精品解析：湖北省部分市州2025届高三上学期元月期末联考数学试卷

湖北省部分市州2025年元月高三期末联考 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据指对函数的性质，结合充分，必要条件，即可判断选项. 【详解】因为函数和都是增函数， 若命题成立，则，则， 所以命题是命题充分条件， 反之，若命题成立，则，但当是非正数时，不等式没有意义， 所以命题不是命题的必要条件， 所以命题是命题的充分不必要条件. 故选：A 2. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据向量数量积公式，即可求解. 【详解】， 所以，则. 故选：C 3. 若复数是纯虚数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由纯虚数特征，即可列式求解. 【详解】由题意可知，，， 得，根据选项可知，只有满足条件. 故选：C 4. 若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ） 3 4 5 6 7 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据分布列的性质和等差数列的性质，即可求解. 【详解】由分布列的性质可知，，再根据数列为等差数列， 则，即，则. 故选：D 5. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求出导数，，利用函数在处的切线与直线垂直，列出方程，即可求出实数的值． 【详解】函数，求导得， 在处的切线斜率为， 又在处的切线与直线垂直， 所以，解得. 故选：B. 6. 已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】首先设点的坐标，再表示点的坐标，并表示，利用基本不等式求最值. 【详解】设，，由可知，， 直线斜率最大，则点是第一象限的点，即， 所以， 当，即时，等号成立， 所以直线斜率的最大值为1. 故选：B 7. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】首先求点的轨迹方程，并确定三棱锥体积最大时的点的位置，再代入三棱锥外接球的半径公式，即可求解. 【详解】如图，以点为原点建立空间直角坐标系， ，，，由可知， ， 整理为， 所以点的轨迹是平面内，以为圆心，2为半径的圆， 如下图，点到平面的最大值为6，此时点在的延长线上，且， 所以平面，， 等腰直角三角形的外接圆的半径为， 所以三棱锥的外接球的半径， 所以三棱锥外接球的表面积 故选：C 8. 已知对恒成立，则的最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先分析函数在区间的零点和正负区间，再根据不等式分析函数的零点，利用韦达定理表示 关系，再结合基本不等式，即可求解. 【详解】当，，则， 当，， 当，，， 当，， 当，，， 若对恒成立， 则，并且函数的两个零点分别是1和7， 则，则，，， 所以， 当，，即时，等号成立， 所以的最小值为6. 故选：B 【点睛】关键点点睛：本题关键是转化为分析两个函数和 的零点. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值的检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 【答案】BD 【解析】 【分析】由回归直线的性质即可判断A；利用决定系数的性质即可判断B；由标准差的性质即可判断C；由独立性检验的思想即可判断D. 【详解】A：回归直线恒过样本点的中心正确，但不一定会过样本点，故A错误； B：用决定系数来刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好，故B正确； C：将一组数据中的每一个数据都加上或减去同一个常数后，数据的波动性不变， 故方差不变，则标准差不变，故C错误； D：根据独立性检验可知D正确. 故选：BD 10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 点的坐标为 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据几何图形，即可确定A，结合三角函数的定义，以及向量数量积的定义和坐标表示，即可判断BC，根据三角函数的定义，结合三角恒等变换，即可判断D. 【详解】A.因为点是的中点，且，所以，故A正确； B.有条件可知，，，， ， 所以，故B错误； C.，故C正确； D. 所以点的坐标为，故D正确. 故选：ACD 11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该直线族的包络曲线为圆 B. 若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C. 当时，点可能在直线族上 D. 当时，曲线是直线族的包络曲线 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据辅助角公式可判断AB的正误，若点可能在直线族上，则存在使得，即函数有零点，因而对函数零点个数进行分析从而判断选项C；当时，直线族为，将其与曲线联立可得，即可得直线和曲线相切, 故可判断选项D. 【详解】对于A，由题设由，故， 所以即，故直线与圆至多一个公共点， 而原点到直线的距离为1，故均为圆切线， 故该直线族的包络曲线为圆，故A正确； 对于B，由题设有，同A有， 故直线与椭圆至多一个公共点， 因为满足 且，且与椭圆相切， 故该直线族的包络曲线为椭圆，故B正确. 对于C，将代入得，构造， ， 当时，；当，. 所以在上单调递减，在上单调递增， 因而当时，取到最小值， 所以在无零点，无解，故C错误； 对于D，若不在直线族上，则将代入直线得无解，则，所以, 因而可得当在曲线上时，则一定在直线族上， 联立和得，所以，故直线和相切， 又不包括直线，所以是直线族的包络曲线，故D正确. 故选：ABD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前项和为，且，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据等比数列的公式和性质，即可求解. 【详解】设等比数列的公比为， 由条件可知，，所以，， 所以. 故答案为： 13. 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】作出曲线的图象，结合图象分析任意两点距离的最大值即可得出结果. 【详解】由题意可得曲线关于轴，轴，原点对称， 当时，曲线方程化为，圆心; 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，曲线方程化为，圆心； 当时，；当时，. 作出曲线在平面直角坐标系下的图象如下图： 曲线上任意两点距离的最大值为， 故答案为：. 14. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为______． 【答案】 【解析】 【分析】首先不等式转化为，恒成立，转化为求函数的最值，并求得，再讨论的正负，转化为，转化为的最大值，即可求解. 【详解】，则， 所以不等式恒成立，即，恒成立， ，，所以 设， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取值最大值， 所以，即， 当时，， 当时，， 设，，，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得最大值， 所以的最大值为. 故答案为： 【点睛】关键点点睛：本题转化为2次最值，一次是参变分离为，，转化为求函数的最值，第二次是转化为，转化为求函数的最值. 四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的周长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角恒等变换和正弦定理，化简条件等式，即可求解； （2）首先根据正弦定理以及二倍角的正弦公式，化简求角，再根据正弦定理，即可求解. 【小问1详解】 由条件可知，， 因为，所以， 即，由正弦定理可知，， 即，且， 所以，则，， 所以. 【小问2详解】 由正弦定理可知，， 即，则，， 所以，，所以， 又，，则， 由正弦定理可知，，即， ， 所以，则， 所以的周长为. 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数的取值范围． 【答案】（1）函数取得极大值，无极小值； （2） 【解析】 【分析】（1）首先利用导数判断函数的单调性，再求函数的极值； （2）利用参变分离，转化为，恒成立，再转化为利用导数求函数的最值问题. 【小问1详解】 当时，，， ，得， 当，，单调递增，当，，单调递减， 所以当时，函数取得极大值，无极小值； 【小问2详解】 由题意可知，， 即恒成立，即，恒成立， 设，， 设，， ， 设，所以，得（负值舍去）， 当时，，单调递增，当时，，单调递减， 所以的最大值为，即恒成立， 所以单调递减，且， 所以当时，，即，单调递增，当时，，即，单调递减， 所以的最大值为， 所以. 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据几何关系，证明平面，即可证明线线垂直； （2）根据线面平行的性质定理说明，再根据（1）的结果，以点为原点建立空间直角坐标系，分别求平面和平面的法向量，利用向量法求解. 【小问1详解】 连结，因为是等腰直角三角形，且为斜边的中点， 所以，且， ，， 所以， 所以，且，平面， 所以平面，且平面， 所以. 【小问2详解】 连结，因为平面，平面，平面平面， 所以，即， 由（1）知平面， 如图以点为原点，为轴，过点作与平行的直线为轴， ，，，，，， ，，，， 设平面的一个法向量为， 则，即，令，则，， 则平面的一个法向量为， 设平面的一个法向量为 则，即，令，则， 所以平面的一个法向量， 设平面与平面夹角为， 则， 所以平面与平面夹角的余弦值为. 18. 已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是． （1）求椭圆的方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）设直线与直线交于点，直线的斜率为，试探究满足的关系式． 【答案】（1） （2）（ⅰ）证明见详解；（ⅱ）. 【解析】 【分析】（1）将转化，由求出即可； （2）设出直线方程，联立直线与椭圆方程得，由韦达定理及化简求解即可得出直线过定点；写出直线方程，作比化简得出，解得，即点在直线上，记与轴的交点为，借助表达出即可. 【小问1详解】 由椭圆知，， ， 所以，所以， 所以椭圆的方程为； 【小问2详解】 （ⅰ）若直线斜率不存在，则，不符合题意； 当直线斜率存在时，设直线方程为， 联立直线与椭圆方程，得， 由韦达定理可得，， 所以， 又因为， 所以， 又因为，所以，解得， 即直线方程为， 故直线过定点； （ⅱ）由（ⅰ）可知，直线方程为，直线方程为， 所以，解得，即点在直线上， 记与轴的交点为， 则， ， 又因为同号，所以. 19. 某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． （1）若，求和； （2）若价值最大的产品是第件（），求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 【答案】（1）， （2） （3）的最大值为，此时 【解析】 【分析】（1）根据题意直接求，根据同学乙的选法规则，结合排列问题，即可求解； （2）根据题意，结合排列，组合问题，以及古典概型概率公式，即可求解； （3）根据（2）的结果，以及全概率公式求，再构造函数，利用导数求函数的最值. 【小问1详解】 由题意可知，， 依题意，4个产品的位置从第一个到第4个排序，有种情况，同学乙要取最贵价值产品，有以下两种情况： 最贵价值产品是第3个，其它的随意在哪个位置，有种情况；最贵价值产品是第4个，第二贵价值产品是第1个或第2个， 其它的随意在哪个位置，有种情况，所以所求概率 【小问2详解】 法一：若考虑全部产品排序，价值最大的产品是第件，共有种排法， 先从件产品中挑件产品出来， 其中价值最大的产品放在前，剩下的全排列，共种排法，剩下的件产品全排列， 即； 法二：若价值最大的产品是第件，则乙同学能取到该产品， 只需要前件产品中价值最大的产品排在前件，即； 【小问3详解】 记事件表示最贵价值产品被乙同学取到，事件表示最贵价值产品排在第个，则， 由全概率公式可知，， 当时，最贵价值产品在前个中，不会被取到，此时, 当时，最贵价值产品被取到，当且仅当前件产品中最贵的一个在前个之中，此时， 此时， 令，，由，得， 当时，，当时，， 即函数在上单调递增，在上单调递减， 则，于是当时，取得最大值， 所以的最大值为，此时的值为. 【点睛】关键点点睛：本题的关键是理解同学乙的选法规则，利用排列，组合，解决概率问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 湖北省部分市州2025年元月高三期末联考 数学试卷 本试卷共4页，19题.全卷满分150分.考试用时120分钟. ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答题前，先将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置． 2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并上交． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知命题，命题，则命题是命题的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 2. 已知单位向量满足，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 3. 若复数是纯虚数，则的值可以为（ ） A. B. C. D. 4. 若随机变量的分布列如下表，表中数列为等差数列，则的取值是（ ） 3 4 5 6 7 A. B. C. D. 5. 函数在处的切线与直线垂直，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知抛物线为坐标原点，是抛物线上任意一点，为焦点，且，则直线的斜率的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 2 7. 正方体的棱长为3，平面内一动点满足，当三棱锥的体积取最大值时，该三棱锥外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知对恒成立，则最小值为（ ） A. 4 B. 6 C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 下列说法中正确的是（ ） A. 回归直线恒过样本中心点，且至少过一个样本点 B. 用决定系数刻画回归效果时，越接近1，说明模型的拟合效果越好 C. 将一组数据中的每一个数据都加上同一个正数后，标准差变大 D. 基于小概率值检验规则是：当时，我们就推断不成立，即认为和不独立，该推断犯错误的概率不超过 10. 如图所示，已知角的始边为轴的非负半轴，终边与单位圆的交点分别为为线段的中点，射线与单位圆交于点，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 点的坐标为 11. 直线族是指具有某种共同性质的直线的全体，例如表示过点的直线族（不包括直线）．直线族的包络曲线定义为：直线族中的每一条直线都是该曲线上某点处的切线，且该曲线上的每一点处的切线都是该直线族中的某条直线．已知直线族，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则该直线族的包络曲线为圆 B. 若，则该直线族的包络曲线为椭圆 C. 当时，点可能在直线族上 D. 当时，曲线是直线族的包络曲线 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 等比数列的前项和为，且，则______． 13. 若为曲线上任意两点，则两点间距离的最大值为______． 14. 已知，若不等式恒成立，则的最大值为______． 四、解答题：共77分．解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知的内角的对边分别为，且． （1）求； （2）若，求的周长． 16. 已知函数． （1）当时，求的极值； （2）若不等式恒成立，求实数取值范围． 17. 如图，四棱锥中，是边长为2的正方形，是以为顶点的等腰直角三角形，为的中点，为的中点，． （1）证明：； （2）过两点的平面与直线分别交于点，且平面，求平面与平面夹角的余弦值． 18. 已知椭圆的左，右焦点为，点是椭圆上任意一点，的最小值是． （1）求椭圆方程； （2）设为椭圆的上，下顶点，为椭圆上异于的两点，记直线的斜率分别为，且． （ⅰ）证明：直线过定点； （ⅱ）设直线与直线交于点，直线斜率为，试探究满足的关系式． 19. 某商家推出一个活动：将n件价值各不相同的产品依次展示在参与者面前，参与者可以选择当前展示的这件产品，也可以不选择这件产品，若选择这件产品，该活动立刻结束；若不选择这件产品，则看下一件产品，以此类推，整个过程参与者只能继续前进，不能返回，直至结束．同学甲认为最好的一定留在最后，决定始终选择最后一件，设他取到最大价值产品的概率为；同学乙采用了如下策略：不取前件产品，自第件开始，只要发现比他前面见过的每一个产品的价值都大，就选择这件产品，否则就取最后一件，设他取到最大价值产品的概率为． （1）若，求和； （2）若价值最大的产品是第件（），求； （3）当趋向于无穷大时，从理论的角度（即），求的最大值及取最大值时的值．（取） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $