9.3 平行四边形 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.3 平行四边形 一、平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 二、平行四边形的性质 1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等。 2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等。 3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 4.对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 巩固课内例1:平行四边形的性质 1．如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质，根据平行四边形的性质可得即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， 故选：B ． 2．如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 【答案】5 【分析】本题考查了平移的性质，主要利用了对应点间的距离等于平移距离的性质，根据平移的性质，对应点的连线的长度等于平移的距离可得，然后解答即可． 【详解】解：向右平移后能与重合， 、是对应点，、是对应点， ， ， ． 故答案为：5． 3．如图，中，，，，求、以及的面积． 【答案】，，的面积为48 【分析】此题主要考查了平行四边形的面积以及其性质和勾股定理等知识，直接利用平行四边形对边相等得出，再利用勾股定理得出的长，结合平行四边形对角线互相平分以及利用平行四边形面积公式求出即可． 【详解】∵中，，，， ∴，则， ∴， ∴的面积为：． 巩固课内例2:平行四边形的判定——一组对边平行且相等 1．数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】D 【分析】本题考查了平行四边形的判定，由题意可得，，进而可得，，根据根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形即可求解，掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 【详解】解：由题意可得，，， ∵， ∴， ∵，， ∴根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形可得四边形是平行四边形， 故选：． 2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 【答案】有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定定理，平移的性质，熟练掌握平移的性质是解题的关键． 直接利用平移的性质结合平行四边形的判定定方法得出答案． 【详解】∵将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置， ∴， ∴四边形是平行四边形． ∴小明这样做的依据是有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 故答案为：有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形． 3．如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定． （1）依据，即可得出，再根据，即可得到，进而判定四边形是平行四边形； （2）依据是等腰直角三角形，即可得到的长，再根据的面积，即可得出的面积，进而由平行四边形面积得出结果． 【详解】（1）证明：∵，交于点O， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形； （2）∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴的面积=， 平行四边形面积． 巩固课内例3:平行四边形的判定——两组对边分别相等 1．如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 【答案】B 【分析】本题考查了基本作图，平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键． 根据圆的半径相等，得到，根据判定定理解答即可． 【详解】解：根据作法得到， 则两组对边分别相等， 那么，四边形为平行四边形， 故选：B． 2．如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    【答案】两组对边分别相等的四边形是平行四边形 【分析】本题考查了复杂作图，掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．根据平行四边形的判定定理求解． 【详解】解：根据题意可以得到，， ∴四边形是平行四边形的依据是两组对边分别相等的四边形是平行四边形， 故答案为：两组对边分别相等的四边形是平行四边形． 3．如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】（1）证明是等边三角形，是等边三角形，得出，证明，证明，得出即可； （2）证明，得出，根据，得出，即可证明四边形是平行四边形． 【详解】（1）解：逆时针旋转得到， ，， 是等边三角形， 同理：是等边三角形， ， ， ， ． ，， ． ． （2）证明：， ， ，， ． ，， ， ， ， ， ∴四边形是平行四边形． 【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，等边三角形的判定和性质，平行四边形的判定，解题的关键是熟练掌握相关的判定和性质． 巩固课内例4:平行四边形的判定——对角线互相平分 1．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 【答案】C 【分析】此题考查了反证法的证明的第一步，注意从结论的反面出发假设是解题关键． 反证法即假设结论的反面成立，即可得出答案． 【详解】用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设对角线不互相平分的四边形是平行四边形， 故选C． 2．如图所示，AB，CD是两条相交的线段，O分别是它们的中点，当线段DC绕点O旋转时（DC，AB不重合），连接AC，CB，BD，DA所得到的四边形ACBD始终是 ．理由是 ． 【答案】 平行四边形 对角线互相平分的四边形是平行四边形 【解析】略 3．如图，四边形中，，，，E是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．求证：四边形是平行四边形． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，全等三角形的判定以及性质，平行线的判定以及性质，由得出，由平行线的性质可得出，再利用证明，由全等三角形的性质可得出，进一步即可证明四边形是平行四边形． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∴． ∵E是边的中点， ∴， 在与中， ∴， ∴． 又， ∴四边形是平行四边形． 巩固课内例5:反证法 1．已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 【答案】B 【分析】反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立，找出至少有一个大于或等于0.5的反面，得到答案．本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 【详解】解：已知五个正数的和等于1， 用反证法证明这五个正数中至少有一个大于或等于0.2， 先要假设这五个正数都小于0.2， 故选：B． 2．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 【答案】，都不能被整除 【分析】本题考查了用反证法证明命题，用反证法证明命题就是要假设这个命题的结论不成立，然后根据假设的这个结论进行推理得到命题的条件不成立即可 【详解】解：命题的结论是，中至少有一个能被整除， 用反证法证明这个命题时就要设这个结论不成立，即：，都不能被整除． 故答案为：，都不能被整除 ． 3．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查反证法的证明方法，反证法的步骤：首先假设反论题正确，然后依据规则进行推理，若出现与已知条件不符或与公理定理相矛盾的情形，即可证明反论题不成立，原命题正确． 第一步先假设和互相平分，根据平行四边形的判定和性质得到，即，与已知矛盾，从而证明原命题正确． 【详解】证明：连接．假设和互相平分． 和互相平分， ∴四边形是平行四边形， ∴． ∵在中，点D、E分别在、上， 与不可能平行，与已知矛盾， 故假设不成立，和不可能互相平分．   类型一、添加条件证平行四边形 1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定．根据平行四边形的判定定理逐项分析判断即可求解． 【详解】解：A、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； B、根据，，不能判断四边形为平形四边形，故该选项符合题意； C、根据，，能判断四边形为平形四边形，故该选项不符合题意； D、∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴四边形为平形四边形， 故该选项不符合题意； 故选：B． 2．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定方法解答即可． 【详解】解：在四边形中，，， 四边形是平行四边形（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）， 可添加的条件是：； 在四边形中， ， ∴四边形是平行四边形； ∴可添加条件； 故答案是：（答案不唯一）. 3．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 【答案】(1) (2)（答案不唯一） 【分析】本题考查添加条件使四边形为平行四边形，平行线的性质： （1）利用平行线的性质，和角平分线的定义进行求解即可； （2）根据平行四边形的判定方法，添加条件即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴； （2）添加条件为：（答案不唯一），理由如下： ∵， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形． 类型二、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 2．在平行四边形中，平分交于点，且点将边分为两部分，若，则平行四边形的周长为 ． 【答案】40或44/44或40 【分析】本题考查平行四边形的性质，角平分线的定义，等腰三角形的判定，掌握平行四边形的性质是解题关键．根据平行四边形的性质和角平分线的定义可证为等腰三角形，即，再根据线段的比，分类讨论，分别求出的长，即可求出平行四边形的周长． 【详解】解：如图， ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴， ∴， ∴． 分类讨论：①当时， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为； ②当时， ∵， ∴， ∴平行四边形的周长为． 综上可知平行四边形的周长为40或44． 故答案为：40或44． 3．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 【答案】(1)证明见解析； (2)平行四边形面积为． 【分析】（）根据线段中点的定义得到，根据平行四边形的性质得到 ，，求得，根据全等三角形的性质得到，于是得到结论； （）由（）知，根据等腰三角形的性质得到 ，过点作于，求得，根据勾股定理和平行四边形的面积公式即可得到结论； 本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键． 【详解】（1）证明：∵是的中点， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴ ∴， ∴， ∴为线段的中点； （2）解：由（）知， ∵， ∴， 过点作于， ∴， 在和中，， 即 解得， ∴ ∴， ∴平行四边形面积． 类型三、反证法中的假设 1．用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反证法，熟练掌握反证法的步骤是解题的关键． 根据反证法的步骤，先假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立，进行作答即可． 【详解】解：第一步应先假设； 故选B． 2．求证：一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，用反证法证明时的假设为“三角形 ．” 【答案】三个内角都大于 【分析】此题主要考查了反证法，反证法的步骤是：（1）假设结论不成立；（2）从假设出发推出矛盾；（3）假设不成立，则结论成立．在假设结论不成立时，要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定． 熟记反证法的步骤，从命题的反面出发假设出结论，直接填空即可． 【详解】解：用反证法证明一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，先假设三角形的三个内角都大于， 故答案为：三个内角都大于． 3．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 【答案】（1）三角形内角中全都小于；（2）答案见解析． 【分析】（1）直接利用反证法的第一步分析得出答案； （2）利用命题与定理，首先写出逆命题进而得出答案． 【详解】解：（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于”， 先假设所求证的结论不成立，即三角形内角中全都小于， 故答案为：三角形内角中全都小于； （2）逆命题：“一次函数的图象不经过第二象限，则，，” 逆命题为假命题，反例：当时，一次函数图象也不过第二象限（不唯一）． 【点睛】本题考查反证法和判断逆命题的真假．正确的进行假设是反证法的关键，掌握利用举反例的方法是判断命题真假的关键． 类型四、反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 【答案】C 【分析】本题考查命题与定理，根据公理的定义、假命题的定义、真假命题的证明方法进行逐一判断即可． 【详解】解；A、经过长期实践证实为正确的真命题称为公理，故此选项错误； B、假命题是不正确的命题，故此选项错误； C、要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，即举一个具备命题的条件，而不具备命题结论的命题即可，故此项正确； D、要证明一个命题是真命题，需要进行推论论证说明它正确，故此项错误； 故选：C． 2．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 【答案】三角形的外角和等于 【分析】先假设，通过证明假设不成立，从而得到正确的结论． 【详解】证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“三角形的外角和等于”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 故答案为：三角形的外角和等于 【点睛】本题考查的是反证法的一般步骤是：①假设命题的结论不成立；②从这个假设出发，经过推理论证，得出矛盾；③由矛盾判定假设不正确，从而肯定原命题的结论正确． 3．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)是直角三角形，理由见解析 (3)不能．理由见解析 【分析】（1）根据全等三角形的性质得到，根据等边三角形的判定定理证明即可； （2）根据全等三角形的性质得到，结合图形计算即可； （3）用反证法，假设能否为等边三角形，根据题意证明不等于，推出矛盾． 【详解】（1）证明：， ． ， 是等边三角形； （2）解：是直角三角形． 理由如下： 是等边三角形， ， ，， ， ， ∴是直角三角形； （3）解：不能．理由： 由，得． 若为等边三角形， 则， 又， ． 又， ， 又， ． ∴不可能为等边三角形． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定、直角三角形的判定以及等腰三角形的判定，解题的关键是掌握相关的判定定理是解题的关键，注意分情况讨论思想的应用． 类型一、平行四边形的个数 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 【答案】C 【分析】本题主要考查了正多边形的判定，以及平行四边形的判定，由是由六个全等的正三角形拼成的，可得出是正六边形，进而可得出，则四边形是平行四边形，同理可得出四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形． 【详解】解：∵是由六个全等的正三角形拼成的， ∴是正六边形， ∴，，是正六边形的对角线， 可得， ∴四边形是平行四边形， 同理：四边形，四边形，四边形，四边形，四边形都是平行四边形，共6个， 故选C． 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 【答案】 【分析】本题考查图形的变化规律，找出一行中的平行四边形的个数，再找出所有的行数，由此找出第个图中平行四边形的个数为是解题的关键．首先发现第一个图中平行四边形的个数是个，第二个图中平行四边形的个数是，第三个图中平行四边形的个数是，由此发现规律解答即可． 【详解】解：∵第一个图中平行四边形的个数是个， 第二个图中平行四边形的个数是， 第三个图中平行四边形的个数是， ∴第个图中平行四边形的个数是， 故答案为：． 3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    【答案】5，图见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．根据平行四边形的判定方法即可解决问题． 【详解】解：在直线的左下方有5个格点，都可以成为平行四边形的顶点，所以这样的平行四边形最多可以画5个，如下图：    故答案为：5． 类型二、已知三点成平行四边形 1．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的定义，解题的关键是掌握平行四边形的性质．分别以、为对角可画平行四边形． 【详解】解：如图，以为对角可画平行四边形，以为对角线可画平行四边形，共两个， 故选：B． 2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 【答案】或 【分析】此题考查了坐标与图形的性质以及平行四边形的性质，先建立平面直角坐标第，再分和两种情况求解即可． 【详解】解：①当，时，如图： ∵点C的坐标是，点A的坐标是， ∴， ∵点B不在第一象限， ∴点B坐标为，即 ①当，时，如图： 由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点O， ∴由坐标可知：点向下平移3个单位，向左平移1个单位到点B， 故点B坐标为：即， 综上所述：点B的坐标是或， 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 【答案】(1)图见解析， (2)点的坐标为或或 【分析】本题主要考查了图形的中心对称和旋转变换，平行四边形； （1）使，则点和点关于原点成中心对称，同理可作出点，，进而可作出，然后根据点的位置可确定其坐标； （2）根据平行四边形的判定定理确定出点的位置及坐标． 【详解】（1）解：作图如下： ； （2）解：四边形是平行四边形，则有如下三种情况，如下图： 点的坐标为或或． 类型三、平行四边形的判定 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的判定，（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形，（2）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，（3）对角线互相平分的四边形是平行四边形．根据平行四边形的判定方法判断得出即可． 【详解】解：A、，，推出，，则能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； B、，，不能判定这个四边形是平行四边形，本选项符合题意； C、由，推出，又，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； D、，，能判定这个四边形是平行四边形，本选项不符合题意； 故选：B． 2．阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    【答案】平行四边形 【分析】本题考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定是解题关键．根据对角线互相平分的四边形是平行四边形即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形． 故答案为：平行四边形． 3．已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）证明即可； （2）只要证明，即可 【详解】（1）∵ ， 在和中， ， ∴， ． （2）是平行四边形 ， 又∵ 四边形是平行四边形． 类型四、平行四边形的性质与判定 1．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了平行四边形的判定与性质以及勾股定理．首先过点B作于点E，于点F，由题意可得四边形是平行四边形，求得，则可求得答案． 【详解】解：过点B作于点E，于点F， 根据题意得：，，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∵，即 ∴， ∴． 故选：B． 2．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，平行线的性质，平行四边形的判定与性质，解答本题的关键是判断出．根据平行线的性质得，由平分得，等量代换得，根据等腰三角形的性质得到，同理，根据已知条件得到四边形是平行四边形，根据平行四边形的性质得到，，即可得到结论． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ， ， 平分， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ，， ， ， ， 故答案为：． 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 【答案】(1)65° (2)，．理由见解析 【分析】本题考查平行四边形的判定和性质，三角形内角和定理和等边对等角等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． （1）首先根据三角形内角和定理和等边对等角得到，然后根据平行四边形的性质求解即可； （2）根据题意证明，，得出四边形是平行四边形，即可解决问题． 【详解】（1）∵，， ∴， ∵ 四边形是平行四边形， ∴； （2），． 理由如下： ∵ 四边形是平行四边形， ∴，， ∵，， ∴，． ∴四边形 是平行四边形． ∴，． 类型一、平行四边形的平移 1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，被平行四边形截得的线段的长度与平移的距离的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 【答案】A 【分析】本题考查了函数的图象，根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点，当移动距离是7时，直线经过，在移动距离是8时经过，则，当直线经过点，设交与，则，作于点．利用三角函数即可求得，即平行四边形的高，然后利用平行四边形的面积公式即可求解． 【详解】根据图象可以得到当移动的距离是4时，直线经过点，当移动距离是7时，直线经过，当移动距离是8时经过，则， 当直线经过点，设交于，则，作于点． 直线与轴形成的角是， 又轴， ，是等腰三角形． 由勾股定理得， ． 平行四边形的面积． 故选:A． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，一次函数的平移，首先连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，从而可得直线要向下平移个单位，进而可得求解，掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解题的关键． 【详解】解：连接，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分， ∵四边形是平行四边形， ∵， ∴，， ∴， 设的解析式为， ∵平行于， ∴， ∴， ∵过， ∴， ∴的解析式为， ∴直线要向下平移个单位， ∵速度为每秒个单位长度， ∴时间为秒， 故答案为：． 3．如图1，和都是边长为2的等边三角形． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为：_________（写出符合条件的所有点）； (2)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 【答案】(1)点、点、的中点 (2)四边形是平行四边形．理由见解析 【分析】此题主要考查了矩形的判定和等边三角形的性质和平行四边形的判定以及旋转的性质，熟练掌握相关的定理是解题关键． （1）根据等边三角形的性质，得到四边形是菱形，从而再根据菱形是中心对称图形，得到旋转中心有点、点、的中点； （2）根据平移的性质，得到，根据等边三角形的性质，得到，，从而得到，则，再根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形即可证明． 【详解】（1）等边和等边有公共的底边， ， 四边形是菱形． 要旋转，使与重合，有三点分别为：点、点、的中点， 故答案为：点、点、的中点； （2）四边形是平行四边形．理由如下： 根据平移的性质，得到， 根据等边三角形的性质，得到，， ， ， 又， 四边形是平行四边形； 类型二、平行四边形的折叠 1．如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，折叠的性质，三角形内角和定理，熟练运用这些性质是本题的关键．由平行四边形的性质可得，由三角形的内角和定理可求的度数，由折叠的性质可求． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴． 由折叠的性质可得． 故选B． 2．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 【答案】 【分析】设，作于点L，则，由折叠可知，，得到，则，，由勾股定理得到，解得，即可得到答案． 【详解】解：设，作于点L，则， ∵ ∴由折叠可知， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴， 故答案为： 【点睛】此题考查了勾股定理、含角的直角三角形的性质、平行四边形的性质、轴对称的性质等知识，作高构造直角三角形是解题的关键． 3．在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 【答案】(1)见解析； (2)； (3)4或或． 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，折叠的性质，勾股定理． （1）先证，再由已知平行四边形即可； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点，连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，结合勾股定理即可计算； （3）分情况：当点落在边上时，如图2；当点落在边上时，如图3，连结交于点；当点落在边上时，如图4，连结交于点，分别求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， 在平行四边形中，， ∴四边形为平行四边形； （2）如图1，过点作的垂线，交延长线于点， 连结，交于点，由轴对称性可知垂直平分，    在中， ∵ ∴ 由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 即，解得， 在中，由勾股定理，得， 在中，由勾股定理，得， 由平行四边形的中心对称性，得; （3）当点落在边上时，如图2，    由折叠可知，，， ∵ ∴ 在平行四边形中，， ∴四边形是平行四边形 ∴ 在中， ∴ ∴ 当点落在边上时，如图3，连结交于点 由平行四边形的中心对称性，得， 由翻折，得， ∴， ∴， 在中， ∴ 由勾股定理，得 当点落在边上时，如图4，连结交于点， 由折叠可知，则垂直平分， 由轴对称性可知垂直平分，    ∴点与点重合 过点作的垂线交于点， 在中，，， 由勾股定理，得． 综上所述，点之间的距离为4或或． 类型三、平行四边形的旋转 1．如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质与判定以及旋转的性质，正确掌握平行四边形的性质是解题关键. 连接，过点B作，过点作，先证明，再利用旋转的性质求得坐标. 【详解】解：如图，连接，过点B作，过点作， ， 在中，，， ， ， ∵将绕O点逆时针方向旋转到的位置， ， ， ， ∴点的坐标是：， 故选：B. 2．如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    【答案】2或14 【分析】本题考查了平行四边形的性质，旋转的性质，勾股定理，注意分类讨论；由题意得；分顺时针旋转与逆时针旋转两种情况，利用旋转性质及勾股定理即可求解．根据题意确定是解题的关键． 【详解】解：∵线段绕着点旋转得到线段，点恰好落在直线上， ∴， ∵， ∴， 由勾股定理得：； 当线段绕着点顺时针旋转时，如图， ∴， ∴； 当线段绕着点逆时针旋转时， 则在点P的右侧， ∴； 综上，的长为2或14； 故答案为：2或14． 3．如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 【答案】(1)见解析 (2)①，理由见解析；② 【分析】（1）根据旋转可得，则，根据平行四边形的性质可得得出，等量代换得出，即平分； （2）①过点作于点，根据角平分线的性质可得，进而证明，根据全等三角形的性质，即可得证； ②在上截取，连接，过点作于点，根据旋转的性质结合已知条件可得是等边三角形，则，证明，得出四边形是平行四边形，则，进而勾股定理求得，根据三角形的面积公式，即可求解． 【详解】（1）证明：∵绕点旋转得到平行四边形， ∴ ∴ 又∵四边形是平行四边形， ∴ ∴ ∴，即平分； （2）解：①， 如图所示，过点作于点，    ∵平分，， ∴ ∵四边形，是长方形， ∴ ∴ 在中， ∴ ∴； ②如图所示，∵四边形是平行四边形， ∴， 在上截取，连接，过点作于点，    ∵旋转，则， ∴是等边三角形，则， ∴，即旋转角为 ∴ 又平分； ∴， ∴， 在中， ∴ ∴， ∴ 又∵ ∴ 又∵旋转，则 ∴， 在中， ∴ ∴ ∴ ∴四边形是平行四边形， ∴ 在中， ， ∴，则 ∴ ∴． 【点睛】本题考查了旋转的性质，平行四边形的性质与判定，全等三角形的性质与判定，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握旋转的性质，平行四边形的性质是解题的关键． 类型四、一次函数中的平行四边形 1．如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题重点考查坐标与图形变化-旋转、平行四边形的性质、全等三角形的判定与性质等知识．连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，由平行四边形的性质得，求得，再证明，利用全等三角形的性质得到问题的答案． 【详解】解：如图，连接交于点D，连接，作轴于点E，轴于点F，则， ∵四边形是平行四边形，，， ∴， ∴点的横坐标为，纵坐标为， ∴， 由旋转得， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 【答案】3 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，一次函数的图象与几何变换，依据题意，首先连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分，然后计算出过且平行直线的直线解析式，进而可以判断得解． 【详解】解：连接、，交于点，当经过点时，该直线可将的面积平分． 四边形是平行四边形， ，即点为中点， ，， ， 设的解析式为， 平行于， ， 过， 的解析式为， 结合“左加右减，上加下减”的平移规律， 满足． 直线可以由直线要向右平移3个单位． 经过3秒该直线可将平行四边形的面积平分． 故答案为：3． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)； (2)； (3)存在，或或． 【分析】本题考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，平行四边形的判定与性质等知识，掌握相关知识是解题的关键． （1）已知直线解析式，令，求出的值，可求出点，的坐标，联立方程组求出点的坐标即可； （2）先根据得到、的关系，然后求出，，并都用字母表示，根据列式求出的值，从而可求出的值，继而可推出点的坐标以及直线与的解析式； （3）由于、、三点已经确定，要确定点的位置，分三种情况讨论求解即可． 【详解】（1）解：在直线中，令，得， ∴点， 在直线中，令，得， ∴点， 由，解得：， ∴点； （2）解：∵， ∴， 整理得：， ∴，， 而， 解得：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的函数表达式为：， 的函数表达式为：； （3）解：存在， 过点P作直线平行于x轴，过点B作的平行线交于点，过点A作的平行线交于点，过点A、B分别作、的平行线交于点． ①∵且， ∴是平行四边形，此时， ∵， ∵，，， ∴，， ∴， ∴； ②∵且， ∴是平行四边形，此时， ∴； ③∵且， ∴是平行四边形， ∵且， ∴， 同理可得：， 由，得：， ∴， 综上：存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形，点D的坐标为或或． 类型五、平行四边形动点求t 1．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的点A的坐标为，点C的坐标为．现有点Q从A出发以2个单位每秒的速度向O运动，有P点从O出发以3个单位每秒的速度向C运动，两点同时出发时计时开始，P到达C运动即停止．时，t的值为（    ） A． B． C．或 D． 【答案】B 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形的性质，三角形的面积，勾股定理，直角三角形的性质．在取点D，使，过点A作轴于点K，过点Q作轴于点H，则，证明是等边三角形，可得，从而得到，再由勾股定理可得，然后根据，即可求解． 【详解】解：如图，在取点D，使，过点A作轴于点K，过点Q作轴于点H，则， ∴， 根据题意得：，， ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 解得：或， ∵点C的坐标为，即， ∴点P从点O运动到C所用时间为， ∴． 故选：B 2．如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ． 【答案】或或 【分析】本题考查平行四边形的性质，中心对称：由平行四边形的性质，中心对称的性质得到，分三种情况讨论即可解决问题． 【详解】如图，连接交于点O， ∵平分的面积，是中心对称图形， ∴经过的中心，即， 在中，， ∴， ∴， ∴， 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴； 当时， ∵， ∴， ∴． ∴当平分的面积时，或或． 故答案为：或或． 3．如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)． 【答案】(1) (2)或 (3) 【分析】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义； （1）利用平行四边形的性质得出，再利用角平分线的定义得出，即可得出结论； （2）利用平行四边形的性质即可得出，再分两种情况讨论计算即可得出结论； （3）利用平行四边形的性质经过平行四边形的中心的直线将平行四边形的面积二等分，再建立方程即可得出结论． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形， ， ， 是的角平分线， ， ， ； （2）由（1）知，， ， ， ， 依题意，，， ，要使以，，，为顶点的四边形是平行四边形，只要， 当点在边上时， ， ， ， ； 当点在边的延长线上时，， ， ， 综上所述：或，存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形 （3）如图，连接交于， 线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 必过的中点， ， ， ， 在和中， ， ， 依题意，，， ，， ， ， 时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分， 故答案为： 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查平行四边形的判定，解题关键是熟练掌握平行四边形的判定定理． 根据平行四边形的判定定理对选项进行逐一判断即可． 【详解】解：、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意； 、，，两组对边分别相等的四边形为平行四边形，可得四边形是平行四边形，符合题意； 、无法得到四边形是平行四边形，不符合题意． 故选：． 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平行四边形的性质，坐标与图形，熟练掌握平行四边形的性质并利用数形结合的思想是解题关键．根据平行四边形的性质结合所给三个顶点的坐标可得出，，即可求解． 【详解】解：∵平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，， ∴，轴， ∴，， ∴顶点的坐标是． 故选：A． 3．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 【答案】B 【分析】本题考查了平行四边形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，解题的关键是掌握以上知识点． 根据题意得出四边形是平行四边形，进而根据等边对等角以及平行线的性质可得，得出，则，进而根据平行四边形的性质，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ∴平行四边形的周长为； 故选：B． 4．在平行四边形中，若，则 ． 【答案】30 【分析】本题考查了平行四边形的性质，熟练掌握平行四边形的性质是解此题的关键，根据平行四边形对角相等可得． 【详解】解：在平行四边形中，若，则． 故答案为：30． 5．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行四边形的性质和几何图形的翻折问题．根据翻折的性质，及已知的角度，可得为等边三角形，再由四边形为平行四边形，且，从而知道，A，B三点在同一条直线上，再由是对称轴，所以垂直且平分， ，求边上的高，从而得到面积． 【详解】解：∵恰为等边三角形， ∴ ∴为等边三角形， 由四边形为平行四边形，且， ∴，所以，， ∴，A，B三点在同一条直线上， ∵是对折线， ∴垂直且平分， ∴， 过点C作， 则有， ∴， ∴， ∴折叠重合部分的面积是． 故答案为：． 6．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 【答案】 【分析】由“”可证，可得，由平行线的性质和角平分线的性质可得，由等腰三角形的性质和勾股定理可求，即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∴， ∵点F为边的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了平行四边形的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键． 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题考查了平行四边形的性质； （1）根据平行四边形的对角线互相平分可直接得出结论； （2）根据平行四边形的性质求出，然后即可计算的周长． 【详解】（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，； （2）由题意得， 由（1）知，， ∴， ∴的周长为：． 8．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 【答案】(1)见解析； (2)见解析； 【分析】本题主要考查平行四边形的判定和性质，也考查了全等三角形的判定，熟练掌握相关的判定和性质是解答本题的关键． （1）直接利用两组对边分别平行的四边形是平行四边形证明即可； （2）先利用平行四边形的性质得到，，继而得到，从而得证； 【详解】（1）∵平行四边形， ， 又， ∴四边形是平行四边形； （2）∵平行四边形， ，，， 又∵四边形是平行四边形， ， ， ， 9．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     【答案】或秒 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用、平行四边形的判定．因为，所以当时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，本题要分两种情况考虑：当点 在点右侧时，当Q在点左侧时． 【详解】当点 在点右侧时， 点是的中点， ， ，， ， 解得：； 当Q在点左侧时， ，， 解得：， 综上所述经过秒或秒时以点，，，为顶点的四边形是平行四边形． 10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接．设与重合部分的面积为，点运动的时间为秒． (1)直接写出点的坐标； (2)当点落在上时，求的值； (3)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 【答案】(1)； (2)； (3)当时，；当时，；当时，． 【分析】（1）过点B作于点G，过点M作于点N，利用等腰直角三角形的性质得到，则点B坐标可求； （2），则，，利用等腰直角三角形的性质，正方形的性质求得线段，的长度即可得出结论； （3）分，，分别画出图形，根据题意得出的函数关系式； 【详解】（1）解：过点B作于点G，如图所示： 是等腰直角三角形， ． 点， ， ， （2）解：过点B作于点G，过点M作于点N，如图， 依题意，，则， ，， 为等腰直角三角形， ． ，， 四边形为平行四边形， ， 为等腰直角三角形， ， ， ． （3）由（2）可得点落在上，当点和点重合时，正好是的中点，则，当运动到点，， ∴分三种情况讨论，，， ①时， ②时，如图， ， ． 由（1）知：四边形为平行四边形，为等腰直角三角形， ，． 为等腰直角三角形， ，， ， 为等腰直角三角形， ， ． ③当时，如图， 与重合部分面积为的面积， 由题意：，为等腰直角三角形，， ， ， ， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【点睛】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，坐标与图形，函数关系，旋转的性质，平行四边形的判定与性质，利用点的坐标表示出相应线段的长度，和用线段的长度表示点的坐标是解题的关键． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.3 平行四边形 一、平行四边形的定义 两组对边分别平行的四边形叫做平行四边形。平行四边形ABCD记作“▱ABCD”，读作“平行四边形ABCD”。 二、平行四边形的性质 1.边的性质：平行四边形两组对边平行且相等。 2.角的性质：平行四边形邻角互补，对角相等。 3.对角线性质：平行四边形的对角线互相平分。 4.对称性：平行四边形是中心对称图形，对角线的交点为对称中心。 三、平行四边形的判定 1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形。 2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形。 3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形。 4.对角线互相平分的四边形是平行四边形。 巩固课内例1:平行四边形的性质 1．如图，平行四边形中，，则（ ） A． B． C． D． 2．如图，由平行四边形的顶点、向及其延长线作垂线、，、为垂足，如果向右平移后能与重合，已知，则 ． 3．如图，中，，，，求、以及的面积． 巩固课内例2:平行四边形的判定——一组对边平行且相等 1．数学活动课上，已知，惠卓图同学利用尺规作图找一点，使得四边形为平行四边形，以下是其作图过程：（）作；（）以点为圆心，长为半径作弧交与点；（）连接，则四边形即为所求．在上述做图中，可直接判定四边形为平行四边形的依据是（    ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 2．小明是这样画平行四边形的：如图，将三角尺的一边贴着直尺推移到的位置，这时四边形就是平行四边形．小明这样做的依据是 ． 3．如图，在四边形中，连接，交于点O，，且，E为线段上一点，连接并延长交于点． (1)求证：四边形为平行四边形； (2)若，，，，求平行四边形面积． 巩固课内例3:平行四边形的判定——两组对边分别相等 1．如图，已知，用尺规进行如下操作：①以点B为圆心，长为半径画弧；②以点D为圆心，长为半径画弧；③两弧在上方交于点C，连接．可直接判定四边形为平行四边形的条件是（   ） A．两组对边分别平行 B．两组对边分别相等 C．对角线互相平分 D．一组对边平行且相等 2．如图，任取两点、，分别以点和点为圆心、任意长为半径，分别在线段的两侧画弧，再分别以点和点为圆心、适当长为半径画弧，与前面所画的弧分别交于点A和点，顺次连结点A、、、，则四边形是平行四边形的依据是 ．    3．如图，是内部的一点，连接，，把绕点逆时针旋转得到线段，把绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．． (1)若，求的长； (2)求证：四边形是平行四边形． 巩固课内例4:平行四边形的判定——对角线互相平分 1．反证法是初中数学中的一种证明方法，在中国古代的数学发展过程中也起到了促进作用，比如墨子谈到“学之益也，说在诽者”，其是通过证明“学习无益”的命题为假，以此才说明“学习有益”的命题为真，这就是反证法的一个例子，我们用反证法证明命题“对角线不互相平分的四边形不是平行四边形”，应先假设（    ） A．对角线互相平分的四边形是平行四边形 B．对角线互相平分的四边形不是平行四边形 C．对角线不互相平分的四边形是平行四边形 D．对角线不互相平分的四边形不是平行四边形 2．如图所示，AB，CD是两条相交的线段，O分别是它们的中点，当线段DC绕点O旋转时（DC，AB不重合），连接AC，CB，BD，DA所得到的四边形ACBD始终是 ．理由是 ． 3．如图，四边形中，，，，E是边的中点，连接并延长与的延长线相交于点F．求证：四边形是平行四边形． 巩固课内例5:反证法 1．已知五个数的和等于1，用反证法证明：这五个正数中至少有一个大于或等于0.2，首先要假设（    ） A．有1个数小于0.2 B．每个数都小于0.2 C．有1个数大于0.2 D．每个数都大于0.2 2．用反证法证明命题：“如果，是整数，且能被整除，那么，中至少有一个能被整除”时，应假设 ． 3．如图，在中，点D、E分别在、上，连接、，、相交于点O．用反证法证明：和不可能互相平分． 类型一、添加条件证平行四边形 1．如图，在四边形中，，若添加一个条件，使得四边形为平行四边形，则下列不正确的是（      ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，要使四边形为平行四边形，则需添加一个条件，这个条件可以是 ． 3．如图，四边形中，，，的平分线交于点． (1)求的度数； (2)在上取一点E，添加一个条件，使四边形是平行四边形，直接写出这个条件． 类型二、利用平行四边形的性质求解 1．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 2．在平行四边形中，平分交于点，且点将边分为两部分，若，则平行四边形的周长为 ． 3．如图，在平行四边形中，是的中点，连接并延长交的延长线于点，连接，且． (1)求证：为线段的中点； (2)若，，求平行四边形面积． 类型三、反证法中的假设 1．用反证法证明命题“已知：在中，，求证：”时，应假设（    ） A． B． C． D． 2．求证：一个三角形中，至少有一个内角小于或等于，用反证法证明时的假设为“三角形 ．” 3．（1）用反证法证明命题：“三角形的三个内角中，至少有一个内角大于或等于60°．先假设所求证的结论不成立，即 ； （2）写出命题“一次函数，若，，则它的图象不经过第二象限．”的逆命题，并判断逆命题的真假．若为真命题，请给予证明；若是假命题，请举反例说明． 类型四、反证法证明命题 1．下列说法中，正确的是（    ） A．经过证明为正确的真命题叫做公理 B．假命题不是命题 C．要证明一个命题是假命题，只要举一个反例，说明它错误即可 D．要证明一个命题是真命题，只要举一个例子，说明它正确即可 2．数学课上，学生提出如何证明以下问题： 如图，．求证：．    老师说，我们可以用反证法来证明，具体过程如下： 证明：假设， 如图，延长交的延长线于点，为延长线上一点．    ∵， ∴． ∵， ∴， 这与“________”相矛盾， ∴假设不成立， ∴． 以上证明过程中，横线上的内容应该为 ． 3．如图，点是等边内一点，是外一点，，，，，连接． (1)求证：是等边三角形； (2)当时，求证：是直角三角形； (3)能否为等边三角形？请说明理由． 类型一、平行四边形的个数 1．如图，由六个全等的正三角形拼成的图中，平行四边形的个数为（    ） A．4 B．5 C．6 D．7 2．根据如图所示的三个图所表示的规律依次数下去，第n个图中平行四边形的个数是 ． 3．如图，在3×3的正方形网格中，以线段为对角线作平行四边形，使另两个顶点也在格点上，则这样的平行四边形最多可以画 个，请一一在下图中画出来．    类型二、已知三点成平行四边形 1．如图，在的正方形网格图中有、、三点，网格中以、、三点为顶点的平行四边形有（   ）个 A． B． C． D．无数 2．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，点C的坐标是，点A的坐标是，点B不在第一象限，若以点O，A，B，C为顶点的四边形是平行四边形，则点B的坐标是 ． 3．如图，方格纸中每个小正方形的边长都是1个单位长度，在方格纸中建立如图所示的平面直角坐标系，的顶点都在格点上，三个顶点的坐标分别是，，． (1)画出关于点的中心对称图形，并写出点的坐标； (2)若四边形是平行四边形，请直接写出点的坐标． 类型三、平行四边形的判定 1．如图，四边形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（   ） A．， B．， C．， D．， 2．阅读以下作图步骤： ①任意画两条相交直线、，记交点为； ②以点为中心，分别在直线、上截取与、与，使，； ③顺序连接所得的四点得到四边形． 根据以上作图，可以推断四边形的形状是 ．    3．已知：如图平行四边形的两条对角线相交于点，是的中点，过点作的平行线，交的延长线于点，连接． (1)求证：； (2)求证：四边形是平行四边形． 类型四、平行四边形的性质与判定 1．如图，小华剪了两条宽为的纸条，交叉叠放在一起，且它们较小的交角为，则它们重叠部分的面积为（   ） A． B． C． D． 2．如图，四边形中，，且、的角平分线、分别交于点、．若，则的长为 ． 3．如图，在平行四边形中，对角线、相交于点O，点E、F在上，点G、H在上，且，． (1)若，，求的度数． (2)试判断与 的位置关系与数量关系，并说明理由． 类型一、平行四边形的平移 1．如图①，在平面直角坐标系中，平行四边形在第一象限，轴，直线从原点出发沿轴正方向平移，被平行四边形截得的线段的长度与平移的距离的函数图象如图②所示，那么平行四边形的面积为（    ） A． B．12 C． D．6 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在轴的正半轴上，且点，，直线以每秒个单位长度的速度沿轴向下平移，经过 秒该直线可将平行四边形分成面积相等的两部分． 3．如图1，和都是边长为2的等边三角形． (1)以图1中的某个点为旋转中心，旋转，就能使与重合，则满足题意的点为：_________（写出符合条件的所有点）； (2)将沿方向平移得到，如图2、图3所示，则四边形是平行四边形吗？证明你的结论； 类型二、平行四边形的折叠 1．如图，在中，为边上一点，将沿折叠至处，与交于点，若，，则的大小为（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，将折叠，使得点B与点D重合，折痕交AD，BC分别于点E，F，则 ． 3．在中，，，，点分别为边上异于端点的动点，且，连结，将四边形沿着折叠得到四边形．    (1)如图1，边，交于点，若，求证：四边形为平行四边形； (2)如图2，当点落在点处时，求折痕的长； (3)当点落在的边上时，求点之间的距离． 类型三、平行四边形的旋转 1．如图，在中，，，将绕点O逆时针方向旋转到的位置，则点的坐标是（） A． B． C． D． 2．如图，在平行四边形中，，，面积为120，点是边上一点，连接，将线段绕着点旋转得到线段，如果点恰好落在直线上，那么线段的长为    3．如图1，绕点旋转得到平行四边形，当点落在边上时，连接．    (1)求证：平分； (2)连接交于点． ①如图2，若平行四边形为长方形，则和之间的等量关系为，并说明理由； ②如图3，若，请直接写出的面积 ． 类型四、一次函数中的平行四边形 1．如图，，，将平行四边形绕原点O顺时针旋转，则点B的对应点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的边落在x轴的正半轴上，且点，，直线以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过 秒该直线可将平行四边形的面积平分． 3．如图，在平面直角坐标系中，已知直线是一次函数的图象，直线是一次函数的图象，点P是两直线的交点，点A、B、C、Q分别是两条直线与坐标轴的交点． (1)用m、n分别表示点A、B、P的坐标； (2)若四边形的面积是，且，试求点P的坐标，并求出直线与的函数表达式； (3)在（2）的条件下，是否存在一点D，使以A、B、P、D为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点D的坐标；若不存在，请说明理由． 类型五、平行四边形动点求t 1．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的点A的坐标为，点C的坐标为．现有点Q从A出发以2个单位每秒的速度向O运动，有P点从O出发以3个单位每秒的速度向C运动，两点同时出发时计时开始，P到达C运动即停止．时，t的值为（    ） A． B． C．或 D． 2．如图，在中，，动点从点出发，以1个单位长度的速度沿线段向终点运动，同时动点从点出发以3个单位长度的速度在间往返运动，当点到达点时，动点同时停止运动，连结．设运动时间为秒．当平分的面积时，则 ． 3．如图，在平行四边形中，，是的角平分线，点从点出发，沿方向以的速度向点运动，点从点出发，以的运动速度，沿射线方向运动，当点运动到点时，点随之停止运动，设运动时间为秒． (1)求的长； (2)是否存在以，，，为顶点的四边形是平行四边形？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由． (3)当______时，线段将平行四边形分成面积相等的两部分(直接写出答案)． 1．下列条件中能判定四边形是平行四边形的是（   ） A． ， B．， C．， D．， 2．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点、、的坐标分别是，，，则顶点的坐标是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在等腰中，腰长为5，，E，M，F分别是，，上的点，并且，，则四边形的周长是（   ） A．5 B．10 C．15 D．13 4．在平行四边形中，若，则 ． 5．如图，在平行四边形纸片中，，将纸片沿对角线对折至，交边于点E，此时恰为等边三角形，则图中折叠重合部分的面积是 ． 6．如图，在平行四边形中，，的平分线与的延长线交于点E，与交于点F，且点F为边的中点，，垂足为G，若，则的边长为 ． 7．如图，平行四边形的对角线，相交于点． (1)求证：，； (2)若对角线与的和为18，，求的周长． 8．已知：如图，点O是平行四边形的对角线的中点，E，F分别是和上的点，且． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)求证：； 9．如图，在四边形中，，，，是的中点．点以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点同时以每秒个单位长度的速度从点出发，沿向点运动，点停止运动时，点也随之停止运动．当运动时间为多少秒时，以点，，，为顶点的四边形是平行四边形．     10．如图，在平面直角坐标系中，为原点，是等腰直角三角形，，点，点在第一象限，点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿边向终点运动，过点作，交的直角边于点，将线段绕点逆时针旋转得到线段，点的对应点为，连接．设与重合部分的面积为，点运动的时间为秒． (1)直接写出点的坐标； (2)当点落在上时，求的值； (3)求关于的函数关系式，并写出的取值范围． 学科网（北京）股份有限公司 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