第9章 平面向量单元测试卷（提升篇）-【帮课堂】2024-2025学年高一数学同步学与练（苏教版2019必修第二册）

第9章 平面向量单元测试卷（提升篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 4．已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 5．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 6．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 8．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，与的夹角为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 10．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 11．如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 13．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 14．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 16．（15分） 如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 17．（15分） 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 18．（17分） 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 19．（17分） 对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”． (1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； (2)若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积． 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第9章 平面向量单元测试卷（提升篇） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知向量，，则“”是“”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】若，则，，此时，所以； 若，由向量共线定理，得，解得， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 2．已知向量，的模相等且夹角为，若向量与向量垂直，则实数（   ）. A． B． C． D．2 【答案】D 【解析】由，则， 即，即. 解得. 故选：D. 3．已知向量，在方向上的投影向量为，则（   ） A． B． C．6 D．12 【答案】A 【解析】依题意，在方向上的投影向量为，则，而， 所以. 故选：A 4．已知是的重心，过点作一条直线与边分别交于点（点与所在边的端点均不重合），设，则的最小值是（    ） A．1 B． C．2 D．4 【答案】B 【解析】如图，取中点，则， ， 三点共线，，即， ， 当且仅当时，取等号. 即的最小值是. 故选：B 5．在中， 若是的内心，的延长线交于， 则有称之为三角形的内角平分线定理， 现已知，，且， 则实数（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解析】因为是的内心，的延长线交于， ，，， 由角平分线定理可得，可得，， 即，则， 又因为，，且为的角平分线， 所以，，所以，， 又，且向量、不共线，所以，，所以. 故选：C. 6．若满足，则O为的（    ） A．外心 B．内心 C．重心 D．垂心 【答案】B 【解析】延长交于，延长交于，延长交于， ， 又因为，所以， 而共线，则存在实数，使得， 所以. 因为不共线，所以，， 所以，所以是的平分线，同理都是的内角平分线， 所以为的内心. 故选：B. 7．八卦是中国文化的基本哲学概念，如图1是八卦模型图，其平面图形记为图2的正八边形，其中，则（    ） A．4 B． C．8 D． 【答案】C 【解析】由题知八边形为正八边形，则，， 因为，所以， 所以. 故选：C 8．在中，，，是所在平面内一点，，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】，， ， ， ， 当且仅当，即，时等号成立， 所以的最大值为. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知平面向量，，与的夹角为，则（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】BCD 【解析】对于A，若，则，，故A错误； 对于B，若，则，故，故B正确； 对于C，若，则，则，故C正确； 对于D，若，则，故D正确. 故选：BCD 10．已知中，是边上靠近的三等分点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，，设，，其中，，则下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】AC 【解析】对于A，B：，A正确，B错误； 对于C，D：因为，，所以， 又因为M，O，N三点共线，所以，故，C正确，D错误． 故选：AC. 11．如图，是边长为的等边三角形，，点在以为直径的半圆上（含端点），设，则（   ） A．的值不可能大于 B． C．的最小值为 D．的最大值为1 【答案】BD 【解析】对于A选项，过点作交延长线于， 过点作交于，作图如下： 在平行四边形中，，由，则，故A选项错误； 对于B选项，，故B正确； 对于C、D选项，取线段中点，连接，，作图如下： ， 在等边三角形中，易知，所以， ，则， 设与的夹角为，易知，则， 所以，故C选项错误，D选项正确. 故选：BD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．在中，，P是直线上一点，若，则实数m的值为 . 【答案】/ 【解析】因为，所以， 所以， 因为三点共线，所以. 故答案为：. 13．如图所示，在正方形中，是的中点，在上且，与交于点，则 ． 【答案】/ 【解析】设，则， ， 设正方向边长为6，则， 所以 ， 所以. 故答案为： 14．已知在中，点P满足，动点M在的三边及内部运动，设，则的取值范围为 .（用区间表示） 【答案】 【解析】 因为，所以， 整理得，所以P为的重心， 取AC的中点D，则. 因为，所以， 所以当点M在线段BP上时，取得最小值1， 当点M与C重合时，取得最大值2， 所以的取值范围为， 所以的取值范围为. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分） 已知向量. (1)若，求的值； (2)若，求实数的值； (3)若与的夹角是钝角，求实数的取值范围. 【解析】（1）因为向量，且， 所以，解得， 所以. （2）因为，且， 所以，解得. （3）因为与的夹角是钝角， 则且与不共线， 即且， 所以且. 16．（15分） 如图，在中，，．设，． (1)用，表示，； (2)若为内部一点，且．求证：，，三点共线． 【解析】（1）由题可知， ， （2） ，且有公共点M ，，三点共线. 17．（15分） 在直角梯形中，已知，，，，对角线交于点，点在上，且． (1)求的值； (2)若为线段上任意一点，求的取值范围． 【解析】（1）以为原点，、分别为、轴建立平面直角坐标系， 则、、、， 因为，，， 所以，所以，所以点， 设，则，， 因为，所以，解得， 所以，，则． （2）由（1）知，，设，其中， 则， 所以， 因为，故当时，取得最大值， 当时，取得最小值， 故的取值范围为． 18．（17分） 如图，在平行四边形中，已知，，，为线段的中点，为线段上的动点（不含端点）.记. (1)若，求线段EF的长； (2)若，设，求实数和的值； (3)若与交于点，，求向量与的夹角的余弦值. 【解析】（1）若，则，， 所以， 两边平方可得， 所以； （2）若，则，所以， ①， ②， 由①②可得； （3）， ， 设，又， 又，所以①， 由，可得，所以，所以， 所以， 由，可得， 所以， 又三点共线，所以②， 联立①②解， 所以，所以， ， ， 所以 ， 又， 所以，同理可得， 所以. 19．（17分） 对于一组向量（且），令，如果存在，使得，那么称，是该向量组的“向量”． (1)设，若是向量组，，的“向量”，求实数的取值范围； (2)若，向量组，，，，是否存在“向量”？若存在求出所有的“向量”，若不存在说明理由； (3)已知，，均是向量组，，的“向量”，其中，，求证：可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积． 【解析】（1）由题意可得：， 因为，则，， 则，即， 整理得，解得， 所以实数的取值范围为. （2）存在，理由如下： 假设存在“向量”， 因为， 且， 则由题意，只需要使得， 又因为， 则， 可得， 由，即， 整理得，解得， 又因为，即，6，10满足上式， 所以存在“向量”，分别为，，满足题意； （3）由题意得：，， 即，， 同理，， 三式相加并化简得：， 即，，所以， 由，可得， 可得 ， 所以可以写成一个关于的二次多项式与一个关于的二次多项式的乘积. 2 / 10 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $$