专题5.19 二次函数与动点最值（6大题型）（题型梳理与解析）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题5.19 二次函数与动点最值（6大题型）（题型梳理与解析） 【题型目录】 【题型1】将军饮马最值问题....................................................1 【题型2】线段差最值问题......................................................2 【题型3】垂线段最值问题......................................................3 【题型4】铅垂直与水平线最值问题..............................................4 【题型5】AB+kCD最值问题.....................................................5 【题型6】面积最值问题........................................................6 【题型1】将军饮马最值问题 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【变式1】．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    【变式2】（2022·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【变式3】（19-20九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为 ． 【题型2】线段差最值问题 【例2】（22-23八年级下·山东东营·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【变式1】（2019·广西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为 ． 【变式2】（18-19九年级上·江西南昌·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标 【题型3】垂线段最值问题 【例3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，边上的中线的最小值为 ． 【变式1】（2020·贵州遵义·二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【题型4】铅垂直与水平线最值问题 【例4】（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为 ． 7．（2022·广西河池·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为 ． 【题型5】AB+kCD最值问题 【例5】（2024·重庆江津·模拟预测）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； 【变式1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【变式2】（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ． 【题型6】面积最值问题 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为 ． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为 ． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题5.19 二次函数与动点最值（6大题型）（题型梳理与解析） 【题型目录】 【题型1】将军饮马最值问题.................................................1 【题型2】线段差最值问题...................................................6 【题型3】垂线段最值问题...................................................9 【题型4】铅垂直与水平线最值问题..........................................12 【题型5】AB+kCD最值问题.....................................................16 【题型6】面积最值问题....................................................21 【题型1】将军饮马最值问题 【例1】（2024九年级上·全国·专题练习）如图所示，抛物线与轴相交于、两点，与轴相交于点，点为抛物线的顶点．在抛物线的对称轴上是否存在一点，使得的值最小，若存在，清求出点的坐标并求出最小值；若不存在，请说明理由． 【答案】存在，，最小值为． 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质、轴对称的性质、勾股定理等知识，解题的关键是利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来． 本题中，点与点关于抛物线的对称轴对称，根据“两点之间，线段最短”可知，抛物线的对称轴与直线的交点就是的值最小时点的位置，先求出直线的解析式，再求出点的坐标． 解：假设存在点，使得的值最小． ∵点与点关于抛物线的对称轴对称， ∴抛物线的对称轴与的交点就是使得的值最小的点的位置，如图， ∵， ∴． 令，则，解得，，∴，， 令可得，， 设直线的解析式为， ∴，解得， ∴直线的解析式为：， 又∵点在抛物线对称轴上，将代入直线的解析式， 得到：， ∴， 又∵， ∴， 即的最小值为． 【变式1】．（24-25九年级上·山东泰安·期中）如图所示，抛物线与轴交于点和点，与轴交于点，且，点、是直线上的两个动点，且（点在点的上方），则四边形的最小值是 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数综合，平行四边形的性质与判定，已知两点坐标求两点距离等等，正确作出辅助线是解题的关键． 先求出点的坐标，求出求出点的坐标即可求出抛物线解析式，从而求出点的坐标，取，连接，，，可证四边形是平行四边形，得到，则四边形的周长，再由点，关于直线对称，得到，则，故当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小，据此求解即可． 解：点是抛物线与轴交点， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， ， 抛物线解析式为， 抛物线对称轴为直线， 令，则， 解得或， 点的坐标为， 取，连接，，，   ， 又， 四边形是平行四边形， ， 点，关于直线对称， ， ， 当、、三点共线时，最小，最小为，即此时最小， ， 四边形的最小值为． 故答案为：． 【变式2】（2022·四川达州·二模）如图，抛物线y=-x2+2x+1交x轴于A，B两点，交y轴于点C，点D为抛物线的顶点，点C关于抛物线的对称轴的对称点为点E，点G，F分别在x轴和y轴上，则四边形EDFG周长的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据抛物线解析式求得点D（1，2）、点E（2，1），作点D关于y轴的对称点D′（-1，2）、作点E关于x轴的对称点E′（2，-1），从而得四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE=DE+D′F+FG+GE′，当点D′、F、G、E′四点共线时，周长最短，据此根据两点间的距离公式可得答案． 解：如图， 在y=-x2+2x+1中，当x=0时，y=1，即点C（0，1）， ∵y=-x2+2x+1=-（x-1）2+2， ∴对称轴为x=1，顶点D（1，2）， 则点C关于对称轴的对称点E的坐标为（2，1）， 作点D关于y轴的对称点D′（-1，2），作点E关于x轴的对称点E′（2，-1）， 连接D′、E′，D′E′与x轴的交点G、与y轴的交点F即为使四边形EDFG的周长最小的点， 四边形EDFG的周长=DE+DF+FG+GE =DE+D′F+FG+GE′ =DE+D′E′ =， ∴四边形EDFG的周长的最小值为：． 故答案是：． 【点拨】本题主要考查抛物线与x轴的交点、轴对称-最短路线问题，根据轴对称的性质得出点F、G的位置是解题的关键． 【变式3】（19-20九年级下·吉林长春·阶段练习）已知二次函数的图象与轴分别交于、两点，如图所示，与轴交于点，点是其对称轴上一动点，当取得最小值时，点的纵坐标与横坐标之和为 ． 【答案】 【分析】根据题意和两点之间线段最短，先确定点P所在的位置，然后根据题意和图形求出点P的横坐标和纵坐标，再将横坐标和纵坐标相加，即可解答本题． 解：连接AC，与对称轴交于点P，则此时PB+PC＝AC，PB+PC取得最小值， ∵二次函数， ∴该函数的对称轴为直线x＝﹣1，当y＝0时，x1＝﹣3，x2＝1，当x＝0时，y＝2， ∴点A的坐标为（﹣3，0），点B的坐标为（1，0），点C的坐标为（0，2）， 设直线AC的解析式为y＝kx+b， ，解得， 即直线AC的解析式为， ∵点P在二次函数的对称轴上的一动点， ∴点P的横坐标为﹣1， ∵点P在直线AC上， ∴点P的纵坐标， ∴点P的纵坐标与横坐标之和为：， 故答案为：． ． 【点拨】本题考查抛物线与x轴的交点、二次函数的性质、轴对称，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答． 【题型2】线段差最值问题 【例2】（22-23八年级下·山东东营·期中）抛物线与x轴分别交于点A和点，与y轴交于点C，P为抛物线对称轴上一动点．当的值最大时，P的坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】连接交对称轴与点，根据，得到当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大，求出直线的解析式，与对称轴的交点即为点P的坐标． 解：∵，当时，， ∴，对称轴为直线； 连接交对称轴与点，    设直线的解析式为：， 把，代入，得：， 解得：， ∴， 当时，， ∴； ∵， ∴当点三点共线时，即点与点重合时，的值最大， ∴； 故选A． 【点拨】本题考查二次函数的综合应用．熟练掌握二次函数的图象和性质，是解题的关键． 【变式1】（2019·广西·模拟预测）如图，已知二次函数的图象与轴交于、（点在点的右侧）两点，顶点为，点是轴上一点，且使得最大，则的最大值为 ． 【答案】5 【分析】先确定A、B、C的坐标，设P点坐标为（0，a），然后根据两点间的距离公式，建立一个关于a二次函数，求最大值即可． 解：由题意可知：A、B、C的坐标分别为（-2,0）、（4,0）、（1,4） 设P点坐标为（0，p） 如图，当P、C、B不在同一条直线上，根据三角形的三边关系有：PB-PC＜BC, ∴当P、C、B在同一条直线上，PB-PC=BC,即此时PB-PC有最大值BC ∴BC= 故答案为5． 【点拨】本题考查了二次函数的性质以及利用三角形的边的关系确定线段的最大值，其中运用三角形边的关系确定最大值是解答本题的关键． 【变式2】（18-19九年级上·江西南昌·期中）如图，已知直线与轴交于点，与轴交于点，抛物线与直线交于、两点，与轴交于、两点，且点坐标为．在抛物线的对称轴上找一点，使的值最大，求出点的坐标 【答案】 【分析】找到C关于对称轴的对称点B，连接AB交对称轴的一点就是M．应让过AB的直线解析式和对称轴的解析式联立即可求得点M坐标． 解：将A（0，1）、B（1，0）坐标代入 解得 ∴抛物线的解折式为 ∴抛物线的对称轴为x＝， ∵B、C关于x=对称， ∴MC=MB， 要使|AM-MC|最大，即是使|AM-MB|最大， 由三角形两边之差小于第三边得，当A、B、M在同一直线上时|AM-MB|的值最大． 易知直线AB的解析式为y=-x+1 ∴ ∴ 故答案为： 【点拨】本题考查了抛物线与直线的问题，求两条线段和或差的最值，都要考虑做其中一点关于所求的点在的直线的对称点． 【题型3】垂线段最值问题 【例3】（24-25九年级上·吉林白城·阶段练习）如图，在平面直角坐标系中，点在抛物线上运动，过点作轴于点，以为斜边作，边上的中线的最小值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二次函数的性质，直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半，先求得抛物线的顶点坐标，进而根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求解． 解：∵， ∴抛物线顶点顶点坐标为， ∴当A在抛物线顶点时，最小，最小值为2， 根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半， ∴，边上的中线的最小值为， 故答案为：1． 【变式1】（2020·贵州遵义·二模）如图，二次函数图象经过，且有最小值，若A点关于y轴的对称点为B点，过B作y轴平行线交抛物线于点C，在的斜边上有一动点D，过D作于E，于F，则EF的最小值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】如图所示，连接，先求出二次函数顶点坐标为，进而利用待定系数法求出二次函数解析式为，求出点B的坐标，进而求出点C的坐标，利用勾股定理求出的长，证明四边形是矩形，得到，则当时，有最小值，即有最小值，据此利用三角形面积法求出的长即可得到答案． 解：如图所示，连接， ∵二次函数图象经过，且有最小值， ∴二次函数对称轴为直线， ∴二次函数顶点坐标为， 设二次函数解析式为， ∴， ∴， ∴二次函数解析式为， ∵A点关于y轴的对称点为B点，， ∴， ∴， 当时，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴当最小时，也最小， ∴当时，有最小值，即有最小值， ∴， ∴， 故选B． 【点拨】本题主要考查了二次函数与几何综合，矩形的性质与判定，勾股定理，三角形面积等等，证明四边形是矩形，得到是解题的关键． 【题型4】铅垂直与水平线最值问题 【例4】（24-25九年级上·山东济南·期中）抛物线与x轴交于点A、B两点，直线l与抛物线交于A、C两点，其中点C的横坐标为2，点P是线段上的一个动点（点P与点A、C不重合），过点P作y轴的平行线交抛物线于点E，则线段的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，求二次函数最大值，熟练掌握二次函数以及一次函数的性质是解本题的关键． 令可得点的坐标，然后根据C点的横坐标为2代入二次函数解析式可得C点的坐标；运用待定系数法求一次函数解析式；设点，则点，表示出的长度表达式，根据二次函数的性质解答即可． 解：令，即， 解得：， ∴点， ∵C点的横坐标为2， 将代入， 得， ∴； 设直线的函数表达式为， ∴， 解得：， ∴直线的函数表达式为； 设点，则点， ∵点E在线段上方的抛物线上，始终在一次函数图像的上方， ∴， ∴当时，的长度最大，最大值为． 故答案为：． 【变式1】（2025九年级下·全国·专题练习）如图，抛物线与y轴交于点A，交x轴正半轴于B，直线l过，M是抛物线第一象限内一点，过点M作轴交直线l于点N，则的最大值为 ． 【答案】4 【分析】本题考查二次函数的综合应用，先由二次函数的解析式求出点A，点B的坐标，然后求出直线的解析式，设出M的坐标，根据平行的性质表示出点N的坐标，然后M、N的横坐标相减，构造函数关系式，求出最大值即可． 解：∵ ∴当时，，解得：或， ∴点B的坐标为，点A的坐标为， 设直线的解析式为：，把代入，得：， ∴直线的解析式为：， 设点M的坐标为， ∵轴， ∴， ∴， ∴， ∴点N的坐标为， ∵点M在第一象限， ∴线段， 当时，有最大值为4． 故答案为：4． 【变式2】（24-25九年级上·黑龙江大庆·阶段练习）如图，直线与y轴交于点A，与x轴交于点B，二次函数的图象经过A，B两点，若点P为直线下方的抛物线上一动点，连接，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查二次函数的综合应用，熟练掌握的图象和性质是解题的关键． 先求出点A、B的坐标，然后求得抛物线的解析式．如图：过点P作轴交于点Q，设点P的坐标为，则点Q的坐标为，则，然后根据以及二次函数的性质求解即可． 解：∵直线与y轴交于点A，与x轴交于点B， ∴， 把点代入可得：，解得：， ∴， 如图：过点P作轴交于点Q， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为， ∴， ∴， 当时，最大，最大为． 故答案为：． 7．（2022·广西河池·二模）如图，在平面直角坐标系中，抛物线 与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），与y轴交于点C，D为线段OB上一点．过点D作x轴的垂线与抛物线交于点E，与直线BC相交于点F，则点E到直线BC距离d的最大值为 ． 【答案】 【分析】由抛物线的解析数求出点和点的坐标，从而求得直线的表达式，将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，直线的表达式为，根据抛物线与直线只有一个交点时，即，即可求得的值，则可求得，要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度，利用勾股定理即可求解． 解：当时，， 点的坐标为， 当时，即， 解得，， 点，点， 设直线的表达式为：，且过点和， 得，解得， ， 将向上平移于至与抛物线只有一个交点时，过点作于，如图所示， 要求点E到直线BC距离d的最大值，即求的长度， 则可设直线的表达式为：， ， ， ， 则，即， 由于只有一个交点，则， 解得， ， ， ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查了一次函数与抛物线的综合应用，根据题意，点E到直线BC距离d的最大值即可转化为求的长度，利用数形结合思想根据直线平移的性质及勾股定理的应用是解题的关键． 【题型5】AB+kBC最值问题 【例5】（2024·重庆江津·模拟预测）如图1，已知抛物线的图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，且． (1)求抛物线的解析式； (2)如图2，连接，P为直线下方抛物线上的一个动点，过点P作轴交于点Q，求的最大值及此时点P的坐标； 【答案】(1) (2)， 【分析】（1）先求出C点坐标，根据题意求出的坐标，再用待定系数法进行求解即可； （2）先求出的解析式，设，，表示出的长度，从而表示从而求出二次函数的最大值即可； （1）解：将，代入，得到， ， ， ， ， ，， 设抛物线的解析式为， 将代入，得：， 解得：， 抛物线的解析式为； （2）设直线得解析式为， ，， ，解得：， 直线得解析式为， 设， 轴， ， ，， 为直线下方， ， ， ， 当时，的值最大，最大为， 则； 【变式1】（24-25九年级上·天津·阶段练习）已知二次函数的图象如下，在第三象限内的抛物线上有一动点P，过点P作轴，垂足为N，连接交于点Q，则的最大值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数的综合应用，求二次函数的最值，求一次函数解析式，过点Q作轴于点H，求出点C的坐标为，点B的坐标为，求出直线的解析式为：，设点P的坐标为，则点Q的坐标为：，求出，证明为等腰直角三角形，得出，求出，然后求出最大值即可． 解：过点Q作轴于点H，如图所示： 把代入得：， ∴点C的坐标为， 把代入得：， 解得：，， ∴点B的坐标为， ∴， ∴， 设直线的解析式为，把，代入得： ， 解得：， ∴直线的解析式为：， 设点P的坐标为，则点Q的坐标为：， ∴， ∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵， ∴当时，有最大值． 故答案为：． 【变式2】（23-24九年级下·广东深圳·阶段练习）如图，抛物线与x轴正半轴交于点A，点P是抛物线在第一象限部分上的一动点，连接并延长交y轴于点B，过点P作轴，垂足为H．则的最大值为 ． 【答案】 【分析】先求出点A的坐标，然后设，求直线解析式，得到点B的坐标，从而得到，即可求得，所以，最后根据二次函数的性质，即可求得答案． 解：由于与x轴正半轴交于点A， 则时，， 解得，或， 故， 点P是抛物线在第一象限部分上的一动点， 设， 设直线解析式为， ， 解得， 直线解析式为， ， ， 轴， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 当时，的最大值为． 故答案为：． 【点拨】本题考查了二次函数的图象与性质，求二次函数与坐标轴的交点，求一次函数的解析式，等腰三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． 【题型6】面积最值问题 【例6】（24-25九年级上·浙江绍兴·阶段练习）如图，已知二次函数的图象与一次函数的图象交于点，，过线段上一动点作直线轴交抛物线于点，则面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题涉及二次函数与一次函数的交点问题，二次函数的最值问题以及三角形面积的计算． 我们先求出二次函数与一次函数的交点的坐标，然后设出点的坐标，进而得到点的坐标，再根据三角形面积公式底高来表示的面积，最后通过求函数的最值来得到面积的最大值． 解：联立二次函数与一次函数的方程： 解得：， ∴交点的坐标为，点坐标为． 设点的横坐标为， ∵点在直线上， ∴点的坐标为． ∵轴交抛物线于点， ∴点的横坐标为， 将代入，可得点的坐标为． （是到的距离）， （是到的距离）， ∴， ∵是到的距离，是到的距离， ∴为点与点之间的水平距离， ∴， ∵点在点上方， ∴， ∴， ， 当时，取到最大值为． 故答案为：． 【变式1】（24-25九年级上·浙江台州·期末）如图1，在扇形中，点P从A点出发，沿运动至B点，再沿线段运动至O点．当点P运动到B点时，点Q从O点出发，沿方向运动（当点P到达O点时，P，Q同时停止运动）．已知，点P的速度为5个单位长度每秒，点Q的速度为4个单位长度每秒．P点到O点的距离d与运动时间t（秒）的关系如图2所示． （1）m的值为 ． （2）面积的最大值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，列函数解析式是解题的关键． （1）由图象得扇形的半径为10，根据弧长公式求出的长即可求解； （2）根据二次函数的性质求解． 解：（1）由图象得：扇形的半径为10， ∴ ， ∴， 故答案为：； （2）设从点B处开始经过时，面积的面积为y， 则： ∴ ∵， ∵， ∴当时，y随x的增大而增大， ∴当时，y取最大值，为， 故答案为：． 【变式2】（22-23九年级上·广东广州·期末）如图，点P抛物线上一点，且点P位于直线BC的上方，D为对称轴与直线BC的交点，连接PC，PD，过点P作轴，交BC于点M，则的面积的最大值为 ． 【答案】1 【分析】设点，则线段的长度可得，利用，得到与x的函数关系式，利用配方法即可求得的面积的最大值， 解：∵ ∴对称轴为， 令，则， ∴， 设直线的解析式为, ∵， 则， 解得：， ∴直线的解析式为， ∴， 设抛物线的对称轴于x轴交于点E，如图， 设点， ∴ ∵， ∴当时，有最大值1． 【点拨】本题主要考查了抛物线与x轴的交点，待定系数法，一次函数图象的性质，抛物线上点的坐标的特征，一次函数图象上点的坐标的特征，掌握上述知识点是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$