第一章　勾股定理 复习训练 2024-2025学年北师大版数学八年级上册

第一章　勾股定理 考点1　勾股定理 1.已知一个直角三角形的两边长分别为5 cm，12 cm，则这个三角形的第三边长为（　　） A.13 cm B.17 cm C. cm D.13 cm或 cm 2.如图，有两棵树，一棵高14 m，一棵高2 m，两树之间相距5 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了 （　　） 第2题图 A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m 3.如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝5，分别以直角边BC，AC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值为　　　　. 第3题图 考点2　勾股定理的证明1.如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，设直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a＋b）2的值为　　　　. 第1题图　　　　　　　第2题图 2.我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，用下列式子表示正确的是（　　） A.a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab B.4×ab＋（b－a）2＝c2 C.（a＋b）2＝2×ab＋c2 D.（a＋b）2＝2× 考点3　勾股定理的逆定理 1.以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（　　） A.，， B.9，12，15 C.1，1， D.3，4，5 2.若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的个数为（　　） ①∠A＋∠B＝∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④b2＝（a＋c）（a－c）. A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为　　　　. 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（　　） A B C D 考点4　勾股数 1.下列各组数中，组成勾股数的是（　　） A.0.6，0.8，1 B.，， C.8，15，17 D.4，5，6 2.下列各组数据的三个数，是勾股数的有　　　　. ①32，42，52；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤1.5，2，2.5. 考点5　勾股定理的应用 1.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图，即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝　　　　. 2.如图，为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带AC到地面点C处，已知彩带AC的长为10 m，点C到楼房底部B的距离为6 m，AB⊥BC. （1）求楼房的高度AB； （2）为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带AD到地面点D处，点D在BC的延长线上，CD＝9 m，请求出彩带AD的长度. 考点6　平面展开——最短路径问题 1.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　　） A.13 cm B.10 cm C.14 cm D.无法确定 第1题图 第2题图 2.如图，圆柱形纸杯高为5 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计） （　　） A.10 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm 【课后作业】 一、选择题 1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　　） A.2，2，3 B.9，12，15 C.6，8，10 D.7，24，25 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　　） A.25 B.7 C.5或 D.7或25 3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝10 cm，c＝8 cm，则Rt△ABC的面积为（　　） A.9 cm2 B.18 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2 4.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－17）2＋｜b－15｜＋c2－16c＋64＝0，则△ABC是（　　） A.以a为斜边长的直角三角形 B.以b为斜边长的直角三角形 C.以c为斜边长的直角三角形 D.不是直角三角形 二、填空题 5.如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为5和11，则B的面积为　　　　. 第5题图 6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为　　　　　.（π不取近似值） 第6题图 7.如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5 cm，点A到BC的距离为3 cm.动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.设运动的时间为t秒，当t为　　　　秒时，△ABP为直角三角形. 第7题图 8.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为　　　　. 9.在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝12，则AC＝　　　　. 10.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　　　　　.（π不取近似值） 第10题图 11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　　　　米. 第11题图 12.有一圆柱形油罐，如图，以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，梯子最短需　　　　米.（油罐周长12米，高AB＝5米） 第12题图 三、解答题 13.如图，某人从A地到B地有三条路可选：第一条路从A地沿AB到达B地，AB为10米；第二条路从A地沿折线AC→CB到达B地，AC为8米，BC为6米；第三条路从A地沿折线AD→DB到达B地共行走26米.若C，B，D刚好在一条直线上. （1）求证：∠C＝90°；（2）求AD的长. 14.如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？ 15.小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离BC的长为24米. ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米. ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离线段CD的长为1.6米. （1）求风筝到地面的距离线段AD的长. （2）如果小龙想要风筝沿CA方向再上升11米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出多少米的线？ 16.（1）如图1，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度. （2）如图2，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程. （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少. 第一章　勾股定理 考点1　勾股定理 1.已知一个直角三角形的两边长分别为5 cm，12 cm，则这个三角形的第三边长为（　D　） A.13 cm B.17 cm C. cm D.13 cm或 cm 2.如图，有两棵树，一棵高14 m，一棵高2 m，两树之间相距5 m，一只小鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢，至少飞了（　C　） 第2题图 A.11 m B.12 m C.13 m D.14 m 3.如图，已知Rt△ABC的斜边AB＝5，分别以直角边BC，AC为边向外作正方形，正方形的面积分别记为S1，S2，则S1＋S2的值为　25　. 第3题图 考点2　勾股定理的证明 1.如图是2002年北京第24届国际数学家大会会徽，由4个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为13和1，设直角三角形的两直角边分别为a，b，则（a＋b）2的值为　25　. 2.我国汉代的数学家赵爽用数形结合的方法，给出了勾股定理的证明.如图，从图1变换到图2，用下列式子表示正确的是（　B　） A.a2＋b2＋4×ab＝c2＋4×ab B.4×ab＋（b－a）2＝c2 C.（a＋b）2＝2×ab＋c2 D.（a＋b）2＝2× 考点3　勾股定理的逆定理 1.以下列线段为边，不能组成直角三角形的是（　25　） A.，， B.9，12，15 C.1，1， D.3，4，5 2.若△ABC的三边长分别是a，b，c，则下列条件中不能判定△ABC是直角三角形的个数为（　A　） ①∠A＋∠B＝∠C；②a∶b∶c＝5∶12∶13；③∠A∶∠B∶∠C＝3∶4∶5；④b2＝（a＋c）（a－c）. A.1 B.2 C.3 D.4 3.如图，在四边形ABCD中，AB＝3，BC＝4，CD＝1，AD＝2，∠B＝90°，则四边形ABCD的面积为　6＋　. 4.如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，三角形的顶点都在格点上，则下列三角形中是直角三角形的是（　C　） 考点4　勾股数 1.下列各组数中，组成勾股数的是（　A　） A.0.6，0.8，1 B.，， C.8，15，17 D.4，5，6 2.下列各组数据的三个数，是勾股数的有　②③　. ①32，42，52；②6，8，10；③7，24，25；④，，；⑤1.5，2，2.5. 考点5　勾股定理的应用 1.“今有方池一丈，葭生其中央，出水一尺，引葭赴岸，适与岸齐.问：水深几何？”这是我国数学史上的“葭生池中”问题.如图，即AC＝5，DC＝1，BD＝BA，则BC＝　12　. 2.如图，为营造节日气氛，现从楼顶A处拉一条彩带AC到地面点C处，已知彩带AC的长为10 m，点C到楼房底部B的距离为6 m，AB⊥BC. （1）求楼房的高度AB； 解：（1）∵AB⊥BC，AC＝10 m，BC＝6 m， ∴AB＝＝＝8（m）， 即楼房的高度AB为8 m. （2）为使美观，现计划从楼顶A处再拉一条彩带AD到地面点D处，点D在BC的延长线上，CD＝9 m，请求出彩带AD的长度. （2）由题可得BD＝BC＋CD＝6＋9＝15（m）， ∴AD＝＝＝17（m）， 即彩带AD的长度为17 m. 考点6　平面展开——最短路径问题 1.如图，一只蚂蚁从长、宽都是3 cm，高是8 cm的长方体纸箱的A点沿纸箱爬到B点，那么它所行的最短路线的长是（　B　） A.13 cm B.10 cm C.14 cm D.无法确定 2.如图，圆柱形纸杯高为5 cm，底面周长为16 cm，在杯内壁底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿1 cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处爬行到内壁B处的最短距离为（杯壁厚度不计）（　A　） A.10 cm B.2 cm C.4 cm D.4 cm 【课后作业】 一、选择题 1.下列各组数中不能作为直角三角形的三边长的是（　A　） A.2，2，3 B.9，12，15 C.6，8，10 D.7，24，25 2.已知一个直角三角形的两边长分别为3和4，则第三边长的平方是（　D　） A.25 B.7 C.5或 D.7或25 3.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，若a＋b＝10 cm，c＝8 cm，则Rt△ABC的面积为（　A　） A.9 cm2 B.18 cm2 C.24 cm2 D.36 cm2 4.已知△ABC的三边长分别为a，b，c，且满足（a－17）2＋｜b－15｜＋c2－16c＋64＝0，则△ABC是（　A　） A.以a为斜边长的直角三角形 B.以b为斜边长的直角三角形 C.以c为斜边长的直角三角形 D.不是直角三角形 二、填空题 5.如图，直线l上有三个正方形A，B，C，若A，C的面积分别为5和11，则B的面积为　16　. 第5题图 6.如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，分别以它的三边为直径向上作三个半圆，则图中阴影部分的面积为　24　.（π不取近似值） 第6题图 7.如图，点A是射线BC外一点，连接AB，AB＝5 cm，点A到BC的距离为3 cm.动点P从点B出发沿射线BC以2 cm/s的速度运动.设运动的时间为t秒，当t为　2或　秒时，△ABP为直角三角形. 第7题图 8.一个直角三角形的三边长的平方和为200，则斜边长为　10　. 9.在△ABC中，AB＝13，BC＝10，AD是BC边上的中线，且AD＝12，则AC＝　13　. 10.如图，阴影部分是一个半圆，则阴影部分的面积为　72π　.（π不取近似值） 第10题图 11.如图为某楼梯，测得楼梯的长为5米，高为3米，计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要　7　米. 第11题图 12.有一圆柱形油罐，如图，以A点环绕油罐建梯子，正好到A点的正上方B点，梯子最短需　13　米.（油罐周长12米，高AB＝5米） 第12题图 三、解答题 13.如图，某人从A地到B地有三条路可选：第一条路从A地沿AB到达B地，AB为10米；第二条路从A地沿折线AC→CB到达B地，AC为8米，BC为6米；第三条路从A地沿折线AD→DB到达B地共行走26米.若C，B，D刚好在一条直线上. （1）求证：∠C＝90°； 证明：∵AC＝8米，BC＝6米，AB＝10米， ∴AC2＋BC2＝AB2， ∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°. （2）求AD的长. 解：设AD＝x米，则BD＝（26－x）米， ∴CD＝BC＋BD＝（32－x）米， 在Rt△ACD中，由勾股定理，得82＋（32－x）2＝x2， 解得x＝17. 答：AD的长为17米. 14.如图，铁路上A，B两点相距25 km，C，D为两村庄，DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B，已知DA＝15 km，CB＝10 km，现在要在铁路AB上建一个土特产品收购站E，使得C，D两村到E站的距离相等，则E站应建在离A站多少千米处？ 解：∵使得C，D两村到E站的距离相等， ∴DE＝CE. ∵DA⊥AB于点A，CB⊥AB于点B， ∴∠A＝∠B＝90°， ∴AE2＋AD2＝DE2，BE2＋BC2＝EC2， ∴AE2＋AD2＝BE2＋BC2. 设AE＝x km，则BE＝AB－AE＝（25－x）km. ∵DA＝15 km，CB＝10 km， ∴x2＋152＝（25－x）2＋102， 解得x＝10， ∴AE＝10 km. 答：E站应建在离A站10 km处. 15.小龙在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度，通过勘测，得到如下记录表： 测量示意图 测量数据 ①测得水平距离BC的长为24米. ②根据手中剩余线的长度计算出风筝线AB的长为25米. ③小龙牵线放风筝的手到地面的距离线段CD的长为1.6米. （1）求风筝到地面的距离线段AD的长. 解：（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AB＝25. ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴AC＝＝＝7（米）， 则AD＝AC＋CD＝7＋1.6＝8.6（米）. 答：风筝到地面的距离线段AD的长为8.6米. （2）如果小龙想要风筝沿CA方向再上升11米，BC和CD的长度不变，则他应该再放出多少米的线？ （2）风筝沿CA方向再上升11米后，则AC＝11＋7＝18， 此时在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，BC＝24，AC＝18. ∵AC2＋BC2＝AB2， ∴风筝线的长AB＝＝＝30， ∴30－25＝5（米）. 答：他应该再放出5米的风筝线. 16.（1）如图1，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.求该长方体中能放入木棒的最大长度. 解：（1）如图1，该长方体中能放入木棒的最大长度是 ＝13（cm）. 图1 （2）如图2，长方体的长为4 cm，宽为3 cm，高为12 cm.现有一只蚂蚁从点A处沿长方体的表面爬到点G处，求它爬行的最短路程. （2）①如图2，AG＝＝（cm）， ②如图3，AG＝＝（cm）， ③如图4，AG＝＝（cm）. ∵ cm＞ cm＞ cm， ∴最短路程为 cm. 图2 图3 图4 （3）如图3，若将题中的长方体换成透明圆柱形容器（容器厚度忽略不计），它的高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离底部5 cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁且离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处.求蚂蚁吃到饭粒需要爬行的最短路程是多少. （3）如图5所示，高为12 cm，底面周长为12 cm，在容器内壁离容器底部5 cm的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿1 cm与饭粒相对的点A处，将容器沿侧面展开，作A关于EF的对称点A'， 则A'D＝6 cm，BD＝12－5＋1＝8（cm）， 连接A'B，则A'B即为最短距离， ∴A'B＝＝＝10（cm）. 图5 学科网（北京）股份有限公司 $$