精品解析：浙江省绍兴市柯桥区联盟学校2024-2025学年九年级上学期12月月考数学试题

2024学年第一学期九年级数学课堂作业（二） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 2. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 3. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 已知一个斜坡的长为米，坡角为度，则斜坡高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 6. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( ) A. 或 B. C. D. 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° 8. 关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为 A. 0或2 B. 2或4 C. 0或4 D. 0或2或4 9. 如图，在中，，分别以点B、C为圈心，长为半径在右侧画弧，两弧交于点D，与的延长线分别交于点E、F，则弧和弧的长度和为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知中，，，，那么的长是________. 12. 排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于_____dm． 13. 如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为___________． 14. 如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 _____秒． 15. 如图，在与中，，连接、，若，则为______． 16. 如图，在矩形中，，，点P在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则当为______时的长最小． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知，且，求的值． 18. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回． （1）求第一个人摸到红球的概率； （2）请用画树状图或列表的方法求两人中有一人摸到红球的概率． 19. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 20. 如图，是的内接三角形，是的直径，，． （1）求的度数； （2）设，相交于E，的延长线相交于F，求，的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 21. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： 如图1，点在上，的平分线交于点，连接求证：四边形是等补四边形； 探究： 如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由． 运用： 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点求的长． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处． 23. 如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 24. 如图，点A、B都在x轴上，过点A作x轴的垂线交抛物线于点C．过点B作x轴的垂线交该抛物线于点D，点C、D都在第一象限，点D在点C的右侧．于点E．连结CD，BE，． （1）若，求AB的长． （2）若点A是线段OB的中点，求点E的坐标． （3）根据（2）的条件，连结OD，动点P在线段OB上，作交OD于点Q．连结PD．当与相似时，求的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024学年第一学期九年级数学课堂作业（二） 一、选择题（本大题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 已知，那么等于（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，解题的关键是掌握比例的基本性质．根据比例的性质将等积式转化为比例式即可求解． 【详解】解：， ，即， 故选：D． 2. 在一个不透明的口袋中装有4个红球，5个白球和若干个黑球，它们除颜色外其他完全相同，通过多次摸球试验后发现，摸到白球的频率稳定在25%附近，则口袋中黑球可能有（ ）个． A. 10 B. 11 C. 12 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设黑球可能有个，根据摸到白球的频率稳定在25%附近得到口袋中摸到白球的概率为25%，根据概率公式即可求出黑球的个数． 【详解】解：设黑球可能有个 ∵摸到白球的频率稳定在25%附近 ∴口袋中摸到白球的概率为25% ∴ ∴ 经检验：x=11是原方程的解，也符合题意. ∴黑球可能有11个 故选：B． 【点睛】本题考查了利用频率估计概率、根据概率公式计算概率等知识点，由频率估计概率是解答本题的关键． 3. 如图，四边形内接于，若四边形是菱形，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设，，由菱形的性质与圆周角定理可得，进而求解即可． 【详解】解：设， ∵四边形是菱形， ∴， ， 四边形为圆的内接四边形， ， ∴， 解得：，，则． 故选C． 【点睛】该题主要考查了圆周角定理及其应用，圆的内接四边形的性质，菱形的性质；掌握“同圆或等圆中，一条弧所对的圆周角是它所对的圆心角的一半”是解本题的关键． 4. 已知一个斜坡的长为米，坡角为度，则斜坡高度为（ ） A. 米 B. 米 C. 米 D. 米 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查学生解直角三角形的应用，根据坡角的正弦值垂直高度坡面距离，据此即可解答．掌握坡角和三角函数的定义是解决问题的关键． 【详解】解：如图，在中，，，， 米． 故选：B． 5. 如图，在直角坐标系中，△OAB的顶点为O（0，0），A（4，3），B（3，0）．以点O为位似中心，在第三象限内作与△OAB的位似比为的位似图形△OCD，则点C坐标（　　） A. （﹣1，﹣1） B. （﹣，﹣1） C. （﹣1，﹣） D. （﹣2，﹣1） 【答案】B 【解析】 【分析】根据关于以原点为位似中心的对应点的坐标的关系，把A点的横纵坐标都乘以即可． 【详解】解：∵以点O为位似中心，位似比为， 而A （4，3）， ∴A点的对应点C的坐标为（，﹣1）． 故选：B． 【点睛】本题考查了位似变换：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k． 6. 如图是二次函数的图象的一部分，其对称轴是直线，与x轴的一个交点是，则不等式的解集是( ) A. 或 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象的性质．先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点，再根据图象法求解即可． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，其与x轴一交点为， ∴二次函数与x轴的另一个交点为， ∴由函数图象可知，当或时，， ∴不等式的解集是或， 故选：A． 7. 如图，将绕点A顺时针旋转得到，此时点B的对应点D恰好落在边上，则的度数为（　　） A. 30° B. 45° C. 60° D. 70° 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转变换的性质，等边三角形的性质，解题关键是掌握旋转前、后的图形全等． 根据旋转变换的性质得到，，从而得到是等边三角形，解答即可． 【详解】解：由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 8. 关于x的二次函数，当时，函数有最小值4，则h的值为 A. 0或2 B. 2或4 C. 0或4 D. 0或2或4 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次函数的性质分情况讨论：①当3＜h时，x=3时，函数有最小值，②当h＜1时，x=1时，函数有最小值，分别求出符合题意的h值即可． 【详解】解：二次函数，其中a＞0， ∴当x＜h时，y随x的增大而减小，当x＞h时，y随x的增大而增大， ①当3＜h时，x=3时，函数有最小值，即， 解得：h=4或h=2（舍去）； ②当h＜1时，x=1时，函数有最小值，即， 解得：h=0或h=2（舍去）； ∴h=0或4， 故选C． 【点睛】本题考查二次函数的图像和性质，注意分类讨论思想在解题中的应用． 9. 如图，在中，，分别以点B、C为圈心，长为半径在右侧画弧，两弧交于点D，与的延长线分别交于点E、F，则弧和弧的长度和为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】在△ABC中利用三角形内角和求得∠ABC+∠ACB，然后根据△BCD是等边三角形求得∠BDC和∠BCD的度数，则∠EBD+∠DCF即可求得，再根据弧长公式即可求解． 【详解】解：在△ABC中，∠ABC+∠ACB=180°-40°=140°， ∵BC=BD=CD， ∴△BCD是等边三角形， ∴∠DBC=∠DCB=60°， ∴∠EBD+∠DCF=360°-60°-60°-140°=100°， 则弧DE和弧DF的长度和是：， 故选：B． 【点睛】本题考查了弧长的计算公式以及等边三角形的判定与性质，求得是解题的关键． 10. 如图，是的外接圆，，把弧沿弦向下折叠交于点D，若点D为中点，则长为（ ） A. 1 B. 2 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由等腰三角形的性质可得，由折叠的性质和圆周角定理可得可得，可证，可得，即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵点D为中点， ∴， ∵弧沿弦向下折叠交于点D， ∴， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴（负值舍去）， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形外接圆与外心，等腰三角形的性质，折叠的性质，相似三角形的判定和性质，证明三角形相似是解题的关键． 二、填空题（本大题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 已知中，，，，那么的长是________. 【答案】8 【解析】 【分析】根据锐角三角函数的定义，即可求解. 【详解】∵中，，，， ∴=， 故答案是：8. 【点睛】本题主要考查三角函数的定义，牢记余弦三角函数的定义，是解题的关键. 12. 排水管的截面如图，水面宽AB＝8dm，圆心O到水面的距离OC＝3dm，则排水管的半径等于_____dm． 【答案】5． 【解析】 【分析】连接OA，先根据垂径定理求出AC的长，再由勾股定理求出OA的长即可． 【详解】 解：连接OA， ∵AB＝8，OC⊥AB， ∴AC＝AB＝4． ∵OC＝3， ∴， 故答案为：5． 【点睛】本题考查的是垂径定理的应用，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形，利用勾股定理求解是解决此题的关键． 13. 如图，在△ABC中，D为AC边上的中点，AE∥BC，ED交AB于G，交BC延长线于F．若BG：GA=3：1，BC=10，则AE的长为___________． 【答案】5 【解析】 【详解】解：∵AE∥BC ∴△AEG∽△BFG ∴BG：GA=3：1=BF：AE ∵D为AC边上的中点 ∴AE：CF=1：1 ∴AE=CF ∴BF：AE=（CF+BC）：AE=3：1 ∴（AE+10）：AE=3：1 解得：AE=5． 故答案为：5． 【点睛】本题考查相似三角形的判定与性质．本题主要利用三角形的相似及中点的性质求AE的值． 14. 如图，小明打高尔夫球，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度h（米）与飞行时间t（秒）之间满足函数关系．则小球从飞出到达到最高点瞬间所需要的时间为 _____秒． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查二次函数的应用，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质解答．把函数关系式配方成顶点式，根据二次函数的性质即可得到结论． 【详解】解：， ， 当时，的最大值为20， 即时，的值最大， 故答案为：2． 15. 如图，在与中，，连接、，若，则为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据角相等可知，根据相似三角形的性质可知，进而得出线段的比例关系． 【详解】解：∵， ∴， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴在， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了相似三角形的性质和判定，勾股定理，熟记相似三角形的性质和判定是解题的关键． 16. 如图，在矩形中，，，点P在直线上运动，以为直角边向右作，使得，，连接，则当为______时的长最小． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形性质，相似三角形判定及性质，二次函数性质等．根据题意过点作于点，与交于，证明，设，则，继而得，再利用二次函数性质即可得到本题答案． 【详解】解：过点作于点，与交于， ， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴当时，有最小值为， ∴当为时，的长最小， 故答案为：． 三、解答题（本大题有8小题，共72分） 17. （1）计算：． （2）已知，且，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质：熟练掌握比例的性质（内项之积等于外项之积；合比性质；分比性质；合分比性质；等比性质）是解决问题的关键． （1）先把特殊角的三角函数值代入得到原式，然后进行二次根式的混合运算； （2）设，则，再把它们分别代入中得到关于t的方程，然后求出t，从而得到x的值． 【详解】（1）原式 ； （2）设，则， ， ， ， ， ． 18. 一个不透明的袋子中装有仅颜色不同的1个红球和2个白球，两个人依次从袋子中随机摸出一个小球不放回． （1）求第一个人摸到红球的概率； （2）请用画树状图或列表的方法求两人中有一人摸到红球的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查简单概率计算，利用树状图或列表法求概率等． （1）根据题意共有3个球，其中有一个是红球，继而得到本题答案； （2）画出树状图，即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵共有3个球，有一个红球， ∴第一个人摸到红球的概率：； 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 共有6种情况，其中符合题意的有4种， ∴两人中有一人摸到红球的概率：即． 19. 如图，在中，是的角平分线，点E是边上一点，且满足． （1）证明：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质、角平分线的定义，熟练掌握相似三角形的判定是解答的关键． （1）先根据角平分线的定义证明，再根据相似三角形的判定定理证得结论； （2）根据相似三角形的对应边成比例可求解． 【小问1详解】 证明：∵是的角平分线， ∴，又， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴． 20. 如图，是的内接三角形，是的直径，，． （1）求的度数； （2）设，相交于E，的延长线相交于F，求，的度数； （3）若，求图中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2）， （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意得，继而得，即可得到本题答案； （2）根据题意得，，继而得到本题答案； （3）连接，过O作于Q，继而得，再求出，，再利用扇形面积公式即可得到本题答案． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵是直径， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：连接，过O作于Q， ， ∵，， ∴， 由勾股定理得：，由垂径定理得：， ∴， ∴阴影部分的面积是， 【点睛】本题考查圆周角定理，三角形内角和定理，扇形面积公式，勾股定理，垂径定理、含30度角的直角三角形的性质等，熟练掌握相关知识的联系与运用是解答的关键． 21. 定义：有一组邻边相等且对角互补的四边形叫做等补四边形． 理解： 如图1，点在上，的平分线交于点，连接求证：四边形是等补四边形； 探究： 如图2，在等补四边形中连接是否平分请说明理由． 运用： 如图3，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点求的长． 【答案】 证明：四边形为圆内接四边形， 四边形是等补四边形； 平分，理由如下： 如图2，过点分别作于点，垂直的延长线于点，则， 四边形是等补四边形， 又 是的平分线，即平分 （3）. 【解析】 【分析】由圆内接四边形互补可知，再证，即可根据等补四边形的定义得出结论； 过点分别作于点，垂直的延长线于点，证，得到，根据角平分线的判定可得出结论； 连接，先证推出再证利用相似三角形对应边的比相等可求出的长． 【详解】解：（1）略 （2）略 如图3，连接， 四边形是等补四边形， 又， 平分 由知，平分 又 即 【点睛】本题考查了新定义等补四边形，圆的有关性质，全等三角形的判定与性质，角平分线的判定，相似三角形的判定与性质等，解题关键是要能够通过自主学习来进行探究，运用等． 22. 根据以下素材，探索完成任务． 素材1 某学校一块劳动实践基地大棚的横截面如图所示，上部分的顶棚是抛物线形状，下部分是由两根立柱和组成，立柱高为，顶棚最高点距离地面是，的长为． 素材2 为提高灌溉效率，学校在的中点处安装了一款可垂直升降的自动喷灌器，从喷水口喷出的水流可以看成抛物线，其形状与的图象相同，，此时水流刚好喷到立柱的端点处． 问题解决 任务1 确定顶棚的形状 以顶棚最高点为坐标原点建立平面直角坐标系，求出顶棚部分抛物线的表达式． 任务2 探索喷水的高度 问处喷出的水流在距离点水平距离为多少米时达到最高． 任务3 调整喷头的高度 如何调整喷水口的高度（形状不变），使水流喷灌时恰好落在边缘处． 【答案】（1）；（2）4.55米；（3）抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处 【解析】 【分析】本题考查用待定系数法求二次函数解析式，二次函数的顶点，以及二次函数的平移规律，根据以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系．得到顶点和点的坐标，设，将点代入解析式，即可求出求出顶棚部分抛物线的表达式．根据题意求出抛物线的解析式，再利用对称轴，求得最高点的横坐标，将横坐标代入解析式求解即可．最后根据二次函数的平移规律，即可解题． 【详解】任务1：解：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系． 由题意可知，顶点是，设，把点代入得：， 解得：， ． 任务2：解：以顶棚最高点为坐标原点，过原点的水平线为轴建立平面直角坐标系． 抛物线的形状与相同，， ， 设 把代入得：，解得：， ， 处喷出的水流在距离点水平距离米时达到最高． 任务3：解：调整喷水口的高度时，抛物线的形状不变，且， 抛物线往下移动1米时，水流喷灌时恰好落在边缘处． 23. 如图，是的直径，点为的中点，为的弦，且，垂足为，连接交于点，连接，，． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】 (1)证明：∵是的中点， ∴， ∵是的直径，且， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∵， ∴； (2). 【解析】 【分析】(1)根据点为的中点和垂径定理可证CD=BF，再利用即可证得结论； (2)解法一：连接，设的半径为，由列出关于的方程就能求解； 解法二：如图，作辅助线，构建角平分线和全等三角形，证明，得，再证明，得，进而可得和的长，易证，列比例式可求得的长，也就是的长； 解法三：连接，根据垂径定理和三角形的中位线定理可得，再证明，然后利用勾股定理即可求出结果． 【详解】(1)略 (2)解法一：如图，连接，设的半径为， 中，，即， 中，，即， ∵，∴，∴， ∴， 即， 解得：(舍)或3， ∴， ∴； 解法二：如图，过作交AD延长线于点，连接、， ∵，∴， ∵，∴， ∵，∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，∴，∴， ∵是的直径，∴，∴， ∵，∴， ∴， ∴， ∴． 解法三：如图，连接，交于， ∵是的中点，∴，∴， ∵，∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴， ∴． 【点睛】此题考查了相似三角形的判定与性质、圆周角定理、垂径定理、一元二次方程的求解、三角形全等的性质和判定以及勾股定理等知识．第二问有难度，注意掌握辅助线的作法和数形结合思想的应用． 24. 如图，点A、B都在x轴上，过点A作x轴的垂线交抛物线于点C．过点B作x轴的垂线交该抛物线于点D，点C、D都在第一象限，点D在点C的右侧．于点E．连结CD，BE，． （1）若，求AB的长． （2）若点A是线段OB的中点，求点E的坐标． （3）根据（2）的条件，连结OD，动点P在线段OB上，作交OD于点Q．连结PD．当与相似时，求的值． 【答案】（1）；（2）；（3）的值为或2 【解析】 【分析】首先证明四边形BDCE是平行四边形，四边形ABDE是矩形，可得DB=CE=AE． （1）由，根据抛物线可得，则DB=CE=AE=2，由DB=2根据抛物线可得，，即可求得AB的长； （2）设，则，根据抛物线可得，，由DB=CE=AE可得关于t的方程，解方程求出t的值，求出D的纵坐标即可得点E的坐标； （3）依题意画出图形，分和两种情况，根据相似三角形的性质，同角的三角函数值即可求解． 【详解】解：轴，轴， ， 又， 四边形BDCE是平行四边形， ， ， 四边形ABDE是矩形， ， ． （1）． 把代入， ， ， ∵， ． ， 令，得，解得； ∵点D在点C的右侧， ，， ； （2）如图： 设，则， ，． ． ， ，（不合题意舍去） ， ； （3）在（2）的条件下，． ①若． 则， 而， ． ②若．则， 而， ． 综上所述：的值为或2． 【点睛】本题考查的是二次函数综合题，涉及到平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，相似三角形的性质，锐角三角函数的定义等知识，充分利用二次函数的性质和相似三角形的性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $