寒假作业08 角相关解答题按梯度分类训练（7种类型70道）-【寒假巩固提升】2024-2025学年七年级数学寒假作业（人教版2024）

寒假作业08 角相关解答题按梯度分类训练 （7种类型70道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 余角相关计算】 11 【题型3 补角相关计算】 19 【题型4 角平方线相关计算】 28 【题型5 三角板相关计算】 36 【题型6 探究数量关系】 48 【题型7 用整体思想解题】 59 【题型1 补全解答过程】 1．如图，已知平分，平分，，求的度数． 解：因为平分，， 所以________ _________， 所以_________ _________， 因为平分， 所以__________________， 所以________________________． 【答案】，；，；，；，，． 【分析】本题考查了角平分线的定义和角的有关计算，根据角平分线的定义和角的有关计算即可求解，掌握角平分线的定义是解题的关键． 【详解】解：因为平分，， 所以， 所以， 因为平分， 所以， 所以， 故答案为：，；，；，；，，． 2．如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：∵平分，，， ∴______=______， ∴_______=_____， ∵平分， ∴_______=______， ∴_______=________． 【答案】，40，，90，，45，，85 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，根据角平分线的定义求出，根据，求出，根据角平分线的定义求出，即可得出答案． 【详解】解：∵平分，，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， 故答案为：，40，，90，，45，，85． 3．填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 【答案】(1)；；；； (2)；；； 【分析】本题主要考查角平分线的定义，角的和差计算， （1）根据角平分线的定义得到，，然后再根据角的和差关系可得答案； （2）先算出的度数，再利用的度数可得答案． 【详解】（1）解：（1）如图，因为是的平分线， 所以 ． 因为是的平分线， 所以 ． 所以 °； 故答案为：；；；． （2）由（1）可知 ． 所以 ． 故答案为：；；； ． 4．请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以______． 因为，所以______， 因为，所以______， 所以______，因为， 所以______ ______． 【答案】 【分析】本题考查了互余的定义，角的和差，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据互余得出，再根据角之间的关系进而求解即可． 【详解】解：因为与互余，所以， 因为，所以， 因为，所以， 所以，因为， 所以， 故答案为：． 5．如图，，平分．求的度数．请将以下解答过程补充完整．    解：平分 （理由： ） （理由： ） 【答案】；角平线的定义；；；；同角的余角相等； 【分析】本题考查了角平分线的定义，余角的计算，结合角平分线的定义和同角的余角相等，即可求解． 【详解】解：平分 ．（理由：角平线的定义） （理由：同角的余角相等） 6．补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 【答案】90，90，，同角的余角相等，39，等量代换 【分析】此题主要考查了三角板中角的计算，同角的余角相等，正确掌握角之间的关系是解题关键． 根据同角的余角相等和角的关系求解即可． 【详解】解：∵（已知） （已知） ∴（同角的余角相等） ∵（已知） ∴（等量代换） 7．如图，，，平分，若，求的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴（ ）（填写推理依据） ∵， ∴， ∵平分， ∴ ＝ °（ ）（填写推理依据） ∴ ° 【答案】同角的余角相等，，，角平分线的定义， 【分析】本题考查的是与余角相关的计算，角平分线的定义，理解角的和差的运算是解本题的关键；根据每一步的提示结合条件，填写推理依据即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴（同角的余角相等） ∵， ∴， ∵平分， ∴（角平分线的定义） ∴． 8．根据题意填空 如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ∴_____°， ∵， ∴____， ____=____°， 又平分， ∴ （________________）， ∴ （____________________）． 【答案】；；；；角平分线定义；等量代换 【分析】本题考查了角平分线的定义、角的计算，根据定义求解即可． 【详解】点在直线上 ， 又平分 （角平分线定义） （等量代换） 故答案为：；；；；角平分线定义；等量代换． 9．已知， 如图， 点A， O， B在同一条直线上， 平分 ． 求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整 证明：， ∴ ， 又平分， ∴ ， ． 是的平分线． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，以及等角的余角相等，补角的定义，熟练掌握角平分线的定义，以及等角的余角相等是解题的关键．根据角平分线的定义得，然后根据等角的余角相等逐步推理证明即可求证是的平分线． 【详解】证明：∵， ∴， 又∵平分， ∴．（角平分线的定义） ∵， ∴．（等角的余角相等） ∴是的平分线． 10．请补全下面的解题过程 已知：如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，． 求证：是的平分线．    证明：因为是的平分线， 所以． 因为． 所以， ②°． 因为， 所以． 所以是的平分线． 【答案】①  ② ③  ④ 【分析】此题考查角平分线的定义，等角的余角相等的性质，根据角平分线的定义以及等角的余角相等逐步推理证明，即可得到结论． 【详解】证明：因为是的平分线， 所以． 因为． 所以， ． 因为， 所以， 所以是的平分线． 故答案为：①  ② ③  ④． 11．补全解题过程 已知：如图，O是直线上的一点，，平分．若，求的度数； 解：∵O是直线上的一点，（已知） ∴______． ，（已知） ______． 平分，（已知） ______． _____°． ∵，且， ______°． 【答案】，，，， 【分析】根据题意，结合图形，读懂每一步推理过程，即可完成补充． 【详解】解：∵O是直线上的一点，（已知） ． ，（已知） ． 平分，（已知） ． ，且， ． 故答案为：，，，，． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，互余、互补关系等知识，结合题意读懂每步推理是解题的关键． 【题型2 余角相关计算】 12．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了互余的定义，角平分线的定义，角的和差； （1）由角平分线的定义得，由互余的定义得，由角的和差，即可求解； （2）由互余的定义得 ，再由角平分线的定义即可求解； 理解互余的定义，角平分线的定义，会用角的和差表示出所求的解是解题的关键． 【详解】（1）解： 平分， ， 与互余， ， ， ； （2）解： 与互余， ， ， 平分， ， ． 13．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查的是角互余的含义，角平分线的定义，角的和差运算，熟练的利用角的和差关系进行计算是解本题的关键．由与互为余角，，可求出，进而求出，结合平分，可求出，根据对顶角相等得到，再利用角的和差关系可得答案． 【详解】解： 与互为余角， ， ， ， ， 平分， ， ． 14．如图，直线相交于O，，平分 (1)请直接写出图中所有与互余的角； (2)若，求与的度数． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查了余角的概念，角度的和差计算，根据图示确定各角之间的和差倍分关系是解题关键． （1）根据、可得；再结合、即可求解； （2）设，则，,根据即可列方程求解； 【详解】（1）解：∵， ∴ ∵ ∴ ∵平分 ∴ ∴ ∵ ∴ ∴与互余的角有：、、 （2）解：设， 则， ∴， 解得： ∴， 15．如图，已知，与互余，平分． (1)在图中，若，则__________，__________． (2)在图中，设，，请探究与之间的数量关系（写出过程）； 【答案】(1)； (2) 【分析】本题主要考查了余角的定义，角平分线的定义，几何图形中角度的计算： （1）由余角的定义得到，据此可得，再由角平分线的定义得到，则； （2）仿照（1）的过程求解即可． 【详解】（1）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）解：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即． 16．如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有________（填图中已有的角）； (2)求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 【答案】(1)和 (2) (3)是的平分线．理由见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义（平分所在的角）；补角：若两角和为则两角互补；余角：若两角和为则两角互余；掌握相关定义是解题的关键． （1）首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求出，最后利用余角的概念求解即可； （2）根据平角的定义计算即可； （3）利用余角的定义求出的度数，再由补角的定义求出的度数即可； 【详解】（1），平分， ， ∵， ∴， ∴，， 的余角是和； 故答案为：和； （2）∵ ； （3）平分． 理由如下： ，， ， ， ， 平分． 17．如图所示，直线、、交于点，平分，且，． (1)写出一对互余的角． (2)求的度数． 【答案】(1)与互余 (2) 【分析】本题考查角平分线的定义，角互余的定义． （1）根据互余角的定义，在图中找到一组即可； （2）先求，再由角平分线的定义求出，则有． 【详解】（1）， ， ， 与互余； （2）， ， ，， ， 平分， ， ， ， ． 18．如图，是的平分线，且．    (1)图中的余角是__________． (2)如果，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余角的定义，即可求解． （2）先求得，根据角平分线的定义求得，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：∵． ∴图中的余角是， （2）解：∵是的平分线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了余角的定义，几何图形中角度的计算，角平分线的定义，数形结合是解题的关键． 19．如图，点是直线上一点，，平分． (1)的余角是________； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据余角的定义即可作答； （2）先根据邻补角的定义求出，再根据余角的定义求出，再根据角平分线的定义即可作答． 【详解】（1）∵， ∴， ∴的余角是； （2）∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， 即的度数为． 【点睛】本题主要考查了角的度数的计算，正确理解角平分线的定义，余角的定义以及邻补角的定义是解题的关键． 20．直线、相交于点O，平分，，，求 (1)余角的度数 (2)与的度数． 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）根据余角的定义求解即可； （2）由已知，结合平角的定义，可得的度数，又因为与互为邻补角，可求出的度数，又由平分可求出． 【详解】（1）解：余角的度数为： ； （2） ，，为直线， ， ． 与互补， ， 平分， ． 故可得，． 【点睛】本题主要考查了余角，邻补角的概念以及角平分线的定义，注意各角之间的关系，属于基础题，解答本题的关键是一些基本概念的掌握，难度一般． 【题型3 补角相关计算】 21．如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查角的和差，角平分线的定义，补角的定义． （1）先由即可求出，再根据补角的定义即可解答； （2）由角平分线的定义可求得，，进而根据角的和可求得． 【详解】（1）∵，， ∴， ∴的补角为； （2）∵平分，平分， ∴，， ∴． 22．如图，点是直线上任意一点，以为端点在直线的同侧依次画出射线、，与互补．    (1)若，则的度数为________； (2)若在外部，平分，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义，补角的定义： （1）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，则； （2）根据度数之和为180度的两个角互为补角得到，由角平分线的定义得到，再由得到，据此可得答案． 【详解】（1）解：∵，与互补， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：∵与互补， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 23．如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 【答案】(1)， (2)是的平分线，理由见详解 【分析】本题考查了角的和差，补角的定义，角平分线的定义； （1）由角的和差得，由角的平分线及角的和差得，即可求解； （2）由补角的定义得，由角平分线的定义即可求解； 理解补角的定义，角平分线的定义，能用角的和差表示出所求的角是解题的关键． 【详解】（1）解： ，， ； 是的平分线， ， ； （2）解：是的平分线； 理由如下： ， ， ， ， 是的平分线． 24．如图，点是直线上一点，平分，平分．    (1)写出图中互补的角 (2)你能求出的度数吗？你能得出什么结论？ (3)如果，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2)能，一对邻补角的角平分线所成的角是直角 (3) 【分析】（1）根据补角的定义即可求解； （2）根据角平分线的定义，可得与的关系，与的关系，根据角的和差，可得答案； （3）根据角的和差，可得答案． 【详解】（1）解：∵平分，平分， ∴，， ∴互补的角有：与；与；与；与；与； （2）和是角平分线， ，， ， ， ， ， ， ； ∴可得结论：一对邻补角的角平分线所成的角是直角； （3）． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义，补角的性质，利用角的和差是解题关键． 25．如图，直线与相交于点，．    (1)如图，若平分，求的度数； (2)如图，若，且平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据角平分线的定义，得到，再利用平角进行求解，即可求出的度数； （2）根据平角和角平分线的定义，求得，再根据，求得，，进而得到，即可求出的度数． 【详解】（1）解：，平分， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， ， ， ， ，， ， ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，平角的性质，理解题意，找准角度之间的数量关系是解题关键． 26．如图，点在直线上，是的平分线，且． (1)求的度数； (2)直接写出补角的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据，是的平分线，得出，，根据已知条件得出，根据即可求解； （2）根据补角的定义，用，即可求解． 【详解】（1）解：∵，是的平分线， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴； （2）解：∵， ∴的补角为． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，补角的定义，几何图形中的角度计算，数形结合是解题的关键． 27．如图，已知直线与相交于点O，于点O、是的平分线. (1)若，求的度数； (2)的补角是______，的余角是______. 【答案】(1)； (2)和；和 【分析】（1）先求得，再根据角平分线的定义求得，据此求解即可； （2）由对顶角相等以及（1）的结论，得到，根据补角和余的定义即可求解. 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴； （2）解：∵， 且， ∴的补角是和； ∵， ∴， ∴的余角是和； 故答案为：和；和. 【点睛】本题考查了余角和补角的定义以及性质、角平分线的性质，若两个角的和为，则这两个角互余；若两个角的和等于，则这两个角互补． 28．如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的补角的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先根据角平分线的定义求出，再根据补角的定义求出结果即可； （2）得出，再根据，求出，最后求出结果即可． 【详解】（1）解：∵平分，， ∴， ∴的补角的度数为：． （2）解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义，补角的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义和补角定义． 29．点O是直线上一点，是任一条射线，，分别是和的平分线． (1)请直接写出图中的补角； (2)当时，求的度数． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）根据“和为的两个角互为补角”进行解答； （2）由是的平分线求出，进而求出，然后根据是的平分线可求的度数． 【详解】（1）∵是的平分线， ∴． ∵， ∴， ∴的补角有：，； （2）∵，是的平分线， ∴， ∴． ∵是的平分线， ∴． 【点睛】此题考查了补角的概念、余角的概念、角平分线的定义．关键是掌握互补的角和为和角平分线的定义． 30．如图，点O在直线AB上，，，OE是的平分线，． (1)求的度数． (2)找出图中与互补的角，并求出补角的度数． 【答案】(1) (2)和， 【分析】（1）利用余角互余关系求得，利用邻角补角关系求得，进而人求得； （2）利用等角的余角相等，求得与相等的角，即求得的补角． 【详解】（1） ， ， ． OE平分， ． （2）与互补的角是和， 因为， ， ， 补角的度数是31 ． 【点睛】本题考查余角、邻补角的定义，利用余角、邻补角的关系是解题关键． 【题型4 角平方线相关计算】 31．如图，是的角平分线，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算；设，则，得出，根据，进而建立方程，求得，根据，即可求解． 【详解】解：设，则， ∴ ∵是的角平分线， ∴ 又∵， ∴ ∴ ∴ 32．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查的是角平分线的含义，角的和差运算，熟练的利用角的和差运算进行计算与证明是解本题的关键． （1）先求解，再证明，结合，从而可得答案； （2）证明，，结合 ，从而可得答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴ ， ∴． 33．如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线性质等知识点， （1）利用两个角的和进行计算即可； （2）根据角平分线的意义和等式的性质，得出即可得解； 熟练掌握根据图形直观，得出角的和或差是解决此题的关键． 【详解】（1） ； （2）， ∴， 平分， ， ∵， ． 34．如图，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线的定义，熟练掌握角平分线的定义是解题的关键． （1）根据角平分线的定义求出和，进而求出的度数； （2）根据角平分线的定义求出即可解答． 【详解】（1）解：平分，平分， ，， ，， ，， ， 的度数为． （2）解：平分，平分， ，， ， ， ， 的度数为． 35．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，若，，、是、的角平分线，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，角度的计算，熟记各图形的性质并准确识图是解题的关键． （1）根据得，再由求解即可； （2）利用角平分线的定义分别得出，据此求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， 则， 又∵， ∴． （2）∵，， 、是、的角平分线， ∴，， ∴． 36．如图，、、三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，平角的定义以及角度的和差计算问题的，解答本题的关键是方程思想的运用． 首先根据角平分线的概念得到，然后利用平角的概念求解即可． 【详解】解：因为平分，， 所以． 所以． 因为，， 所以， 所以． 37．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了几何图中的角度计算角平分线的有关计算． （1）直接根据计算即可； （2）根据题意，由角平分线定义得出，，由计算即可得出答案． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵平分，平分，，， ∴， ∴ ． 38．已知O为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 【答案】， 【分析】本题考查了几何图中角度的计算，与角平分线有关的计算，先求出的度数，再根据角平分线的定义即可求出的度数，从而求出的度数；根据即可求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵O为直线上一点， ∴． 39．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． (2)将图（1）中的绕点顺时针旋转至图（2）所示的位置，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义，角的和差关系； （1）①先根据补角的定义求出的度数，再由角平分线的性质得出的度数，根据即可得出结论； ②类似①的解题过程可得出结论； （2）先根据角平分线的定义得出，再由即可得出结论． 【详解】（1）解：①因为， 所以． 因为平分，所以． 又因为，所以． ②∵是直角，， ∴， ∵平分， ∴， ∴．即：． （2）解：． 理由如下：因为，平分， 所以． 所以． 40．如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了角平分线定义和角的计算，解题的关键是求出、的度数和得出． （1）根据角平分线定义得出，代入求出即可； （2）根据角平分线定义求出和，再代入求出即可． 【详解】（1）解：，是的平分线， ； （2）解：是的平分线，是的平分线，，， ，， ． 【题型5 三角板相关计算】 41．如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想的度数？并说明理由． 【答案】(1)20 (2) (3)，理由见详解 【分析】（1）根据图形得出，代入求出即可； （2）根据角平分线定义求出，代入，求出，代入求出即可； （3）根据图形得出，，相减即可求出答案． 本题考查了角的计算，能根据图形求出各个角的度数是解此题的关键． 【详解】（1）解：如图①，， 故答案为：20； （2）解：如图②， 平分，， ， ， ， ， ； （3）解：，理由是： 如图③， ，， ， 即． 42．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则______． (2)如图2，将图①中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数？ 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查角的运算，角平分线相关计算，平角的定义，解题的关键在于利用分类讨论，以及数形结合的思想解决问题． （1）结合题意得到求解，即可解题； （2）根据直线恰好平分锐角，分情况讨论①当线段在之间时，①当线段在之间时，结合三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转求解，即可解题； （3）结合平角的定义，得到求解，即可解题． 【详解】（1）解： 与射线重合，， ， 故答案为：． （2）解：直线恰好平分锐角， ①当线段在之间时， 有， 三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转， （秒）， ②当线段在之外时， 有， 三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转， （秒）， 综上所述，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是秒或秒； （3）解： ， ． 43．将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线上，且三角板始终摆放在直线下方，三角板可绕点A任意旋转．已知，，． 设，（，） (1)当时，求的度数； (2)当时，求与的数量关系； 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）本题考查角度的加减，根据得到，结合角度关系即可得到答案； （2）本题考查三角板摆放角度问题，分当三角板的边在直线上方，和当三角板的边AB在直线MN下方两类讨论即可得到答案； 本题考查三角板中角度的计算．理清角度之间的和差关系，是解题的关键． 【详解】（1）解：当时， 此时且，即，在射线上， ∴； （2）解：∵，， ∴， ①当三角板的边在直线上方时，如图， ∵， ∴， ∵， ∴， 整理得：， ②当三角板的边在直线下方时，如图， ∴， ∴， ∵， ∴， 整理得：. 44．直角三角板的直角顶点在直线上，平分，． (1)如图1，若，求； (2)如图1，若满足，则 ；（用含α的式子表示） (3)将三角板保持点位置不变，放置在图2所示的位置，即满足，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由． 【答案】(1) (2) (3)成立，理由见解析 【分析】本题考查角平分线，掌握角平分线的定义，平角的定义以及图形中角的和差关系是正确解答的关键． （1）根据平角的定义，角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可； （2）根据（1）中的方法，用含有的代数式表示即可； （3）由可得，再由平分，可得，再计算即可得答案． 【详解】（1）解：， ， 平分， ， ， ； （2）解：， ， 平分， ， ， ， 故答案为：； （3）解：成立，理由如下： ， ， 平分， ， ， ． 45．将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 【答案】(1)相等． 理由见解析 (2) 【分析】本题考查了三角板的角度计算，角度的和差计算； （1）根据，，结合三角板的特点可得，根据等式的性质，即可求解； （2）根据，进而根据，即可求解． 【详解】（1）解：相等． 理由如下： 因为，， 由题意可知，所以． （2）因为， 又因为， ， 所以． 46．如图1，在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，．    (1)如图2，绕着点O转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由． (2)在转动三角板的过程中（两个三角板有重叠），若，求的度数． 【答案】(1)大小不发生变化，它的值是； (2)或． 【分析】本题考查余角与补角，解题的关键是掌握角的和差运算． （1）根据，再代换即可； （2）分两种情况讨论，①当在外时，②当在内时，讨论解得即可． 【详解】（1）∵， ∴的大小不变，， （2）设，则， ①当在外时， ∴， 解得， ∴， ②当在内时，如图，    ∴， 解得， ∴ ∴或． 47．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 【答案】(1)①的值为30；②图1中：，图2中； (2)的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由见解析． 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，几何图形中角度的计算： （1）①先根据图1求出的度数，再根据图2中，的度数即可求出答案；①根据角平分线的定义分别求出的度数即可得到答案； （2）根据角平分线的定义表示出的度数，再根据角的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：①在图1中，∵、、三点在同一条直线上， ∴． ∵，． ∴． 在图2中，， ∴三角形的旋转角的度数为． ∴的值为30． ②在题图1中．∵，平分， ∴． ∵，平分， ∴， ∴． 在题图2中， ∵，平分， ∴． ∵，平分． ∴． ∴． （2）解：的度数在旋转过程中不会变化，恒为，理由如下： ∵平分， ∴， ∴ ∵平分， ∴， ∴， ∴的度数在旋转过程中不会变化，恒为． 48．将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点作射线，使得．如图，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图1，当运动时间为___________秒时，斜边平分． (2)如图2，当运动时间为多少秒时，斜边平分？并求此时的度数． 【答案】(1) (2)当运动时间为秒时，斜边平分，此时的度数是 【分析】本题考查了角平分线的定义，结合图形中角度的计算； （1）根据角平分线的定义可得，进而即可求解； （2）先求得，根据平分，得出，进而得出，根据路程除以速度，进而根据即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴当斜边平分时， ∴运动时间为秒， 故答案为：． （2）解：∵， ∴． ∵平分， ∴， ∴，秒． 此时，． 答：当运动时间为35秒时，斜边平分，此时的度数是． 49．一副三角板如图放置，其中有部分重叠在一起，已知． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查角的和差运算，几何图形中角的和差关系，理解题意是关键： （1）根据求解即可； （2）先设，则，再根据题意得，解得x的值即可； 【详解】（1）解：∵，， ∴． （2）设，则． ∵， ∴由题意，得， 解得， 即． 50．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板由图1所处位置开始绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．当平分时，求满足要求的旋转角度的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了角平分线的有关计算，几何图形中角度计算； （1）根据平角的定义即可得到结论； （2）根据角平分线的定义求出，得出，根据平角求出． 解题的关键是数形结合，熟练掌握角平分线的定义． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵， ∴当平分时，， ∴， ∴． 【题型6 探究数量关系】 51．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 【答案】（1）；（2）；（3）． 【分析】本题考查了角度和差的计算，角平分线的定义， （1）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相加即可求解； （2）根据角之间的数量关系和角平分线定义求出和的度数，再将两个角的度数相减即可求解； （3）角含有的式子表示出，再计算出和的数量关系． 【详解】解：（1），， ． 又平分，平分， ，， ； ， ； （2），， ； ． ． 又平分， ， ； （3）设，则． ， ， ． ， ， ． 52．如图，点O是直线上一点，以O为顶点作，且位于直线两侧，平分．    (1)①当时，的度数为 ； ②当时，的度数为 ． (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)①；② (2)，理由见解析 【分析】本题考查了角的计算，掌握互余，互补，角平分线的概念是解题的关键． （1）①根据互余，求出，再根据角平分线求出，最后根据互补可求； ②同样根据互余，求出，再根据角平分线求出，最后根据互补可求； （2）由特殊到一般，利用角的和差倍分关系可转化得出结论． 【详解】（1）解：①∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴； ②∵， ∴ ∵平分 ∴ ∴ ． （2）， 理由：    平分    ． 53．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若，，与，有何数量关系？说明理由． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题考查了与角的平分线有关的计算，熟练掌握角的平分线的定义即从角的顶点出发的射线把这个角分成相等的两个角是解题的关键． （1）先计算，再根据角的平分线，计算即可． （2）先计算，再根据角的平分线得定义求解即可． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线 ∴，， ∴； （2）与α，β的数量关系为，与β无关．理由如下： ∵，， ∴， ∵是的平分线，是的平分线． ∴，， ∴． 54．已知为直线上一点，是直角，平分． 　 (1)如图1，若；求的度数； (2)当绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与的数量关系是什么？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义： （1）先求出，再由角平分线的定义得到，则由平角的定义可知． （2）把的度数看做已知，仿照（1）求出即可得到答案． 【详解】（1）解：∵是直角， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： ∵是直角， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 55．如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则________度； (2)若的度数为，的度数为，则是多少度？（用，表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了角平分线的定义和角度的和差倍分计算； （1）根据角平分线的定义求得及的度数，再由角之间的和差关系计算即可； （2）同（1）的方法，即可求解； （3）根据角平分线的定义表示出及，再由角之间的和差关系即可得到结论． 【详解】（1）解：射线在的内部，、分别是、的平分线，且，， ，， ； （2）解：射线在的内部，、分别是、的平分线，且，， ，， ； （3）解：，理由如下： 射线在的内部，、分别是、的平分线， ，， ． 56．如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 【答案】(1)； (2) 【分析】本题考查了角的计算，余角和补角，角平分线的定义，根据题目的已知条件并结合图形进行分析是解题的关键． （1）根据余角的定义可得：，从而可得，然后利用角平分线的定义可得，从而利用角的和差关系进行计算即可解答； （2）利用（1）的解题思路进行计算，即可解答． 【详解】（1）∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 故答案为：；； （2）， 理由：∵与互余， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴． 57．如图，E是直线上一点，，分别是，的平分线． (1)如果，求的度数． (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】本题考查角平分线的定义以及角度计算问题． （1）由角平分线的定义可得，，计算出，即可求解； （2）由角平分线的定义可得，，结合平角定义可得，代入整理即可求解． 【详解】（1）解：∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴； （2），理由如下： ∵∵，分别是，的平分线， ∴，， ∵， ∴， ∴ ∴． 58．如图，平分， (1)若，求的度数； (2)请画出的角平分线，试猜想与的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，画图和理由见解析 【分析】本题考查角的计算，基本作图，角平分线的定义等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题． （1）首先根据角平分线的概念得到平分，然后设，则，，然后利用列方程求解即可； （2）首先画出的角平分线，设，则，，然后根据角平分线的概念和角的和差求解即可． 【详解】（1）解：∵平分， ∴， 设， 则，， ∵， ∴， 解得， ∴， （2）解：如图所示，即为所求作的角平分线； 结论：． 理由：设，则，， ∵平分， ∴， ∴， ∴． 59．已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数 (2)如图①，猜测与的数量关系 (3)当射线绕点逆时针旋转到如图②的位置时，与的数量关系如何？请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)，理由见解析 【分析】本题考查角的和差及角平分线定义，结合已知条件利用数形结合得到角的和差关系是解题的关键． （1）根据已知条件易求得的度数，继而求得的度数， （2）利用角平分线的定义及角的和差即可求得与的数量关系． （3）利用角平分线的定义及角的和差即可求得与的数量关系． 【详解】（1）解：， ． 平分， ， ． （2）， ， 平分， ， 是直角， ， 故答案为：． （3） 仍然成立，理由： ， ． 平分， ． 60．如图，是内的一条射线，、分别平分、． (1)若，，求、的度数； (2)若，，求、的度数； (3)猜想：与有怎样的数量关系？并说明理由． 【答案】(1)， (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题主要考查了角平分线的定义，解题的关键是熟练掌握角平分线的定义，根据角平分线的定义和各个角之间的和差关系计算角度． （1）根据角的和差即可求出，根据角平分线的概念得到，，然后利用角的和差求解即可； （2）根据角的和差即可求出，根据角平分线的概念得到，，然后利用角的和差求解即可； （3）根据（2）求得的，求解即可． 【详解】（1）∵， ∴ ∵、分别平分、 ∴， ∴； （2）∵， ∴ ∵、分别平分、 ∴， ∴； （3）∵， ∴． 【题型7 用整体思想解题】 61．已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 【答案】(1)40 (2) (3)或 【分析】此题考查角平分线的定义，关键是根据角平分线的定义解答． （1）根据角平分线的定义解答即可； （2）根据角平分线的定义解答即可； （3）分两种情况，利用角平分线的定义解答即可． 【详解】（1）解：∵分别平分， ∴，， ∴， 故答案为：； （2）解：∵分别平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：； （3）解：分两种情况： ①如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； ②如图： ∵分别平分， ∴，， ∴， ∴； 综上所述，的度数为或． 62．（1）如图1，，平分，分别平分、，求的度数； （2）如图 2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，的度数变化吗？请说明理由．    【答案】（1）==，；（2）不变，理由见解析． 【分析】（1）根据角平分线的定义得出，根据分别平分，即可求出和，即可求出； （2）根据分别平分，得出，根据即可求出答案． 【详解】解：（1）∵平分， ∴ ∵分别平分 ∴ ∴； （2）不变，理由如下： ∵分别平分 ∴ ∴ ． 【点睛】本题考查了角平分线的定义，掌握知识点是解题关键． 63．如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，角的和差，先求出，根据角平分线的定义得，，再根据即可求解． 【详解】解：因为， 所以     因为平分，平分 所以，     因为         所以         64．已知，是过点的一条射线，，分别平分，．    (1)如图①，如果射线在的内部，且，求的度数； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，的度数是多少？为什么？ 【答案】(1) (2)，理由见解析 【分析】（1）由题意可知，由，分别平分，，即可得到答案； （2）如果射线在的内部绕点旋转过程中，总有，而，，代入可求出，即可解答． 【详解】（1）解：因为，， 所以． 因为，分别平分，， 所以，， 所以； （2）解：因为，分别平分，， 所以，， 所以， 因为， 所以． 【点睛】本题考查的是角度的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角平分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键． 65．如图，是内的一条射线，、分别平分和． （1）若＝，＝，求的度数； （2）若＝，求的度数； （3）若＝，请直接写出的度数． 【答案】（1）60º；（2）75º；（3） 【分析】（1）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （2）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论； （3）根据角平分线的定义和角的和差即可得到结论． 【详解】（1）∵、分别平分和，＝，＝， ∴＝，＝， ∴＝＝； （2）∵、分别平分和， ∴，， ∴＝＝； （3）∵、分别平分和， ∴，， ∴＝． 【点睛】本题考查了角的有关计算和角平分线定义，能够求出是解此题的关键，求解过程类似． 66．已知是过点O的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，且，求的度数； (2)如图②，如果射线在的内部绕点O旋转，的度数是多少？为什么？ (3)如果射线在的外部绕点O旋转，请借助图③探究的度数．（直接写出结果，不写探究过程） 【答案】(1)40° (2)40°，见解析； (3)40°或140° 【分析】（1）由题意可知，由、OE分别平分和，即可得到答案． （2）射线在内部绕点旋转的过程中，是一直不变的，而，进而得到． （3）如果射线在外部旋转的时候，分类讨论射线、只有一个在外面时和两个都在外面的时候即可得到答案． 【详解】（1）， 又 ， ． （2） 、OE分别平分和 ， 故 （3）①射线、只有一个在外面时： ②射线都在外面时： 【点睛】本题考查的是角度的计算，角平分线的定义，熟知从一个角的顶点出发，把这个角平分成相等的两个角的射线叫做这个角的平分线是解答此题的关键．除此以外，要注意分类思想的运用． 67．.如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． (1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数． (2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． (3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）． 【答案】(1)50° (2) (3)或 【分析】（1）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据，即可计算； （2）根据（1）中的结论直接得到答案； （3）根据角平分线的性质可得∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC，再根据角的和差计算． 【详解】（1）解：∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =50°； （2）∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =； 故答案为：； （3）如图2所示： ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM﹣∠CON =∠BOC﹣∠AOC =（∠BOC﹣∠AOC） = =． 如图3所示， ∵OM平分∠BOC，ON平分∠AOC， ∴∠CON=∠AOC，∠COM=∠BOC， 所以∠MON=∠COM+∠CON =∠BOC+∠AOC =（∠BOC+∠AOC） = =， 综上所述，∠MON的度数或． 【点睛】本题考查角的和差计算，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质和理解角的和差运算是解题的关键． 68．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 【答案】(1) (2)的大小不会发生变化等于，理由见解析 【分析】（1）由分别平分得，从而得到，代入数值即可得到答案； （2）由分别平分得，结合，即可求得，得到答案． 【详解】（1）分别平分和， ， ， 故答案为：； （2）解：分别平分和， ， ， 的度数不变， 的大小不会发生变化等于． 【点睛】本题考查了角的计算，角平分线的定义等，解题的关键是熟练运用半角的和差关系． 69．如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查了几何图形中角度的计算，角平分线的定义 （1）由已知结合图形可求得的度数，再由角平分线的定义可分别求得与的度数，再由角的差的关系即可得结果； （2）分析与（1）相同； （3）分析与（1）相同； （4）设，（为锐角），余下与（1）相同． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （2）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （3）解：∵，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴； 故答案为：． （4）解：设，（为锐角）， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴． 70．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和．    (1)求的度数； (2)①图中的补角是______； ②直接写出图中与互余的角______． 【答案】(1) (2)①②和 【分析】本题考核知识点：补角、余角、角平分线等，解题关键点：理解补角、余角、角平分线等定义． （1）根据邻补角定义得，由角平分线定义得，，所以，即； （2）根据（1）的结论，可以得到互余的角，根据平角定义得出补角． 【详解】（1）解：∵点在同一条直线上， ， ∵射线和射线分别平分和， ，， ， ； （2）解：①图中的补角是； ②直接写出图中与互余的角和， 故答案为：和． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 寒假作业08 角相关解答题按梯度分类训练 （7种类型70道） 目录 【题型1 补全解答过程】 1 【题型2 余角相关计算】 6 【题型3 补角相关计算】 8 【题型4 角平方线相关计算】 11 【题型5 三角板相关计算】 14 【题型6 探究数量关系】 17 【题型7 用整体思想解题】 20 【题型1 补全解答过程】 1．如图，已知平分，平分，，求的度数． 解：因为平分，， 所以________ _________， 所以_________ _________， 因为平分， 所以__________________， 所以________________________． 2．如图，是的平分线，是的平分线，，，求的度数． 解：∵平分，，， ∴______=______， ∴_______=_____， ∵平分， ∴_______=______， ∴_______=________． 3．填空：完成下列说理过程 如图，点，，在同一条直线上，，分别平分和． (1)求的度数； (2)如果，求的度数． 解：（1）如图，因为是的平分线， 所以______． 因为是的平分线， 所以______． 所以____________°． （2）由（1）可知____________°． 所以____________°． 4．请把下列解答过程补充完整： 如图，已知与互余，，．求的度数． 解：因为与互余，所以______． 因为，所以______， 因为，所以______， 所以______，因为， 所以______ ______． 5．如图，，平分．求的度数．请将以下解答过程补充完整．    解：平分 （理由： ） （理由： ） 6．补全解题过程 如图，两个直角三角板的直角顶点重合，，求的度数． 解：∵__________（已知） _________（已知） ∴___________（____________） ∵（已知） ∴_________（____________） 7．如图，，，平分，若，求的度数． 解：∵， ∴， ∵， ∴ ∴（ ）（填写推理依据） ∵， ∴， ∵平分， ∴ ＝ °（ ）（填写推理依据） ∴ ° 8．根据题意填空 如图，点在直线上，平分，请说明平分的理由． 解：点在直线上， ∴_____°， ∵， ∴____， ____=____°， 又平分， ∴ （________________）， ∴ （____________________）． 9．已知， 如图， 点A， O， B在同一条直线上， 平分 ． 求证：是的平分线，将下列证明过程补充完整 证明：， ∴ ， 又平分， ∴ ， ． 是的平分线． 10．请补全下面的解题过程 已知：如图，点A，O，B在同一条直线上，平分，． 求证：是的平分线．    证明：因为是的平分线， 所以． 因为． 所以， ②°． 因为， 所以． 所以是的平分线． 11．补全解题过程 已知：如图，O是直线上的一点，，平分．若，求的度数； 解：∵O是直线上的一点，（已知） ∴______． ，（已知） ______． 平分，（已知） ______． _____°． ∵，且， ______°． 【题型2 余角相关计算】 12．如图，与互余，平分． (1)若， 求的度数． (2)若， 用代数式表示的度数． 13．如图，直线，，相交于点，，与互为余角，平分，求的度数． 14．如图，直线相交于O，，平分 (1)请直接写出图中所有与互余的角； (2)若，求与的度数． 15．如图，已知，与互余，平分． (1)在图中，若，则__________，__________． (2)在图中，设，，请探究与之间的数量关系（写出过程）； 16．如图为直线上一点，，平分，． (1)的余角有________（填图中已有的角）； (2)求的度数； (3)试判断是否平分，并说明理由． 17．如图所示，直线、、交于点，平分，且，． (1)写出一对互余的角． (2)求的度数． 18．如图，是的平分线，且．    (1)图中的余角是__________． (2)如果，求的度数． 19．如图，点是直线上一点，，平分． (1)的余角是________； (2)若，求的度数． 20．直线、相交于点O，平分，，，求 (1)余角的度数 (2)与的度数． 【题型3 补角相关计算】 21．如图，已知，，平分，平分． (1)求的补角的度数； (2)求的度数． 22．如图，点是直线上任意一点，以为端点在直线的同侧依次画出射线、，与互补．    (1)若，则的度数为________； (2)若在外部，平分，，求的度数． 23．如图，点A，O，B在一条直线上，，，是的平分线． (1)求和的度数； (2)是的平分线吗？为什么？ 24．如图，点是直线上一点，平分，平分．    (1)写出图中互补的角 (2)你能求出的度数吗？你能得出什么结论？ (3)如果，求的度数． 25．如图，直线与相交于点，．    (1)如图，若平分，求的度数； (2)如图，若，且平分，求的度数． 26．如图，点在直线上，是的平分线，且． (1)求的度数； (2)直接写出补角的度数． 27．如图，已知直线与相交于点O，于点O、是的平分线. (1)若，求的度数； (2)的补角是______，的余角是______. 28．如图，直线，相交于点O，平分． (1)若，求的补角的度数； (2)若，求的度数． 29．点O是直线上一点，是任一条射线，，分别是和的平分线． (1)请直接写出图中的补角； (2)当时，求的度数． 30．如图，点O在直线AB上，，，OE是的平分线，． (1)求的度数． (2)找出图中与互补的角，并求出补角的度数． 【题型4 角平方线相关计算】 31．如图，是的角平分线，，求的度数． 32．如图，点是直线上一点，以为顶点作，且、位于直线两侧，平分． (1)当时，求的度数． (2)请你猜想和的数量关系，并说明理由． 33．如图，已知，，在内画射线，． (1)如图1，求的度数； (2)如图2，平分，平分，求的度数． 34．如图，平分，平分， (1)若，，求的度数． (2)若，求的度数． 35．如图，是内部的一条射线，是内部的一条射线，是内部的一条射线． (1)如图1，若，，，求的度数． (2)如图2，若，，、是、的角平分线，求的度数． 36．如图，、、三点在一条直线上，，平分，，求的度数． 37．如图，已知过的内部任意一点C画射线，使，，若，分别平分和．求： (1)的度数； (2)求的度数． 38．已知O为直线上一点，，平分．若，求、的度数． 39．已知是直线上的一点，是直角，平分． (1)①若，求的度数； ②若，直接写出的度数（用含的式子表示）． (2)将图（1）中的绕点顺时针旋转至图（2）所示的位置，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 40．如图，，是的平分线，是的平分线． (1)求的度数； (2)若，求的度数． 【题型5 三角板相关计算】 41．如图，以直线上一点O为端点作射线，使，将一个直角三角形的直角顶点放在点O处．（注：） (1)如图①，若直角三角板的一边放在射线上，则 °； (2)如图②，将直角三角板绕点O逆时针方向转动到某个位置，若恰好平分，求的度数； (3)如图③，将直角三角板绕点O转动，如果始终在的内部，试猜想的度数？并说明理由． 42．点O为直线上一点，过点O作射线，使．将一直角三角板的直角顶点放在点O处． (1)如图1，当三角板的一边与射线重合时，则______． (2)如图2，将图①中的三角板绕点O以每秒的速度按逆时针方向旋转一周，在旋转的过程中，当直线恰好平分锐角时，旋转的时间是多少秒？ (3)将三角板绕点O逆时针旋转至图3时，，求的度数？ 43．将一副三角板的两个顶点按图所示重叠摆放在直线上，且三角板始终摆放在直线下方，三角板可绕点A任意旋转．已知，，． 设，（，） (1)当时，求的度数； (2)当时，求与的数量关系； 44．直角三角板的直角顶点在直线上，平分，． (1)如图1，若，求； (2)如图1，若满足，则 ；（用含α的式子表示） (3)将三角板保持点位置不变，放置在图2所示的位置，即满足，其他条件不变，（2）中的结论是否还成立？试说明理由． 45．将一副直角三角板的直角顶点重合，按照如图所示的方式摆放． (1)与相等吗，为什么？ (2)若，则的度数是多少？ 46．如图1，在桌上放置一副三角板（忽略厚度），有两个角的顶点重合于一点O，．    (1)如图2，绕着点O转动三角板（两个三角板有重叠），的大小是否发生变化？若不发生变化，求出它的值；若发生变化，说明理由． (2)在转动三角板的过程中（两个三角板有重叠），若，求的度数． 47．将一副三角板（直角三角形和直角三角形，，）按如图1所示的方式摆放，点，，在同一条直线上，和分别平分和．然后，将三角形绕点沿顺时针方向旋转至图2的位置，三角形保持不动． (1)若图2中，． ①求的值； ②分别求图1和图2中的度数． (2)在旋转过程中，的度数是否发生变化？如果不变化，请求出的度数；如果变化，请说明理由． 48．将一个含角的直角三角板的斜边与重合摆放在一起，过点作射线，使得．如图，将三角板绕点以每秒的速度顺时针旋转，当与重合时停止运动． (1)如图1，当运动时间为___________秒时，斜边平分． (2)如图2，当运动时间为多少秒时，斜边平分？并求此时的度数． 49．一副三角板如图放置，其中有部分重叠在一起，已知． (1)若，求的度数； (2)若，求的度数； 50．一副三角板按如图1方式拼接在一起，其中边、与直线重合，，． (1)求图1中的度数； (2)如图2，三角板固定不动，将三角板由图1所处位置开始绕点O按顺时针方向旋转一个角度（即），在转动过程中两个三角板一直处于直线的上方．当平分时，求满足要求的旋转角度的值． 【题型6 探究数量关系】 51．【问题背景】已知是内部的一条射线，且． 【问题再现】（1）如图①，若，平分，平分，求的度数； 【问题推广】（2）如图②，，从点出发在内引射线，满足，若平分，求的度数； 【拓展提升】（3）如图③，在的内部作射线，在的内部作射线，若：：，求和的数量关系． 52．如图，点O是直线上一点，以O为顶点作，且位于直线两侧，平分．    (1)①当时，的度数为 ； ②当时，的度数为 ． (2)通过（1）的计算，请你猜想和的数量关系，并说明理由． 53．如图，是的平分线，是的平分线． (1)如图，若，，求的度数． (2)如图，若，，与，有何数量关系？说明理由． 54．已知为直线上一点，是直角，平分． 　 (1)如图1，若；求的度数； (2)当绕点逆时针旋转到如图2的位置时，与的数量关系是什么？请说明理由． 55．如图，射线在的内部，，分别是，的平分线． (1)若，，则________度； (2)若的度数为，的度数为，则是多少度？（用，表示） (3)请写出与的数量关系，并说明理由． 56．如图，已知，与互余，平分． (1)在图1中，若，则_________，_________； (2)在图2中，设，请探究α与β之间的数量关系． 57．如图，E是直线上一点，，分别是，的平分线． (1)如果，求的度数． (2)试问与有什么数量关系？请说明理由． 58．如图，平分， (1)若，求的度数； (2)请画出的角平分线，试猜想与的数量关系，并说明理由． 59．已知为直线上的一点，是直角，平分． (1)如图①，若，求的度数 (2)如图①，猜测与的数量关系 (3)当射线绕点逆时针旋转到如图②的位置时，与的数量关系如何？请说明理由． 60．如图，是内的一条射线，、分别平分、． (1)若，，求、的度数； (2)若，，求、的度数； (3)猜想：与有怎样的数量关系？并说明理由． 【题型7 用整体思想解题】 61．已知，是过点的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，，则 ； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，，则 ； (3)如果射线在的外部绕点旋转，，请借助图③探究的度数． 62．（1）如图1，，平分，分别平分、，求的度数； （2）如图 2，在（1）中把“平分”改为“是内任意一条射线”，其他条件都不变，的度数变化吗？请说明理由．    63．如图，已知点是直线上任一点，过点O在直线同侧画射线，使．射线和射线分别平分和，求的度数． 64．已知，是过点的一条射线，，分别平分，．    (1)如图①，如果射线在的内部，且，求的度数； (2)如图②，如果射线在的内部绕点旋转，的度数是多少？为什么？ 65．如图，是内的一条射线，、分别平分和． （1）若＝，＝，求的度数； （2）若＝，求的度数； （3）若＝，请直接写出的度数． 66．已知是过点O的一条射线，分别平分． (1)如图①，如果射线在的内部，且，求的度数； (2)如图②，如果射线在的内部绕点O旋转，的度数是多少？为什么？ (3)如果射线在的外部绕点O旋转，请借助图③探究的度数．（直接写出结果，不写探究过程） 67．.如图1，在∠AOB中，OC是∠AOB内部任意一条射线，ON、OM分别平分∠AOC和∠BOC． (1)若∠AOB=100°，求∠MON的度数． (2)若∠AOB=ɑ，直接写出∠MON的度数=　 　（结果用含α的代数式表示）． (3)若射线OC在∠AOB外部（∠BOC＜180°），其它条件不变，如图2所示，∠AOB=，求∠MON的度数（结果用含的代数式表示）． 68．如图，已知，射线为内的一条射线，分别平分． (1)填空：的度数为　　　； (2)当射线在内绕点转动，其它条件都不变时，的大小会发生变化吗？说明理由． 69．如图，已知，，平分，平分． (1)求的度数． (2)若将题干中的改为，其余条件不变，求的度数； (3)若将题干中的改为（β为锐角），其余条件不变，求的度数． (4)从前面的结果中，你能得出什么结论？ 70．如图，点A，O，B在同一条直线上，射线和射线分别平分和．    (1)求的度数； (2)①图中的补角是______； ②直接写出图中与互余的角______． 精选考题 才是刷题的捷径 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$