9.4 矩形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.4 矩形 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫长方形。 二、矩形的性质 1.矩形的对边平行且相等。 2.矩形的四个角都是直角。 3.矩形的对角线相等且互相平分。 4.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 四、矩形与平行四边形的关系 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，如：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等。但矩形还具有自己独特的性质，即四个角都是直角，对角线相等。 巩固课内例1:矩形的性质 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键．根据矩形的性质：对边相等且平行，四个角都是直角，对角线平分且相等，矩形既是中心对称图形也是轴对称图形，根据性质判断即可． 【详解】解：矩形不一定具有的性质是对角线垂直． 故选：B． 2．如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 【答案】/度 【分析】由矩形的性质得出，，证明是等边三角形，得出，，证明出是等腰三角形，得出，因此，由等腰三角形的性质即可得出的大小． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， 平分， ， 是等腰直角三角形， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质、等边三角形的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质、等腰三角形的性质；熟练掌握矩形的性质，并能进行推理计算是解决问题的关键． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹． (1)在图①中画边上的高线． (2)在图②中的线段上画出点，使得． (3)在图③中，画出，使得，且E、A、B三点不共线． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】（1）如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为，利用全等三角形的性质证明垂直，线段即为所求作； （2）如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形，利用全等三角形的性质，可得点在的垂直平分线上，连接并延长，交于点，则垂直平分，则，可得； （3）如图③，取格点、、，连接、、、、、，利用全等三角形的性质，可得、、三点共线，将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段，再根据平移的性质即可证明． 【详解】（1）解：如图①，取格点、、，连接、、、、，与、的交点分别为、，于的交点为， ，，， ， ， ， ， ， 即是边上的高线； （2）解：如图②，取格点、，连接交于点，则四边形是矩形， ，即点是中点， 取格点、、，连接、、、、， ，，， ， ， 点在的垂直平分线上， 连接并延长，交于点，则垂直平分， ， ， 即点为所求作； （3）解：如图③，取格点、、，连接、、、、、， ，，， ， ，， ， ， ，即、、三点共线， ， ， 将线段向右平移2个单位，再向上平移4个单位，得到线段， 则， ， ． 【点睛】本题考查了格点作图，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质，垂直平分线的判定和性质，平移的性质等知识，掌握相关知识点是解题关键． 巩固课内例2:矩形的判定 1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的性质以及矩形的判定，根据对角线相等的平行四边形是矩形或者有一个直角的平行四边形是矩形进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、∵四边形是平行四边形，，则，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； B、∵四边形是平行四边形，，则四边形是菱形，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； C、∵四边形是平行四边形，则，证明不了平行四边形是矩形，故该选项不符合题意； D、∵四边形是平行四边形，，则四边形是矩形，故该选项符合题意； 故选：D 2．在中，于点D，交于点E，交于点F，当满足条件 时，四边形是矩形． 【答案】 【分析】先证四边形是平行四边形，再证，即可得出结论．本题考查矩形的判定、平行四边形的判定与性质、等知识，熟练掌握菱矩形的判定和平行四边形的判定与性质． 【详解】证明：，， 四边形是平行四边形，， 当时 ∴四边形是矩形 ∴当满足条件时，四边形是矩形 故答案为： 3．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据菱形的性质得到且，等量代换得到，推出四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）由菱形的性质得，由勾股定理求出，，再由直角三角形斜边上的中线性质即可得出答案． 【详解】（1）证明：四边形是菱形， 且， ， ， ， ∵， 四边形是平行四边形， ， ， 四边形是矩形； （2）解：四边形是菱形，， ， ， ， 在中，， 在中，， 四边形是菱形， ， ． 【点睛】本题考查了矩形的判定，菱形的性质，勾股定理，直角三角形斜边上的中线性质等知识；正确的识别图形是解题的关键． 类型一、矩形的性质理解 1．下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 【答案】A 【分析】本题考查的是特殊平行四边形的判定和性质，分别根据菱形、矩形、正方形及平行四边形的判定定理对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：A、有两组邻边相等，一组对边相等的四边形是菱形，原说法错误，符合题意； B、有一角为直角的平行四边形是矩形，原说法正确，不符合题意； C、矩形的对角线互相平分且相等，原说法正确，不符合题意； D、对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形，原说法正确，不符合题意； 故选：A． 2．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④． 其中结论正确的是 ．（填序号） 【答案】①②③ 【分析】本题考查矩形，菱形，垂直平分线的性质，等边三角形和全等三角形等知识．根据，则，根据点是的中点，证明，判断①；根据矩形的性质，得，，根据，证明四边形是平行四边形，根据，，得；根据，得，等量代换，得，垂直平分线段，，即可判断②；利用线段垂直平分线的性质的逆定理，可判断③；根据直角三角形中，所对的直角边等于斜边的一半，则，根据，得，，，等量代换，即可判断④． 【详解】解：在矩形中，， ∴， ∵点是的中点 ∴ ∵ ∴ ∴， 故①正确； 在矩形中，，， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴垂直平分线段， ∴， ∴平行四边形是菱形． 故②正确； ∵，， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴垂直平分线段． 故③正确； ∵，， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴． 故④不正确． 综上所述，正确的有①②③，共三个． 故答案为：①②③． 3．如图，点是矩形对角线的中点，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，已知， (1)求的长度； (2)求折痕的长度； (3)求的面积． 【答案】(1) (2) (3)的面积为 【分析】本题主要考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理， （1）根据折叠可得，，再根据中点的性质可得，在直角中运用勾股定理即可求解； （2）根据题意可得，设，则，在直角中运用勾股定理即可求解； （3）运用，再根据三角形面积的计算方法即可求解． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴， ∵沿折叠后，点恰好与点重合， ∴， ∴， ∵点是矩形对角线的中点， ∴， ∴，且， ∴； （2）解：由（1）可得，，即， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴， 解得，， ∴； （3）解：由（2）可得，，， ∴， ∴的面积为． 类型二、矩形的判定理解 1．下列命题中，正确的命题的是（　　） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角为直角的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 【答案】C 【分析】本题主要考查命题与定理，掌握菱形、矩形、正方形的判定定理是解题的关键． 根据菱形、矩形、正方形的判定定理判断即可． 【详解】解：A、邻边相等的平行四边形是菱形，故本选项命题错误，不符合题意； B、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意； C、有一个角为直角的菱形是正方形，命题正确，符合题意； D、两条对角线相等的平行四边形是矩形，故本选项命题错误，不符合题意； 故选：C． 2．下列关于特殊平行四边形的表述： ①对角线相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中正确的是： （请填写序号） 【答案】②④/④② 【分析】根据菱形、矩形、正方形的判定定理进行分析即可． 【详解】解：对角线相等的平行四边形是矩形，故①错误； 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故②正确； 对角线互相平分、垂直且相等的四边形是正方形，故③错误； 对角线互相垂直的矩形是正方形，故④正确； 答案为：②④． 【点睛】本题考查了菱形、矩形和正方形的判定；掌握特殊平行四边形的判定定理是解题的关键． 3．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．    (1)在图中画出以为对角线的矩形． (2)在图中画出一个邻边比为的矩形，并且与（1）中的矩形不全等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析；（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了格点作图，菱形的性质，矩形的判定，勾股定理，解题的关键是熟练掌握矩形的判定方法． （1）根据对角线互相平分且相等的四边形是矩形，画出矩形即可； （2）根据格点特点，画矩形的一条边长为3，另一条边长为即可． 【详解】（1）解：如图，矩形即为所求作的矩形；    （2）解：如图，矩形即为所求作的矩形．    设每个小正方形的边长为1， ∵， ∴四边形为菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴． 类型三、添加条件证矩形 1．如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的性质等知识；由矩形的判定定理分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：在中，添加，由对角线相等的平行四边形是矩形，故能判定是矩形， 在中，添加或或，都不能判定是矩形， 故选：D． 2．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 【答案】（或，答案不唯一） 【分析】本题主要考查了矩形的知识，熟练掌握矩形的判定定理是解决本题的关键． 【详解】∵有一个角是直角的平行四边形叫做矩形， ∴可以添加条件(或其余三个内角中的一个为)． 又∵对角线相等的平行四边形是矩形， ∴也可以添加条件(答案不唯一)． 故答案为：（或，答案不唯一）． 3．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 【答案】(1)见解析； (2)（答案不唯一）． 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定与性质以及全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握矩形的判定，证明三角形全等是解题的关键． （1）由平行四边形的性质得，则，再证明，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再由矩形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：添加（答案不唯一），理由如下： 由（1）可知，，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形为矩形． 类型四、证四边形为矩形 1．四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 【答案】C 【分析】本题考查了矩形的判定、平行四边形的判定、菱形的判定等知识；由平行四边形的判定、矩形的判定、菱形的判定分别对各个选项进行判断即可． 【详解】解：A、①∵，， ∴四边形是平行四边形， 再由，无法判断四边形是矩形，故选项A不符合题意； B、由②由，；③无法判断四边形是矩形，故选项B不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形，故选项C符合题意； D、∵，， ∴四边形是平行四边形， 又， ∴平行四边形是菱形，故选项D不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是 ． 【答案】矩形 【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，矩形的判定，解决问题的关键是证明四边形为平行四边形和． 先根据对角线互相平分的四边形是平行四边形证明四边形为平行四边形，再证明，可利用矩形的判定解答，即有一个内角是直角的平行四边形是矩形． 【详解】解：∵是边上的中点， ∴ ∵ ∴四边形是平行四边形， 平分， 同理，， 四边形是矩形． 故答案为：矩形． 3．如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查的是菱形的性质，矩形的判定与性质，勾股定理的应用，熟记特殊四边形的性质与判定是解本题的关键． （1）证明且，AD＝EF，可得四边形是平行四边形，结合，可得结论； （2）设，则，在中，，则，再解方程即可． 【详解】（1）证明：∵在菱形中， ∴且， ∵， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴四边形是矩形； （2）解：∵菱形， ∴， 设，则， 在中，， ∴， ∴， ∴． 类型一、运用矩形的性质求角度 1．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查矩形的性质．根据矩形的性质得出，进而利用角平分线的定义和等腰三角形的性质解答即可． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∵的角平分线交于点E， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：B． 2．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 【答案】/34度 【分析】本题主要考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、矩形的性质、等角对等边等知识点，熟练掌握线段垂直平分线的性质、矩形的性质是解答本题的关键． 由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线，可得，则．结合矩形的性质可得，再根据即可解答． 【详解】解：由作图过程可知，直线为线段的垂直平分线， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 3．如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、等腰三角形的性质以及直角三角形的性质等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质是解题的关键． 由矩形的性质得出，得出，由直角三角形的性质求出，即可得出答案． 【详解】解：四边形是矩形， ，，，， ， ， ， ，， ， ， ； ∴的度数为． 类型二、运用矩形的性质求长度 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，根据四边形是矩形，则对角线互相平分且相等，则，即可作答． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，且．现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，分别落在边，上．若，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，矩形的性质，熟练掌握知识点是解题的关键． 由旋转和矩形得，在中由勾股定理即可求解． 【详解】解：∵矩形，矩形， ∴， 由旋转得 ∴在中，由勾股定理得， 故答案为：． 3．如图，为四边形的对角线，过点作于点，延长至点，使得，连接，已知，． (1)四边形是矩形吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 【答案】(1)四边形是矩形，理由见解析； (2)． 【分析】（1）由垂线及相似三角形的性质得，，进而证明，，得，，从而证明四边形是平行四边形，即可得四边形是矩形； （2）由（1）得四边形是矩形，，从而得，，由勾股定理得，进而利用面积法即可求解． 【详解】（1）解：四边形是矩形，理由如下： ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵ ∴四边形是矩形； （2）解：由（）得四边形是矩形，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了平行四边形的判定，矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，熟练掌握矩形的判定及性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 类型三、运用矩形的性质求面积 1．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形的性质、三角形的面积等知识，由矩形的性质可证明，即可求解． 【详解】解：作于，交于． 则有四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形， ，，，，， ， ， 故选：C． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．    【答案】 【分析】根据题意得到直线解析式为。设直线与相交于点F，与相交于点E，则点，，结合直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况①当时，②当时，分析讨论建立等式求解（注意直线要与线段相交），即可解题． 【详解】解：将点代入直线，得， ， 直线， 如答图，设直线与相交于点F，与相交于点E，    则点，， ， ， 直线将矩形分成面积比为的两部分，分两种情况讨论： ①当时，， 即， 解得， 令，解得； ②当时，， 即， 解得。 令，解得， 直线与边无交点，舍去． 综上所述，k的值为. 【点睛】本题考查一次函数综合应用，矩形的性质、待定系数法、坐标与图形、一次函数与坐标轴交点情况，梯形面积等知识，解题的关键是分类讨论． 3．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 【答案】阴影部分的面积是15平方厘米 【分析】本题考查了三角形的面积，长方形的性质，熟练掌握三角形面积的求法是解题的关键． 先证，再证得，根据长方形的面积即可求出的面积，从而求出阴影部分的面积． 【详解】解：因为与同底等高，所以， 则，即， 所以． 又， 所以（平方厘米）． 答：阴影部分的面积是15平方厘米． 类型四、矩形在坐标系中的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了坐标与图形的性质,矩形的性质，等腰三角形的性质，由点是的中点，可得出点的坐标，当，由等腰三角形的性质即可得出点的坐标 【详解】解：过点作于点， 矩形的顶点的坐标分别为，点是的中点， 点 ，， ， 即点 点， 故选：A 2．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质即可求得第四个点的坐标． 【详解】解：点和的横坐标相等， 点和的纵坐标相等， 要使这四个点构成矩形，则第四个点的横坐标与相等，纵坐标与相等， ∴第四个顶点的坐标为； 故答案是：． 【点睛】本题主要考查了矩形在坐标系中的坐标，准确判断是解题的关键． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 【答案】(1)、、 (2) 【分析】本题考查坐标与图形，矩形的性质，函数图像上点的坐标特征， （1）根据矩形的性质及轴可得轴，再由平移的性质可得结论； （2）确定当直线分别经过点和时所对应的的值，可得结论； 确定直线经过特殊点所对应的的值是解题的关键． 【详解】（1）解：∵长方形的长为，宽为， ∴，，，，， ∵轴， ∴轴， ∴轴， ∵点的坐标为， ∴点向右平移得到点，再向上平移得到点；点向上平移得到点， ∴、、； （2）当直线经过点时， 得：， 解得：； 当直线经过点时， 得：， 解得：； ∴直线与长方形有交点，的取值范围为． 类型一、矩形的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，D的坐标为，矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上，若点B的横坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数的图象与几何变换，矩形的性质，相似三角形的判定和性质，正确求出平移后的坐标是解题的关键． 过点B作轴交于点E，根据坐标得出，，然后在证明，求出点B坐标，根据矩形平移后纵坐标坐标不变，求出点B平移后坐标，代入一次函数即可求解． 【详解】过点B作轴交于点E， ， 点A的坐标为，D的坐标为， ，， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， ， ， 点B的横坐标为， ， ，， ， 矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上， 平移后点B坐标变为， 把代入中， 解得：； 故选：D． 2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ． 【答案】1或4-2 【详解】过点P作AD的平行线，交AB于点E，交DC于点F． ∵△ABP为等腰直角三角形，AP=BP， ∴AE=BE=AB=2， ∴AE=EP=2． 如图，在平移过程中，点P在射线PF上移动，分两种情况讨论． ①作边AD的垂直平分线，交EF于点P'，如图1所示，则P'A=P'D，此时△AP'D是等腰三角形． ∴EP'=AD=3， ∴PP'=EP'-EP=3-2=1； ②以点A为圆心，AD长为半径作弧，交EF于点P'，如图2所示，则AP'=AD=6，此时△AP'D是等腰三角形． 在Rt△AEP'中，由勾股定理，得EP'==4， ∴PP'=EP'=4-2． 综上所述，当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是1或4-2． 图1 图2 3．如图1，矩形的顶点A与原点重合，两边在坐标轴上，已知矩形边长，直线经过点C，与x，y轴交于分别点M， N． (1)求直线的解析式； (2)如图2，矩形向右平移，到点 B与点M重合为止，为探索矩形在外阴影部分的面积S，取部分数值进行计算：设，S与x的数值如下表所示： x 1 2 3 4 … s 2 3 5 6 … 补全表格，利用描点法画出函数图像，并直接写出时，S关于x的函数解析式． 【答案】(1) (2)表格见解析，图像见解析，当时， 【分析】（1）将点C坐标为代入，解方程即可； （2）分别求出当，时的函数解析式，再代入x，即可填表格，即可画出图象． 【详解】（1）解：由题意，点C坐标为 把点C代入， 得：， 解得， ∴所求的函数解析式为：； （2）解： 当，记，与交于点E，F， ∵四边形是矩形， ∴，， 对于直线，当时，，当时，，则， ∴， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形 ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴当时，． 当时，记与交点为点P，Q， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同上可得：， ∴， ∴， ∴． 将代入所对的函数解析式，求出对应S值，则补全表格为： x 1 2 3 4 … S 2 3 4 5 6 … 函数图像如图， 【点睛】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，与坐标轴的交点问题，平移的性质，矩形的性质，画函数图像等，熟练知识点是解题的关键． 类型二、矩形的折叠 1．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题主要考查矩形与折叠问题，等腰三角形的性质以及勾股定理等知识，过点作于点，则于点，由勾股定理可求，，设，则，由勾股定理求出，从而进一步可得出结论． 【详解】解：四边形是矩形， ，，， 由折叠得，，，，， ， ， ， ， 过点作于点，则于点，如图，则， ， 由勾股定理得，， ， 设，则， 在直角中，， ， 解得，， ， 即， ， 故选：C． 2．如图，矩形，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    【答案】或 【分析】本题考查矩形的性质，勾股定理，等腰三角形的判定，熟练掌握矩形中的翻折问题，并根据题意分类讨论是解题的关键．分两种情况：①当的延长线过的中点时；②当过的中点时，利用翻折性质，在直角三角形中利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】解：①当的延长线过的中点时，如图，    ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， 由折叠得，，，， ∴， ∴， ∵，是的中点， ∴， 在中，， ∴； ②当过的中点时，如图，    同①，可得，， 在中，， ∴； 故答案为：或． 3．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 【答案】(1) (2)15 (3) 【分析】（1）先根据平行线和折叠的性质得：，设，根据勾股定理得：，解出可解答； （2）如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即的长，根据勾股定理可解答； （3）如图③，过作轴于，设，根据勾股定理列方程得，求得，然后利用待定系数法求得的解析式为． 【详解】（1）解：如图①，由折叠得：， 四边形是矩形， ，， ， ， ， 设，则，， 在中，， 由勾股定理得：， ， ， ； （2）解：如图②，作点关于的对称点，连接，交于，此时的值最小，即， 过作轴于， ， 是的中点， ， ， 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是15； （3）解：如图③，过作轴于， ， ， 设，则，， 在中，由勾股定理得：， ， ， ． 设的解析式为，将，代入得： ， 解得：， 的解析式为． 【点睛】本题是四边形的综合题，考查了折叠的性质、矩形的性质及最短路径的知识，综合性较强，难度适中，注意掌握折叠前后两图形全等，即对应线段相等，对应角相等，本题辅助线的作法是关键． 类型三、矩形的旋转 1．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了旋转变换，矩形的性质等知识，求出，每秒旋转，6次一个循环，，第2024秒时，点D在x轴的正半轴上，由此可得到点D的坐标，熟练掌握点D的变化特点是解决此题的关键． 【详解】∵四边形是矩形， ∴，，， ∴， ∵每秒旋转，6次一个循环，， ∴第2024秒与起始位置夹角为， ∵与x轴负半轴夹角为， ∴与x轴正半轴夹角为， ∴点D在x轴的正半轴上， ∴， 故选：C． 2．如图，O为坐标原点，矩形中，，，将矩形绕点O按顺时针方向旋转α度（）得到矩形，此时直线、直线分别与射线相交于P、Q．在矩形旋转过程中，若，则点P的坐标为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形变化﹣旋转，掌握旋转的性质和分类讨论是解题的关键．分两种情况：如图1，过点Q作于H，连接OQ，如图2，当点P在点B左侧时，过Q作于H，连接，则，根据三角形面积相等得，设，得，然后根据勾股定理求出x值，进而可以解决问题． 【详解】解：如图1，过点Q作于H，连接，则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，． 在中，， 解得， ∴， ∴， 如图2，当点P在点B左侧时， 过Q作于H，连接， 则， ∵，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴， 在中，， 解得或（不符合题意，舍去）， ∴， ∴， 综上所述：点P的坐标为或， 故答案为：或． 3．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 【答案】（1）①见解析：②；（2）见解析；（3）的长为或 【分析】（1）①由矩形的性质可得，，，从而得出，推出四边形是矩形，由旋转的性质可得，即可得证；②连接，证明，得出，，证明为等腰直角三角形，由直角三角形斜边上的中线的性质得出，再由勾股定理求出即可得解； （2）连接，由矩形的性质可得，，，，由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，证明，得出，从而得到，由等角对等边对出，结合，即可得证； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上，由，得出点在的垂直平分线上，再两种情况：当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则；当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则；分别利用矩形的判定与性质、勾股定理计算即可得解． 【详解】（1）①证明：∵四边形、是矩形， ∴，，， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， 由旋转的性质可得， ∴四边形是正方形； ②解：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，，，， 由旋转的性质可得，， ∴，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴为等腰直角三角形， ∵为的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图，连接， ∵四边形、是矩形， ∴，，，， ∴，， 由旋转的性质可得，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）由旋转的性质可得，点在以为圆心，为半径的圆上， ∵， ∴点在的垂直平分线上， 如图，当在的上方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 如图，当在的下方时，令的垂直平分线交于，交于，则， ∵四边形为矩形， ∴，， ∴，，，     ∴四边形为矩形， ∴， 由旋转的性质可得， ∴， ∴， ∴； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质、正方形的判定、线段垂直平分线的判定与性质等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线，采用分类讨论的思想是解此题的关键． 类型四、一次函数中的矩形 1．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用函数解析式求出的坐标，再分别求出，的坐标，探究规律后解决问题． 【详解】解：在矩形中，，即， ∴，，代入中， 得，解得：， ∴，， ，， ，， ， ，，即，． 故选C． 【点睛】本题考查规律型点的坐标，矩形的性质平移，正比例函数的性质． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    【答案】 【分析】当直线经过的中点时，直线把矩形的面积等分，求出的中点，代入直线的解析式求出即可． 【详解】解：．， ，， 中点的坐标为， ∵直线把矩形分成面积相等的两部分， ∴直线经过的中点， 把代入得，， 解得． 答案为：． 【点睛】本题考查了矩形的性质以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是掌握中点坐标的求法． 3．如图1，直线与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求的周长， (2)点为直线上一动点，连接，若点在第四象限，且，求的坐标； (3)如图2，将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，若点、点在直线上运动（点在点右侧），点在直线上运动，若以点为顶点的四边形为矩形，求出点的坐标及对应的线段的长度． 【答案】(1) (2) (3)若以点、、、为顶点的四边形为矩形，点的坐标为，对应的线段的长度为或点的坐标为，对应的线段的长度为5． 【分析】（1）根据直线与直线得出点、、的坐标，根据坐标与图形，结合勾股定理，求出、、的长，根据的周长，得出答案即可； （2）过点作轴于，过点作轴于，根据直线与直线，求出点、A的坐标，点为直线上一动点，点在第四象限，设，根据，结合坐标与图形，，得出方程求出的值，然后问题可求解； （3）分“当为矩形的对角线时”和“当为矩形的边时”，两种情况讨论；当为矩形的对角线时，记对角线、交于点，根据矩形的性质，得出点是的中点，，求出直线的解析式，设，推出，代入求出的值，得出此时点的坐标，结合勾股定理求出的长即可；当为矩形的边时，根据矩形的性质得到直线的解析式为，然后联立函数解析式得到点R的坐标，进而根据两点距离公式可求解． 【详解】（1）解：把代入得，， ， ， 把代入得，， ， ， 把入得，， 解得：， ，， ， ， ， 的周长； （2）解：直线与直线交于点， ， 解得：， 则， ， ∴的边上的高， 把代入， 得：， 解得：， ，， 由（1）得：，， ， ， 又∵， ， 点为直线上一动点，点在第四象限， 设， 过点作轴于，过点作轴于，如图所示： ，， ， ， ， ， 解得：， ∴； （3）解：如图，当为矩形的对角线时，记对角线、交于点， 点是的中点，， 将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，由（2）得，， 当时，直线上的点纵坐标， 将直线向下平移的长度， 直线的解析式为， 点在直线上运动， 设， 又点是的中点，点， ， 点在直线上， 把代入， 得：， 解得：， ∴， ， ， 如图，当为矩形的边时， 解法一：如图， ∵矩形， ∴， 又∵直线，点， ∴直线的解析式为， 联立解析式得：，解得：， ∴， ∴； 解法二：过点作于点， ∴，，，， ，， 直线的解析式为， 当，， ∴，， 由（1）得，，， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 点是的中点， 又，， 点的横坐标，点的纵坐标， 点的坐标为； 综上所述，若以点、、、为顶点的四边形为矩形，点的坐标为，对应的线段的长度为或点的坐标为，对应的线段的长度为5． 【点睛】本题是一次函数的综合应用题，主要考查了一次函数的图象与性质、矩形的性质、坐标与图形、勾股定理、全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是熟练掌握知识点推理证明、数形结合、分类讨论． 类型五、矩形动点求t 1．如图，在矩形中，，动点从点出发沿边以的速度向点运动，动点从点出发沿边以的速度向点运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，则当（   ）时，四边形是矩形． A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了矩形性质，一元一次方程的应用，由题意得，，，进而由矩形的性质可得，即可得，解方程即可求解，掌握矩形的性质是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵四边形是矩形， ∴， ∴， 当四边形是矩形时，， ∴， 解得， 故选：． 2．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 【答案】当时，四边形的面积总是矩形的面积一半 【分析】本题主要考查了几何图形中的动点问题，矩形的性质，三角形的面积公式，熟练掌握以上知识点并灵活运用，用表示出相应线段的长度是解题的关键．由题意可得：，，推出，，再分别求出矩形、、的面积，进而求出四边形的面积，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，，，， ，，，， ，， ， ， 当时，四边形的面积总是矩形的面积一半， 故答案为：当时，四边形的面积总是矩形的面积一半． 3．如图，已知矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以的速度向点B运动，到点B为止；点Q以速度向点D运动，到点D为止；设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形，并说明理由？ (2)连接，当t为何值时，中，． 【答案】(1)当t为时，四边形是矩形；理由见解析 (2)t为时，中， 【分析】本题是动点问题，考查了矩形的判定与性质，等腰三角形的性质； （1）由题意知，，则，则当时，四边形是矩形，从而求得t的值； （2）过Q作于E，则；再证明四边形是矩形，则；由可得到关于t的方程，解方程即可求得t的值． 【详解】（1）解：当t为时，四边形是矩形； 理由如下： 由题意知，， 在矩形中，，， ∴； 当时，四边形是矩形， 即， 解得：； 当t为时，四边形是矩形； （2）解：由题意知，， 则； 如图，过Q作于E，则； ∵， ∴； 在矩形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴； ∵， ∴， 解得：； ∴t为时，中，． 类型六、矩形中的最值 1．如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了矩形的判定和性质，垂线段最短，勾股定理，连接，由题意可得四边形是矩形，得到，可知当时，的值最小，利用勾股定理和三角形的面积求出的最小值即可求解，掌握矩形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， 当时，可知的值最小，此时， ∵，，， ∴， ∴， 解得， ∴线段的最小值是， 故选：． 2．如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质，勾股定理，垂直平分线性质，过点作于点，由的面积始终等于长方形面积的可得，即得点的轨迹为的垂直平分线，连接，，得到，进而得到，可知当点、、三点共线时，的值最小，最小值为的长，即得，最后利用勾股定理计算即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 【详解】解：如图1，过点作于点， 则， ∵的面积始终等于长方形面积的， ∴ ∴， ∴点的轨迹为的垂直平分线， 连接，，则， ∴， 可知当点、、三点共线时，的值最小，如图2，最小值为的长， ∵的最小值为， ∴， ∴， 故答案为：． 3．如图，以矩形的顶点为原点建立平面直角坐标系，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)求点坐标． (2)如图2，点为线段上的动点，请求出的最小值，并求出取得最小值时，点的坐标． (3)在（2）的条件下，当取得最小值时，平面上是否存在一点N，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标并写出其中一个点N的坐标的计算过程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2) (3)或或 【分析】（1）求出，， 证明，设，则，由解得：，即可得到答案； （2）以为一边，在下方作，则，则的最小值即为的最小值，当点三点共线时，取得最小值，利用勾股定理求出即可； （3）证明，得到以为顶点的四边形是平行四边形共有两种情况，分情况进行解答即可． 【详解】（1）解：∵四边形是矩形， ∴，，，， ∵． ∴， ∴， ∵， ∴， ∵把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵在中，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （2）以为一边，在下方作， ∴， ∴的最小值即为的最小值， 当点三点共线时，取得最小值， ∵， ∴ 此时在中，， ∴， ∵， ∴ 解得 ∴点G的坐标是 （3）由（2）可知，， 由折叠可知，， ∴,， ∴， ∴， ∴以为顶点的四边形是平行四边形共有两种情况， ①过点D作轴时，交y轴于点F，取, 则， ∵ ∴， ∴点D的坐标是 ∴点 即， ②∵,点在直线上，且时，也满足题意， 由点D的坐标是，点G的坐标是，原点O的坐标为， 由平移可得，此时点的坐标为，即为 综上可知， 点N的坐标为或或 【点睛】此题考查了平行四边形的性质、平移的性质、勾股定理、坐标与图形、含的直角三角形的性质等着知识，数形结合和分类讨论是解题的关键． 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查矩形，等边三角形的知识，解题的关键是掌握矩形的性质，则，，根据，求出，根据题意，则，求出，得到是等边三角形，即可求出． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题考查了矩形的性质，等边对等角，等边三角形的判定，外角的性质，先由矩形的性质得，，结合图形，等底同高，所以，当，则是等边三角形，据此即可作答． 【详解】解：∵矩形中对角线相交于点O， ∴，， 故③是正确的； ∴， 故①是正确的； ∵若， ∴， ∴， ∵ ∴是等边三角形 故②是正确的； 依题意，无法证明， 故④是错误的； 依题意，无法得出平分． 故⑤是错误的； 故选：B． 3．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 【答案】A 【分析】本题主要考查了矩形的判定与性质，勾股定理，运用勾股定理进行等效代换是解题的关键． 作于E，于F，并延长交于M，利用矩形的性质与勾股定理得出：，从而可求解． 【详解】解：作于E，于F，并延长交于M，如图， ∵矩形 ∴，，，，， ∵，， ∴ ∴ ∴四边形、四边形、四边形都是矩形， ∴，，， 由勾股定理，得：，，，， ∴ ， ∴． 故选：A． 4．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查折叠问题，勾股定理，先根据矩形的性质得出，，根据勾股定理得出，根据折叠得出，，，再利用勾股定理得出，求解即可得出答案． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∵将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：3 5．在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 【答案】 【分析】根据矩形性质，求得，利用面积公式解答即可． 本题考查了矩形的性质，勾股定理，矩形的面积，熟练掌握矩形的性质和勾股定理是解题的关键． 【详解】解：∵矩形， ∴， ∵，对角线， ∴， ∴矩形的面积为：， 故答案为：． 6．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ． 【答案】 【分析】由矩形的性质得到，由线段垂直平分线的性质得到，由折叠的性质得到：，由勾股定理求出，由矩形的性质得到，求出，令，由勾股定理得到，求出，即可得到的长． 【详解】解：∵四边形是矩形， ， ∵垂直平分， ∴垂直平分， ， 由折叠的性质得到：， ， ， 四边形是矩形， ， ， 令， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了矩形的判定与性质，垂直平分线的性质，勾股定理，图形折叠的性质等知识，熟练掌握折叠的性质以及勾股定理是解题关键． 7．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 【答案】见解析 【分析】本题综合考查了平行四边形及矩形的性质．首先根据平行四边形的性质及矩形中对角线相等的性质求证出四边形是矩形，然后求得，所以是等腰三角形． 【详解】证明：∵是矩形， ∴, ∵， 四边形是平行四边形． ． 四边形是矩形， ． ． 是等腰三角形． 8．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 【答案】见解析 【分析】此题考查了矩形的性质和判定，解题的关键是掌握矩形的性质和判定定理． 首先根据矩形的性质得到，然后证明出，证明出四边形是平行四边形，然后由得到平行四边形是矩形． 【详解】解：∵四边形是矩形 ∴ ∵ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴平行四边形是矩形． 9．如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】此题考查了矩形的性质、线段垂直平分线的作图和性质、勾股定理等知识． （1）作的垂直平分线分别交、于点E,F．则线段即为所求； （2）根据垂直平分线性质得到，设，则，利用勾股定理列方程即可求出答案． 【详解】（1）解：如图所示，线段即为所求． （2）由（1）得垂直平分， ， 设，则， 在矩形中， 在中，， 即， 解得， 10．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 【答案】(1) (2) (3)或或，见解析 【分析】（1）依题意求出点A，B坐标，求出，求出点C，D的坐标，用待定系数法求解析式； （2）设，则，由轴可得点G的纵坐标为，代入一次函数可得点G的横坐标为，表示出，求出，根据，可得a的值，即可得点E的坐标； （3）分两种情况：①为矩形的边时，②为矩形的对角线时，根据矩形的判定和性质即可求解． 【详解】（1）解：一次函数，令，则，令，则， ∴，即，， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 则， 解得， ∴直线的解析式为；； （2）设，则， ∵轴， ∴点G的纵坐标为， 将代入一次函数得：， ∴，即点G的横坐标为， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点E的坐标为； （3）解：①为矩形的边时，如图，分别过点O、M作交直线于N，作交直线于，在分别过点N、作交直线于P，作交直线于，则四边形、四边形均为矩形， ∵，点M为线段的中点， ∴， ∵将绕点O顺时针旋转得， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点N为线段的中点， ∵， ∴； 设直线的解析式为，则， ∴， ∴直线的解析式为， ∵， ∴， ∴可设直线的解析式为， 将代入得，， ∴， ∴直线的解析式为， 联立直线得， 解得， ∴； 综上，为矩形的边时，点N的坐标为或； ②为矩形的对角线时，如图， ∵， ∴轴， ∵四边形为矩形， ∴轴， ∴点N与点C重合， ∴． 综上，以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形时，点N的坐标为或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了待定系数法求一次函数的解析式，中点坐标公式的运用，一次函数图象上点的坐标的特征，全等三角形的判定与性质，图形的旋转的性质，矩形的性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.4 矩形 一、矩形的定义 有一个角是直角的平行四边形叫做矩形，矩形也叫长方形。 二、矩形的性质 1.矩形的对边平行且相等。 2.矩形的四个角都是直角。 3.矩形的对角线相等且互相平分。 4.矩形既是中心对称图形又是轴对称图形，有两条对称轴。 三、矩形的判定 1.有一个角是直角的平行四边形是矩形。 2.对角线相等的平行四边形是矩形。 3.有三个角是直角的四边形是矩形。 四、矩形与平行四边形的关系 矩形是特殊的平行四边形，具有平行四边形的一切性质，如：对边平行且相等，对角相等，对角线互相平分等。但矩形还具有自己独特的性质，即四个角都是直角，对角线相等。 巩固课内例1:矩形的性质 1．矩形不一定具有的性质是（   ） A．四个角都是直角 B．对角线互相垂直 C．是轴对称图形 D．对角线相等 2．如图，矩形中，对角线、相交于点，，平分交于点，连接，则的度数是 ． 3．在如图所示的正方形网格中，每个小正方形边长为1个单位，小正方形的顶点称为格点，点、、均在格点上．要求只用无刻度直尺画图，并保留画图痕迹． (1)在图①中画边上的高线． (2)在图②中的线段上画出点，使得． (3)在图③中，画出，使得，且E、A、B三点不共线． 巩固课内例2:矩形的判定 1．如图，在平行四边形中，对角线与相交于点O，则添加下列结论中的一个条件后，能判定平行四边形是矩形的是（   ） A． B． C． D． 2．在中，于点D，交于点E，交于点F，当满足条件 时，四边形是矩形． 3．如图，在菱形中，对角线，交于点，过点A作于点，延长到点，使，连接． (1)求证：四边形是矩形； (2)连接，若，，求的长度． 类型一、矩形的性质理解 1．下列判断错误的是（   ） A．有两组邻边相等的四边形是菱形 B．有一角为直角的平行四边形是矩形 C．矩形的对角线互相平分且相等 D．对角线互相垂直且相等的平行四边形是正方形 2．如图，矩形中，O为中点，过点O的直线分别与交于点E，F，连接，交于点M，连接．若，则下列结论：①；②四边形是菱形；③垂直平分线段；④． 其中结论正确的是 ．（填序号） 3．如图，点是矩形对角线的中点，是边上的点，沿折叠后，点恰好与点重合，已知， (1)求的长度； (2)求折痕的长度； (3)求的面积． 类型二、矩形的判定理解 1．下列命题中，正确的命题的是（　　） A．有两边相等的平行四边形是菱形 B．有一个角是直角的四边形是矩形 C．有一个角为直角的菱形是正方形 D．两条对角线相等的四边形是矩形 2．下列关于特殊平行四边形的表述： ①对角线相等的平行四边形是菱形； ②对角线互相平分且相等的四边形是矩形； ③对角线互相垂直且相等的四边形是正方形； ④对角线互相垂直的矩形是正方形． 其中正确的是： （请填写序号） 3．如图，在由24个全等的正三角形组成的正六边形网格中，请画出符合要求的格点四边形（即顶点均在格点上的四边形）．    (1)在图中画出以为对角线的矩形． (2)在图中画出一个邻边比为的矩形，并且与（1）中的矩形不全等． 类型三、添加条件证矩形 1．如图，下列条件中，能够判定为矩形的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，要使成为矩形，应添加的条件是 （只填一个）． 3．如图，在中，E为的中点，连接并延长交的延长线于点F，连接． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得四边形为矩形．（不需要证明） 类型四、证四边形为矩形 1．四边形的对角线，相交于点，从以下四个条件①，；②，；③；④中选两个，能推出四边形是矩形的是（     ） A．①② B．②③ C．①④ D．①③ 2．如图，在中，是边上的中点，过点作一条直线，交的平分线于点，交外角的平分线于点．当时，四边形的形状是 ． 3．如图：在菱形中，过点A作于点E，延长至点F，使，连接．    (1)求证：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 类型一、运用矩形的性质求角度 1．在矩形中，对角线相交于点O，的角平分线交于点E，若，则用表示为（　　） A． B． C． D． 2．如图，四边形是矩形，分别以点A和点C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M，N；作直线分别交于点E，F，连接，若，则 ． 3．如图，在矩形中，、相交于点，于点．若，求的度数． 类型二、运用矩形的性质求长度 1．如图，在矩形中，对角线相交于点O，若，则的长为（   ） A．1 B．2 C．4 D．8 2．如图，在矩形中，点E，F分别在，边上，且．现将矩形绕点逆时针旋转得到矩形，点，分别落在边，上．若，，则的长为 ． 3．如图，为四边形的对角线，过点作于点，延长至点，使得，连接，已知，． (1)四边形是矩形吗？请说明理由； (2)若，，求的长． 类型三、运用矩形的性质求面积 1．如图，点是矩形的对角线上一点，过点作，分别交，于，，连接，．若，，则图中阴影部分的面积为（  ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为，过点A分别作轴于点B，轴于点C，已知经过点的直线（）分别与线段，相交，并将矩形分成面积比为的两部分，则k的值为 ．    3．如图，在长方形中，厘米，厘米，四边形的面积是3平方厘米，求阴影部分的面积是多少平方厘米． 类型四、矩形在坐标系中的坐标 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，的坐标分别为，点是的中点，点在上运动，当时，点的坐标是（    ） A． B． C． D． 2．在平面直角坐标系中，一个长方形的三个顶点的坐标分别为，和，则第四个顶点的坐标为 ． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知长方形的长为，宽为，轴，点的坐标为． (1)分别写出点、、的坐标； (2)若直线与长方形有交点，求的取值范围． 类型一、矩形的平移 1．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A的坐标为，D的坐标为，矩形向右平移7个单位长度后点B恰好落在直线上，若点B的横坐标为，则k的值为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形ABCD中，AB=4，AD=6，以AB为斜边在矩形内部构造等腰直角三角形APB，将△ABP沿BC方向平移得到△A'B'P'，当AB与CD重合时停止，连接P'A，P'D．当△AP'D是等腰三角形时，平移的距离是 ． 3．如图1，矩形的顶点A与原点重合，两边在坐标轴上，已知矩形边长，直线经过点C，与x，y轴交于分别点M， N． (1)求直线的解析式； (2)如图2，矩形向右平移，到点 B与点M重合为止，为探索矩形在外阴影部分的面积S，取部分数值进行计算：设，S与x的数值如下表所示： x 1 2 3 4 … s 2 3 5 6 … 补全表格，利用描点法画出函数图像，并直接写出时，S关于x的函数解析式． 类型二、矩形的折叠 1．如图，在矩形中，，点和是边上的两点，连接、，将和沿、折叠后，点和点重合于点，则的长是（   ） A．3 B．5 C．6 D．8 2．如图，矩形，，，点为边上一个动点，将沿折叠得到，点的对应点为，当射线恰好经过的中点时，的长为 ．    3．将矩形纸片放在平面直角坐标系中，O为原点，点A在x轴上，点C在y轴上，． (1)如图①，沿折叠矩形，点落在处，交于点，求点的坐标； (2)如图②，点是中点，点在上，求的最小值； (3)如图③，折叠该纸片，使点落在边上的点为，折痕为，点在边上，求直线的函数解析式． 类型三、矩形的旋转 1．如图，矩形的顶点，，与x轴负半轴的夹角为，若矩形绕点O顺时针旋转，每秒旋转，则第2024秒时，矩形的对角线交点D的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，O为坐标原点，矩形中，，，将矩形绕点O按顺时针方向旋转α度（）得到矩形，此时直线、直线分别与射线相交于P、Q．在矩形旋转过程中，若，则点P的坐标为 ． 3．综合与实践 问题情境：“综合与实践”课上，老师让每个组准备了一张矩形纸片．如图1，把矩形绕点逆时针旋转得到矩形纸片，点，，的对应点为，，，设旋转角为．操作中，同学们提出了如下问题，请你解答：操作探究： （1）“奋进小组”提出问题：如图2，当矩形纸片旋转到点落在上时，延长交于点． ①求证：四边形是正方形； ②连接，取的中点，连接、，若，，则线段的长为_______． 数学思考： （2）“团结小组”提出问题：如图3，连接，当矩形纸片旋转到点在的延长线上时，延长，交于点，交于点，求证：； 深入探究： （3）“善思小组”提出问题：若，．在矩形纸片旋转过程中，连接线段和，当时，直接写出的长． 类型四、一次函数中的矩形 1．在平面直角坐标系中，点A、点B在坐标轴上，且，以、为边作一个矩形，其一条对角线所在直线的解析式为，将此矩形作为基本图形不断复制和平移，如图所示，若各矩形的对称中心分别为，则的坐标为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点A和C分别落在y轴与x轴的正半轴上，，．若直线把矩形分成面积相等的两部分，则b的值等于 ．    3．如图1，直线与直线交于点，直线与轴交于点． (1)求的周长， (2)点为直线上一动点，连接，若点在第四象限，且，求的坐标； (3)如图2，将直线沿轴向下平移使其经过点得到直线，若点、点在直线上运动（点在点右侧），点在直线上运动，若以点为顶点的四边形为矩形，求出点的坐标及对应的线段的长度． 类型五、矩形动点求t 1．如图，在矩形中，，动点从点出发沿边以的速度向点运动，动点从点出发沿边以的速度向点运动，点和点同时出发，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为，则当（   ）时，四边形是矩形． A． B． C． D． 2．如图所示，在矩形中，厘米，厘米，点沿边从点开始向点以厘米/秒的速度移动，点沿从点开始向点以厘米/秒的速度移动，、同时出发，用（秒）表示移动的时间．如果当移动的时间在，那么四边形的面积与矩形的面积关系的规律是 ． 3．如图，已知矩形中，，，动点P，Q分别从点A，C同时发出，点P以的速度向点B运动，到点B为止；点Q以速度向点D运动，到点D为止；设运动时间为． (1)当t为何值时，四边形是矩形，并说明理由？ (2)连接，当t为何值时，中，． 类型六、矩形中的最值 1．如下图，中，，，，是上一个动点，过点分别作于点，于点，连接，则线段的最小值是（   ） A． B． C． D． 2．如图，长方形中，，点是长方形内的一个动点，且的面积始终等于长方形面积的．若的最小值为，则的长为 ． 3．如图，以矩形的顶点为原点建立平面直角坐标系，顶点分别在轴，轴的正半轴上，，．把矩形沿对角线所在直线翻折，点落到点处，交于点． (1)求点坐标． (2)如图2，点为线段上的动点，请求出的最小值，并求出取得最小值时，点的坐标． (3)在（2）的条件下，当取得最小值时，平面上是否存在一点N，使以为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点坐标并写出其中一个点N的坐标的计算过程；若不存在，请说明理由． 1．如图，在矩形中，对角线，相交于点，，且，则为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在矩形中对角线相交于点O，有以下结论：①；②若，则是等边三角形；③；④；⑤平分．正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 3．如图所示，是矩形内一点，已知，，，则的值为（     ） A． B．8 C． D．9 4．如图，在矩形中，，，为边上一点，将沿直线折叠，点的对应点恰好落在对角线上，则的长为 ． 5．在矩形中，若，对角线，则矩形的面积是 ． 6．如图，在长方形中，，，点E为边上的一个动点，把沿折叠，若点A的对应点刚好落在边的垂直平分线上，则的长为 ． 7．如图所示，在矩形中，，是对角线，过顶点作的平行线与的延长线相交于点，求证：是等腰三角形． 8．如图，在四边形中，对角线与相交于点O，点M，P，N，Q分别在，，，上，连接而成的四边形是矩形，且，求证：四边形是矩形． 9．如图，在矩形中，是矩形的对角线． (1)求作：线段，使得点E在边上，点F在边上，且垂直平分（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）； (2)在（1）的条件下，连接，若，，求的长． 10．如图①，在平面直角坐标系中，一次函数的图象分别交x轴，y轴于A，B两点．将绕点O顺时针旋转得（点A与点C对应，点B与点D对应）． (1)直接写出直线的表达式； (2)E为线段上一点，过点E作轴交直线于点F，作轴交直线于点G．当时，求点E的坐标； (3)如图②，若M为线段的中点，N为直线上一点，P为坐标系内一点，且以O，M，N，P为顶点的四边形为矩形，请直接写出所有符合条件的点N的坐标，并写出其中一种求解点N坐标的过程． 学科网（北京）股份有限公司 $$