9.3 向量基本定理及坐标表示（5个知识点+13类热点题型讲练+习题巩固）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

9．3 向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 （1）能解释正交分解的含义，会举出正交分解的实例，能分析平面向量正交分解与平面向量基本定理的内在联系． （2）能在平面向量坐标表示的基础上，得出平面向量的和、差、数乘运算的坐标表示，并进行相关的计算． （3）能用坐标表示平面向量的数量积，会进行坐标表示下的平面向量数量积的运算；能描述两个平面向量夹角的含义，会用坐标表示向量的模与夹角． （4）能用坐标表示向量共线的条件，并会用其判断两个向量是否共线；能用坐标表示向量垂直的条件，并会用其判断两个向量是否垂直；体会数形结合的思想． （5）在探究平面向量基本定理和坐标表示的过程中，感悟联系的观点，体会转化与化归的思想，能说出用向量法解决几何问题的基本路径，体会用向量语言、向量方法表述和解决问题的简捷性． （1）理解平面向量基本定理及其意义． （2）会运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题． （3）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． （4）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． （5）能用坐标表示平面向量的数量积和两个平面向量的夹角． （6）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【即学即练1】如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】∵，∴， 又，∴， ∵B，P，D三点共线，∴，∴. 故选：A. 知识点02 平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【即学即练2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    【解析】由图可知： ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为； ，对应坐标为. 知识点03 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 【即学即练3】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为 ． 【答案】 【解析】由题可知， 设，则， ，， ∴. 故答案为：. 知识点04 平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即学即练4】向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 【答案】A 【解析】由，，， 得，， 又，，三点共线， 则， 即，解得或， 故选：A. 知识点05 向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【即学即练5】已知，，且，则 ． 【答案】1 【解析】,解得， 故答案为:1. 题型一：平面向量基本定理的理解 【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】对于A选项，，所以共线，不能作为基底； 对于B选项，，所以共线，不能作为基底； 对于C选项，，所以共线，不能作为基底； 对于D选项，易知不共线，可以作为基底. 故选：D. 【典例1-2】（2024·高一·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【解析】A：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； B：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此不成立， 因此假设不成立，因此和不是共线向量，因此本选项的向量可以做基底； C：假设和是共线向量，因此有， 因为，为平面向量的一组基底， 所以，不是共线向量，且，因此要想成立， 一定有，显然无实数解，因此假设不成立， 因此和是不共线向量，所以本选项的向量可以做基底； D：因为， 所以和是共线向量，所以本选项的向量不可以做基底， 故选：D 【方法技巧与总结】 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【变式1-1】（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【解析】对于A，因为，所以与共线，不能作为基底； 对于B，设，则，解得，所以与共线，不能作为基底； 对于C，设，则，即：，此时无解，所以与不共线，可以作为基底； 对于D，设，则，即：，解得，所以与共线，不能作为基底； 故选：C. 【变式1-2】（2024·高一·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】由D为BC的中点，E为边上的点，且， 得. 故选：C 题型二：用基底表示向量 【典例2-1】（2024·高三·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】依题意，，而， 所以 故选：D 【典例2-2】（2024·高三·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为四边形为平行四边形，且，， 所以，即①， 又，即②， 由①②得到，又，，所以. 故选：D. 【方法技巧与总结】 平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【变式2-1】（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】因为， 所以． 故选：B 【变式2-2】（2024·高一·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【解析】，故， 则. 故选：A 【变式2-3】（2024·高一·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】由题意可设， 则， 又因为，且，不共线， 可得，解得，即， 所以，即. 故选：D. 题型三：平面向量基本定理的应用 【典例3-1】（2024·全国·高一随堂练习）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，．    (1)当时，用向量，表示； (2)证明：为定值． 【解析】（1）当时，， 因为AQ为边BC的中线， 所以， 所以． （2）由（1）可知， 所以． 而，，， 所以， 即， 整理可得， 而，是不共线向量，所以， 两式相加可得，是定值,证毕． 【典例3-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】 由题意可得：， ， 设， 则, 又三点共线，所以， 解得， 所以， 故选：A 【方法技巧与总结】 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再利用待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 【变式3-1】（2024·高一·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由，得，则， 而三点共线，则， 所以. 故选：B 【变式3-2】（2024·河北·三模）如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 【答案】C 【解析】如图，过D作直线，交AC于F，则， ∴， ∴，∴  ∴， 又B，D，C三点共线，∴， 故， 故选：C 【变式3-3】（2024·广西钦州·高一校考期末）如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【解析】（1）因为，所以， 所以． 因为，所以， 所以． （2）因为A，M，D三点共线，所以． 因为，所以，即． 因为B，M，E三点共线，所以． 因为，所以． 因为，所以，解得， 从而，，故． 【变式3-4】（2024·高一校考单元测试）如图所示，已知点是的重心.    (1)求； (2)若过的重心，且，，，，求证：. 【解析】（1）如图所示，延长交于点，则是的中点， ∴， ∵是的重心，∴，∴； （2）∵是边的中点，∴，   又∵是的重心， ∴，    ∴，   而， ∵、、三点共线，∴有且只有一个实数，使得， ∴，∴， ∵与不共线，∴且消去，得. 题型四：平面向量的坐标表示 【典例4-1】（2024·高一·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可知. 故选：B 【典例4-2】（2024·全国·高一课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【解析】如图， 作平行四边形OBAC，则． 因为，， 所以，在中，，． 所以，即． 因此在基下的坐标为． 【方法技巧与总结】 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【变式4-1】数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 【答案】 【解析】数轴上点的坐标为， 设点对应的坐标是， 因为对应的坐标为，则， 即点对应的坐标是. 故答案为：. 【变式4-2】（2024·高一·天津南开·阶段练习）已知两点，则与向量同向的单位向量是 ． 【答案】 【解析】因为 所以，所以 与向量同向的单位向量是． 故答案为：． 题型五：平面向量加、减运算的坐标表示 【典例5-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标． 【解析】由题意，， ， . 【典例5-2】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，的坐标． 【解析】因为，，则， . 【方法技巧与总结】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【变式5-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【解析】（1）因为，，则， . （2）因为，，则， . （3）因为，，则， . （4）因为，，则， . 【变式5-2】（2024·新疆·高一校考期末），求，的坐标. 【解析】因为， 所以. . 题型六：平面向量数乘运算的坐标表示 【典例6-1】（2024·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，，，若，则 . 【答案】 【解析】根据题意，由向量的坐标表示，列出方程，求出，，即可得出结果.因为，，， 若，则，解得，所以. 故答案为：. 【典例6-2】（2024·高一·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】设，则， 故，即，解得， 故点的坐标为. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ． 【答案】 【解析】如图，连接， 设为坐标原点，建立平面直角坐标系，， 整理得． 故答案为： 【变式6-2】（2024·高一·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 【答案】 【解析】因为点P在的延长线上，使， 所以，设点， 而， 所以，解得. 故答案为：. 题型七：向量共线的判定 【典例7-1】（2024·高一·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【答案】B 【解析】因为， 所以，， 因为，所以A，B，D三点共线，故B符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，B，C三点不共线，故A不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即B，C，D三点不共线，故C不符合题意； 因为是不共线的向量，，所以不共线，即A，C，D三点不共线，故D不符合题意； 故选：B. 【典例7-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【答案】C 【解析】因为向量，向量为平面内两个不共线的单位向量， 且，， 对于选项A：若A、B、C三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以A、B、C三点不共线，故A错误； 对于选项B：因为， 若A、C、D三点共线，则，其中， 则则，方程组无解， 所以A、C、D三点不共线，故B错误； 对于选项C：因为， 所以A、B、D三点共线，故C正确； 对于选项D：若B、C、D三点共线，则，其中， 则，方程组无解， 所以B、C、D三点不共线，故D错误； 故选：C. 【方法技巧与总结】 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 【变式7-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【答案】C 【解析】对A，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故A错误； 对B，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故B错误； 对C，因为，，则，故、、三点共线，故C正确； 对D，因为，，不存在实数使得，故、、三点不共线，故D错误. 故选：C 【变式7-2】（2024·高一·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 【答案】A 【解析】对于A中，由向量，，， 可得，所以，所以三点共线，所以A正确； 对于B中，由向量，， 设，可得，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以B错误； 对于C中，由向量，，， 可得，设，即， 所以，此时方程组无解，所以三点不共线，所以C错误； 对于D中，向量，， 设，即，所以，此时方程组无解， 所以三点不共线，所以D错误. 故选：A. 题型八：利用向量共线的坐标表示求参数 【典例8-1】（2024·高三·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【答案】D 【解析】，因为， 则，解得. 故选：D. 【典例8-2】（2024·高一·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】由题意可得，，且， 由可得，解得. 故选：B 【方法技巧与总结】 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 （1）利用向量共线定理列方程组求解． （2）利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【变式8-1】（2024·高三·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】由，可得， 若若与平行可知， 解得. 故选：A 【变式8-2】（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 【答案】A 【解析】由题意与共线，所以，解得． 故选：A. 题型九：定比分点坐标公式及应用 【典例9-1】（2024·高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解析】因为，，可得， 又因为点是线段的三等分点，则或， 所以或， 即点的坐标为或. 故选：C. 【典例9-2】（2024·高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【答案】B 【解析】由题意得，点为中点，设点，则 ，解得， 所以点的坐标为. 故选:B． 【方法技巧与总结】 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【变式9-1】（2024·高一·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】∵，，， ∴，， ∵分所成的比为，∴，即， ∴有，解得. 故选：D. 【变式9-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】点在线段的延长线上，且， ，即, 所以． 所以点P的坐标为. 故选：D. 【变式9-3】（2024·高一·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 【答案】 【解析】设，则，， 则，得，， 故答案为： 题型十：数量积的坐标运算 【典例10-1】（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 【答案】 【解析】由题意可得：， 所以， 故答案为： 【典例10-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．    【答案】/0.5 【解析】 依题意，以点为坐标原点，直线为轴，建立直角坐标系. 则，设点，则， 于是，解得， 即. 故答案为：. 【方法技巧与总结】 进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系． 【变式10-1】（2024·高一·天津南开·阶段练习）为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则 ． 【答案】18 【解析】以点为原点建立平面直角坐标系，如图所示， 由已知得，， 所以， 所以， 故答案为：18． 【变式10-2】（2024·高一·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 【答案】 【解析】如图，以为坐标原点，的方向为轴的正方向，的方向为轴的正方向建立平面直角坐标系， 则.设，，其中，，且 ，，得. 因为，所以， 又因为，所以，则， 当且仅当时，取得最小值，且最小值为. 故答案为：. 题型十一：平面向量的模 【典例11-1】（2024·高一·福建漳州·期中）已知向量与的夹角为，则等于 ． 【答案】 【解析】由，得，又， 所以， 所以， 所以， 故答案为：． 【典例11-2】（2024·高一·山东临沂·期中）已知平面向量满足，则 ． 【答案】 【解析】， ， ， 所以， 故答案为： 【方法技巧与总结】 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式11-1】（2024·高二·宁夏吴忠·期末）已知向量，，则= 【答案】5 【解析】因为向量，， 所以， 所以， 故答案为：5 【变式11-2】（2024·高二·陕西铜川·阶段练习）已知向量，则的最小值为 ． 【答案】/ 【解析】因为， 所以， 则. 当时，的最小值为. 故答案为：. 【变式11-3】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 【答案】 【解析】由得，， 因为向量在向量方向上的投影向量的坐标为， 所以，即， 所以， 所以， 故答案为：． 题型十二：平面向量的夹角、垂直问题 【典例12-1】（2024·高一·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【答案】 【解析】如图，不妨以A为原点，所在直线为横轴，建立直角坐标系， 过作轴于M点， 由题意可得，则， 且， 则，，，，， 得，， 所以. 故答案为：. 【典例12-2】（2024·高一·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【解析】（1）因为， . （2），， . （3）因为向量， 所以， 因为， 所以，解得. 【方法技巧与总结】 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【变式12-1】（2024·高三·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【解析】因为与夹角为钝角， 可以得出，解得：， 且不平行，则， 即且，即. 故答案为： 【变式12-2】（2024·高一·四川乐山·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【解析】（1）因为， 所以． 因为，所以，所以． （2）由（1）知，又，所以， 设与的夹角为，则． 【变式12-3】（2024·高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 【变式12-4】（2024·高一·广东珠海·阶段练习）已知，，． (1)求证：A，B，D三点共线： (2)若向量与向量互相垂直，求实数k的值． 【解析】（1）因为，，所以， 又，所以，即，所以A，B，D三点共线. （2）因为，所以，因为，所以， 由此可知； 由（1）知：，又因为向量与向量互相垂直， 则有：，，，解得. 题型十三：平面向量数量积的综合应用 【典例13-1】（2024·高三·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【解析】（1）因为，，，所以， 因为四边形为平行四边形，所以， 设，所以， 所以，所以 （2）因为，，三点共线，， 所以设， 又，所以，所以， 又 所以. 【典例13-2】（2024·高一·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 【方法技巧与总结】 坐标法 【变式13-1】（2024·高一·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【解析】（1）设，又、、， ，. 又四边形是平行四边形，所以， ， 即解得 顶点A的坐标为. （2）存在. 由（1）可知，，，， 设，则. 又，， 解得，，即. 【变式13-2】（2024·高一·江苏镇江·期末）在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 【解析】（1）向量，，， 所以，， 由，，三点共线知，， 即，解得； （2）， 解得， （3）设， 由，， ， ， 若四边形为矩形，则， 即，解得； 由，得， 解得， 故 1．已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 【答案】B 【解析】正的边长为2，则其内切圆半径， 以正的中心为原点，边上的高所在的直线为轴建立平面直角坐标系， 则，设， ， 而，因此， 则，当且仅当时取等号， 所以的最小值为1. 故选：B 2．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】依题意，， 因为，所以，即， 故选：B． 3．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为，则， 由平面向量数量积的定义可得， 所以，， 当且仅当时，等号成立，故的最小值为. 故选：C. 4．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】在线段上，且， . 又为线段上一点，若与的面积相等， ，为的中点. 如图，建立平面直角坐标系，则，，，，， ，， . 故选：D. 5．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】因为，，所以， 由A，E，D三点共线可得，且， 所以， 当且仅当，即时，取等号. 故选：D. 6．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】若与的夹角为钝角，则且与不共线， 可得，解得且， 因为是的真子集， 所以“”是“与的夹角为钝角”的必要不充分条件. 故选：B. 7．（多选题）已知点，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BC 【解析】因为， 所以，则，故A不正确； 因为，故B正确； 因为，故C正确； 因为，故D不正确． 故选：BC. 8．（多选题）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【解析】A，由题知，则，A正确； B，，因为，所以向量与不平行，B错误； C，，，，C正确； D，，，所以，D正确. 故选：ACD 9．（多选题）若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 【答案】AD 【解析】A，由题，， 所以，故A错误； B，又，故B正确； C，，所以在上的投影向量为，故C正确； D，因为， 又，所以，故D错误. 故选：AD. 10．（多选题）已知向量，，则（     ）. A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 【答案】ABC 【解析】，所以，所以，故A正确； 在上投影向量为，故B正确； ，所以，故C正确； 与方向相同的单位向量，故D错误． 故选：ABC. 11．已知向量，，，若，则的值为 . 【答案】 【解析】由题设，又， 所以，则. 故答案为： 12．在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 【答案】/ 【解析】 由已知， ，，共线，所以，． 故答案为：. 13．在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 【答案】/ 【解析】为边上的中线，， ，可得. ． ， ， 则． 故答案为：. 14．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 【答案】/ 【解析】由题意 ， 因为，，三点共线，所以，解得. 故答案为：. 15．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 【解析】（1）由，得， 所以. （2）由，，，， 得，又、、三点共线，因此， 则， 当且仅当，即时取等号， 所以取最小值. 16．已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 【解析】（1）因为两向量共线，是单位向量， 所以设， 得到解得或 得或. （2）因为与垂直， 所以，而， 即， 解得. 17．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 【解析】（1）如图， （2）因为E为的中点，D为边上靠近点B的三等分点， 所以， 则， 所以； . （3）因为， 所以， 所以，即， 所以， 又因为有公共点， 所以三点共线. 44 / 45 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 9．3 向量基本定理及坐标表示 课程标准 学习目标 （1）能解释正交分解的含义，会举出正交分解的实例，能分析平面向量正交分解与平面向量基本定理的内在联系． （2）能在平面向量坐标表示的基础上，得出平面向量的和、差、数乘运算的坐标表示，并进行相关的计算． （3）能用坐标表示平面向量的数量积，会进行坐标表示下的平面向量数量积的运算；能描述两个平面向量夹角的含义，会用坐标表示向量的模与夹角． （4）能用坐标表示向量共线的条件，并会用其判断两个向量是否共线；能用坐标表示向量垂直的条件，并会用其判断两个向量是否垂直；体会数形结合的思想． （5）在探究平面向量基本定理和坐标表示的过程中，感悟联系的观点，体会转化与化归的思想，能说出用向量法解决几何问题的基本路径，体会用向量语言、向量方法表述和解决问题的简捷性． （1）理解平面向量基本定理及其意义． （2）会运用平面向量基本定理解决简单平面几何问题． （3）借助平面直角坐标系，掌握平面向量的正交分解及坐标表示． （4）会用坐标表示平面向量的加、减运算与数乘运算． （5）能用坐标表示平面向量的数量积和两个平面向量的夹角． （6）能用坐标表示平面向量共线、垂直的条件． 知识点01 平面向量基本定理 1、平面向量基本定理 如果是同一平面内两个不共线的向量，那么对于这个平面内任一向量，有且只有一对实数，使，称为的线性组合． ①其中叫做表示这一平面内所有向量的基底； ②平面内任一向量都可以沿两个不共线向量的方向分解为两个向量的和，并且这种分解是唯一的． 这说明如果且，那么． ③当基底是两个互相垂直的单位向量时，就建立了平面直角坐标系，因此平面向量基本定理实际上是平面向量坐标表示的基础． 知识点诠释： 平面向量基本定理的作用：平面向量基本定理是建立向量坐标的基础，它保证了向量与坐标是一一对应的，在应用时，构成两个基底的向量是不共线向量． 2、如何使用平面向量基本定理 平面向量基本定理反映了平面内任意一个向量可以写成任意两个不共线的向量的线性组合． （1）由平面向量基本定理可知，任一平面直线形图形，都可以表示成某些向量的线性组合，这样在解答几何问题时，就可以先把已知和结论表示为向量的形式，然后通过向量的运算，达到解题的目的． （2）在解具体问题时，要适当地选取基底，使其他向量能够用基底来表示．选择了不共线的两个向量、，平面上的任何一个向量都可以用、唯一表示为=+，这样几何问题就转化为代数问题，转化为只含有、的代数运算． 【即学即练1】如图，在中，，P是线段BD上一点，若，则实数m的值为（    ）    A． B． C． D． 知识点02 平面向量的坐标表示 1、正交分解 把一个向量分解为两个互相垂直的向量，叫做把向量正交分解． 知识点诠释： 如果基底的两个基向量、互相垂直，则称这个基底为正交基底，在正交基底下分解向量，叫做正交分解，事实上，正交分解是平面向量基本定理的特殊形式． 2、平面向量的坐标表示 如图，在平面直角坐标系内，分别取与轴、轴方向相同的两个单位向量、作为基底，对于平面上的一个向量，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数，使得=．这样，平面内的任一向量都可由唯一确定，我们把有序数对叫做向量的（直角）坐标，记作=，x叫做在轴上的坐标，叫做在轴上的坐标．把叫做向量的坐标表示．给出了平面向量的直角坐标表示，在平面直角坐标系内，每一个平面向量都可以用一有序数对唯一表示，从而建立了向量与实数的联系，为向量运算数量化、代数化奠定了基础，沟通了数与形的联系． 知识点诠释： （1）由向量的坐标定义知，两向量相等的充要条件是它们的坐标相等，即且，其中，． （2）要把点的坐标与向量坐标区别开来．相等的向量的坐标是相同的，但始点、终点的坐标可以不同．比如，若，，则；若，，则，，显然A、B、C、D四点坐标各不相同． （3）在直角坐标系中有双重意义，它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向量． 【即学即练2】如图，设为一组标准正交基，用这组标准正交基分别表示向量，，，，并求出它们的坐标．    知识点03 平面向量的坐标运算 1、平面向量坐标的加法、减法和数乘运算 运算 坐标语言 加法与减法 记， ， 实数与向量的乘积 记，则 2、如何进行平面向量的坐标运算 在进行平面向量的坐标运算时，应先将平面向量用坐标的形式表示出来，再根据向量的直角坐标运算法则进行计算．在求一个向量时，可以首先求出这个向量的起点坐标和终点坐标，再运用终点坐标减去起点坐标得到该向量的坐标．求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置向量的坐标．但同时注意以下几个问题： （1）点的坐标和向量的坐标是有区别的，平面向量的坐标与该向量的起点、终点坐标有关，只有起点在原点时，平面向量的坐标与终点的坐标才相等． （2）进行平面向量坐标运算时，先要分清向量坐标与向量起点、终点的关系． （3）要注意用坐标求向量的模与用两点间距离公式求有向线段的长度是一样的． （4）要清楚向量的坐标与表示该向量的有向线段的起点、终点的具体位置无关，只与其相对位置有关． 【即学即练3】已知，，点P是线段MN的一个三等分点且靠近点M，则点P的坐标为 ． 知识点04 平面向量平行（共线）的坐标表示 1、平面向量平行（共线）的坐标表示 设非零向量，则，即，或． 知识点诠释： 若，则不能表示成因为分母有可能为0． 2、三点共线的判断方法 判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后再按两向量共线进行判定，即已知 ，， 若则A，B，C三点共线． 【即学即练4】向量，，，若，，三点共线，则的值为（    ） A．或 B．或 C．或-11 D．或 知识点05 向量数量积的坐标表示 1、已知两个非零向量，， 2、设，则或 3、如果表示向量的有向线段的起点和终点的坐标分别为、，那么（平面内两点间的距离公式）． 【即学即练5】已知，，且，则 ． 题型一：平面向量基本定理的理解 【典例1-1】（2024·高一·黑龙江大庆·期中）若是平面内所有向量的一个基底，则下列四组向量中能构成平面内所有向量的一个基底的是（    ） A． B． C． D． 【典例1-2】（2024·高一·江苏淮安·期中）设，为平面向量的一组基底，则下面四组向量组中不能作为基底的是（ ） A．和 B．和 C．和 D．和 【方法技巧与总结】 考查两个向量是否能构成基底，主要看两向量是否不共线．此外，一个平面的基底一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以由这个基底唯一线性表示出来． 【变式1-1】（2024·高一·山东菏泽·阶段练习）已知，是不共线的非零向量，则以下向量可以作为基底的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【变式1-2】（2024·高一·广东广州·期中）在中，D为BC的中点，E为AC边上的点，且，则（   ） A． B． C． D． 题型二：用基底表示向量 【典例2-1】（2024·高三·湖北·期中）在中，点，分别为，边上的中点，点满足，则（   ） A． B． C． D． 【典例2-2】（2024·高三·河北衡水·阶段练习）如图，平行四边形中，，，若，，则（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 平面向量基本定理的作用以及注意点 （1）根据平面向量基本定理，任何一个基底都可以表示任意向量．用基底表示向量，实质上是利用三角形法则或平行四边形法则，进行向量的线性运算． （2）基底的选取要灵活，必要时可以建立方程或方程组，通过方程求出要表示的向量． 【变式2-1】（2024·安徽芜湖·高一安徽省无为襄安中学校考期中）在中，为边上的中线，为的中点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2024·高一·广西柳州·开学考试）如图，在中，点D是BC边的中点，，则用向量，表示为（    ）    A． B． C． D． 【变式2-3】（2024·高一·吉林白山·期末）如图，在梯形中，在线段上，.若，则（   ） A． B． C． D． 题型三：平面向量基本定理的应用 【典例3-1】（2024·全国·高一随堂练习）如图所示，中，AQ为边BC的中线，，，，，其中，，，．    (1)当时，用向量，表示； (2)证明：为定值． 【典例3-2】（2024·新疆·模拟预测）在平行四边形中，分别在边上，，相交于点，则（   ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 若直接利用基底表示向量比较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不同的向量表达式)，再利用待定系数法确定系数，建立方程或方程组，解方程或方程组即得． 【变式3-1】（2024·高一·山东·阶段练习）在中，，P是直线BN上的一点，若，则实数m的值为（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2024·河北·三模）如图，在中，已知，，P是线段AD与BE的交点，若，则m＋n的值为（    ） A． B． C． D．1 【变式3-3】（2024·广西钦州·高一校考期末）如图，在中，，，BE与AD相交于点M．    (1)用，表示，； (2)若，求的值． 【变式3-4】（2024·高一校考单元测试）如图所示，已知点是的重心.    (1)求； (2)若过的重心，且，，，，求证：. 题型四：平面向量的坐标表示 【典例4-1】（2024·高一·江苏泰州·期中）在平面直角坐标系中，若，则（   ） A． B． C． D． 【典例4-2】（2024·全国·高一课堂例题）如图，是夹角为120°的两个单位向量，，且，．求在基下的坐标．    【方法技巧与总结】 在表示点、向量的坐标时，可利用向量的相等、加减法运算等求坐标，也可以利用向量、点的坐标定义求坐标． 【变式4-1】数轴上点的坐标为，若点在数轴上，且对应的坐标为，则点对应的坐标是 . 【变式4-2】（2024·高一·天津南开·阶段练习）已知两点，则与向量同向的单位向量是 ． 题型五：平面向量加、减运算的坐标表示 【典例5-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，，的坐标． 【典例5-2】（2024·全国·高一随堂练习）已知，，求，的坐标． 【方法技巧与总结】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． 【变式5-1】（2024·全国·高一随堂练习）已知向量、的坐标，求、的坐标． (1)，； (2)，； (3)，； (4)，． 【变式5-2】（2024·新疆·高一校考期末），求，的坐标. 题型六：平面向量数乘运算的坐标表示 【典例6-1】（2024·陕西宝鸡·高一统考期末）已知，，，若，则 . 【典例6-2】（2024·高一·上海静安·期末）已知平面上两点的坐标分别是是直线上的一点，且，则点的坐标是 ． 【方法技巧与总结】 平面向量坐标运算的技巧 （1）若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行． （2）若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运算． （3）向量的线性坐标运算可完全类比数的运算进行． 【变式6-1】（2024·高三·全国·专题练习）已知点，且，则点的坐标是 ． 【变式6-2】（2024·高一·上海·单元测试）已知，，且点P在的延长线上，使，则点P的坐标为 . 题型七：向量共线的判定 【典例7-1】（2024·高一·山东济宁·期中）已知是不共线的向量，且，则（    ） A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线 C．B，C，D三点共线 D．A，C，D三点共线 【典例7-2】（2024·高一·黑龙江哈尔滨·期末）已知向量，向量为平面内两个不共线的单位向量，若，，则下列结论正确的是（    ） A．A、B、C三点共线 B．A、C、D三点共线 C．A、B、D三点共线 D．B、C、D三点共线 【方法技巧与总结】 向量共线的判定应充分利用向量共线定理或向量共线的坐标表示进行判断，特别是利用向量共线的坐标表示进行判断时，要注意坐标之间的搭配． 【变式7-1】（2024·浙江·模拟预测）已知向量，是平面上两个不共线的单位向量，且，，，则（    ） A．、、三点共线 B．、、三点共线 C．、、三点共线 D．、、三点共线 【变式7-2】（2024·高一·山东青岛·期中）若是不共线的向量，且，，，则（   ） A．三点共线 B．三点共线 C．三点共线 D．三点共线 题型八：利用向量共线的坐标表示求参数 【典例8-1】（2024·高三·河北石家庄·阶段练习）已知向量，若，则实数（    ） A． B． C．11 D．2 【典例8-2】（2024·高一·河北保定·期中）已知向量，，，若，则实数的值为（    ） A． B． C． D． 【方法技巧与总结】 利用向量平行的条件处理求值问题的思路 （1）利用向量共线定理列方程组求解． （2）利用向量平行的坐标表达式直接求解． 提醒：当两向量中存在零向量时，无法利用坐标表示求值． 【变式8-1】（2024·高三·山东德州·期中）已知向量，，若与平行，则（   ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2024·高三·内蒙古赤峰·期中）已知，，，若A，B，C三点共线，则m=（   ） A．11 B．9 C．7 D．6 题型九：定比分点坐标公式及应用 【典例9-1】（2024·高三·广东揭阳·期中）已知点，向量，，点是线段的三等分点，则点的坐标是（    ） A． B． C．或 D．或 【典例9-2】（2024·高一·江苏苏州·期末）已知，，点在线段的延长线上，且，则点的坐标为（    ） A． B． C． D．或 【方法技巧与总结】 用有向线段的定比分点坐标公式，可以求解有向线段的定比分点坐标及定点分有向线段所成的比．事实上用这个公式，还可巧妙地用于解决其它一些问题．如用得好，会使解题过程显得别具一格，简捷明快，充分展现我们思维的独创性．定比分点公式也是判定或证明两向量是否共线、平行的有效方法． 【变式9-1】（2024·高一·贵州·阶段练习）已知，，点分所成的比为，则与的值分别为（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2024·高一·宁夏石嘴山·阶段练习）已知，，点在线段的延长线上，且，则的坐标是（    ） A． B． C． D． 【变式9-3】（2024·高一·湖北恩施·期末）过，的直线与x轴交于点P，设，则 题型十：数量积的坐标运算 【典例10-1】（2024·高三·辽宁·阶段练习）已知向量，，则 . 【典例10-2】（2024·高一·陕西咸阳·阶段练习）如图，在直角梯形中，，点在边上，且，则 ．    【方法技巧与总结】 进行数量积运算时，要正确使用公式，并能灵活运用以下几个关系． 【变式10-1】（2024·高一·天津南开·阶段练习）为庆祝我校建校120周年，数学学科以“南开”首字母“”为灵感设计了一款纪念胸章，如图所示，，则 ． 【变式10-2】（2024·高一·吉林·期中）如图，在梯形中，，，，，，分别为边AB，BC上的动点，且，则的最小值为 . 题型十一：平面向量的模 【典例11-1】（2024·高一·福建漳州·期中）已知向量与的夹角为，则等于 ． 【典例11-2】（2024·高一·山东临沂·期中）已知平面向量满足，则 ． 【方法技巧与总结】 求向量的模的常见思路及方法 （1）求模问题一般转化为求模的平方，即，求模时，勿忘记开方． （2）或，此性质可用来求向量的模，可以实现实数运算与向量运算的相互转化． 【变式11-1】（2024·高二·宁夏吴忠·期末）已知向量，，则= 【变式11-2】（2024·高二·陕西铜川·阶段练习）已知向量，则的最小值为 ． 【变式11-3】（2024·高一·黑龙江大庆·期末）已知向量满足，则向量在向量方向上的投影向量的坐标为，则 ． 题型十二：平面向量的夹角、垂直问题 【典例12-1】（2024·高一·河南洛阳·期中）在平行四边形ABCD中，，，，，，线段AE与BF相交于点G，则 ． 【典例12-2】（2024·高一·北京通州·期中）已知向量，，， (1)求； (2)求与夹角的余弦值； (3)若向量与互相垂直，求实数的值. 【方法技巧与总结】 解决向量夹角问题的方法及注意事项 （1）求解方法：由直接求出． （2）注意事项：利用三角函数值求的值时，应注意角的取值范围是．利用判断的值时，要注意时，有两种情况：一是是钝角，二是为；时，也有两种情况：一是是锐角，二是为． 【变式12-1】（2024·高三·福建福州·阶段练习）已知，，若与的夹角是钝角，则实数的取值范围是 ． 【变式12-2】（2024·高一·四川乐山·期末）已知，且． (1)求的值； (2)求向量与向量夹角的余弦值． 【变式12-3】（2024·高一·江苏·课后作业）已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【变式12-4】（2024·高一·广东珠海·阶段练习）已知，，． (1)求证：A，B，D三点共线： (2)若向量与向量互相垂直，求实数k的值． 题型十三：平面向量数量积的综合应用 【典例13-1】（2024·高三·江苏淮安·期中）设，，，为平面内的四点，已知，，. (1)若四边形为平行四边形，求点的坐标； (2)若，，三点共线，，求点的坐标. 【典例13-2】（2024·高一·广东中山·阶段练习）在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【方法技巧与总结】 坐标法 【变式13-1】（2024·高一·河南·期末）如图，已知平行四边形的三个顶点、、的坐标分别是、、. (1)求顶点的坐标； (2)在线段上是否存在一点满足，若存在，求；若不存在，请说明理由. 【变式13-2】（2024·高一·江苏镇江·期末）在直角坐标系中，已知向量，，（其中），为坐标平面内一点. (1)若，，三点共线，求的值； (2)若向量与的夹角为，求的值； (3)若四边形为矩形，求点坐标. 1．已知等边三角形的边长为2，点为内切圆上一动点，若，则的最小值为（    ） A．2 B．1 C． D． 2．已知，，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知向量，且向量与的夹角为，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 4．如图，△ABC是边长为3的等边三角形，D在线段BC上，且，E为线段AD上一点，若△ABE与△ACD的面积相等，则的值为（    ） A． B． C． D． 5．在△ABC中，点D在BC上，且满足，点E为AD上任意一点，若实数x，y满足，则的最小值为（   ） A． B． C． D． 6．已知平面向量，则“”是“与的夹角为钝角”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 7．（多选题）已知点，则（   ） A． B． C． D． 8．（多选题）已知平面向量，，则（    ） A． B． C． D． 9．（多选题）若向量，则下列说法错误的是（    ） A． B． C．在上的投影向量为 D．与的夹角为 10．（多选题）已知向量，，则（     ）. A． B．向量在向量上的投影向量是 C． D．与向量方向相同的单位向量是 11．已知向量，，，若，则的值为 . 12．在三角形中，点P为边上的一点，且，点Q为直线上的任意一点（与点O和点P不重合），且满足，则 ． 13．在中，，，=，BF与BC边上的中线AE相交于点M.则的值为 14．在中，点为的中点，，与交于点，且满足，则的值为 . 15．如图所示，在中，为边上一点，且，若，，三点共线，且，. (1)用，表示； (2)求的最小值. 16．已知向量. (1)若单位向量与共线，求向量的坐标； (2)若与垂直，求的值. 17．三角形中，E为边的中点，D为边靠近点B的三等分点． (1)根据题意绘制示意图； (2)选取为向量基底，表示向量； (3)若点N满足，证明：B、N、E三点共线． 4 / 21 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$