复习04 函数的基本性质（十二大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习04 函数的基本性质 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点 2 ：最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 知识点 3 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质： （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点 4 ：函数的周期 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 知识点 5 ：函数的对称轴、对称中心 对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 考点01 函数单调性的判断与证明 【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 例1．已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 【答案】(1) (2)在上单调递增，证明见解析 (3)最小值为，最大值为 【详解】（1）因为，且，所以，所以. （2）函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. （3）由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 例2．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 【答案】(1)，； (2)是上的增函数，证明见解析． 【详解】（1）是定义在上的奇函数，则，，， ，则； （2）由（1）知，它在上是增函数，证明如下： 设，且， 则， 因为，所以，，又， 所以，即， 所以是上的增函数． 变式1-1．已知函数 为奇函数，且 . (1)求实数 的值； (2)证明函数 在 上是严格增函数. 【答案】(1)， (2)证明见解析 【详解】（1）由题意知，，即，解得，所以， 又，所以，解得， 所以，. （2）证明：由（1）知，， 设，则， 又因为，， 所以，即， 所以函数在上是严格增函数. 变式1-2．已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 【答案】(1)奇函数，证明见详解 (2)单调递增，证明见详解 【详解】（1）因为的定义域为， 又， 所以函数为奇函数. （2）函数在上单调递增，证明如下： 设，且， 则 ， ，，， 所以，即， 所以函数在上单调递增. 变式1-3．已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 【答案】(1)4 (2)在上单调递增，证明见解析 【详解】（1）由幂函数的定义可得，解得或， 又因为图象关于y轴对称，所以；所以，故． （2）由题意可得，其在上单调递增， 证明如下：，令， 则 ， 因为，所以，，，即， 故，即，故在上单调递增． 考点02 求函数的单调区间 【方法点拨】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 例3．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】，故单调增区间是. 故选：C 例4．（多选）已知函数，则（   ） A．有最小值 B．的单调递增区间为 C．有最大值 D．的单调递增区间为 【答案】AD 【详解】设， 则在上单调递增，在上单调递减． 因为为减函数，所以根据复合函数的单调性可知在上单调递减，在上单调递增，有最小值，无最大值． 故选：AD. 变式2-1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当时，， 则在单调递减，单调递增， 当时， 则在单调递增， 所以的减区间为， 故选：B. 变式2-2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 变式2-3．函数的严格减区间是 . 【答案】和 【详解】函数， 可作出函数的图像，如图， 由图可知，函数的严格减区间为：和. 故答案为：和 考点03 已知函数的单调性求参数 【方法点拨】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 例5．设函数，当为上增函数时，实数的值可以是（   ） A． B．1 C． D．0 【答案】C 【详解】由题，对称轴，因为函数是上的增函数， 所以，解得． 故选：C． 例6．“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 【答案】A 【详解】的图象如图所示，要想函数在区间上为增函数，必须满足，因为是的真子集， 所以“”是“函数在区间上为严格增函数”的充分不必要条件.    故选：A 变式3-1．函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为对任意，都有成立，所以是减函数， 则，解得． 故选：D． 变式3-2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】的对称轴为， 因为在上具有单调性，所以或， 解之得：或. 故答案为：. 变式3-3．已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）， ，所以 （2）因为图象为抛物线，开口向上且对称轴为，在上不单调， 所以， 即实数的取值范围为. 考点04 利用函数单调性求值域 例7．函数的值域为 ． 【答案】 【详解】由， 函数在上单调递减， 所以当时，， 当时，， 所以函数的值域为． 故答案为：． 例8．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设， 因为 ， 所以，解得，所以. （2），. 当时，在上单调递增，； 当时，； 当时，在上单调递减，. 综上，. 变式4-1．已知函数在区间上的最小值为． (1)求函数的表达式； (2)若，求的值及此时函数的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 所以在上单调递减， 所以； （2）因为，即，解得， 所以，则在上单调递减， 所以． 即函数在上的最大值为． 变式4-2．若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为， 令，即，解得； 令，即，解得或； 所以． （2）因为，且， 当时，， 因为的图象开口向上，对称轴为， 可知在上的最大值为，最小值为， 可得； 当时，可知在上单调递减， 且，可得； 综上所述：，即在上的值域为． 变式4-3．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为函数的值域是， 所以函数的值域是， 令，则， 由对勾函数的性质可知：函数在上单调递减，在上单调递增， 而，，， 则，即函数的值域是. 故选：B. 考点05 根据函数的值域求参数 例9．若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 【答案】 【详解】当时，由基本不等式可得， 当且仅当时，即当时，等号成立， 因为函数的最小值为，则，可得， 且有，即，解得， 因此，实数的取值范围是. 故答案为：. 例10．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由题知且，解得且， 又，则当时，恒成立，此时，不满足函数的值域为，所以选项A，B和C均错误， 对于选项D，当时，令，且，则， 当时，， 令，易知在区间上单调递减，则当时，， 在区间上单调递减，则当时，， 所以当时，，又当时，，所以满足题意， 故选：D. 变式5-1．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由函数的值域为，得函数值域包含， 则，解得， 所以的取值范围是. 故答案为： 变式5-2．若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】 据题意，函数， 令，整理得，解得或， 即函数和交点的横坐标为和0， 在同一坐标系内做出函数和的图像，如图所示， 要使函数的值域为R，则， 所以实数m的取值范围为． 故选：C． 变式5-3．若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 【答案】 【详解】当时，， 所以在区间内单调递增，值域为， 所以，解得， 所以； 当时，， 所以在区间内单调递减，值域为， 则，，解得， 所以； 当时，， 所以在区间上单调递减，在上单调递增， 故值域为或， 若,则； 若,则， 综上，的取值范围为． 故答案为： 考点06 函数奇偶性的判断与证明 【方法点拨】先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 例11．下列函数中奇函数是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】对于A，因为的定义域为，， 所以为偶函数，故A错误； 对于B，因为，即，所以的定义域为， 定义域不关于原点对称，所以不具有奇偶性，故B错误； 对于C，因为，解得，所以的定义域为， ，所以为偶函数，故C错误； 对于D，因为，即，解得或， 所以的定义域为， ， 所以为奇函数，故D正确. 故选：D. 例12．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】对于A，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，A错误； 对于B，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为奇函数，B正确； 对于C，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 所以函数为偶函数，C错误； 对于D，函数的定义域为，定义域关于原点对称， ， 故，， 故， 所以函数为非奇非偶函数，D错误. 故选：B. 变式6-1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，定义域为且关于原点对称， 所以， 所以为奇函数； 当为奇函数时，显然定义域为且关于原点对称，所以， 所以， 所以， 由上可知，“”是“为奇函数”的充要条件， 故选：C． 变式6-2．设函数是定义在上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 【答案】C 【详解】函数是定义在上的奇函数，， A选项：，所以函数不是奇函数，A选项错误； B选项：，所以函数不是偶函数，B选项错误； C选项：，即函数是奇函数，C选项正确； D选项：，所以函数不是偶函数，D选项错误； 故选：C. 变式6-3．（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（ ） A． B． C． D． 【答案】AD 【详解】由，令，则， 得，化简得，即， 则，故关于轴对称； B选项，将的图象向右平移一个单位得到函数的图象，故的图象关于直线对称，不关于轴对称； C选项，因为，，不恒成立， 故函数的图象不关于轴对称； D选项，由A选项可知，，则，易知的图象关于轴对称. 故选：AD 考点07 根据函数奇偶性求值求参 【方法点拨】（1）由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 例13．若函数为奇函数，则 . 【答案】3 【详解】设，则，则，， 因为是奇函数，则，即，可得， 即，所以. 故答案为：3. 例14．设函数，则“”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】C 【详解】当时，，，为偶函数， 当是偶函数时，由， 即恒成立， 可得：恒成立，即， 所以“”是“是偶函数”的充要条件， 故选：C. 变式7-1．若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】A 【详解】∵函数是定义在上的的偶函数，∴，解得, ∴， ∵，∴， ∴，解得， ∴. 故选：A. 变式7-2．已知是奇函数，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 【答案】D 【详解】易知的定义域为，由奇函数的定义可知，，则， 整理得恒成立，所以，解得． 故选：D 变式7-3．定义在上的奇函数满足：当，，则 ． 【答案】 【详解】∵是定义在上的奇函数， ∴，则， ∴． 故答案为： 考点08 利用函数奇偶性求解析式 【方法点拨】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 例15．已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 【答案】 【详解】设，则， 所以， 又因为定义在上的奇函数，所以， 所以， 故答案为：． 例16．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 【答案】 【详解】函数为奇函数，则， 为偶函数，则， 因为①，则， 所以②， 则由①-②可得. 故答案为：． 变式8-1．已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为为上的奇函数，当时， 因为，所以， 所以. 故选：C. 变式8-2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；函数解析式为 ． 【答案】 【详解】，又因为是定义在上的奇函数， 所以. 因为函数是定义在上的奇函数，所以. 当时，，所以，所以， 所以函数解析式为：. 故答案为：；. 变式8-3．设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 【答案】， 【详解】因为是偶函数，是奇函数， 所以，. 由①， 用代替得， 所以②. （①+②）÷2，得. （①-②）÷2，得. 考点09 利用单调性奇偶性解不等式 【方法点拨】奇偶性与单调性解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 例17．已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为是奇函数且在单调递增，，作出的示意图： 因为有： 当时，，即或，解得； 当时，，即或，解得； 综上有解集为. 故选：A 例18．已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】函数是定义在上的偶函数，则有， 由，则等价于， 在区间上单调递增，所以有， 即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 变式9-1．已知函数，则关于的不等式解集为(    ) A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为 ， 由可得或， 即函数的定义域为， 因为， 所以，函数为偶函数， 任取、，且， 则，，，令， 则， 即，所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数， 又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数， 由可得，可得， 解得或，因此，原不等式的解集为. 故选：C. 变式9-2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】当时，有恒成立， 即有，即，即， 令，不妨设，可得 则可得，即， 所以是上单调递增函数， 又函数是定义在上的奇函数，且，所以， 不等式， 即，所以， 所以满足的的取值范围为. 故选：A. 变式9-3．已知函数是奇函数， (1)求的值； (2)若是区间上的减函数且，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）函数是奇函数， ，且，即. （2）， . 是奇函数，， 是区间上的减函数， ，即有， ，则实数的取值范围是. 考点10 利用单调性奇偶性比大小 【方法点拨】奇偶性与单调性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 例19．已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，若 ，则 的值（    ） A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 【答案】B 【详解】由题意知，是幂函数， 则，解得或， 又对任意的，且，满足， 所以在上单调递增， ①当时，，不满足在上单调递增，故不符合， ②当时，为增函数，故符合. 综述：，即. 又， 所以在上为奇函数且为增函数， 又，即， 所以， 所以. 故选：B. 例20．已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：因为函数为偶函数，且在区间上是增函数， 所以，， 且在区间上是减函数， 又，，， 所以， 所以， 故选：A 变式10-1．若偶函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】∵为偶函数，∴， ∵，∴， ∵在上是增函数，∴. 故选：C. 变式10-2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】易知定义域为， 由可知为偶函数， 则， 当时，有，故在上单调递增， 而， 又，即，因此， 故选：A． 变式10-3．已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为是定义域为的偶函数，所以， 又在区间上单调递增，所以在单调递减， 因为， 所以，即， 故选：C. 考点11 利用周期性求函数值 例21．已知函数，则的值是（   ） A．4043 B．4047 C． D． 【答案】D 【详解】因为函数， 所以时，，则周期， 所以， 当时，， 所以. 故选：D 例22．已知定义域为的奇函数，满足，且当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由，可知函数周期为，结合函数为奇函数， 所以， 又， 所以， 故选：A 变式11-1．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值是多少？ 【答案】 【详解】由是定义在上的奇函数，且， 则， 可得的一个周期， 所以. 变式11-2．若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 【答案】A 【详解】因为，所以，所以周期为6， 当时，，. 故选：A. 变式11-3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 【答案】1 【详解】，，是的一个周期， 又当时，， ． 故答案为： 考点12 函数对称性的应用 【方法点拨】借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小。 例23．（多选）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的图象关于点对称 D． 【答案】BCD 【详解】因为是偶函数，且， 所以，， 因此的图象关于点对称，也关于点对称， 即，即， 所以为奇函数，故A错误，B和C正确； 因为，所以，于是， 所以，又， 所以，故D正确． 故选：BCD. 例24．已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因为，则，所以函数关于点对称， 又函数在单调递增，所以函数在上单调递增， 即函数在上单调递增， 不等式转化为， 所以，即，解得， 故不等式的解集为. 故选：C. 变式12-1．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 【答案】A 【详解】根据题意，定义在上的函数满足 则，故函数为周期函数，4是函数的一个周期. 因是上的奇函数，则，的图象关于点对称， 于是，， 在，取，得， 因， 则 ， . 故选：A 【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用赋值，赋变量，转化抽象关系式，判断和利用函数的周期性和对称性解题. 变式12-2．（多选）已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称，在上单调递减，则（   ） A． B．在上单调递增 C． D． 【答案】ACD 【详解】对于A，因，则， 得图象关于对称，又图象关于直线对称，则， 则，得， 则周期为4，则，故A正确； 对于B，因在上单调递减，又图象关于对称， 则在上单调递减，故B错误； 对于C，因图象关于直线对称，则， 又周期为4，则，故C正确； 对于D，注意到，， 则， 由B分析可知，在上单调递减，结合， 可得，故D正确. 故选：ACD 变式12-3．已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】若函数的值域为， 则内函数有定义，故内函数大于或等于0， 当时，函数其定义域为，值域为符合题意； 当时，函数开口向上，若要满足题意则需，解得； 当时，函数开口向下，不可能符合题意； 综上所述：. 故选：A. 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【详解】当时，是上的增函数， 而由函数是上的增函数，可得 ，即得，推不出. 则“”是“函数是上的增函数”的充分不必要条件. 故选：A. 2．（2024-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】因为， 故图象的对称中心为， 所以将的图象向右平移2个单位，再向下平移1个单位后图像关于原点对称， 故为奇函数， 故选：B. 3．（2024-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 【答案】D 【详解】由题意得，，即， 整理得，即对恒成立， ∴，∴，. 故选：D. 4．（2024-25高一上·四川成都·期末）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知可得函数图象的对称轴为直线，且函数在区间上单调， 则或，解得或，又，即，所以或， 即的取值范围是. 故选：C 5．（2024-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】函数的定义域为R， 当时，， 令函数，依题意，对任意的，恒成立， 因此函数在上单调递增， 当时，则，解得，因此； 当时，函数在单调递增，因此； 当时，则恒成立，因此， 实数a的取值范围是． 故选：B 6．（2024-25高三上·江西抚州·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】∵是奇函数，∴①； ∵是偶函数，∴②. 令，由①得：，由②得：， ∵，∴，即， 令，由①得：，∴，∴， 解得：，，∴. 而，故，故周期为4， ∴. 故选：D. 7．（2024-25高一上·海南海口·阶段练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 【答案】ABC 【详解】对于A，函数，定义域为， 由函数和在和上都单调递增， 所以在和上单调递增，A正确； 对于B，函数， 其图象可由反比例函数的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位得到， 由于反比例函数在和上单调递减， 所以在和上单调递减，B正确； 对于C，当时，函数， 所以在上为增函数，C正确； 对于D，函数在上单调递减，上单调递增，D错误. 故选：ABC. 8．（2024-25高一上·广东广州·阶段练习）（多选）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（   ） A．1 B．2 C．-1 D．3 【答案】ABD 【详解】由题意得. 因为对于任意，都有， 所以对于任意，都有， 设，得在为增函数. 当时，在为减函数，不符合题意. 当时，. 所以可以为1，2，3. 故选：ABD 9．（2024-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 【答案】BC 【详解】作出函数的图象，如图所示： 对于A，根据图象，可得无最大值，也无最小值，故A错误； 对于B，由图可知当，的最大值为，可得B正确； 对于C，由解得，并结合图象可得不等式的解集为，可得C正确； 对于D，由图可得，的单调递增区间为，故D错误. 故选：BC 10．（2024-25高一上·云南大理·阶段练习）已知为偶函数，且当时，则，则 . 【答案】/ 【详解】根据题意，当时，，则， 又由函数为偶函数，则. 故答案为： 11．（2024-25高一上·安徽合肥·阶段练习）若函数对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【详解】由题意得，在上单调递增， 所以，解得． 即实数的取值范围是. 故答案为：. 12．（2024-25高三上·北京顺义·阶段练习）设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 . 【答案】 【详解】由题知当时，， 故在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减， 故的单调递增区间是； 由于在上的值域为， 若的值域为， 只需在上的值域包含即可， 故需，即， 此时在上的值域为， 故需，即， 综上：. 故答案为：； 13．（2024-25高一上·上海·阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，且 时有 . (1)写出函数 在 上单调区间(不要证明)； (2)解不等式 . 【答案】(1)单调递增区间为，，单调递减区间为 (2) 【详解】（1）当时，，由二次函数的图象和性质可知在上单调递减，在上单调递增， 又因为是定义在上的奇函数，则图象关于原点对称， 所以的单调递增区间为，，单调递减区间为. （2）当时，则，，① 又是定义在上的奇函数，所以，② 所以由①②得， 所以， 又， 所以或， 解得：或， 故不等式的解集为. 14．（2024-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）当时，， 解得：，所以不等式的解集为； （2）当时，在上单调递减，不符合题意； 当时，要使在区间上不单调， 其对称轴要满足，即，解得：， 综上所述，的取值范围是. 15．（2024-25高一上·广西玉林·期中）定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 【答案】(1)， (2)为偶函数，证明见解析 (3) 【详解】（1）令，得，所以，， 令，得，解得. （2）为偶函数，证明如下： 令，由得，             因为，所以，， 又不恒为，函数为偶函数. （3）由知，                       又因为函数为偶函数，则， 所以，，                又因为函数在上为增函数，所以，，解得，                             故的取值范围为. 16．（2024-25高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 【答案】(1)函数是定义在上的增函数. (2) (3) 【详解】（1）由于函数是定义在上的奇函数，所以， 设则由得到， 即，由函数单调性的定义易得函数是定义在上的增函数. （2）由（1）知函数是定义在上的增函数，且； 则有,解得，所以不等式的解集为 （3）因为，所以，若对所有， 恒成立，则成立，且， 所以对恒成立，即，恒成立， 令，则,即,解得，故实数的取值范围为 17．（2024-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 【答案】(1)不是“型函数”；理由见解析 (2)存在， (3)． 【详解】（1）函数，当时，，当时，，当时，，不存在，使， 所以不是“型函数”； （2）首先函数的定义域为，则，得， 由复合函数单调性可知，函数在单调递减，在区间单调递增， 所以只需对任意恒成立即可，所以； （3）函数是“型函数”， 当时，在上单调递增，， 而，要使存在且唯一，则有，解得：，所以， 当时，在单调递减，在单调递增，所以，而，要使存在且唯一，则有， 设，即，解得，解得： 所以． 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习04 函数的基本性质 知识点 1 ：函数的单调性 1.单调性的定义 增函数 减函数 定义 一般地,设函数的定义域为,如果对于定义域内某个区间上的任意两个自变量的值,[ 当时,都有,那么就说函数在区间上是增函数 当时,都有,那么就说函数在区间上是减函数 图象描述 自左向右看,图象是上升的 自左向右看,图象是下降的 温馨提示：定义中的有以下3个特征 （1）任意性,即“任意取”中“任意”二字绝不能去掉,证明时不能以特殊代替一般； （2）有大小,通常规定；（3）属于同一个单调区间． 2．函数的单调区间 如果函数在区间上单调递增或单调递减,那么就说函数在这一区间上具有(严格的)单调性,区间叫做函数的单调区间． 温馨提示：（1）函数的单调性是对定义域内某个区间而言的,它是函数的一个局部性质． （2）函数在定义域的某个区间上单调,不一定在定义域上单调．如等． （3）并非所有的函数都具有单调性,如,它的定义域是,但不具有单调性． 3.复合函数的单调性 一般地对于复合函数,如果在上是单调函数,并且在或者上也是单调函数,那么在上的单调性如下表所示,简记为“同增异减” 增 增 增 增 减 减 减 增 减 减 减 增 知识点 2 ：最值 定义 几何意义 最大值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最大值． 函数的最大值是图象最高点的纵坐标 最小值 一般地,设函数的定义域为,如果存在实数满足： ①,都有； ②,使得. 那么,称是函数的最小值． 函数的最小值是图象最低点的纵坐标 注意：（1）最大(小)值必须是一个函数值,是值域中的一个元素． （2）并不是每一个函数都有最值,如函数既没有最大值,也没有最小值． （3）最值是函数的整体性质,即在函数的整个定义域内研究其最值． 知识点 3 ：函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于轴对称 奇函数 如果对于函数的定义域内任意一个，都有 图象关于原点对称 注意：（1）奇偶性是函数的整体性质，所以判断函数的奇偶性应先明确它的定义域； （2）奇偶函数的定义域关于原点对称，反之，若定义域不关于原点对称，则这个函数一定不具有奇偶性． 奇偶函数的性质： （1）若一个奇函数在原点处有定义，即有意义，则一定有. （2）若是奇函数，则在其关于原点对称的区间上单调性一致． （3）若是偶函数，则在其关于原点对称的区间上单调性相反． （4），在它们的公共定义域上有下面的结论： 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 不能确定 奇函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 知识点 4 ：函数的周期 函数周期的常用结论：①若，则；②若，则； ③若，则；④若，则； ⑤若，则（）； 知识点 5 ：函数的对称轴、对称中心 对称轴：（1）函数对于定义域内任意实数满足，则函数关于直线对称，特别地当时，函数关于直线对称； （2）若是偶函数，则关于直线对称 对称中心：（1）对任意，都有，则点称为函数的中心； （2）若是奇函数，则关于直线对称 考点01 函数单调性的判断与证明 【方法点拨】证明或判断函数单调性的方法步骤： ①取值：且；②作差变形：作差或,并通过通分、因式分解、配方、有理化等手段,向有利于判断差的符号的方向变形；③定号：确定差或的符号,当符号不确定时,可以进行分类讨论；④结论：根据定义得出结论 例1．已知函数，且 (1)求实数a的值； (2)判断函数在上的单调性，并证明； (3)求函数在上的最值. 例2．已知函数是定义在上的奇函数，且. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； 变式1-1．已知函数 为奇函数，且 . (1)求实数 的值； (2)证明函数 在 上是严格增函数. 变式1-2．已知函数. (1)判断的奇偶性，并说明理由； (2)判断在上的单调性，并用定义证明. 变式1-3．已知幂函数的图象关于y轴对称，函数． (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义法进行证明． 考点02 求函数的单调区间 【方法点拨】（1）求函数单调区间的2种方法：①定义法：即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解；②图象法：先画出图象，根据图象求单调区间； （2）求函数单调区间的注意点：一个函数出现两个或两个以上的单调区间时，不能用“∪”连接两个单调区间，而要用“和”或“，”连接． 例3．函数的单调增区间是（   ） A． B． C． D． 例4．（多选）已知函数，则（   ） A．有最小值 B．的单调递增区间为 C．有最大值 D．的单调递增区间为 变式2-1．函数的单调递减区间为（    ） A． B． C． D． 变式2-2．函数的单调递减区间是（   ） A． B． C． D． 变式2-3．函数的严格减区间是 . 考点03 已知函数的单调性求参数 【方法点拨】已知函数的单调性求参数的取值范围的方法是：视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，通过与已知单调区间比较，求参数的取值范围． 例5．设函数，当为上增函数时，实数的值可以是（   ） A． B．1 C． D．0 例6．“”是“函数在上为严格增函数”的（   ） A．充分非必要条件 B．必要非充分条件 C．充要条件 D．既非充分也非必要条件 变式3-1．函数，若对任意，，都有成立，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式3-2．已知函数在上具有单调性，则实数的取值范围是 ． 变式3-3．已知函数． (1)若满足，且，求的解析式； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围． 考点04 利用函数单调性求值域 例7．函数的值域为 ． 例8．已知二次函数满足. (1)求函数的解析式； (2)若，，求的最小值. 变式4-1．已知函数在区间上的最小值为． (1)求函数的表达式； (2)若，求的值及此时函数的最大值． 变式4-2．若在函数定义域的某个区间上定义运算，若函数． (1)求的解析式； (2)当时，求的值域． 变式4-3．若函数的值域是，则函数的值域是（    ） A． B． C． D． 考点05 根据函数的值域求参数 例9．若函数的最小值为，则实数的取值范围 . 例10．函数的值域为，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 变式5-1．已知，若函数的值域为，则的取值范围是 ． 变式5-2．若函数的值域为R，则实数m的取值范围为（　　） A． B． C． D． 变式5-3．若函数在区间内的值域为，则的取值范围为 ． 考点06 函数奇偶性的判断与证明 【方法点拨】先检查定义域是否关于原点对称，若不是，则为非奇非偶函数；若是，则判断是否满足或，若不是，则为非奇非偶函数，若是，则为偶函数或奇函数 例11．下列函数中奇函数是（    ） A． B． C． D． 例12．下列函数中，是奇函数的是（    ） A． B． C． D． 变式6-1．已知函数，则“”是“为奇函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式6-2．设函数是定义在上的奇函数，则下列结论中一定正确的是（    ） A．函数是奇函数 B．函数是偶函数 C．函数是奇函数 D．函数是偶函数 变式6-3．（多选）函数，则下列函数的图象中关于轴对称的函数有（ ） A． B． C． D． 考点07 根据函数奇偶性求值求参 【方法点拨】（1）由函数的奇偶性求函数值时，若所给的函数具有奇偶性，则直接利用或求解；若所给函数不具有奇偶性，一般续利用所给的函数构造一个奇函数或偶函数，然后利用其奇偶性求值； （2）利用奇偶性求参数的2种类型: ①定义域含参数：奇偶函数的定义域为，根据定义域关于原点对称，利用求参数． ②根据或列式，比较系数利用待定系数法求解． 例13．若函数为奇函数，则 . 例14．设函数，则“”是“是偶函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 变式7-1．若函数是定义在上的的偶函数，则的值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 变式7-2．已知是奇函数，则实数a的值为（    ） A．或 B． C． D． 变式7-3．定义在上的奇函数满足：当，，则 ． 考点08 利用函数奇偶性求解析式 【方法点拨】利用函数奇偶性求函数解析式的3个步骤： ①“求谁设谁”，即在哪个区间上求解析式，就应在哪个区间上设；②转化到已知区间上，代入已知的解析式；③利用的奇偶性写出或，从而解出． 例15．已知定义在上的奇函数，当时，，当时， ． 例16．已知函数为奇函数，为偶函数，，则 ． 变式8-1．已知为上的奇函数，当时，，则时，的解析式为（   ） A． B． C． D． 变式8-2．函数是定义在上的奇函数，当时，，则 ；函数解析式为 ． 变式8-3．设是偶函数，是奇函数，且，求函数，的解析式. 考点09 利用单调性奇偶性解不等式 【方法点拨】奇偶性与单调性解不等式：①利用已知条件，结合函数的奇偶性，把已知不等式转化为或的形式； ②根据奇函数在对称区间上的单调性一致，偶函数在对称区间上单调性相反，脱掉不等式中的“”转化为简单不等式求解． 例17．已知是奇函数且在单调递增，，则的解集为（   ） A． B． C． D． 例18．已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 变式9-1．已知函数，则关于的不等式解集为(    ) A． B． C． D． 变式9-2．已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式9-3．已知函数是奇函数， (1)求的值； (2)若是区间上的减函数且，求实数的取值范围. 考点10 利用单调性奇偶性比大小 【方法点拨】奇偶性与单调性比较大小：看自变量是否在同一单调区间上 ①在同一单调区间上，直接利用函数的单调性比较大小； ②不在同一单调区间上，需利用函数的奇偶性把自变量转化到同一单调区间上，然后利用单调性比较大小． 例19．已知函数 是幂函数，对任意的 且 ，满足 ，若 ，则 的值（    ） A．恒大于 0 B．恒小于 0 C．等于 0 D．无法判断 例20．已知定义在上的函数为偶函数，且在区间上是增函数，记，，，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 变式10-1．若偶函数在上是增函数，则（   ） A． B． C． D． 变式10-2．已知，则下列不等式成立的是（    ） A． B． C． D． 变式10-3．已知是定义域为的偶函数，且在区间上单调递增，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D． 考点11 利用周期性求函数值 例21．已知函数，则的值是（   ） A．4043 B．4047 C． D． 例22．已知定义域为的奇函数，满足，且当时，则的值为（    ） A． B． C． D． 变式11-1．设是定义在上的奇函数，且，当时，，则的值是多少？ 变式11-2．若函数对任意都有，且当时，，则（    ） A． B．8 C． D．12 变式11-3．已知函数是定义在R上的奇函数，且满足，当时，，则 ． 考点12 函数对称性的应用 【方法点拨】借助中心对称、轴对称、周期等性质来“去除外衣”比较大小。 例23．（多选）已知是定义在上的偶函数，且，则（    ） A．的图象关于直线对称 B．为奇函数 C．的图象关于点对称 D． 例24．已知定义域为的函数在单调递增，且，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 变式12-1．若定义在上的函数满足是奇函数，，设函数，则（    ） A．5 B．4 C．3 D．2 变式12-2．（多选）已知定义在上的函数满足，且的图象关于直线对称，在上单调递减，则（   ） A． B．在上单调递增 C． D． 变式12-3．已知函数的值域为，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数，那么“”是“函数是上的增函数”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2024-25高一上·黑龙江大庆·期末）已知函数，则下列函数中是奇函数的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024-25高一上·甘肃金昌·期中）已知函数为奇函数，则（    ） A． B．， C．， D．， 4．（2024-25高一上·四川成都·期末）函数在上既没有最大值也没有最小值，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 5．（2024-25高一上·山东日照·期中）已知函数定义域为，且，若对任意的，都有成立，则实数a的取值范围是（   ） A． B． C． D． 6．（2024-25高三上·江西抚州·阶段练习）设函数的定义域为，为奇函数，为偶函数，当时，.若，则（    ） A． B． C． D． 7．（2024-25高一上·海南海口·阶段练习）（多选）下列关于函数的结论正确的是（    ） A．在和上单调递增 B．在和上单调递减 C．在上为增函数 D．在上为增函数 8．（2024-25高一上·广东广州·阶段练习）（多选）已知函数，是定义在R上的函数，其中是奇函数，是偶函数，且，若对于任意，都有，则实数a可以为（   ） A．1 B．2 C．-1 D．3 9．（2024-25高一上·黑龙江哈尔滨·期中）定义，设，则（    ） A．有最大值，无最小值 B．当，的最大值为 C．不等式的解集为 D．的单调递增区间为 10．（2024-25高一上·云南大理·阶段练习）已知为偶函数，且当时，则，则 . 11．（2024-25高一上·安徽合肥·阶段练习）若函数对于任意恒成立，则实数的取值范围是 ． 12．（2024-25高三上·北京顺义·阶段练习）设函数，若，则的单调递增区间是 ，若的值域为，则的取值范围是 . 13．（2024-25高一上·上海·阶段练习）已知 是定义在 上的奇函数，且 时有 . (1)写出函数 在 上单调区间(不要证明)； (2)解不等式 . 14．（2024-25高一上·湖北武汉·阶段练习）已知函数，. (1)当时，求不等式的解集； (2)若函数在区间上不单调，求实数a的取值范围. 15．（2024-25高一上·广西玉林·期中）定义在上的函数满足对任意、，恒有，且不恒为． (1)求和的值； (2)试判断的奇偶性，并加以证明； (3)若当时，为增函数，求满足不等式的的取值范围． 16．（2024-25高一上·河南·阶段练习）已知是定义在上的奇函数，满足，且当，时，有． (1)判断函数的单调性； (2)解不等式：； (3)若对所有，恒成立，求实数的取值范围． 17．（2024-25高一上·云南昆明·期中）定义在上的函数满足：对任意，都存在唯一，使得，则称函数是“型函数”（其中）. (1)判断是否为“型函数”?并说明理由； (2)是否存在实数，使得函数是“型函数”，若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由； (3)若函数是“型函数”，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$