9.1 图形的旋转 -2024-2025学年八年级数学下册考点解惑【基础•中等•优质】题型过关专练（苏科版）

9.1 图形的旋转 一、图形的旋转 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 二、旋转的性质 1、图形的旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2、一个图形绕着旋转中心旋转一定角度，意味着图形上每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，但每个点所经过的路线不同。 3、旋转的基本性质包括：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，都等于旋转角。 三、旋转的三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。只要三个要素不明确，一定要分类讨论。 四、旋转的作图 所有图形的作图都是转化为画出关键点绕着旋转中心旋转后的对应点，最后依次连接所有的对应点就得到旋转后的对应图形。 巩固课内例1:图形的旋转作图 1．如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用已知将图形绕点逆时针旋转得出符合题意的图形即可．本题考查了生活中的旋转现象，正确掌握相关性质内容是解题的关键． 【详解】解：如图所示：将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是 故选：C． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查图形的旋转，首先根据旋转的性质将旋转后的图形画出来，再根据坐标系写出的坐标即可，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，由绕原点顺时针旋转后得到， 根据坐标系特点可得， 故答案为：． 3．如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】此题主要考查了旋转变换，根据旋转的性质得出对应点位置是解题关键． 利用旋转的性质分别得出对应点的位置，进而得出答案． 【详解】解：如图所示， 即为所求． 类型一、生活中的旋转现象 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 【答案】D 【分析】本题考查旋转的定义，熟练掌握旋转的定义是解题的关键； 在平面内，把一个图形绕一个定点沿某个方向转动一个角度，这样的图形运动称为旋转． 【详解】解：根据旋转的定义可以知道钟表的钟摆的运动是旋转； 运动员投掷标枪、火箭升空的运动、飞驰的动车都是平移， 故选：D 2．荡秋千 （填“属于”、“不属于”)旋转； 【答案】属于 【分析】根据旋转的特征进行判断即可. 【详解】荡秋千的人和秋千改变了位置和方向，是旋转现象； 故答案为属于. 【点睛】本题是考查平移与旋转的意义，解题的关键是明确旋转变换和平移都不改变图形的形状和大小，只是位置与方向的变化，要结合生活实际加以区分. 3．你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？ 【答案】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象． 【分析】将一个图形上的所有点都按照某个方向作相同距离的移动，这样的图形运动叫作图形的平移运动；把一个图形绕着某一点O转动一个角度的图形变换叫做旋转；据此解答即可． 【详解】(1)(2)(3)是平移现象，(4)(5)(6)是旋转现象． 【点睛】本题是考查平移、旋转的意义．平移与旋转的相同点是图形的大小、形状不变，不同点是平移不改变图形的方向，旋转改变图形的方向． 类型二、旋转对称图形 1．下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查旋转对称图形的定义，根据：“把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心，旋转的角度叫做旋转角，”进行判断即可． 【详解】解：前三个图形是旋转对称图形；第四个图形不是旋转对称图形． 故选：C． 2．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  【答案】 平移 翻折 翻折 旋转 【分析】本题考查平移，轴对称和旋转的性质，图形的平移只改变图形的位置，而不改变图形的形状和大小．把一个图形沿某条直线对折，可与另一个图形重合，则这两个图形关于这条直线对称，一个图形围绕一个定点旋转一定的角度，得到另一个图形，这种变换称为旋转变换．根据平移，轴对称，旋转的性质逐一分析即可． 【详解】解：第一组第一个图形通过平移可第二个图形重合； 第二组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第三组第一个图形通过翻折可第二个图形重合； 第四组第一个图形通过旋转可第二个图形重合； 故答案为：平移，翻折，翻折，旋转 3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 【答案】(1)是，O， (2)周长为，阴影部分的面积为 【分析】此题考查了旋转对称图形，熟练掌握旋转对称图形的概念以及最小旋转角的求法是解答此题的关键．旋转对称图形：把一个图形绕着一个定点旋转一个角度后，与初始图形重合，这种图形叫做旋转对称图形，这个定点叫做旋转对称中心．根据定义可知，最小旋转角等于周角除以正多边形的边数． 【详解】（1）解：根据题意，可知这个图案是旋转对称图形，点是旋转对称中心， 这个图案的最小旋转角为； 故答案为：是，O， （2）由题意得，阴影部分的周长为， 阴影部分的面积为． 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 【答案】C 【分析】本题考查了旋转中心，熟练掌握旋转中心的定义，学会构造旋转对应点连线的垂直平分线找出旋转中心是解题的关键．连接、，分别作和的垂直平分线，则交点即为旋转中心． 【详解】解：将绕某个点旋转，得到，则与为对应点，则与为对应点， 连接、，分别作和的垂直平分线，如图所示交于点C，故点C为旋转中心． 故选：C． 2．如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 【答案】/150度 【分析】此题主要考查了旋转的性质，对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角，正确得出对应边是解题关键．直接利用旋转的性质得出对应边，再根据三角板的内角的度数得出答案． 【详解】解：∵将一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到， ∴与是对应边， ∴旋转角． 故答案为：． 3．如图，已知四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)填空：可以由绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转 度得到； (2)若，，求的面积． 【答案】(1)，； (2) 【分析】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，以及勾股定理，解题的关键在于理解旋转前后两图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角． （1）证明，得到，再根据旋转的定义即可解题； （2）利用正方形性质和勾股定理得到，由（1）可知，，，最后利用三角形面积公式求解，即可解题． 【详解】（1）解：四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， ， 观察图形可知可以由绕旋转中心点，按顺时针方向旋转度得到， 故答案为：，； （2）解：四边形是正方形，， ， ， ， 由（1）可知，，， 的面积为． 类型四、画旋转图形 1．将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查图形的旋转，根据旋转的性质，进行判断即可． 【详解】解：由题意，将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到： 故选D． 2．如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形和坐标，旋转的性质．根据旋转定义作出图形即可解题． 【详解】解： 如图所示， 点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)求四边形的面积． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查了作图—旋转变换，三角形的面积计算，解题的关键是掌握旋转变换的性质． （1）利用旋转变换的性质分别作出，的对应点，即可； （2）把四边形面积看成矩形面积减去周围三个三角形面积即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求： （2）解：四边形的面积． 类型一、根据旋转的性质求解 1．如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的判定和性质，根据旋转的性质得到，，等边对等角求出的度数，角平分线得到的度数，根据三角形的内角和定理进行求解即可． 【详解】解：∵旋转， ∴，， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， 解得：； 故选C． 2．如图，绕点按顺时针旋转得到，若点在上，则的度数为 ． 【答案】 【分析】本题考查了旋转的性质，三角形的外角性质，熟练掌握知识点是解题的关键．先根据旋转的性质得，，再根据三角形外角性质得，所以． 【详解】解：∵绕点C按顺时针旋转得到， ∴，， ∵， 即， ∴． 故答案为：． 3．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，，求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了旋转的基本性质，平行线的性质，等边对等角； （1）根据直角三角形中两个锐角互余，可得，进而结合已知，即可求解； （2）根据平行线的性质得出，，进而根据旋转的性质可得，再根据等角对等边可得，根据即可求解． 【详解】（1）解：，          ， （2） ，     由旋转得          类型二、根据旋转的性质证线段和角相等 1．如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查旋转的性质，根据旋转后得到的图形与原图形全等，对应点到旋转中心的距离相等，对应点与旋转中心组成的夹角为旋转角，进行判断即可． 【详解】解：∵把绕点O旋转得到， ∴，，，， 故只有选项C不一定成立； 故选：C． 2．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 【答案】 【分析】本题考查了图形的旋转、直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半．解决本题的关键是作辅助线构造一个含角的直角三角形，然后再利用直角三角形中的锐角所对的直角边等于斜边的一半求解． 【详解】解：如下图所示 连接，过点作于点， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在中，， 点到的距离是． 故答案为： ． 3．在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)图见解析 (2) (3)，证明见解析 【分析】（1）依题意补全图形即可； （2）由等边对等角及三角形的内角和定理可得，再由三角形外角的性质可得，然后根据角的和差关系即可解答； （3）过点D作，交于点F，交的延长线于点M，先证明，可得，再证明，可得，进而证明，则，于是可得，然后由勾股定理可得，再根据线段的和差关系及等量代换即可得出结论． 【详解】（1）解：根据题意补全图形如下： （2）解：∵，， ∴， ∴， 将线段顺时针旋转得到线段， ， ∴； （3）解：，证明如下： 如图，过点D作，交于点F，交的延长线于点M，则， ∴， 即：， ∵， ， ∴， ∴， 由旋转的性质可得：， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，， ， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角的性质，勾股定理等知识点，添加适当辅助线构造全等三角形是解题的关键． 类型三、求绕某点旋转角度的坐标 1．已知点，是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了旋转的性质，作轴交于，由旋转的性质得， ，即可求解；掌握旋转的性质是解题的关键． 【详解】解：如图，作轴交于， ， ，， 将线段绕点顺时针旋转， 绕点顺时针旋转得， ， ， ， 故选：D． 2．如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 【答案】 【分析】本题考查了正比例函数的性质，全等三角形的判定和性质．利用待定系数法求得正比例函数的解析式，求得，过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，证明，求得，，据此求解即可． 【详解】解：∵设正比例函数的解析式为， ∴， 解得， ∴正比例函数的解析式为， ∵正比例函数的图象经过， ∴， ∴， 过点作轴的直线，过点和作直线的垂线，垂足分别为和，如图， ∴，， ∵将线段绕点B顺时针旋转得到线段， ∴，， ∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 故答案为：． 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 【答案】(1)见解析 (2) (3) 【分析】本题考查了作图−−中心对称与旋转变换，根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形，熟记旋转的性质是解题的关键． （1）根据关于原点对称的点的坐标特征得到的坐标，然后描点即可； （2）利用网格特点和旋转的性质画出的对应点，然后顺次连接，从而得到点的坐标； （3）利用绕原点逆时针旋转的对应点的规律写出Q的坐标． 【详解】（1）解：即为所求； （2）即为所求； ； （3）若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为， 则的坐标为． 类型一、旋转中的规律问题 1．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，规律型：点的坐标，解直角三角形等知识，6次一个循环，分别求出第一次到第六次的点A的坐标，利用规律解决问题即可． 【详解】解：如图， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵将绕原点逆时针旋转，每次旋转， ∴第一次旋转后的坐标为， 第二次旋转后的坐标为， 第三次旋转后的坐标为， 第四次旋转后的坐标为， 第五次旋转后的坐标为， 第六次旋转后的坐标为， ， 6次一个循环， ∵， ∴第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为， 故选：B． 2．如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查了点坐标的规律探索、图形的旋转，正确归纳类推出一般规律是解题关键．先根据旋转的性质确定第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上，再归纳类推出第次旋转后，（为正整数），由此即可得． 【详解】解：∵点的坐标为， ∴， ∵每次旋转角度为， ∴6次旋转， ∵，点位于轴的正半轴上， ∴第2025次旋转后，点位于轴的正半轴上， 由题意可知，第1次旋转后，， 第2次旋转后，， 第3次旋转后，， 归纳类推得：第次旋转后，（为正整数）， ∴第2025次旋转后，， ∴点的坐标为， 故答案为：． 3．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 【答案】（1）见解析；（2）①，；②；（3） 【分析】（1）分别连接AA1，BB1，分别作其垂直平分线，交点即为旋转中心O； （2）根据图形写出2条不同类型的结论； （3）与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于F，求出BD和PD，知道求出，得到和点D，算出OF，最后用勾股定理即可求解． 【详解】（1）如图，点即为所求． （2）如图； ①， ② （3）解：如图，与的垂直平分线的交点即为旋转中心，连接，过作轴于， ∵点在上， ∴点到、的距离相等，都是， 即， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点的坐标是， ∴， 由勾股定理得，， ∴旋转中心的坐标为． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了作图-旋转变换以及勾股定理的应用，解答本题的关键是找出旋转中心． 类型二、旋转中的线段问题 1．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 【答案】A 【分析】如图，由为等边三角形得到，由得到，再根据旋转的性质得，即旋转角等于，，，于是可计算出，则可对①进行判断；由，，根据等边三角形的判定可对②进行判断；由为等边三角形得，于是可得，则可对③进行判断；根据旋转的性质得，根据等边三角形的性质得，所以，则可对④进行判断． 【详解】解：为等边三角形， ， ， ， 点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ，即旋转角等于，，， ，即， 三点共线，所以①正确； ，， 为等边三角形，所以②正确； 为等边三角形， ， ， 平分，所以③正确； 为等边三角形， ， 而点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至， ， ， ，所以④正确． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了等边三角形的判定与性质． 2．如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为 ．    【答案】 【分析】题提示：过点作交延长线于点，连接，先证明，再证明，即可得，，即有为等腰直角三角形，即可得，问题随之得解． 【详解】过点作交延长线于点，连接，如图，    根据旋转有：，， ∵，， ∴， ∵， ∴，即， ∴，即， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， 又， ∴为等腰直角三角形，   ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的判定与性质等知识，作出合适的辅助线是解答本题的关键． 3．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 【答案】(1)，见详解 (2) (3)或 【分析】（1）根据旋转的不变性证明，再由对应角相等及邻补角即可得证； （2）设，在中，由勾股定理得：，解方程即可； （3）分类讨论，分第一次经过点B，经过点A，再次经过点B讨论，根据变化中的不变性，不变的是基本图形关系即，以及位置关系，始终有垂直，继而设，运用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：与的位置关系为． ∵，D，E分别为的中点， ∴，即， ∵，即， ∴, ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 即：． （2）解：中，， ∴，同理可求， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， ∴． （3）解：①经过点B时，题（2）已求； ②经过点A时，如图所示， 同理可证：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； ③再次经过点B时，如下图： 同理可证：，， 设， 在中，由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即：； 综上所述：或． 【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等的应用，正确熟练掌握知识点是解题的关键． 类型三、旋转中的面积问题 1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据旋转的性质，旋转角∠CAC=15∘，则∠BAC=45∘−15∘=30°，可见阴影部分是一个锐角为30°的直角三角形，且已知直角边AC=3厘米，根据勾股定理或者三角函数求出另一直角边即可解答． 【详解】解：设与交于点， 根据旋转性质得，而， ， 又，， ， 阴影部分的面积． 故选：． 【点睛】本题考查旋转的性质和解直角三角形．旋转变化前后，对应点到旋转中心的距离相等以及每一对对应点与旋转中心连线所构成的旋转角相等．要注意旋转的三要素：①定点·旋转中心；②旋转方向；③旋转角度 2．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为 ． 【答案】 【分析】将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F，由设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a，由勾股定理可求出a的值，进而即可求解． 【详解】：将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE，连接DE，过点E作EF⊥AD，交AD的延长线于点F， ∴CD＝CE，∠ECD＝60°， ∴△CDE为等边三角形， ∴∠CDE＝∠CED＝∠ECD＝60°， ∵∠ADC＝60°， ∴∠ADC＝∠ECD， ∴AD∥CE， ∴S△ACE＝S△CDE， ∵将△BCD顺时针方向旋转60°至△ACE， ∴S△BCD＝S△ACE， ∴S△CDE＝S△BCD， ∵∠ADC＝∠CDE＝60°， ∴∠EDF＝60°， 在Rt△FDE中，设DF＝a，则EF＝a，DE＝CE＝2a， ∵，， ∴AE=， ∴在Rt△AEF中，，解得：a=1或a=-3（舍去）， ∴S△BCD= S△CDE=×2a×a=×2×=． 故答案是：． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理，平行线的判定，三角形的面积等知识，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 3．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 【答案】（1）25（2）（3）24 【分析】（1）根据四边形的面积等于正方形的面积计算即可； （2）如图乙中，延长至，取，连接．只要证明，即可推出四边形的面积等于的面积； （3）如图丙中，延长至，连接、、．只要证明五边形的面积等于四边形的面积即可． 【详解】解（1）由题可知． 故答案为25． （2）如图，延长至，取，连接．   等边中，，， ， 四边形中，， ， 又，， ， ，． ， ， 为等边三角形且， ． （3）如图，延长至，连接、、．   ，，， ， ． ，， ， ， ． 【点睛】本题考查四边形综合题、旋转变换、全等三角形的判定和性质、等边三角形的性质等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，学会利用旋转法添加辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题． 类型四、旋转中的角度问题 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据正方形的性质及旋转的性质可得是等腰直角三角形，再根据，即得结果． 【详解】解：由旋转的性质得，，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 故选：D． 【点睛】解答本题的关键是熟练掌握旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 2．如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 【答案】或 【分析】此题主要考查了旋转的性质以及等腰三角形的性质和等腰梯形的性质等知识，把绕点A逆时针旋转与过点C与平行的直线相交于M、N，然后分两种情况，根据等腰梯形的性质和等腰三角形的性质分别求解即可．根据数形结合熟练掌握相关定理是解题关键． 【详解】解：在绕点A逆时针旋转过程中，点E经过的路径（圆弧）与过点C且与平行的直线相交于点M、N，如图， ①当点与点M重合时， ∵，， ∴， ∵平分， ∴ ∴ 则， 即 故 四边形是等腰梯形， 所以， 又∵， ∴； ②当点与点N重合时， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 综上所述，当旋转角为或时，． 故答案为：或． 3．（1）（操作发现） 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________； （2）（解决问题） 如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长； （3）（灵活运用） 如图3．将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．    【答案】（1）（2），（3） 【分析】（1）只要证明是等腰直角三角形即可； （2）根据等边三角形的性质得到，根据旋转的性质得到，，，，推出 是等边三角形，得到，，根据勾股定理的逆定理得到是直角三角形，于是得到结论； （3）仿照（2）中的思路，将绕点B逆时针旋转，得到了，然后连接，根据旋转的性质结合勾股定理的逆定理可得是直角三角形，可得从而得出结论． 【详解】解：（1）如图1，将绕点A按顺时针方向旋转， ， ； 故答案为：；    （2）如图2，是等边三角形， ， 将绕点B逆时针旋转得出， ，，， 又， 是等边三角形， ，， ， ， ， ，则是直角三角形， ；    （3）如图3， 将绕点B逆时针旋转，得到，连接， 则，， 故， ，， 是直角三角形，， ，即 ．    【点睛】本题考查几何变换综合题、旋转的性质，等边三角形的判定和性质、等腰三角形的判定和性质、勾股定理、解题的关键是学会用旋转法添加辅助线，属于中考压轴题． 1．如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质，解答的关键是掌握对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角．根据对应点与旋转中心的连线所成的夹角就是旋转角即可解答． 【详解】点与点为对应点， 为旋转角度， 且， 三角板的旋转角度为， 故选：A． 2．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点的对应点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了旋转的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握旋转的性质是解题关键．先根据旋转的性质可得，，再根据等腰三角形的性质可得，根据三角形的内角和定理可得，然后根据角的和差可得，由此即可得． 【详解】解：由旋转的性质得：，， ∴， ∴， 又∵， ∴，即， 故选：A． 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，三角形内角和定理．根据旋转的性质得出，，得出是等边三角形，由等边三角形的性质可得出答案． 【详解】解：将绕点逆时针旋转得到， ，， ，，， ． ∴是等边三角形， ． 故选：A． 4．如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则 ． 【答案】#112.5度 【分析】本题考查了正多边形的内角和，等腰三角形，三角形内角和，根据正多边形的内角和定理求出每个内角的度数是解题的关键． 根据题意得出图形顶点连线构成一个正八边形，求出正八边形每个内角的度数为，再根据等腰三角形的性质和三角形的内角和计算即可． 【详解】解：由图可知图形绕点旋转八次后刚好回到原位， ∴图形顶点连线构成一个正八边形， ∴， ∵正八边形每个内角的度数为， ∴ ∴ ∴ 故答案为： ． 5．如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在 上，若，则旋转的角度 ． 【答案】 【分析】本题考查旋转性质、三角形的内角和定理、等腰三角形的性质，先求得，再根据选项性质得到，进而利用等腰三角形的性质求得即可． 【详解】解：∵在中，， ∴， 由旋转性质得， ∴旋转角， 故答案为：． 6．如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为 ． 【答案】3或或 【分析】本题考查了图形的旋转，直角三角形的性质，熟练掌握图形的旋转及直角三角形的性质是解答本题的关键．先利用直角三角形的性质求出和的长，再求出斜边上的高的长，当点D落在边上时，；当点D落在边上时，可得点D与点H重合，利用勾股定理求得的长；当点D落在边上时，直接利用勾股定理求得的长，由此即得答案． 【详解】解：作斜边上的高， ，， ， ， ， ，， ， ， 当点D落在边上时，如图1，； 当点D落在边上时，如图2，点D与点H重合， ； 当点D落在边上时，如图3， ； 综上所述，的长为3或或． 7．如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    【答案】见解析 【分析】根据旋转的性质，作图即可． 【详解】解：设点的对应点为点，连接，则即为旋转角，作，且，如图，顶点的对应点的位置在点处，为绕点旋转后得到的三角形．    【点睛】本题考查旋转作图，熟练掌握旋转的三要素，是解题的关键． 8．如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 【答案】 【分析】由旋转的性质得，，再根据勾股定理即可求解． 【详解】由旋转的性质得：，， ∴． 【点睛】本题考查旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等，也考查了勾股定理，掌握旋转的性质是解题的关键． 9．请你作出如图所示的四边形绕点O顺时针旋转75度后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 【答案】见解析 【分析】本题主要考查的是旋转变换的作图方法，在旋转作图时，一定要明确三个要素：旋转中心、旋转方向、旋转角度．根据旋转角、旋转方向、旋转中心找出旋转后的对应点，顺次连接即可． 【详解】解：所作图形如图所示： 10．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 【答案】(1)6； (2)见解析； (3) 【分析】（1）首先根据旋转的性质，判断出，，进而判断出，然后根据全等三角形判定的方法，判断出，即可判断出； （2）延长交的延长线于点，同(1)方法证明，得，进而可以解决问题； （3）如图2，在上取点，使，连接，证明，得， ，设，，得，然后利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可解决问题． 【详解】（1）解：由旋转的性质可知：，，，，， 在和中， ， ， ， 故答案为：6； （2）证明：如图1，延长交的延长线于点， 绕点逆时针旋转得到， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：如图2，在上取点，使，连接， ，， ， ，， ， ， ， 设，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 【点睛】本题是几何变换综合题，考查全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形外角定义，三角形内角和定理解决本题的关键是准确作出辅助线构造全等三角形． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9.1 图形的旋转 一、图形的旋转 将图形绕一个定点转动一定的角度，这样的图形运动称为图形的旋转。这个定点称为旋转中心，旋转的角度称为旋转角。 二、旋转的性质 1、图形的旋转不改变图形的形状和大小，只改变图形的位置。 2、一个图形绕着旋转中心旋转一定角度，意味着图形上每个点同时都按相同的方向旋转相同的角度，但每个点所经过的路线不同。 3、旋转的基本性质包括：旋转前后的图形全等；对应点到旋转中心的距离相等；每一对对应点与旋转中心的连线所成的角彼此相等，都等于旋转角。 三、旋转的三要素 旋转中心、旋转方向（顺时针或逆时针）、旋转角。只要三个要素不明确，一定要分类讨论。 四、旋转的作图 所有图形的作图都是转化为画出关键点绕着旋转中心旋转后的对应点，最后依次连接所有的对应点就得到旋转后的对应图形。 巩固课内例1:图形的旋转作图 1．如图，将方格纸中的图形绕点逆时针旋转后得到的图形是（   ） A． B． C． D． 2．在如图所示的平面直角坐标系中，绕原点顺时针旋转后得到，则点的对应点的坐标是 ． 3．如图，已知和点，求作绕点顺时针旋转得到的．（保留作图痕迹，不写作法） 类型一、生活中的旋转现象 1．下列运动属于旋转的是（    ） A．运动员投掷标枪 B．火箭升空 C．飞驰的动车 D．钟表的钟摆的运动 2．荡秋千 （填“属于”、“不属于”)旋转； 3．你能区分下列哪些是平移现象？哪些是旋转现象吗？ 类型二、旋转对称图形 1．下面四个图案（忽略旁边一圈的文字）：是旋转对称图形的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．在下面各组图形中，分别将第一个图形进行怎样的运动，就可以与第二个图形重合（填“平移”“旋转”或“翻折”）？                                  3．如图，正五边形的边长等于2，分别以正五边形各边为直径，向外作半圆． (1)这个图形________（填“是”或“不是”）旋转对称图形，若是，则旋转中心是点________，最小旋转角为________； (2)求阴影部分的周长和面积（用含π的式子表示）． 类型三、找旋转中心、旋转角、对应点 1．如图，在正三角形网格中，将绕某个点旋转，得到，则下列四个点中能作为旋转中心的是（   ） A．点A B．点B C．点C D．点D 2．如图，一块含角的直角三角板绕点C顺时针旋转到，当B，C，在一条直线上时，三角板的旋转角度为 ． 3．如图，已知四边形是正方形，E、F分别是和的延长线上的点，且，连接、、． (1)填空：可以由绕旋转中心点 ，按顺时针方向旋转 度得到； (2)若，，求的面积． 类型四、画旋转图形 1．将图中所示的图案以圆心为中心，旋转后得到的图案是（    ） A． B． C． D． 2．如图，已知点A，B的坐标分别为，（），将绕点A按逆时针方向旋转得到，则格点的坐标 ． 3．如图，在的方格纸中，的顶点都在格点上． (1)将绕点顺时针旋转得到，画出； (2)求四边形的面积． 类型一、根据旋转的性质求解 1．如图，在中，，将绕点A旋转，旋转后的点B落在边上，点B的对应点为点D，连接，若是的平分线，则的度数为（   ）度 A．36.75 B．37 C．38 D．39 2．如图，绕点按顺时针旋转得到，若点在上，则的度数为 ． 3．如图，在中，，在同一平面内，将绕点A逆时针旋转到的位置． (1)如图1，当时，求的度数； (2)如图2，连接，当时，，求的度数． 类型二、根据旋转的性质证线段和角相等 1．如图，把绕点O旋转得到，旋转后点A与点重合，点B与点重合，点C与点重合，则下列结论中，不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转，得到，则点到的距离是 ． 3．在中，，，点D是线段上一个动点（不与点A，B重合），，以D为中心，将线段顺时针旋转得到线段，连接． (1)依题意补全图形； (2)求的大小（用含的代数式表示）； (3)用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 类型三、求绕某点旋转角度的坐标 1．已知点，是坐标原点，将线段绕点顺时针旋转，点旋转后的对应点是，则点的坐标是（   ） A． B． C． D． 2．如图，正比例函数的图象经过，两点，现将线段绕点B顺时针旋转得到线段，则点C的坐标为 . 3．如图，的顶点坐标分别为，，． (1)画出关于点的中心对称图形； (2)画出绕原点逆时针旋转的，直接写出点的坐标为__________； (3)若内一点绕原点逆时针旋转的对应点为，则的坐标为__________．（用含m，n的式子表示） 类型一、旋转中的规律问题 1．将按如图方式放置在平面直角坐标系中，其中，，顶点A的坐标为，将绕原点逆时针旋转，每次旋转，则第2024次旋转结束时，点A对应点的坐标为（   ） A． B． C． D． 2．如图，在平面直角坐标系中，等边顶点的坐标为，将绕点顺时针方向旋转，同时边扩大为原来的2倍，得到，再将作相同变换得到，…，依次类推，则点的坐标为 ． 3．如图，线段绕点顺时针旋转一定的角度得到线段． （1）请用直尺和圆规作出旋转中心（不写作法，保留作图痕迹）； （2）连接、、、，根据旋转的性质用符号语言写出2条不同类型的正确结论． （3）如图，在中，，，点的坐标是，，将旋转到的位置，点在上，则旋转中心的坐标为______． 类型二、旋转中的线段问题 1．如图，为等边三角形，以为边向外侧作，使得，再以点C为旋转中心把沿着顺时针旋转至，则下列结论： ①D、A、E三点共线；②为等边三角形；③平分；④，其中正确的有（　　） A．4个 B．3个 C．2个 D．1个 2．如图，在四边形中，，，将边绕点顺时针旋转后，点恰好落在边上的点处，已知，则的长度为 ．    3．如图1，在中，，，D，E分别为的中点，将绕点C逆时针方向旋转得到（如图2），使直线恰好过点B，连接． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)求的长； (3)若将绕点C逆时针方向旋转一周，当直线过的一个顶点时，请直接写出长的其它所有值． 类型三、旋转中的面积问题 1．将直角边长为的等腰直角绕点逆时针旋转后得到△，则图中阴影部分的面积(    ) A． B． C． D． 2．图，为等边三角形，点为外的一点，，，，则的面积为 ． 3．（1）问题背景 如图甲，，，垂足为，且，，求四边形的面积．    小明发现四边形的一组邻边，这就为旋转作了铺垫．于是，小明同学有如下思考过程： 第一步：将绕点逆时针旋转； 第二步：利用与互补， 证明三点共线， 从而得到正方形； 进而求得四边形的面积．    请直接写出四边形的面积为　 　． （2）类比迁移如图乙，为等边外一点，，，且，求四边形的面积． （3）拓展延伸 如图丙，在五边形中，，，，，，求五边形的面积． 类型四、旋转中的角度问题 1．如图，在正方形中，E为边上的点，连接，将绕点C顺时针方向旋转得到，连接，若，则的度数为（    ）    A． B． C． D． 2．如图，中，，，平分．过点作交于，将绕点逆时针旋转，得到，连接，，当时， ． 3．（1）（操作发现） 如图1，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的三个质点均在格点上，现将绕点A按顺时针方向旋转90°，点B的对应点为，点C的对应点为，连接，如图所示则__________； （2）（解决问题） 如图2条等边内有一点P，且，，，如果将绕点B逆时针旋转得出，求的度数和的长； （3）（灵活运用） 如图3．将（2）题中“在等边内有一点P”改为“在等腰直角三角形 内有一点P”且，，，，求的度数．    1．如图，一块含角的直角三角板绕点顺时针旋转到，当在一条直线上时，三角板的旋转角度为（    ） A． B． C． D． 2．如图，将绕顶点逆时针旋转得到，点的对应点在上，若，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．如图，在中，，，，将绕点A逆时针旋转得到，使点落在边上，连接，则的长度是（   ） A．10 B．20 C． D． 4．如图，将图1的图形绕点A旋转相同的角度，重复多次后刚好回到原位，形成如图2所示的美丽图案，其中点B，点C，点D都是对应点，则 ． 5．如图，将绕C点按顺时针方向旋转到，点E恰好落在 上，若，则旋转的角度 ． 6．如图，已知，，将绕点旋转逆时针旋转，旋转角为，当点恰好落在的边上时的长为 ． 7．如图，绕点旋转后，顶点的对应点为点，试确定顶点的对应点的位置以及旋转后的三角形．    8．如图将绕点A逆时针旋转得到，点C和点E是对应点，若，，求BD的长． 9．请你作出如图所示的四边形绕点O顺时针旋转75度后的图形．（不用写作法，但要保留作图痕迹） 10．如图1，在中，，，点为内一点，连接，将绕点逆时针旋转得到，连接，． (1)若，则 ； (2)求证：； (3)好学的小安习惯超前学习，他已知道等腰三角形的性质：“在中，若，则”．请运用这个性质解决下面问题：如图2，在旋转过程中，若，，连接，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$