，从而可得，然后根据平行线的判定即可得证． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（两直线平行，同位角相等）． ∵平分，平分（已知）， ∴，（角平分线的定义）． ∴（等式的性质）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；；；；同位角相等，两直线平行． 4．补全下面的证明过程和理由： 如图，和相交于点O，，，，求证：． 证明：∵，，（ 已知） 又∵，（ ） ∴ ．（ ） ∴（ ）． ____________（_____________）． ， （ ）． ∴（ 等量代换）． 【答案】对顶角相等；，等量代换；内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，两直线平行，同位角相等 【分析】本题考查了平行线的判定与性质；根据平行线的判定与性质证明即可． 【详解】证明： ，，（ 已知） 又∵，（对顶角相等） （等量代换）． （内错角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）． ， （两直线平行，同位角相等）． （ 等量代换）． 故答案为：对顶角相等；，等量代换；内错角相等，两直线平行；，两直线平行，内错角相等；，两直线平行，同位角相等． 5．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 【答案】①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行 【分析】此题考查了平行线的判定与性质及三角形的外角性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键．根据对顶角相等结合题意推出，即可判定；根据平行线的性质等量代换得出，据此即可判定． 【详解】解：， （①对顶角相等）， （②等量代换）， （③同旁内角互补，两直线平行）， （④两直线平行，同位角相等；）． ， ， （⑤内错角相等，两直线平行）． 故答案为：①对顶角相等；②等量代换；③同旁内角互补，两直线平行；④两直线平行，同位角相等；⑤内错角相等，两直线平行． 6．如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 【答案】；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质，解题的关键是熟练掌握同旁内角互补，两直线平行；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同位角相等．根据平行线的判定和性质进行解答即可． 【详解】解：∵（已知）， ∴，（同旁内角互补，两直线平行）， ∴，（两直线平行，内错角相等）， ∵，（已知）， ∴，（垂直于同一直线的两条直线互相平行）， ∴，（两直线平行，同位角相等）， ∴，（等量代换）． 故答案为：；同旁内角互补，两直线平行；；两直线平行，内错角相等；；垂直于同一直线的两条直线互相平行；；两直线平行，同位角相等；；等量代换． 7．如图，已知，，，求证：．补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵（已知） ∴________（同位角相等，两直线平行） ∴________（________） 又∵（已知） ∴__________（__________） ∴（_________） ∴（_________） ∵（已知） ∴__________（垂直的定义） ∴ ∴ 【答案】见详解 【分析】本题考查了平行线的判定及性质，由平行线的判定方法得 ，由平行线的性质得 ， 由平行线的判定方法得，由平行线的性质得，由垂直的定义即可求证；掌握平行线的判定及性质是解题的关键． 【详解】证明： （已知） （同位角相等，两直线平行） （两直线平行，内错角相等） 又 （已知） （等量代换） （同旁内角互补，两直线平行） （两直线平行，同位角相等） （已知） （垂直的定义） ． 8．根据图形和题意补全下面的说明过程：（注：“”表示“因为”，“”表示“所以”．）如图，平分．，试说明．    解： 平分（已知） ________（________________） 又 （已知） （________________） （________________） （________________________） 【答案】； 角平分线定义； 等量代换； 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线的定义，利用角平分线的定义和等量代换可得出，利用“内错角相等，两直线平行”得出，然后利用平行线的性质即可得出结论． 【详解】解： 平分（已知） （角平分线定义） 又 （已知） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） （两直线平行，同旁内角互补） 故答案为∶； 角平分线定义； 等量代换； 内错角相等，两直线平行； 两直线平行，同旁内角互补． 9．如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 【答案】(1)；两直线平行，同旁内角互补；；同旁内角互补，两直线平行； (2)． 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、角平分线的定义、对顶角相等，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由平行线的性质得出，结合题意得出，即可得证； （2）由平行线的性质结合题意得出，再由角平分线的定义得出，即可得出答案． 【详解】（1）解： ∵（已知）， ∴（两直线平行，同旁内角互补）． ∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同旁内角互补，两直线平行） （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 10．如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得． 求证：．请补全证明过程．    证明：∵（已知） _______（ ）， ∵（已知） 且（ ） _______（等量代换）， _______（ ） _______（ ） （等量代换）． 【答案】；两直线平行，内错角相等；对顶角相等；；；同位角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补 【分析】本题主要考查了平行线的判定和性质．解题的关键是熟练掌握平行线的性质，两直线平行，同位角相等；两直线平行，内错角相等；两直线平行，同旁内角互补．平行线的判定方法，内错角相等，两直线平行；同位角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行．根据题意可得，从而得到，进而得到，即可得出． 【详解】证明：∵（已知） （两直线平行，内错角相等）， ∵（已知） 且（对顶角相等） （等量代换）， （同位角相等，两直线平行 ） （两直线平行，同旁内角互补） （等量代换）． 【题型2 平行线判定基础题】 11．如图，若，，，，试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查同旁内角互补、平行公理判断两直线平行，由可得，又由可得，则． 【详解】解：，，，， ， ， ∵， ∴， ． 12．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】平行，见解析 【分析】本题考查平行线的判定，熟练掌握平行线的判定方法是解题的关键，根据，，可得，从而得到，由内错角相等，两直线平行即可得到答案． 【详解】解：， 理由：∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴． 13．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定方法，也考查了角平分线定义．先由角平分线定义得出，那么，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】解：可以判断，理由如下： ∵，平分， ∴． ∵， ∴， ∴． 14．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 【答案】．理由见解析 【分析】本题考查的是邻补角的性质，平行线的判定，证明，即可得到结论． 【详解】解：． 理由：， ． ， ， ∴． 15．如图，已知，，，与平行吗？ 【答案】，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂直的定义，得到是解题的关键．由，得到，继而，即可求证． 【详解】解：，理由如下， 证明，∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 16．如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】本题考查了平行线的判定，垂线等知识点的应用，求出，根据平行线的判定定理即可推出答案． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 即， ∵， ∴， ∴． 17．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 【答案】，见解析 【分析】此题考查了平行线的判定．根据角平分线得到，对顶角相等得到，利用等量代换得到，即可证明． 【详解】解：． 证明：∵平分， ∴． 又∵， ∴． 又∵， ∴． ∴ 18．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 【答案】证明见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定．根据题意可得，根据一般地，从一个角的顶点出发，把这个角分成两个相等的角的射线，叫做这个角的平分线得出，即可得出，根据内错角相等，两直线平行即可证明． 【详解】证明：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 19．如图，，直线与平行吗？为什么？ 【答案】，理由见解析 【分析】先根据对顶角相等得到，再根据平角的定义得到，再由平行线的判定即可得出结论． 【详解】解：理由如下： ∵（已知），（对顶角相等）， ∴（等量代换）． ∵（已知），（平角定义）， ∴， 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等、两直线平行）． 20．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查平行线的判定、角平分线的性质和平角定义，根据角平分线得，结合已知得，那么，，利用同位角相等两直线平行即可得． 【详解】证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【题型3 探究两角数量关系】 21．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 【答案】，理由见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定与性质，要找与的数量关系，根据平行线的判定，由已知可得，则；根据平行线的性质，可得，结合已知条件，得，根据平行线的判定，得，从而求得结论． 【详解】解：． 理由：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 22．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查了平行线的性质和角平分线的计算，关键在于掌握两直线平行同位角相等，内错角相等，同旁内角互补的性质． （1）首先作，，，利用平行线的性质可得，再利用角平分线的定义得到，从而得到的度数，再根据角平分线的定义可求的度数； （2）先由已知得到，，由（1）得，，等量代换即可求解； （3）由（2）的方法可得到． 【详解】（1）解：作，，，如图所示． ， ， ， ， ． ， ． 和的角平分线相交于点F， ， ． 分别是和的角平分线， ，， ， ． （2），， ，． 与两个角的角平分线相交于点F， ，， ． ， ， ． （3）． 由（2）结论可得， ， 则． 23．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析； (2)． 【分析】（）依据题意，由，得，又，，可得，从而，则，故得解； （）根据已知条件，可得，再由，得，从而，又，即可得解； 本题考查了平行线的判定与性质，直角三角形的锐角互余，垂直的定义，熟练掌握平行线的判定定理和性质定理是解题的关键． 【详解】（1），理由如下： ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 24．如图，在四边形中，，E是延长线上一点，与交于点F． (1)若，求的度数； (2)若，且平分，判断与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定和性质、角平分线的定义，熟练掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）由对顶角的性质得到，再由平行线的性质得到的度数； （2）证明，则．由平分得到， 则，即可得到． 【详解】（1）∵，       ∴． 又∵， ∴ ∴ （2）， 理由如下：∵， ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵平分， ∴， ∴， ∴． 25．已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)若，且平分，说明和的数量关系． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线．熟练掌握平行线的判定与性质，角平分线是解题的关键． （1）如图，作，则，由，，可得，则，进而可得； （2）由，，可得，由平分，可得，由，可得，进而可得． 【详解】（1）证明：如图，作， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：； ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 26．如图，，． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】此题主要考查了平行线的判定和性质，解答此题的关键是熟练掌握平行线的性质． （1）先由得，再根据推出，可得出，据此可判定与的数量关系； （2）根据平分及得，然后根据平行线的性质得，据此可得的度数. 【详解】（1）解：，理由为： ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 由（1）知：， ∴， ∵，， ∴， ∴. 27．如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，正确作出作辅助线、构造平行线成为解题的关键． （1）过点M作，则，根据，可得，再根据平行线的性质即可解答； （2）过点M作，即，根据、可得，根据平行线的性质可得，再结合即可解答． 【详解】（1）解：如图①，过点M作，则， ∴,     ∵, ∴,     ∵，, ∴,     ∴． （2）解：猜想：，理由如下： 如图②，过点M作，即, ∴, ∵，,     ∴, ∴， ∵, ∴， ∴． 28．如图1，，直线与、分别交于点A，D，点B在直线上，过点B作，垂足为点G． (1)求证：； (2)若点C在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系． 【答案】(1) (2)或，证明见解析 【分析】本题主要考查了平行线的性质与判定，角平分线的定义： （1）过点作，根据平行线的性质即可求解； （2）分两种情况：当点在上，当点在上，再过点作，利用平行线的性质与判定进行求解即可． 【详解】（1）证明：如图，过点作， ∴， ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴． （2）补全图形如图2、图3， 猜想：或． 证明：过点作． 　　　 ∴． ∵， ∴ ∴， ∴． ∵平分， ∴． 如图3，当点在上时， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 即． 如图2，当点在上时， ∵平分， ∴． ∴． 即． 29．如图，，，，探索与的数量关系，并说明理由．    【答案】，理由见解析． 【分析】题考查了平行线的判定与性质，根据平行线的判定与性质求解即可． 【详解】解：． 理由：，， ． ． ． ， ． ． ． 30．如图，已知，且．    (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【答案】(1)，理由见解析 (2) 【分析】本题考查平行线的判定和性质： （1）先证明，得到，根据，得到，即可得证； （2）根据角平分线的定义和平行线的性质，求解即可． 【详解】（1）． 理由如下： 又 ． （2） 平分 ． 【题型4 三角板与平行线综合】 31．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握平行线的性质和判定是解题的关键． （1）如图4，过点C作．得出．根据平行线的性质即可求解； （2）设，如图5，过点C作．得出．根据平行线的性质得．根据，即可得出．结合，即可求解； （3）设，，．如图6，过点A作．得出．根据平行线的性质得．由已知，得．结合，，即可求解； 【详解】（1）解：． 如图4，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． （2）解：设． 如图5，过点C作． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴． ∴． ∴， 即． （3）解：设，，． 如图6，过点A作． ∵， ∴． ∴． 由已知，得． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． ∴． 32．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图，若，则=_______°； (2)若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 【答案】(1)45； (2)①见解析；②． 【分析】本题考查了平行线的判定和性质． （1）过点作，根据，可得，根据平行线的性质可得； （2）①根据平行线的性质和角平分线定义即可说明；②当保持不变时，总有，在直角三角形中，，可得，根据和角平分线的定义，即可求出与α之间的数量关系． 【详解】（1）解：如图，过点E作， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 则， 故答案为：45； （2）解：①∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 在直角三角形中，， ∴， ∴， ∵， ∴； ②∵当保持不变时，总有， 在直角三角形中，， ∴， ∵ ∴，且， ∵平分， ∴， ∴． 33．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 【答案】(1)； (2)； (3)或． 【分析】此题主要考查了平行线的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握平行线的性质，角的计算是解决问题的关键． （1）依题意得：，由，得出， 再得出，即可求解； （2）过点E作，得到，得出，，即可求解； （3）分两种情况讨论如下：①当点E在上方时，当点E在下方时，分别求解即可． 【详解】（1）解：依题意得：， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图，过点E作， 依题意得：， ， ， ， ， ， ． （3）解：分两种情况讨论如下： ①当点E在上方时，设交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ； 当点E在下方时，延长交于点H，如图所示： 依题意得：， 设，则， ， ， ， 解得：， ， ， 综上所述：射线与相交所夹锐角的度数为或． 34．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°． (2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了余角的性质、平行线的性质等知识点，灵活使用平行线的性质是解答本题的关键． （1）由余角性质和平行线的性质分析即可； （2）过点B作，然后运用余角性质和平行线的性质解答即可； 【详解】（1）解：设三角板与直线b的交点为N， ， ， ， ∴， ∴． 故答案为：． （2）与的关系：． 证明：过点B作， ∵，． ∴ 由题意可知，， ∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴， ∴． 35．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 【答案】（1）；（2）；理由见解析；（3）；理由见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）根据平行线的性质可得，所以可得，进一步可求得答案； （2）由已知可求得，，即可根据“同旁内角互补，两直线平行”得出结论； （3）根据平行线的性质可得，进一步可得，再根据，即可得出结论． 【详解】解：（1）， ， ， ； 故答案为：． （2）； 理由如下： ，， ， ，， ， ， ； （3）． 理由如下： ， ， ， ， ， 又， ． 36．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】此题考查了平行线的判定与性质，熟记平行线的判定定理与性质定理是解题的关键． （1）根据平行线的性质及角的和差求解即可； （2）过点B作，根据平行线的性质及角的和差求出，即可判定，根据平行公理推论即可推出； （3）根据平行线的性质及角的和差求解即可． 【详解】（1）解∶ ， ， ， ， ， ； （2）解∶ ，理由如下： 如图2，过点B作， 则， ， ， ， ， 又， ； （3）解∶ ，理由如下： ， ， ，， ， ． 37．综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 【答案】(1) (2)所有满足条件的t的值为10或40 【分析】本题考查了平行线的判定和性质，熟练掌握知识点并能够分类讨论是解题的关键． （1）根据两直线平行，内错角相等得出，再根据角的和差求解即可； （2）分两种情况进行讨论：当时，延长交于点P，当时，延长交于点T，进而根据平行线的判定和性质进行求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴； （2）解：如图，①当时，延长交于点P，延长交于点Q，      ∵， ∴， ∵，，． ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 ∴， 解得； ②当时，如图，延长交于点T，    ∵三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转， ∴秒转过的角度为，即 根据题意得：， ∵， ∴， ∵，，． ∴， ∴， ∴， ∴； 综上所述：所有满足条件的t的值为10或40． 38．已知：直线，一块三角板，其中，． (1)如图1，三角板的顶点H落在直线上，并使与直线相交于点G，若，求的度数． (2)如图2，当三角板的顶点F落在直线上，且顶点H仍在直线上时，与直线相交于点M，试确定、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当三角板的顶点F落在直线上，点H在、之间，点E落在直线时，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且，说明：． 【答案】(1) (2)；理由见解析 (3)见解析 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，三角形的内角和定理，直角三角形的性质，设，通过计算是解题的关键． （1）利用两直线平行，同位角相等和平角的意义解答即可； （2）利用平行线的性质和三角形内角和定理的推论解答即可； （3）设，利用平行线的性质和角平分线的定义在中，通过计算，利用同位角相等，两直线平行判定即可得出结论． 【详解】（1）∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴． （2）、、的数量关系为：． 理由：∵， ∴， ∵， ∴． （3）设，则，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分． ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 39．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 【答案】(1)40 (2) (3)②正确，不变值为2 【分析】（1）证明，再利用角的和差运算可得答案； （2）如图，过作，而，可得，可得，，证明，可得，，再进一步可得答案； （3）设，可得，同理可得：，则，再进一步可得答案； 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴； （2）解：如图，过作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴，， ∵平分，平分， ∴，， ∴， 同理可得：； （3）解：②的值不变，理由如下： 设， ∴， 同理可得：， ∴, ∴；； ∴①的值变化；②的值不变． 【点睛】本题考查的是平行线的判定与性质，角平分线的含义，角的和差倍分关系，作出合适的辅助线是解本题的关键. 40．如图，直线，直线与分别相交于点，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且． (1)  填空：______（填“”“”或“”）． (2)的平分线交直线于点． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小宁将三角板沿直线左右移动，并保持（点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）． 【答案】(1) (2)①，②或 【分析】本题主要考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质，角平分线的定义，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想解题，是解此题的关键． （1）过点作，根据平行线的性质可得，，进而可求解； （2）①由平行线的性质可得，由角平分线的定义可得，再利用平行线的性质即可求解； ②可分两种情况：当点在点的右侧时，当点在点的左侧时，利用平行线的性质及角平分线的定义计算可求解． 【详解】（1）解：如图1，过点作，    ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）解： ，， ，， ， 平分， ， ， ， ； 的度数为或， 如图2，当点在点的右侧时，    ，， ， ， ， ，， 平分， ， ； 如图3，当点在点的左侧时，    同理可得， ， ，， 平分， ， ， 综上所述，的度数为或． 【题型5 探究三角的数量关系】 41．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）首先过点P作，则可得，然后由两直线平行，同旁内角互补以及内错角相等，即可求解； （2）作，可得，根据平行线的性质，即可证得； （3）先证明，利用（2）的结论即可求解． 【详解】（1）解：∵， 过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：， 如图，作， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴； ∴； （3）解：设交于O，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 由（2）得， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行线的性质以及角平分线的定义．注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 42．已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上一动点． (1)如图①，当点在线段上运动时， ①若，，则 ； ②问，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由． (2)当点在两点的外侧运动时（点与点不重合，如图②和图③），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，写出，，之间的数量关系，并选择其中一种情况说明理由． 【答案】(1)①；②，理由见解析 (2)不成立，当如图②时，它们的关系是，当如图③时，它们的关系是，选图②理由见解析 【分析】此题考查了平行线的性质，三角形内角和，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键． （1）①根据，和三角形内角和即可得出，，根据两直线平行，同旁内角互补，得，再根据平角即可得出 ②根据两直线平行，同旁内角互补得，根据平角和三角形内角和即可得出证明 （2）过点作，在根据两直线平行，内错角相等，分两种情况进行讨论证明即可． 【详解】（1）①解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． ②解：猜想：． 理由：由上可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 化简可得． （2）不成立， 如图：， 理由：过点作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图：， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 43．已知如图，，点分别在上，平分． (1)若，，分别求的度数； (2)探求与的数量关系（)． 【答案】(1)的度数分别为； (2)． 【分析】（）由，根据两直线平行，内错角相等得到，，则，又平分，可计算出，然后计算即可； （）由（）得，再根据角平分线的定义得到，而，然后经过角的代换即可得到与的数量关系； 本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，角的和差，掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵，   ∴，， ∴， ∵平分， ∴ ， ∴， ∴的度数分别为； （2）解：由（）得，   ∴ ， ∴ ， ． 44．如图，， (1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由； (2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论． 【答案】(1)，理由见解析； (2)不成立，，理由见解析． 【分析】本题考查了平行线的性质，掌握平行线的性质是解题的关键． （1）过点作，利用平行线的性质即可得出； （2）过点作，利用平行线的性质即可得出． 【详解】（1）解：如图：过点作， ∵， ∴， ∴， ， ∴， ∵， ∴． （2）解：不成立，理由如下： 如图：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴． 45．如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是　　． 【答案】(1)见解析 (2) (3)或 【分析】本题考查平行线的性质，对顶角相等等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． （1）如图1中，过作．利用平行线的性质即可解决问题． （2）如图2中，作，，设，，可得，证明，，推出即可解决问题． （3）分两种情形分别画出图形求解即可． 【详解】（1）证明：如图1中，过作． ， ， ， ， ， ， ， ， ． （2）解：如图2中，作，， 设，， 由（1）知：，， ， ， ， 同理：， ， ． （3）如图，设交于． 当点在内部时，， ， 平分， ， ， ，， ， ． 当点在直线的下方时，同法可知：， 综上所述：或． 46．如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数； 【答案】(1)，证明见解析 (2) 【分析】（1）过点作，利用平行线的判定及性质即可得解； （2）由（1）得，将代入即可得解． 本题主要考查了平行线的性质以及平行公理的推论，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【详解】（1）解：， 理由如下：过点作，如图，      ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ， ∴； （2）解：由（）得， ∴， ∴， 解得． 47．如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 【答案】(1)见解析 (2)，理由见解析 (3) 【分析】该题主要考查了平行线的性质和判定，解题的关键是正确做出辅助线． （1）如图1，过点F作，根据平行线性质得出．再结合，得出，得出，即可证明． （2）如图2，过点F作，根据平行线性质得出．结合，得出，根据平行线性质得出，即可证明． （3）如图3，过点F作，过点P作，得出，．证明，，根据平行线性质得出，．结合角平分线的定义即可求解； 【详解】（1）解：如图1，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）解：． 理由：如图2，过点F作， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． （3）解：如图3，过点F作，过点P作， 则，． ∵， ∴，， ∴，． ∵，， ∴，． ∵的平分线和的平分线交于点P， ∴，， ∴， ∴． 48．综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．    【答案】（1）见解析；（2）；（3），见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质的综合应用，角平分线的定义，邻补角的定义． （1）由，得到，根据，依据内错角相等，两直线平行即可得出结论； （2）利用，得到，由邻补角的定义得到，再根据角平分线的定义得到，由，得到，即可求出的度数； （3）过点E作，根据，得到，，进而推出，再根据，得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）证明：∵， ∴． ∵， ∴， ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵平， ∴． ∵， ∴， ∴． （3）． 理由：如图，过点E作．    ∵， ∴，， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 49．已知直线，直线分别与直线交于点，点是直线上一动点． (1)如图①所示，当点在线段（端点除外）上运动时，之间存在什么数量关系？写出你的猜想，并说明理由． (2)当点在的延长线或反向延长线上运动时（端点除外，如图②③所示），（1）中的结论是否仍然成立？若仍然成立，请说明理由；若不成立，请直接写出之间的数量关系． 【答案】(1)猜想：，理由见解析 (2)（1）中的结论不成立，当点在的延长线上运动时，；当点在的反向延长线上运动时， 【分析】本题主要考查了平行线的性质，过点P作平行线、构造内错角成为解题的关键． （1）过点P作，根据平行线的性质即可得到，根据，可得； （2）过点P作，根据平行线的性质，可得，图2中，根据，可得；图3中，根据，可得． 【详解】（1）解：，理由如下： 如图1，过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）解：不成立，如图2：， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 如图3：， 理由：过点P作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 50．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 【答案】(1)，理由见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，正确添加辅助线是解题的关键． （1）过点作，则，则，，再根据角度和差计算求解即可； （2）同（1）即可求解． 【详解】（1）解：，理由如下， 过点作， ， ， ，， ， ． （2）解：上述结论不成立．新结论：，理由如下： 过点作． ， ∴ ， ， ，即． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业09 相交线与平行线按梯度分类训练 （5种类型50道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 平行线判定基础题】 6 【题型3 探究两角数量关系】 8 【题型4 三角板与平行线综合】 11 【题型5 探究三角的数量关系】 16 【题型1 补全解答过程】 1．补全推理过程： 如图，在中，于点D，点E在上，于点F，过点D作直线交于点G，交的延长线于点H，，求的度数． 解：，（已知） ．（______） ．（______） ，（已知） ______．（同角的补角相等） ．（______） ．（______） ，（已知） ．（等量代换） ，（已知） ．（______） ，（平角定义） ．（等式性质） ，（已证） ______°．（______） 2．补全下面推理过程： 已知：如图，，E是直线AB上的一点，CE平分，射线，与互余． 求证： 证明：， ______ 平分， ______=______角平分线定义， ______等量代换， ______， 垂直的定义， ， ______， 与互余， ______互余的定义， ______， ______ 3．补全下面的证明： 已知：如图，，平分、平分．求证：． 证明：∵（已知）， ∴________（________）． ∵平分，平分（已知）， ∴，________________（角平分线的定义）． ∴________（等式的性质）． ∴（________）． 4．补全下面的证明过程和理由： 如图，和相交于点O，，，，求证：． 证明：∵，，（ 已知） 又∵，（ ） ∴ ．（ ） ∴（ ）． ____________（_____________）． ， （ ）． ∴（ 等量代换）． 5．补全下列解题过程． 如图，在中，点E、F分别在上，点M、N均在上，连接交于点O，已知，试说明． 解：， （①___________）， （②___________）， （③___________）， （④___________）． ， ， （⑤___________）． 6．如图，在四边形中，，于点D，于点F，试说明．请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 解：∵（已知）， ∴______，（_____________________）， ∴______，（_____________________）， ∵，（已知）， ∴______， ∴______，（_____________________）， ∴______ 7．如图，已知，，，求证：．补全下面的推理过程，并在括号内填写推理依据． 证明：∵（已知） ∴________（同位角相等，两直线平行） ∴________（________） 又∵（已知） ∴__________（__________） ∴（_________） ∴（_________） ∵（已知） ∴__________（垂直的定义） ∴ ∴ 8．根据图形和题意补全下面的说明过程：（注：“”表示“因为”，“”表示“所以”．）如图，平分．，试说明．    解： 平分（已知） ________（________________） 又 （已知） （________________） （________________） （________________________） 9．如图，直线，． (1)补全下列说理过程； ∵（已知）， ∴_______（___________）． ∵（已知）， ∴_______（等量代换）， ∴（__________）； (2)若平分，且，求的度数． 10．如图，已知，射线交于点F，过点D作射线，使得． 求证：．请补全证明过程．    证明：∵（已知） _______（ ）， ∵（已知） 且（ ） _______（等量代换）， _______（ ） _______（ ） （等量代换）． 【题型2 平行线判定基础题】 11．如图，若，，，，试说明． 12．如图，直线过点C，若，，，试判断与的位置关系，并说明理由． 13．如图所示，已知，，平分，可以判断吗？为什么？ 14．如图，已知，问：与平行吗？与呢？为什么？ 15．如图，已知，，，与平行吗？ 16．如图，与互为余角，，垂足为与平行吗？为什么？ 17．如图，在三角形中，，点分别在边的延长线上，作射线，如果平分，那么与平行吗？为什么？ 18．已知如图所示，，点、、在同一条直线上，，且平分，证明：． 19．如图，，直线与平行吗？为什么？ 20．如图，直线，，被直线所截，平分，已知，求证：． 【题型3 探究两角数量关系】 21．如图，，，，试探索与有怎样的数量关系，并说明理由． 22．已知，与的角平分线相交于点F． (1)如图①，若分别是和的角平分线，且，求的度数； (2)如图②，若，求的度数； (3)若，请直接写出与之间的数量关系． 23．如图，已知，射线交于点，交于点，从点引一条射线，且． (1)请判断与有怎样的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 24．如图，在四边形中，，E是延长线上一点，与交于点F． (1)若，求的度数； (2)若，且平分，判断与的数量关系，并说明理由． 25．已知：如图所示，直线、直线被直线所截，分别交直线、于点、．点为其内部一点，连结，，且满足． (1)求证：； (2)若，且平分，说明和的数量关系． 26．如图，，． (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，于点E，，求的度数． 27．如图，． (1)如图①，若，点B在射线上，，求的度数； (2)如图②，若，试猜想与的数量关系，并说明理由． 28．如图1，，直线与、分别交于点A，D，点B在直线上，过点B作，垂足为点G． (1)求证：； (2)若点C在线段上（不与、、重合），连接，和的平分线交于点H，请在图2中补全图形，猜想并证明与的数量关系． 29．如图，，，，探索与的数量关系，并说明理由．    30．如图，已知，且．    (1)判断与的数量关系，并说明理由； (2)若平分，，求的度数． 【题型4 三角板与平行线综合】 31．如图，将含角的三角板（）放置在相互平行的直线和所在平面内． (1)将三角板如图①放置，交于点，交于点，分别交，于点，．写出与的数量关系：___________． (2)如图②，为上一点，连点，若，探究与之间的关系． (3)旋转三角板至如图③位置，为上一点，连接，当时，（n为常数），则_______．（直接填结果） 32．已知：，一块三角板中，，，将三角板如图所示放置，使顶点C落在边上，经过点D作直线交边于点M，且点M在点D的左侧． (1)如图，若，则=_______°； (2)若的平分线交边于点F． ①如图，当，且时，试说明：； ②如图，当保持不变时，试求出与α之间的数量关系． 33．综合与实践：数学社团的同学以“两条平行线（）和一块含角的直角三角板”为主题开展数学活动，已知点不能同时落在直线和之间． (1)【探究】如图1，把三角板的角的顶点分别放在上，若，求的度数； (2)【迁移】如图2，把三角板的锐角顶点放在上，且保持不动，绕点转动三角板，若点恰好落在和之间，且与所夹锐角为，求的度数； (3)【拓展】把三角板的锐角顶点放在上，在绕点旋转三角板的过程中，若，请直接写出射线与相交所夹锐角的度数． 34．数学活动课上，老师先在黑板上画出两条平行线a，b，再将三角板（）放在黑板上，与直线a相交于点A，转动三角板得到如图所示的两个不同位置的图形． (1)如图1，若点B在直线b上，，则_____°． (2)如图2，若点B在直线a，b之间，则与之间有怎样的数量关系？写出结论，并说明理由． 35．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 （1）小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使三角板的直角顶点落在上，已知，，且，则的度数为______； （2）如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间（其中），并使直角顶点A在直线上，顶点在直线上，现测得，，请判断直线与是否平行，并说明理由； （3）现将三角板按图3方式摆放（其中），使顶点在直线上，直角顶点A在直线上，若，请写出与之间的关系式，并说明理由． 36．【问题背景】 在数学综合与实践活动中，数学兴趣小组的活动主题是《关于三角板的数学思考》， 【实践操作】 (1)小明将一副三角板按如图1所示的方式放置，使点E落在上，且，求的度数； (2)如图2，小红将一个三角板放在一组直线与之间，并使顶点A在直线上，顶点C在直线上，现测得，，请判断直线，是否平行，并说明理由； (3)现将三角板按图3方式摆放，使顶点C在直线上，顶点A在直线上，若，请求出与之间的关系式． 37．综合与探究：如图，一副三角板，其中，，    (1)若这副三角板如图1 摆放，， 求的度数． (2)将一副三角板如图2所示摆放，直线，保持三角板不动，现将三角板绕点D以每秒的速度顺时针旋转，如图3，设旋转时间为t秒，且，若边与三角板的一条直角边（边，）平行时，求所有满足条件的t的值． 38．已知：直线，一块三角板，其中，． (1)如图1，三角板的顶点H落在直线上，并使与直线相交于点G，若，求的度数． (2)如图2，当三角板的顶点F落在直线上，且顶点H仍在直线上时，与直线相交于点M，试确定、、的数量关系，并说明理由． (3)如图3，当三角板的顶点F落在直线上，点H在、之间，点E落在直线时，在线段上取点P，连接并延长交直线于点T，在线段上取点K，连接并延长交的角平分线于点Q，若，且，说明：． 39．在综合与实践课上，老师让同学们以“三角板与平行线”为主题开展数学活动．已知直线、，直角三角板，，，． (1)小明将三角板按如图1方式摆放，点在上，边与交于点，若，则____________°； (2)小亮将三角板按如图2方式摆放，点、分别在、上，的角平分线与的角平分线交于点，若，求的度数； (3)小颖将图2中的三角板进行适当转动，点、仍然分别在、上，如图3，再将沿边翻折，边的对应边与交于点，小颖给出下列两个结论： ①的值不变；②的值不变． 其中只有一个是正确的，你认为哪个是正确的？请说明理由． 40．如图，直线，直线与分别相交于点，．小宁将一个含角的直角三角板按如图1放置，使点分别在直线上，且． (1)  填空：______（填“”“”或“”）． (2)的平分线交直线于点． ①如图2，当时，求的度数； ②如图3，小宁将三角板沿直线左右移动，并保持（点不与点重合），在平移的过程中求的度数（用含的代数式表示）． 【题型5 探究三角的数量关系】 41．已知直线，P为平面内一点，连接． (1)如图1，已知，求的度数； (2)如图2，判断之间的数量关系为 　　． (3)如图3，在（2）的条件下，，平分，若，求的度数． 42．已知直线，直线和直线交于点和，点是直线上一动点． (1)如图①，当点在线段上运动时， ①若，，则 ； ②问，，之间存在什么数量关系？请你猜想结论并说明理由． (2)当点在两点的外侧运动时（点与点不重合，如图②和图③），上述（1）中的结论是否还成立？若不成立，写出，，之间的数量关系，并选择其中一种情况说明理由． 43．已知如图，，点分别在上，平分． (1)若，，分别求的度数； (2)探求与的数量关系（)． 44．如图，， (1)在图1中，写出的数量关系，并说明理由； (2)在图2中，（1）的结论是否成立？若成立，请证明，若不成立，请你探究的数量关系，并写出你探究的结论． 45．如图1，已知，点、在直线上，点、在直线上，且于． (1)求证：； (2)如图2，平分交于点，平分交于点，求的度数； (3)如图3，为线段上一点，为线段上一点，连接，为的角平分线上一点，且，则、、之间的数量关系是　　． 46．如图， ，点在直线，之间，连接，．    (1)写出，，之间的数量关系，并说明理由； (2)若，，求的度数；     47．如图，，点E，G分别在直线，上，F是平面内任意一点，连接，． (1)探究：如图1，当点F在直线的左侧时，试说明：． (2)问题迁移：如图2，当点F在的上方时，，，之间有何数量关系？请说明理由． (3)联想拓展：如图3，若，的平分线和的平分线交于点P，用含的式子表示的度数． 48．综合与探究 【提出问题】（1）如图1，已知，线段分别与交于点A，G，B，，求证：． 【深入探究】（2）如图2，点D在上，，，平分，，求的度数． 【拓展探究】（3）如图3，，，试探究和有怎样的数量关系，写出结论，并说明理由．      49．已知直线，直线分别与直线交于点，点是直线上一动点． (1)如图①所示，当点在线段（端点除外）上运动时，之间存在什么数量关系？写出你的猜想，并说明理由． (2)当点在的延长线或反向延长线上运动时（端点除外，如图②③所示），（1）中的结论是否仍然成立？若仍然成立，请说明理由；若不成立，请直接写出之间的数量关系． 50．已知直线，直线与直线、分别相交于C、D两点． (1)如图，有一动点P在线段之间运动（不与C、D两点重合），问在点P的运动过程中，又怎样的数量关系？试说明理由． (2)如图b，当动点P线段之外运动（不与C、D两点重合），问上述结论是否成立？若不成立，试写出新的结论并说明理由． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$