精品解析：新疆乌鲁木齐市第六十一中学2024-2025学年高一上学期12月月考数学试题

乌鲁木齐市第61中学2024-2025学年第一学期12月月考试卷 高一数学 （满分150分）（时间100分钟） 一、单选题（共50分） 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A. 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】利用集合相等求解. 【详解】解：因为集合，，且， 所以，解得， 故选：D 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由任意角的三角函数定义可得答案. 【详解】由题，. 故选：C 3. 已知函数，则的值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 【答案】B 【解析】 【分析】代入分段函数解析式计算即可得出结果. 【详解】易知， 所以 故选：B 4. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据命题的真假，可转化为不等式恒成立问题，分情况讨论可得参数范围. 【详解】命题“”是假命题，则有， 当时，恒成立，满足题意； 当时，有，解得， 综上可得的取值范围为. 故选：A. 5. 已知a，b为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于ABD，由不等式性质结合题意可判断选项正误； 对于C，由指数函数单调性可判断选项正误. 【详解】对于A，当，且时，，故A错误； 对于B，，因无法判断符号，故无法判断，B错误； 对于C，由指数函数单调性可知时，，故C正确； 对于D，当时，，故D错误. 故选：C 6. 已知，，， 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数函数单调性与值域可得，再由对数函数的单调性与值域可得，由此可得结果. 【详解】，；又；； ，，. 故选：C 7. 若函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】由幂函数定义及幂函数单调性可得m，即可得答案. 【详解】因是幂函数，且在上单调递减， 则，得，则. 故选：A 8. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，求出经过200天的“进步值”和“退步值”，再结合对数与指数运算求解作答 【详解】依题意，经过200天的“进步值”为，“退步值”为， 则“进步值”与“退步值”的比， 两边取对数得， 因此，所以“进步值”大约是“退步值”的55倍. 故选：B 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数是定义在R上的偶函数，将不等式化为，根据函数在区间上单调递增，可得，解此不等式可得结果. 【详解】函数是定义在上的偶函数，则有， 由，则等价于， 在区间上单调递增，所以有， 即或， 解得或， 所以不等式的解集为. 故选：D. 10. 已知在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，由题可得分别递增，且. 【详解】设， 因在R上是增函数，则分别递增，且. 即. 故选：D 二、多选题（共18分） 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】由作差法结合题意可判断各选项正误. 【详解】对于A，，因符号无法确定，故无法判断与大小，故A错误； 对于B，，显然，则，故B正确； 对于C，，因，则， 得，故C正确； 对于D，，因，，则 ，故D正确． 故选：BCD 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 方程有1个根 D. 不等式的解集是 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用奇函数性质计算判断AB；分析函数的性质求解判断CD. 【详解】函数是定义域为的奇函数，当时，， 对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 当时，，则函数在上单调递增，函数值集合为， 因此函数在上单调递增，函数值集合为，函数在上单调递增，值域为， 对于C，直线与函数的图象有一个公共点，即方程有1个根，C正确； 对于D，不等式，即，解得，D正确. 故选：ACD 13. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则的最大值为 【答案】AC 【解析】 【分析】利用基本不等式逐项分析各选项，注意取等条件以及最大最小值的判断. 【详解】对于A：因为，所以，所以， 当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为，故正确； 对于B：因为， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 对于C：因为，所以， 所以，所以，解得， 当且仅当时取等号，所以的最大值为，故正确； 对于D：因为，所以，且， 所以， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，故错误； 故选：AC. 三、填空题（共15分） 14. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先求出半径，再用扇形面积公式计算即可. 【详解】，根据弧长公式， 则，所以扇形的面积为. 故答案为： 15. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 【答案】 【解析】 【分析】由条件，结合对数函数性质列方程求，由此可得. 【详解】因为函数的图象恒过定点， 所以，， 所以，， 所以. 故答案为：. 16. 函数的值域为_____. 【答案】 【解析】 【分析】先求解出的值域，然后结合指数函数的单调性可求的值域. 【详解】令，则， 因为在上单调递减，所以，且当时，， 所以的值域为， 故答案为：. 四、解答题（共67分） 17. 求下列各式的值： （1） （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】由指数，对数运算律可得答案. 【小问1详解】 由题， 【小问2详解】 由题， 18. 已知，集合，函数的定义域为. （1）若，求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先求出集合，再根据补集和交集定义求解即可； （2）由题意易得，然后分和两种情况分别求解即可． 【小问1详解】 当时，，或， 由，得，则， 所以. 【小问2详解】 若“”是“”的充分不必要条件，即， 当时，时，即； 当时，则，解得，且和不能同时成立. 综上所述：实数的取值范围为. 19. 已知函数， （1）求函数的定义域； （2）求使得不等式成立x的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数的性质即可列不等式求解， （2）根据对数的运算性质以及对数函数的单调性即可求解. 【小问1详解】 的定义域满足，解得， 故定义域为 【小问2详解】 ， 要使，则， 因此，解得， 故的范围为 20. 已知函数，且 （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 【答案】（1） （2）在上单调递增，证明见解析 （3）最小值为，最大值为 【解析】 【分析】（1）由题意得方程，求解即可； （2）利用函数单调性的定义证明即可； （3）根据单调性可得最值. 【小问1详解】 因为，且，所以，所以. 【小问2详解】 函数在上单调递增.证明如下： 由（1）可得，， 任取，不妨设， 则 因为且， 所以， 所以，即， 所以在上单调递增. 【小问3详解】 由（2）知，函数在上单调递增， 则当时，有最小值； 当时，有最大值. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且． （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象并求出此时函数的值域； （3）若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2）图象见解析，的值域为 （3） 【解析】 【分析】（1）根据函数的奇偶性及函数值，可得函数解析式； （2）根据函数解析式作出函数图像，进而判断函数单调性与值域； （3）可转化为函数与函数的交点个数，根据函数图像可知的范围，解不等式即可. 【小问1详解】 由函数为奇函数，且， 则，即， 解得， 即当时，， 当时，，则， 则， 当时，， 综上所述； 【小问2详解】 根据函数解析式作出函数图象， 可知函数在当时，，； 当时，，； 当时，， 综上所述的值域为. 【小问3详解】 由方程有三个实数根， 即函数与有三个公共点， 根据函数图象可知， 当时，即，不等式无解； 当时，即，解得； 当时，或， 综上所述. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 乌鲁木齐市第61中学2024-2025学年第一学期12月月考试卷 高一数学 （满分150分）（时间100分钟） 一、单选题（共50分） 1. 已知集合，，若，则实数a的值为（ ） A 0 B. 1 C. 1或3 D. 3 2. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则值为（ ） A. 4 B. 5 C. 8 D. 0 4. 若命题“”是假命题，则的取值范围为（     ） A. B. C. D. 5. 已知a，b为非零实数，且，则下列命题成立的是（ ） A. B. C. D. 6. 已知，，， 则的大小关系为（ ） A. B. C. D. 7. 若函数是幂函数，且在上单调递减，则（ ） A. B. C. 2 D. 4 8. 《荀子·劝学》中：“不积跬步，无以至千里；不积小流，无以成江海”．在“进步率”和“退步率”都是的前提下，我们把看作是经过365天的“进步值”，把看作是经过365天的“退步值”.则经过200天时，“进步值”大约是“退步值”的（ ）（参考数据：，，） A. 22倍 B. 55倍 C. 217倍 D. 407倍 9. 已知函数是定义在R上的偶函数，在区间上单调递增，且.则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 10. 已知在R上是增函数，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题（共18分） 11. 下列说法中，正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，，则 12. 已知函数是定义域为的奇函数，当时，，则下列命题正确的是（ ） A. B. C. 方程有1个根 D. 不等式解集是 13. 下列说法中正确的是（ ） A. 若，则函数的最小值为3 B. 若，则的最小值为4 C. 若，，，则的最大值为1 D. 若，满足，则的最大值为 三、填空题（共15分） 14. 已知的圆心角所对的弧长为，则这个扇形的面积为__________. 15. 若函数 （，且）的图象恒过定点，则_____. 16. 函数的值域为_____. 四、解答题（共67分） 17. 求下列各式值： （1） （2）. 18. 已知，集合，函数的定义域为. （1）若，求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数的取值范围. 19. 已知函数， （1）求函数定义域； （2）求使得不等式成立的x的取值范围. 20. 已知函数，且 （1）求实数a的值； （2）判断函数在上的单调性，并证明； （3）求函数在上的最值. 21. 已知函数是定义在上的奇函数，当时，，且． （1）求函数的解析式； （2）画出函数的图象并求出此时函数的值域； （3）若关于的方程总有三个实数根，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$