9.4 向量应用（2个知识点+4类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．4 向量应用 课程标准 学习目标 体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． （1）能用向量方法解决简单的几何问题. （2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 知识点02 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． （3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．    题型一：利用向量证明平面几何问题 【典例1-1】如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【典例1-2】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【方法技巧与总结】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 【变式1-1】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【典例2-1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【典例2-2】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【方法技巧与总结】 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式2-1】如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【变式2-2】已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 【变式2-3】在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【变式2-4】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 题型三：向量在物理中的应用 【典例3-1】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【典例3-2】（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【方法技巧与总结】 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． （3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． （4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【变式3-1】一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【变式3-2】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【变式3-3】一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 题型四：平面几何中的平行（共线）问题 【典例4-1】如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 【典例4-2】如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上. 【方法技巧与总结】 利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标． 【变式4-1】如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点． (1)求的值； (2)求的值； (3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值． 1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 2．（多选题）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 3．（多选题）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 4．（多选题）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 5．（多选题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 6．（多选题）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 7．在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为 ；若，则 ． 8．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是 ． 9．若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 10．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 12．边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 13．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 14．一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 15．在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 16．在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． (1)若B是AD的中点，求的坐标； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 17．在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 3 / 14 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9．4 向量应用 课程标准 学习目标 体会向量在解决数学和实际问题中的作用，培养学生的运算、分析和解决实际问题的能力． （1）能用向量方法解决简单的几何问题. （2）能用向量方法解决简单的力学问题和其他实际问题. 知识点01 向量方法解决平面几何问题的步骤 用向量方法解决平面几何问题的“三步曲”： （1）建立平面几何与向量的联系，用向量表示问题中涉及的几何元素，将平面几何问题转化为向量问题． （2）通过向量运算，研究几何元素之间的关系，如距离、夹角等问题． （3）把运算结果“翻译”成几何关系． 【即学即练1】（2024·高一课时练习）如图，在平行四边形ABCD中，点E是AB的中点，点F，G分别是AD，BC的三等分点.设，. (1)用，表示，. (2)如果，EF，EG有什么位置关系?用向量方法证明你的结论. 【解析】（1）； . （2）. 证明如下： 由（1）知，，， . ，. 知识点02 向量方法解决物理问题的步骤 用向量方法讨论物理学中的相关问题，一般来说分为四个步骤： （1）问题转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）建立模型，即建立以向量为载体的数学模型． （3）求解参数，即求向量的模、夹角、数量积等． （4）回答问题，即把所得的数学结论回归到物理问题． 【即学即练2】（2024·全国·高一随堂练习）如图，两个力和同时作用在一个物体上，其中的大小为，方向向东，的大小为，方向向北，求它们的合力．    【解析】如下图，，，以、为邻边作平行四边形， 由题意可知，，则四边形为矩形， ， 设两个力和的合力为，则， 由勾股定理可得， 在中，，所以，， 所以，它们的合力大小为，方向约为北偏东. 题型一：利用向量证明平面几何问题 【典例1-1】如图，在中，已知分别为上的点，且.    (1)求； (2)求证：； (3)若线段上一动点满足，试确定点的位置. 【解析】（1）依题意，记， 因为，所以，， 因为， 所以， 则， 故. （2）因为，所以， 所以， 则，即. （3）因为，所以是的中点，故， 因为，所以，即， 所以是线段的中点. 【典例1-2】如图所示，已知在正方形中，E，F分别是边，的中点，与交于点M.    (1)设，，用，表示，； (2)猜想与的位置关系，写出你的猜想并用向量法证明你的猜想. 【解析】（1）， ； （2），证明如下： 由（1）知，， 所以， 设，则， 所以，所以，得证. 【方法技巧与总结】 用向量证明平面几何问题的两种基本思路 （1）向量的线性运算法的四个步骤： ①选取基底； ②用基底表示相关向量； ③利用向量的线性运算或数量积找到相应关系； ④把计算所得结果转化为几何问题． （2）向量的坐标运算法的四个步骤： ①建立适当的平面直角坐标系； ②把相关向量坐标化； ③利用向量的坐标运算找到相应关系； ④利用向量关系回答几何问题． 【变式1-1】已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点为中点，设与相交于点.    (1)请用、表示向量； (2)设和的夹角为，若，且，求证：. 【解析】（1）. （2）， ，. 题型二：利用向量解决平面几何求值问题 【典例2-1】如图，正方形的边长为是的中点，是边上靠近点的三等分点，与交于点．    (1)求的余弦值． (2)若点自点逆时针沿正方形的边运动到点，在这个过程中，是否存在这样的点，使得？若存在，求出的长度，若不存在，请说明理由． 【解析】（1）如图所示，建立以点为原点的平面直角坐标系． 则． 由于就是的夹角．   的余弦值为． （2）设 ． ． 由题得． ①当点在上时，设， ； ②当点在上时，设， ，舍去． 综上，存在． 【典例2-2】如图，在中，已知边上的两条中线AM，BN相交于点.    (1)求AM的长度； (2)求∠MPB的正弦值. 【解析】（1）因为AM是中线， 所以， 所以， 则； （2）由图象知：为向量的夹角， 因为， 所以， ，则， 又， ， 所以， 因为， 所以. 【方法技巧与总结】 （1）用向量法求长度的策略 ①根据图形特点选择基底，利用向量的数量积转化，用公式求解． ②建立坐标系，确定相应向量的坐标，代入公式：若，则． （2）用向量法解决平面几何问题的两种思想 ①几何法：选取适当的基底（基底中的向量尽量已知模或夹角），将题中涉及的向量用基底表示，利用向量的运算法则、运算律或性质求解． ②坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐标化，将几何问题中的长度、垂直、平行等问题转化为代数运算． 【变式2-1】如图，正方形ABCD中，是AB的中点，是BC边上靠近点的三等分点，AF与DE交于点. (1)设，求的值； (2)求的余弦值； (3)求和. 【解析】（1）由题意知，， 又，所以，故； （2）如图，过点E作交于AF于点N，过A作于点H， 设正方形的边长为，则， 由，得，， 所以， 由，得， 所以， 因为，所以， 所以，即， 解得， 所以. （3）由（2）知，，得， 故. 【变式2-2】已知平面四边形中，，向量的夹角为. (1)求证：； (2)点是线段中点，求的值. 【解析】（1）根据题意，画出示意图如下图所示 由题意可知， ， 所以三角形ABD为等边三角形， 则，又 ， 所以， 即为直角三角形，且 ， 所以， 所以 ； （2）根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系， 则，因为点是线段中点，所以， 则 ， 所以， 【变式2-3】在四边形中，，，，其中，为不共线的向量． (1)判断四边形的形状，并给出证明； (2)若，，与的夹角为，为中点，求． 【解析】（1）因为，， 所以， 又因为，所以， 又因为四点不共线，所以且，所以四边形为梯形． （2）因为， 所以， 因为为中点，所以， 所以，所以， 所以， 因为，所以． 【变式2-4】如图，在中，是边的中点，与交于点. (1)求和的长度； (2)求. 【解析】（1）是高，，在Rt中，， 所以. 是中线，， ， （2）， . 另过D作交于， 是的中点，是的中点， 是的中位线，是的中位线， ， . 题型三：向量在物理中的应用 【典例3-1】如图，甲、乙分处河的两岸，欲拉船M逆流而上，需在正前方有的力．已知甲所用的力的大小为，且与M的前进方向的夹角为，求乙所用的力．    【解析】根据题意，设合力，则，且， 则， 所以 ， 所以， 设， 由，得 所以， 故乙所用的力，与M的前进方向夹角的余弦值为． 【典例3-2】（1）如图，用两根绳子把重10N 的物体W吊在水平杆子上，，，求和处所受力的大小.（忽略绳子重量） （2）一个物体在一个平面内受到、、三个力的作用，沿合力方向移动了10米，求合力做的位移和功.其中，方向为北偏东；，方向为北偏东；，方向为北偏西. 【解析】（1）设、处所受力分别为、，的重力用表示，则. 以重力作用点为、的始点，作平行四边形，使为对角线， 则，，，则，， ∴，∴四边形为矩形. ∴，. ∴处受力的大小为，处受力的大小为. （2）如图，以物体初始位置为原点，以正东方向为轴正方向，建立平面直角坐标系， 依题意可得，，， 设合力为，所以， 则， 则， 所以位移， 所做的功为. 【方法技巧与总结】 用向量解决物理问题的一般步骤 （1）问题的转化，即把物理问题转化为数学问题． （2）模型的建立，即建立以向量为主体的数学模型． （3）参数的获得，即求出数学模型的有关解——理论参数值． （4）问题的答案，即回到问题的初始状态，解释相关的物理现象． 【变式3-1】一条河的两岸平行，河宽.一艘船从A处出发航行到河的正对岸B处.航行的速度，水流的速度，水流方向向正东方向，求行驶航程最短时，所用的时间是多少.（结果精确到0.1min） 【解析】若行驶航程最短，则航行方向与河岸垂直，如图所示， 设该船航行时的速度为，水流的速度为，合速度为， 已知，， 则， 所以. 所以行驶航程最短时，所用的时间是3.1min. 【变式3-2】一条河南北两岸平行.如图所示，河面宽度，一艘游船从南岸码头点出发航行到北岸.游船在静水中的航行速度是，水流速度的大小为.设和的夹角为，北岸上的点在点的正北方向. (1)若游船沿到达北岸点所需时间为，求的大小和的值； (2)当时，游船航行到北岸的实际航程是多少？ 【解析】（1）设游船的实际速度大小为， 由，得，. 如图所示速度合成示意图，由，得， . 所以的大小为的值为. （2）当时，设到达北岸点所用时间为，作出向量加法示意图如图所示，   ，则， 在Rt中，，从而，因此， 故游船的实际航程为. 【变式3-3】一个物体受到同一平面内三个力，，的作用，沿北偏东45°的方向移动了8 m，其中，方向为北偏东30°；，方向为北偏东60°；|，方向为北偏西30°．求这三个力的合力所做的功． 【解析】如图所示，以物体的重心为原点，正东方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则，，, , 又因为位移， ∴合力所做的功(J). ∴合力所做的功为 J． 题型四：平面几何中的平行（共线）问题 【典例4-1】如图，已知分别是的三条高，试用向量的方法求证：相交于同一点． 【解析】设交于点，以下只需证明点在上， 因为，， 所以，. 即，， 两式相减，得：即， 所以，，又， 所以，三点共线，在上． 【典例4-2】如图，点O是平行四边形的中心，分别在边上，且，求证点在同一直线上. 【解析】证明：设，， 由，知分别是的三等分点， 所以， . 所以.又为和的公共点，所以点在同一直线上. 【方法技巧与总结】 利用向量方法可以解决平面几何中的平行（共线）等问题，有两种思路：一种思路是选择一组基底，利用基向量表示涉及的向量，另一种思路是建立坐标系，求出题目中涉及的向量的坐标． 【变式4-1】如图，在梯形中，，，，点、是线段上的两个三等分点，点，点是线段上的两个三等分点，点是直线上的一点． (1)求的值； (2)求的值； (3)直线分别交线段、于，两点，若、、三点在同一直线上，求的值． 【解析】（1）设， ， ，即； （2）， ， ； （3）设，即，， 因为在上，所以，即， ， 即，即， 即， 由于，，三点共线，所以， ，， 设，则， 即， 又在上，则，即， ， 由于，，三点共线，所以，即， 所以，. 1．在日常生活中，我们会看到两个人共提一桶水或者共提一个行李包这样的情景．假设行李包或者水桶所受重力为G，作用在行李包或者水桶上的两个拉力分别为，，且，与的夹角为，下列结论中正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．当时，有最小值 D．越小越费力，越大越省力 【答案】A 【解析】由题意可得， 则，解得， 对A：当时，，故A正确； 对B：当时，，即，故B错误； 对于C：对于， 因为在内单调递减，则在内单调递增， 所以越小越省力，越大越费力，且无最小值，故CD错误； 故选：A. 2．（多选题）如图所示，小船被绳索拉向岸边，船在水中运动时设水的阻力大小不变，那么小船匀速靠岸过程中，下列四个选项中，其中正确的是（    ） A．绳子的拉力不断增大 B．绳子的拉力不断变小 C．船的浮力不断变小 D．船的浮力保持不变 【答案】AC 【解析】设水的阻力为，绳的拉力为， 绳与水平方向的夹角为， 则， . 增大，减小， 增大， 增大， 船的浮力减小. 故选：AC. 3．（多选题）如图，正方形的边长为是中点，如图，点是以为直径的半圆上任意点；，则下列结论正确的有（    ） A．最大值为1 B．最大值为1 C．最大值是2 D．最大值是 【答案】ACD 【解析】以中点为原点，建立平面直角坐标系， 则，，， 设，则，,， 所以，，， 由，得，且，,， 对于A，当时，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C正确； 对于D，，故D正确． 故选：ACD． 4．（多选题）正六边形ABCDEF的边长为2，G为正六边形边上的动点，则的值可能为（    ） A． B． C．12 D．16 【答案】ABC 【解析】连接与相交于点，由正六边形的几何性质，⊥，， 正六边形ABCDEF的边长为2，故，， 故， 故点在上的投影为， 当点与点重合时，此时的投影向量为，与方向相同 此时取得最大值，最大值为， 故当与重合时，的投影向量为，与方向相反， 此时取得最小值，最小值为， 故，ABC正确，D错误. 故选：ABC 5．（多选题）如图，一条河两岸平行，河的宽度，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行.已知船在静水中的速度的大小，水流方向为正东方向，其速度的大小为，这艘船到达河对岸的时间精确到0.1min，采用四舍五入法.则（    ） 参考数据：    A．这艘船到达河对岸的渡河时间最短时， B．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3min C．这艘船到达河对岸的渡河时间最短为3.1min D．这艘船到达河对岸的航程最短时，渡河时间最短 【答案】AB 【解析】对于A：设与的夹角为，船行驶的时间为， ， 当为钝角时， 当为锐角时， 当为直角时， 则当为钝角时，， 当为锐角时，， 所以当船垂直于对岸行驶，即，所用时间最短，故A正确； 对于B：由A可知，这艘船到达河对岸的渡河时间最短为，故B正确，C错误； 对于D：设点是河对岸一点，与河岸垂直， 那么当这艘船实际沿着方向行驶时，船的航程最短， 由下图可知，设，则， 此时，船的航行时间，故D错误； 故选：AB 6．（多选题）在正方形中，，点E满足，则下列说法不正确的是（    ） A．当时， B．当时， C．存在t，使得 D．的最小值为2 【答案】BC 【解析】由题可以A为原点，AB、AD分别为和轴建立如图所示的平面直角坐标系， 则由题意，故， 对于A，当时，则由可知， 所以，又， 故，故A正确； 对于B，当时，则由可知， 所以，， 所以， 故B错误； 对于C，由可得，故，， 则， 故不存在t，使得，故C错误； 对于D，由C得， 故， 又，故当时，取得最小值为，故D正确. 故选：BC. 7．在平行四边形中，是线段的中点，点满足若设，则可用表示为 ；若，则 ． 【答案】 【解析】 由E是线段CD的中点，，可得，， 则， 则， 所以； 由题意知，，，，， 则. 故答案为：；. 8．已知平面向量，其中为单位向量．若与的夹角为，记为的最小值，则的最大值是 ． 【答案】 【解析】令，，， 为单位向量．，则， 由于与的夹角为，所以， ，故不妨取，，四点共圆情况，, 外接圆的直径为，在优弧上， ，表示起点为，终点在直线上的向量， 由于 ， 到的距离为， 设到的最大距离为 由于为的最小值，则当时最小， 故的最大值为，此时过圆心且 故答案为：． 9．若平面上的三个力作用于同一点，且处于平衡状态．已知，且与的夹角为，则与的夹角为 ． 【答案】 【解析】如图以和的公共起点为原点，以的方向为x轴正方向建立平面直角坐标系． 设， 因为且与的夹角为， 可得， 所以． 因为三个力作用于同一点，且处于平衡状态， 所以， 即，则， 所以． 设与的夹角为， 则． 因为，所以， 所以与的夹角为． 故答案为：. 10．如图，一条河两岸平行，河的宽度为，一艘船从河岸边的A地出发，向河对岸航行．已知船的速度大小为，水流速度的大小为，当航程最短时，这艘船行驶完全程共需要时间 ． 【答案】 【解析】当实际速度垂直于河岸，船的航程最短． 设实际速度、船速、水流速度分别为、、， 如图，，已知， 则，河宽， 所以，船的航行时间． 所以，当航程最短时，这艘船行驶完全程需要． 故答案为：. 11．如图，已知正方形ABCD的边长为2，若动点P在以AB为直径的半圆E（正方形ABCD内部，含边界），则的取值范围为 . 【答案】 【解析】因为正方形的边长为2，取的中点，连接， 当在点或点时，， 当在弧中点时，， 所以的取值范围为， 因为，， 所以 ， 因为，所以，故， 所以，即的取值范围为. 故答案为：. 12．边长为4的正方形，点在正方形内（含边界），满足，当点在线段上时，则的最小值为 . 【答案】 【解析】建立平面直角坐标系如图所示，根据题意可得： ，，，， 设为，则，，， 因为， 所以，，，，所以， 易知线段方程为：，，， 因为点在上，所以，，， 所以，，， 所以，，，，， 则， 当时取得最小值为. 故答案为： 13．如图所示，的顶点是我国在南海的三个战略岛屿，各岛屿之间建有资源补给站在图中的D，E，F上，岛屿到补给站的距离为岛屿到的，岛屿和岛屿到补给站的距离相等，补给站在靠近岛屿的BC的三等分点上，设．    (1)用表示； (2)从岛屿望岛屿和岛屿成的视角，海里，且，求岛屿到岛屿的距离． 【解析】（1）依题意，得，点为中点，， 又，， 所以， . （2）依题意，得，， 所以，即， 所以，则， 又，所以， 所以， 所以. 14．一船自A岛出发向正东方向航行3海里到达点B后，又向北偏东的方向航行5海里，到达点C.在点C发现在船的北偏西方向上，距C处24海里的D处有一可疑目标，并测得，若要从A岛直接派遣一船到D处，试求该船的航行方向及航行距离（角度精确到）. 【解析】以B为原点，的方向为x轴的正方向，并将x轴正方向绕点B逆时针旋转，得y轴正方向， 易知A、B、C的坐标分别为，，. 设点D的坐标为，则，， ，. 由已知，且，得 解得 ∴，∴， ∴， 因为，所以. 即该船应向北偏西的方向航行，航行距离为25海里. 15．在矩形中，，．边上的动点P（包含点D、C）与延长线上的动点Q（包含点B）满足，求的最小值． 【解析】以A为坐标原点，分别以、所在直线为x轴、y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则， 设，，由题意知，，． 因为，所以，所以． 因为，， 所以 ， 所以当时，取得最小值为． 16．在平面直角坐标系中，已知向量，，，且，为非零向量． (1)若B是AD的中点，求的坐标； (2)若，，求四边形ABCD的面积． 【解析】（1）根据向量的平行和垂直得到方程组，解出，最后根据面积公式计算即可. 【详解】 （1）由题意知，因为是的中点， 所以有，即， 即，解得，所以. （2）由得，即①， 由得，即有② 由①②解得，或（舍去）， 所以， 所以四边形的面积. 17．在平行四边形中，，，和交于点P． (1)若，求x的值； (2)求的值． 【解析】（1）依题意可得， 又，， 所以，解得． （2）由（1）可得，则，即． 因为，即， 所以，即，所以， 所以． 3 / 33 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$