2024-2025学年苏科版九年级数学上册期末模拟测试卷（C）

终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（C）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试范围：九上第一章~第四章、九下图形的相似+锐角三角函数 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（　　） A．30° B．60° C．45° D．37.5° 【分析】直接利用特殊角的三角函数值，进而得出答案． 【解答】解：∵∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0， ∴cosβ， ∴∠β＝60°． 故选：B． 【点评】此题主要考查了特殊角的三角函数值，正确记忆相关数据是解题关键． 2．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 【分析】方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数，据此可得m+1+2m﹣4＝0，求得m的值，继而可得答案． 【解答】解：由题意知，方程ax2＝1（a＞0）的两根互为相反数， ∴m+1+2m﹣4＝0， 解得m＝1， ∴m+1＝2，2m﹣4＝﹣2， 故选：C． 【点评】本题主要考查解一元二次方程的能力，熟练掌握解一元二次方程的几种常用方法：直接开平方法、因式分解法、公式法、配方法，结合方程的特点选择合适、简便的方法是解题的关键． 3．如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　） A．5πcm B． C． D． 【分析】根据定滑轮的性质得到重物上升的高度即为转过的弧长，利用弧长公式l计算即可． 【解答】解：根据题意得：l（cm）， 则重物上升了cm， 故选：C． 【点评】此题考查了弧长的计算，掌握弧长公式是解本题的关键． 4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 【分析】由道路的宽为x m，可得出种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形，根据草坪的面积为570m2，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：∵道路的宽为x m， ∴种植草坪的部分可合成长为（32﹣2x）m，宽为（20﹣x）m的矩形． 根据题意得：（32﹣2x）（20﹣x）＝570． 故选：C． 【点评】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 5．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 【分析】根据中位数的定义解答即可． 【解答】解：∵要推出由7个盲盒组成的套装产品， ∴中位数应该是质量由小到大排列的第4个盲盒， ∵序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100， ∴选定的6号盲盒和7号盲盒的质量应该一个超过100，另一个低于100， ∴选定的可以是：甲，戊；或乙，丁；或丙，丁， ∵选项中只有：丙，丁， 故选：C． 【点评】本题考查中位数，理解题意，掌握确定中位数的方法是解题的关键． 6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸E，视线AE与井口的直径BC交于点F，如果测得直径BC＝5尺，BF＝1尺，记木杆AB长度为x尺，井深CE为y尺，则井深y（尺）与木杆长度x（尺）之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据相似三角形的性质求得函数的解析式，即可得到结论． 【解答】解：∵AB∥CE， ∴△ABF∽△ECF， ∴， ∴， ∴y＝4x（x＞0）， 故选：A． 【点评】本题考查了相似三角形的应用，正比例函数的图象，正确地求得函数的解析式是解题的关键． 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 【分析】连接OA、OE，则∠AOE360°＝72°，由圆周角定理得∠APE∠AOE＝36°，于是得到问题的答案． 【解答】解：连接OA、OE， ∵正五边形ABCDE内接于⊙O， ∴∠AOE360°＝72°， ∵P为上一点， ∴∠APE∠AOE72°＝36°， 故选：B． 【点评】此题重点考查正多边形和圆、正多边形的中心角的定义、圆周角定理等知识，正确地作出所需要的辅助线并且求得∠AOE＝72°是解题的关键． 8．如图，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，且AE＝BF＝CG，连接BD分别交EG，EF于点M，N，连接FG．下列结论：①△EBF≌△FCG；②EF⊥FG；③M是BD的中点；④若sin∠BEF，则MN＝3FN．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】根据四边形ABCD是正方形，得AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°，由AE＝BF＝CG，得BE＝CF＝DG，再根据全等三角形的判定得△EBF≌△FCG，便可判定①的正误；由三角形全等得∠EFB＝∠FGC，再由∠GFC+∠FGC＝90°，得∠EFB+∠GFC＝90°，便可判断②的正误；证明△BEM≌△DGM，得BM＝DM，便可判断③的正误；设BF＝x，则EF＝3x，由等腰直角三角形的性质用x表示EG，再证明△EMN∽△BFN，由相似比得MNFN，便可判断④的正误． 【解答】解：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝BC＝CD，∠ABC＝∠BCD＝90°， ∵AE＝BF＝CG， ∴BE＝CF＝DG， ∴△EBF≌△FCG（SAS）， 故①正确； ∴EF＝FG，∠EFB＝∠FGC， ∵∠GFC+∠FGC＝90°， ∴∠EFB+∠GFC＝90°， ∴∠EFG＝90°， 即EF⊥FG， 故②正确； ∵AB∥CD， ∴∠ABD＝∠BDC， 又∵∠BME＝∠DMG，BE＝DG， ∴△BEM≌△DGM（AAS）， ∴BM＝DM， ∴点M是对角线BD的中点， 故③正确； ∵sin∠BEF， ∴， 设BF＝x，则EF＝3x， ∵△EBF≌△FCG， ∴EF＝FG， ∵EF⊥FG， ∴EG3x，∠FEG＝45°， ∵△BEM≌△DGM， ∴EM＝GMx， ∵∠FEG＝∠NBF＝45°，∠ENM＝∠BNF， ∴△EMN∽△BFN， ∴， ∴MNFN， 故④不正确； 故选：C． 【点评】本题是四边形综合题，考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，相似三角形的性质与判定等知识，利用相似三角形的性质是解答第④题的关键． 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．已知，则　　． 【分析】设k，根据比例的性质得出x，y，z，再代入，最后求出答案即可． 【解答】解：设k， 则x，y，z， 所以， 故答案为：． 【点评】本题考查了比例的性质，能熟记比例的性质是解此题的关键，注意：如果，那么ad＝bc． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 　k＜1且k≠0　． 【分析】当Δ＞0，方程有两个不相等的实数根；当Δ＝0，方程有两个相等的实数根；当Δ＜0，方程没有实数根．也考查了一元二次方程的定义和解法． 根据一元二次方程的定义和根的判别式得到k≠0且，然后解两个不等式即可求解． 【解答】解：根据题意得k≠0且， 解得k＜1且k≠0； 故答案为：k＜1且k≠0． 【点评】本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式Δ＝b2﹣4ac，熟练掌握判别式的应用是关键． 11．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 　29　L． 【分析】根据一组数据中出现次数最多的数叫众数，直接求解即可得到答案． 【解答】解：∵29 出现23次，出现次数最多， ∴众数是29， 故答案为：29． 【点评】本题考查众数的定义：一组数据中出现次数最多的数叫众数． 12．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 　3　米． 【分析】先根据坡度的概念求出AC，再根据勾股定理求出AB． 【解答】解：∵BC＝3米，斜坡AB的坡度是1：， ∴AC＝3米， ∴AB3（米）， 则物体所经过的路程为3米， 故答案为：3． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用﹣坡度坡角问题，熟记坡度是坡面的铅直高度h和水平宽度l的比是解题的关键． 13．若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 　3　． 【分析】把方程（x﹣2）2＝k化为一般式得到x2﹣4x+4﹣k＝0，然后对比原方程得到b＝﹣4，4﹣k＝1，从而可求出k的值． 【解答】解：∵（x﹣2）2＝k， ∴x2﹣4x+4﹣k＝0， ∴b＝﹣4，4﹣k＝1， 解得k＝3． 故答案为：3． 【点评】本题考查了解一元二次方程﹣配方法：熟练掌握用配方法解一元二次方程的步骤是解决问题的关键． 14．如图，DE是△ABC的中位线，FG是△BDE的中位线．设△DFG的面积是S1，△ABC的面积是S2，则　　． 【分析】根据三角形中位线定理得到FG∥BE，FGBE，得到△DGF∽△DBE，根据相似三角形的性质得到，同理得到，计算即可． 【解答】解：∵FG是△BDE的中位线， ∴FG∥BE，FGBE， ∴△DGF∽△DBE， ∴（）2， 同理可得：， ∴， 故答案为：． 【点评】本题考查的是相似三角形的判定和性质、三角形中位线定理，熟记相似三角形的面积比等于相似比的平方是解题的关键． 15．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　　． 【分析】根据几何概率的求解公式即可求解． 【解答】解：∵总面积为9个小正方形的面积，其中阴影部分面积为3个小正方形的面积， ∴击中阴影部分的概率是． 故答案为：． 【点评】此题主要考查概率公式，解题的关键是熟知几何概率的公式． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF．已知，CE＝4，则AC＝　　． 【分析】连接DE，可得∠DAC＝∠DCE，由tan∠DCE＝tan∠DAC，CE＝4，可求DE，进而可求AD，在Rt△DCA中求AC即可． 【解答】解：连接DE， ∵CD为直径， ∴∠DEC＝90°， ∵CD⊥AB， ∴∠DAC+∠ACD＝∠DCE+∠ACD， ∴∠DAC＝∠DCE， ∴tan∠DCE＝tan∠DAC，CE＝4， ∴DE＝3， ∴在Rt△DCE中，CD5， ∴， ∴AD， ∴在Rt△DCA中，AC． 故答案为：． 【点评】本题考同弧所对的圆周角相等、等角的余角相等、解直角三角形等知识，解题的关键是添加辅助线，记住直径所对的圆周角是直角是解题的关键，属于中考常考题型． 三．解答题（共9小题，共68分。17~19每题6分、20`24每题8分、25题10分） 17．（1）解方程x2﹣4x＝32； （2）计算． 【分析】（1）利用因式分解法解一元二次方程即可； （2）利用特殊角的三角函数值计算即可． 【解答】解：（1）原方程可变形为x2﹣4x﹣32＝0， （x+4）（x﹣8）＝0， x+4＝0或x﹣8＝0， ∴x1＝﹣4，x2＝8； （2）原式＝2（）2 ＝11 ． 【点评】本题主要考查特殊角的三角函数值及解一元二次方程，掌握特殊角的三角函数值及因式分解法是解题的关键． 18．元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 【分析】（1）列表得出所有等可能的情况数即可； （2）根据表格列出恰好选择观看同一部电影的情况数，然后根据概率公式即可得出答案． 【解答】解：（1）列表如下， xy A B C A （A，A） （B，A） （C，A） B （A，B） （B．B） （C，B） C （A，C） （B，C） （C，C） ∴由表可知，（x，y）可能出现的结果为：（A，A）、（B，A）、（C，A）、（A，B）、（B，B）、（C，B）、（A，C）、（B，C）、（C，C），它们出现的可能性相等，一共有9种． 答：所有可能出现的结果共有9种； （2）由表（或图）可以看出，小亮、小丽两名同学选择观看同一电影的情况有3种， 即（A，A）、（B，B）、（C．C）． ∴P（小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影）． 答：小亮、小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率为． 【点评】此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比． 19．如图，在平面坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画△A2B2C2； （3）tan∠BAC＝　　． 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画出A、B、C的对应点A1、B1、C1即可； （2）取OA、OB、OC的中点即可； （3）利用网格特点作格点△ABH，∠ABH＝90°，然后根据正切的对应求解． 【解答】解：（1）如图，△A1B1C1为所作； （2）如图，△A2B2C2为所作； （3）作BH⊥AB于H，如图， ∵BH，AB＝2， ∴tan∠BAH， 即tan∠BAC． 故答案为． 【点评】本题考查了作图﹣位似变换：画位似图形的一般步骤为：先确定位似中心；再分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；然后根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；最后顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．位似图形与坐标．也考查了旋转变换． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 【分析】（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据该品牌头盔4月份及6月份的月销售量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据月销售利润＝每个头盔的利润×月销售量，即可得出关于y的一元二次方程，解之取其正值即可求出结论． 【解答】解：（1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意，得：150（1+x）2＝216， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为20%． （2）设该品牌头盔的实际售价为y元， 依题意，得：（y﹣30）[600﹣10（y﹣40）]＝10000， 整理，得：y2﹣130y+4000＝0， 解得：y1＝80（不合题意，舍去），y2＝50， 答：该品牌头盔的实际售价应定为50元． 【点评】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 21．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米． （1）真空管上端B到水平线AD的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin22°，cos22°，tan22°≈0.4） 【分析】（1）过B作BF⊥AD于F，根据正弦的定义计算，得到答案； （2）根据余弦的定义求出AF，再根据正切的定义求出AD，计算即可． 【解答】解：（1）过B作BF⊥AD于F． 在Rt△ABF中，sin∠BAF， 则BF＝ABsin∠BAF＝3sin37°≈31.8（米）． 答：真空管上端B到AD的距离约为1.8米； （2）在Rt△ABF中，cos∠BAF， 则AF＝ABcos∠BAF＝3×cos37°≈2.4（米）， ∵BF⊥AD，CD⊥AD，BC∥FD， ∴四边形BFDC是矩形． ∴BF＝CD，BC＝FD， ∵EC＝0.5米， ∴DE＝CD﹣CE＝1.3米， 在Rt△EAD中，tan∠EAD， 则AD3.25（米）， ∴BC＝DF＝AD﹣AF＝3.25﹣2.4≈0.9（米）， 答：安装热水器的铁架水平横管BC的长度约为0.9米． 【点评】本题考查的是解直角三角形的应用—坡度坡角问题，掌握坡角的概念、熟记锐角三角函数的定义是解题的关键． 22．目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．如图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断：　甲　的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 ▲ （2）在一组数据x1，x2…xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数y＝2x+1中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本A：x1、x2、…、xn；样本B：y、y2…、yn．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 【分析】（1）通过方差的计算公式求出乙的方差与甲方差比较即可； （2）根据平均差”的定义求出甲、乙的“平均差”，然后根据（1）得出结论； （3）分别方差与之值，然后得出结论． 【解答】解：（1）乙射击环数的方差s乙2[（3﹣7）2+（6﹣7）2+3（8﹣7）2+（9﹣7）2]＝4， ∵1＜4， ∴甲的成绩更稳定， 故答案为：甲； （2）T甲（|9﹣7|+|6﹣7|+|7﹣7|+|7﹣7|+|7﹣7|6﹣7|）； T乙（|3﹣7|+|6﹣7|+3|8﹣7|+|9﹣7|）， “T甲＜T乙， 由（1）可得甲的成绩更稳定， ∴一组数据的“平均差”越小（大），该组数据的离散程度越小（大）； （3）∵（x1+x2+x3+...+xn），[2（x1+x2+x3+...+xn）+n]＝21， ∴[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]； [（2x1+1﹣21）2+（2x2+1﹣21）2+（2x3+1﹣21）2+...+（2xn+1﹣21）2]＝4[（x1）2+（x2）2+（x3）2+...+（xn）2]． ∴． 【点评】本题考查调查收集数据的过程和方法以及一次函数的应用，关键是掌握统计的有关概念． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长． 【分析】（1）连接OE，根据角平分线的定义和同圆的半径相等，平行线的性质可得OE⊥EF，根据切线的判定定理可得结论； （2）如图，设⊙O的半径为x，则OE＝OB＝x，根据勾股定理列方程可得x的值，证明△EBF∽△AEF，列比例式，根据勾股定理列方程，依据BC∥EF，列比例式可得结论． 【解答】解：（1）直线EF是⊙O的切线．理由如下： 连接OE，OC， ∵AE平分∠CAB， ∴∠CAE＝∠BAE， ∴， ∴∠COE＝∠BOE， ∵OC＝OB， ∴OE⊥BC， ∵BC∥EF， ∴OE⊥EF， ∵OE是⊙O的半径， ∴EF是⊙O的切线； （2）在Rt△OEF中，由勾股定理得： OE2+EF2＝OF2， ∵OE＝OB， ∴OE2+EF2＝（OE+BF）2， 即：OE2+152＝（OE+9）2， 解得：OE＝8， ∴⊙O的半径为8； ∵AB是⊙O的直径， ∴∠AEB＝90°， ∵∠OEF＝90°， ∴∠BEF＝∠AEO， ∵OA＝OE， ∴∠BAE＝∠AEO， ∴∠BEF＝∠BAE， ∵∠F＝∠F， ∴△EBF∽△AEF， ∴， ∴AEBE， 在Rt△ABE中， 由勾股定理得：AE2+BE2＝AB2，即BE2+（BE）2＝162， 解得：BE， ∴AE， ∵BC∥EF， ∴，即， ∴AD． 【点评】本题考查的是直线与圆的位置关系，圆周角定理以及三角形的外接圆与外心，掌握切线的判定定理是解（1）题的关键，证明△EBF∽△AEF，确定AE和BE的关系是解（2）题的关键． 24．如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）． （1）求sin∠AOB的值； （2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标． 【分析】（1）证明∠AOB＝45°，可得结论． （2）分两种情形，利用相似三角形的性质分别求解即可． 【解答】解：（1）如图，过点A作AH⊥OB于H． ∵A（2，2）， ∴AH＝OH＝2， ∴∠AOB＝45°， ∴sin∠AOB． （2）由（1）可知，∠AOP＝∠AOB＝45°，OA＝2， 当△AOP∽△AOB时，， 可得OP′＝OB＝3， ∴P′（0，3）， 当△AOP∽△BOA时，， ∴， ∴OP， ∴P（0，）， 综上所述，满足条件的点P的坐标为（0，3）或（0，）． 【点评】本题考查相似三角形的性质，解直角三角形等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型． 25.已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线MN． （1）如图1，求证：∠ABC＝∠MAC； （2）如图2，当D是弧AC的中点时，过点D作DE⊥AB于E．求证：AC＝2DE； （3）如图3，在（2）的条件下，DE与AC相交于点F，连接CD、BD与AC相交于点G，若△CDG的面积为12，EF＝3，求点C到MN的距离． 【分析】（1）利用圆周角定理，圆的切线的性质定理和同角的余角相等解答即可； （2）连接CD，AD，OD，OD与AC交于点F，延长DE交⊙O于点G，利用圆心角，弧，弦的关系定理，圆周角定理，垂径定理和全等三角形的判定与性质解答即可； （3）过点C作CH⊥AB于点H，连接OD，DA，OD与AC交于点K，延长DE交⊙O于点J，利用圆周角定理，垂径定理和等腰三角形的判定与性质得到FG＝FD＝FA，利用全等三角形的判定与性质得到KF＝EF＝3，DK＝AE；设FG＝FD＝FA＝x，则DE＝x+3，利用（2）的结论和三角形的面积公式求得线段CG，DK的长度，利用勾股定理和相似三角形的判定与性质求得AH的长，最后利用平行线之间的距离相等得出结论即可． 【解答】（1）证明：∵AB是直径， ∴∠ACB＝90°， ∴∠ABC+∠CAB＝90°． ∵MN为⊙O的切线， ∴OA⊥MN， ∴∠MAC+∠CAB＝90°， ∴∠ABC＝∠MAC； （2）证明：连接CD，AD，OD，OD与AC交于点F，延长DE交⊙O于点G，如图， ∵D是弧AC的中点， ∴OF⊥AC，AF＝CFAC． ∵D是弧AC的中点， ∴， ∴AD＝CD． ∵AB是直径，DE⊥AB， ∴， ∴∠DCA＝∠GDA． 在△CDF和△DAE中， ， ∴△CDF≌△DAE（AAS）， ∴CF＝DE， ∴DEAC， ∴AC＝2DE； （3）解：过点C作CH⊥AB于点H，连接OD，DA，OD与AC交于点K，延长DE交⊙O于点J，如图， ∵AB是直径，DE⊥AB， ∴， ∵D是弧AC的中点， ∴， ∴， ∴∠EDA＝∠CAD，CD＝AD． ∴FD＝FA， ∵AB是直径， ∴∠ADG＝90°， ∴∠DGF+∠DAG＝90°，∠GDF+∠FDA＝90°， ∴∠FDG＝∠FGD， ∴FG＝FD， ∴FG＝FD＝FA． ∵D是弧AC的中点， ∴OK⊥AC，CK＝KA． ∴∠DKF＝∠FEA＝90°． 在△DKF和△AEF中， ， ∴△DKF≌△AEF（AAS）， ∴KF＝EF＝3，DK＝AE． 设FG＝FD＝FA＝x，则DE＝x+3， ∵AC＝2DE， ∴AC＝2（x+3）＝2x+6， ∴CG+FG+FA＝x+6， ∴CG＝6． ∵△CDG的面积为12， ∴GC•DK＝12， ∴DK＝4， ∴AE＝4． ∴FD5， ∴FG＝FD＝FA＝5 ∴AG＝2FA＝10， ∴AC＝AG+GC＝16． ∵CH⊥AB，DE⊥AB， ∴DE∥CH． ∴△AEF∽△ACH， ∴， ∴， ∴AH． ∵MN⊥AB，CH⊥AB， ∴CH∥MN， ∴点C到MN的距离为AH． 【点评】本题主要考查了圆的有关概念和性质，圆周角定理，圆的切线的性质定理，垂径定理，直角三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，平行线的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，本题综合性较强，熟练掌握圆的有关性质，恰当的添加辅助线是解题的关键。 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$终日不倦者，其唯学焉！ 期末模拟卷（C）2024-2025学年九年级数学上册模拟测试 考试范围：九上第一章~第四章、九下图形的相似+锐角三角函数 考试时间：90分钟 注意事项： 1、 答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2、 请将答案正确填写在答题卡上 第一卷（选择题） 一．选择题（共8小题，每小题2分，共16分。每小题所给四个选项中，恰有一项符合题目要求） 1．∠β为锐角，且2cosβ﹣1＝0，则∠β＝（　　） A．30° B．60° C．45° D．37.5° 2．若一元二次方程ax2＝1（a＞0）的两根分别是m+1与2m﹣4，则这两根分别是（　　） A．1，4 B．1，﹣1 C．2，﹣2 D．3，0 3．如图，若半径为2cm的定滑轮边缘上一点A绕中心O逆时针转动150°（绳索与滑轮之间没有滑动），则重物上升的高度为（　　） A．5πcm B． C． D． 4．如图，某小区计划在一块长为32m，宽为20m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570m2．设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是（　　） A．（32﹣x）（20﹣x）＝32×20﹣570 B．32x+2×20x＝32×20﹣570 C．（32﹣2x）（20﹣x）＝570 D．32x+2×20x﹣2x2＝570 5．某公司拟推出由7个盲盒组成的套装产品，现有10个盲盒可供选择，统计这10个盲盒的质量如图所示．序号为1到5号的盲盒已选定，这5个盲盒质量的中位数恰好为100，6号盲盒从甲、乙、丙中选择1个，7号盲盒从丁、戊中选择1个，使选定7个盲盒质量的中位数仍为100，可以选择（　　） A．甲、丁 B．乙、戊 C．丙、丁 D．丙、戊 6．“今有井径五尺，不知其深，立五尺木于井上，从木末望水岸，入径四寸，问井深几何？”这是我国古代数学《九章算术》中记载的一种测量古井水面以上部分深度的方法．若有一口井截面如图所示，在井口B处立一根垂直于井口的木杆AB，从木杆的顶端A观察井水水岸E，视线AE与井口的直径BC交于点F，如果测得直径BC＝5尺，BF＝1尺，记木杆AB长度为x尺，井深CE为y尺，则井深y（尺）与木杆长度x（尺）之间函数关系的大致图象是（　　） A． B． C． D． 7．如图，正五边形ABCDE内接于⊙O，P为上一点，连接PA，PE，则∠APE的度数为（　　） A．18° B．36° C．54° D．72° 8．如图，在正方形ABCD中，E，F，G分别是AB，BC，CD上的点，且AE＝BF＝CG，连接BD分别交EG，EF于点M，N，连接FG．下列结论：①△EBF≌△FCG；②EF⊥FG；③M是BD的中点；④若sin∠BEF，则MN＝3FN．其中正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 第二卷（非选择题） 二．填空题（共8小题，每小题2分，共16分，不需写出解答过程，请直接将答案填写在答题卡相应位置） 9．已知，则　 　． 10．若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围 　 　． 11．某班级计划利用暑假去研学旅行，他们准备订做一批容量相同的双肩包．活动负责人征求了全班40名同学的意向，得到如下数据： 容量/L 23 25 27 29 31 33 人数/人 4 3 5 23 3 2 为了满足大多数人的需求，此次订做的双肩包容量为 　 　L． 12．如图，已知传送带AB与地面AC所成斜面坡度为，如果它把物体送到离地面3米高的地方，那么物体所经过的路程为 　 　米． 13．若一元二次方程x2+bx+1＝0可化为（x﹣2）2＝k，则k的值为 　 　． 14．如图，DE是△ABC的中位线，FG是△BDE的中位线．设△DFG的面积是S1，△ABC的面积是S2，则　 　． 15．如图，一块飞镖游戏板由大小相等的小正方形构成，向游戏板随机投掷一枚飞镖（飞镖每次都落在游戏板上），击中阴影部分的概率为 　 　． 16．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为D，以CD为直径的⊙O交BC于点E，连接AE，交⊙O于点F，连接DF．已知，CE＝4，则AC＝　 　． 三．解答题（共9小题，共68分。17~19每题6分、20`24每题8分、25题10分） 17．（1）解方程x2﹣4x＝32； （2）计算． 18．元旦档刷新历史票房纪录，春节档有望继续表现优秀．春节有4部影片在春节档上映，分别是《热辣滚烫》《飞驰人生2》《熊出没•逆转时空》《第二十条》．小亮和小丽两名同学分别从《热辣滚烫》《飞驰人生2》《第二十条》三部电影中随机选择一部观看，将《热辣滚烫》表示为A，《飞驰人生2》表示为B．《第二十条》表示为C．假设这两名同学选择观看哪部电影不受任何因素影响，且每一部电影被选到的可能性相等．记小亮同学的选择为x，小丽同学的选择为y． （1）请用列表法或画树状图法中的一种方法，求（x，y）所有可能出现的结果总数； （2）求小亮和小丽两名同学恰好选择观看同一部电影的概率． 19．如图，在平面坐标系中，已知△ABC三个顶点的坐标分别是A（2，2），B（4，0），C（4，﹣4）． （1）请在图中，画出将△ABC绕点O逆时针旋转90°得到的△A1B1C1； （2）以点O为位似中心，将△ABC缩小为原来的，得到△A2B2C2，请在图中y轴右侧，画△A2B2C2； （3）tan∠BAC＝　 　． 20．公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定．某头盔经销商统计了某品牌头盔4月份到6月份的销量，该品牌头盔4月份销售150个，6月份销售216个，且从4月份到6月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）若此种头盔的进价为30元/个，测算在市场中，当售价为40元/个时，月销售量为600个，若在此基础上售价每上涨1元/个，则月销售量将减少10个，为使月销售利润达到10000元，而且尽可能让顾客得到实惠，则该品牌头盔的实际售价应定为多少元/个？ 21．图1是安装在倾斜屋顶上的热水器，图2是安装热水器的侧面示意图．已知屋面AE的倾斜角∠EAD为22°，长为3米的真空管AB与水平线AD的夹角为37°，安装热水器的铁架竖直管CE的长度为0.5米． （1）真空管上端B到水平线AD的距离． （2）求安装热水器的铁架水平横管BC的长度（结果精确到0.1米）． （参考数据：sin37°，cos37°，tan37°，sin22°，cos22°，tan22°≈0.4） 22．目前我国射击运动发展较快，许多中小学开始推广普及射击运动．如图为甲、乙两名射击爱好者在相同条件下6次射击成绩． （1）填表并判断：　 　的成绩更稳定（填“甲”或“乙”）； 人员 平均数 方差 甲 7 1 乙 7 ▲ （2）在一组数据x1，x2…xn中，各数据与它们的平均数的差的绝对值的平均数，叫做这组数据的“平均差”，即，“平均差”也能描述一组数据的离散程度．请分别计算甲、乙成绩的“平均差”，并根据结果，简要概括“平均差”如何描述一组数据的离散程度． （3）把函数y＝2x+1中自变量的一组值和对应的函数值分别看成样本A：x1、x2、…、xn；样本B：y、y2…、yn．这两个样本的方差与之间有怎样的函数关系？请直接写出结果． 23．如图，△ABC内接于⊙O，AB是直径，∠CAB的平分线交BC于点D，交⊙O于点E，连接EB，作EF∥BC，交AB的延长线于点F． （1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由； （2）若BF＝9，EF＝15，求AD的长． 24．如图，已知△OAB，点A的坐标为（2，2），点B的坐标为（3，0）． （1）求sin∠AOB的值； （2）若点P在y轴上，且△POA与△AOB相似，求点P的坐标． 25.已知△ABC内接于⊙O，AB是直径，过点A作⊙O的切线MN． （1）如图1，求证：∠ABC＝∠MAC； （2）如图2，当D是弧AC的中点时，过点D作DE⊥AB于E．求证：AC＝2DE； （3）如图3，在（2）的条件下，DE与AC相交于点F，连接CD、BD与AC相交于点G，若△CDG的面积为12，EF＝3，求点C到MN的距离． 第1页 学科网（北京）股份有限公司 $$