复习10 三角函数的图象变换及应用（十大考点）-2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019）

2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习10 三角函数的图象变换及应用 知识点 1 ：的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A 知识点 2 ：用五点法画一个周期内的简图 如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 知识点 3 ：图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 知识点 4 ：三角函数模型的作用及解题步骤 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重 要的作用,具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合 获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 解题步骤：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． 考点01 根据图象求三角函数解析式 【方法点拨】（1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例1．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    例2．已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为 .    变式1-1．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 变式1-2．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为，周期为，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（    ）    A． B． C． D． 变式1-3．已知函数的部分图象如图，，则 ．    考点02 同名三角函数图象变换过程 例3．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 例4．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式2-1．已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 变式2-2．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 变式2-3．函数的图象可由的图象至少向右平移 个单位长度得到. 考点03 异名三角函数图象变换过程 【方法点拨】利用诱导公式进行函数名的改变，使得两个函数名相同 例5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 例6．（多选）其中能把函数的图象变为的图象变换是（    ） A．把函数图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度 B．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 C．把函数图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 D．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 变式3-1．（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式3-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 变式3-3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 考点04 求图象变换前后的解析式 例7．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 例8．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 变式4-1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 变式4-2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 变式4-3．将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则 . 考点05 图象变换前后的重合问题 例9．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 例10．已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 变式5-1．若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 变式5-2．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 变式5-3．已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 考点06 由图象变换研究函数性质 例11．已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 例12．将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 变式6-1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 变式6-2．已知函数，先将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D． 变式6-3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 考点07 三角函数图象变换综合应用 例13．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值； (2)将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围. 第一次诊断性考试数学试题）将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（   ） A． B． C． D． 变式7-1．（多选）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于对称 B．在上单调递减 C．≥的解为 D．方程在上有2个解 变式7-2．已知函数的最大值为2． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 变式7-3．已知函数相邻两零点的距离为，且，将图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数的图象．若存在非负实数使得，在内恰好有8个零点，则所有符合条件的值组成的集合为 ． 考点08 三角函数在物理中的应用 【方法点拨】(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 例15．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 例16．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 变式8-1．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 变式8-2．（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 变式8-3．在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 考点09 三角函数在圆周中的应用 例17．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 例18．已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 变式9-1．如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为 (1)试将表示成关于的函数； (2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值． 变式9-2．（多选）“乡村振兴”是新时代响应习主席社会主义核心价值观的重要举措，秦岭山中镇水县乾祐河畔某乡镇游乐中心欲对游乐设施——摩天轮的运行参数进行核算，以利于该镇游乐设施的进一步发展.如图，该摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每20分钟转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ） A．转动10分钟后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第17分钟和第43分钟，点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为分钟 变式9-3．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 考点10 三角函数在生活中的应用 【方法点拨】（1）读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；（2）整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型（3）利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；（4）将所得结论翻译成实际问题的答案 例19．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量测值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 例20．某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒． (1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式； (2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由． 变式10-1．某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 变式10-2．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 变式10-3．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 2．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 3．（2024高二上·辽宁·学业考试）如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周.图中与地面垂直，从开始逆时针转动，经过到达.设点与地面的距离为.若与的函数解析式为，其中，则的值为（   ）    A． B． C． D． 4．（2024-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，把图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若，则取最大值时，（    ） A． B． C． D． 6．（2023-24高三上·江苏淮安·期中）如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点恰好位于轮子的最高点 B．，其中 C．当时，点距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 7．（2024-25高三上·湖南·阶段练习）（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数在区间单调递增 D．当时，函数有8个零点 8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数为偶函数，其图象与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递减 D．若方程在上有两个不等实根，则 9．（2024-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 10．（2023-24高一下·北京东城·期末）某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，，a，b为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为 ；若该实验室这一天的最大温差为10，则的最大值为 ． 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则 .将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上有3个零点，则的取值范围为 . 12．（2024-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)利用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到图象上各点的横、纵坐标均变为原来的，得到函数的图象，求函数的解析式． 13．（2024-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数的取值范围. 14．（2023-24高一下·江西南昌·期中）4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？ 15．（2024-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 16．（2023-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$2025年高一数学复习与预习手册（寒假不停学）（人教A版2019） 复习10 三角函数的图象变换及应用 知识点 1 ：的有关概念 振幅 周期 频率 相位 初相 A 知识点 2 ：用五点法画一个周期内的简图 如下表所示： x 0 π 2π 0 A 0 －A 0 知识点 3 ：图象变换 1.对函数,的图象的影响（左加右减） 2、()对函数图象的影响 3、()对的图象的影响 4、的图象经变换得到的图象 注意：由到的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度． 知识点 4 ：三角函数模型的作用及解题步骤 三角函数作为描述现实世界中周期现象的一种数学模型,在刻画周期变化预测其未来等方面发挥着十分重 要的作用,具体地，我们可以利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”，观察散点图，然后进行函数拟合 获得具体的函数模型，最后利用这个函数模型来解决相应的实际问题. 解题步骤：收集数据→画散点图→选择函数模型→求解函数模型→检验． 考点01 根据图象求三角函数解析式 【方法点拨】（1）如果从图象可直接确定A和,则选取“五点法”中的“第一零点”的数据代入“”注意正确判断哪一点是“第一零点”)求得或选取最值点代入公式,求. （2）待定系数法:通过若干特殊点代入函数式,可以求得相关待定系数A,.这里需要注意的是,要认清所选择的点属于五个点中的哪一点,并能正确代入列式. 例1．函数的部分图象如图所示，其中，，．则的解析式为 ．    【答案】 【详解】由函数的部分图象可知：， 因为的个最小正周期为，所以，则， 根据五点法作图，令，解得，适合， 所以 故答案为： 例2．已知函数的部分图象如图中实线所示，圆C与图象交于M，N两点，且M在y轴上，则圆C的半径为 .    【答案】/ 【详解】根据函数的部分图象， 由图可知，M，N关于点C对称，易得点C的横坐标为， 的周期，所以， 函数， 结合五点法作图，可得， ，， 故，，即， 所以圆的半径为， 故答案为：. 【点睛】关键点睛：本题的关键是利用圆的对称性，结合正弦型函数的对称性进行求解. 变式1-1．函数的部分图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求函数在上的值域. 【答案】(1) (2). 【详解】（1）由，，则， 由，得， 设的周期为，则有， 所以令，所以. （2） 因为，所以， 则，故的值域为. 变式1-2．某智能主动降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波，通过两者叠加完全抵消掉噪音（如图），已知噪音的声波曲线（其中，，）的振幅为，周期为，初相位为，则用来降噪的声波曲线的解析式是（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知，周期，， 则， 所以噪音声波曲线为， 又噪音声波曲线与降噪声波曲线叠加后可消音， 所以降噪声波曲线为， 故选：D. 变式1-3．已知函数的部分图象如图，，则 ．    【答案】 【详解】由函数的图象可知该函数经过、两点， 把代入函数解析式中，得， 因为，所以，即， 把代入中，得 ， 设该函数的最小正周期为，由图象可知， 所以令，得，即， 该函数的对称轴为：， 与函数的图象可知：关于对称， 因此有，且， ， 故答案为： 【点睛】关键点睛：本题的关键是通过图象得到和关于对称. 考点02 同名三角函数图象变换过程 例3．要得到函数的图象，只需将的图象（    ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】C 【详解】要得到函数的图象，只需将的图象向右平移个单位长度; 故选：C 例4．要得到函数的图象，只需要将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】因为， 所以要得到函数的图象， 只需要将函数的图象向左平移个单位长度. 故选：B 变式2-1．已知函数图象为，为了得到函数的图象，只要把上所有点（    ） A．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 B．先向右平移个单位长度，再将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变 C．先将横坐标缩短到原来的，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 D．先将横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再向右平移个单位长度 【答案】C 【详解】先将函数图象上每点横坐标缩短到原来的， 纵坐标不变，得到的图象，再将得到的图象向右平移个单位长度， 得到函数的图象. 故选:C. 变式2-2．要得到的图象，可以将函数的图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 B．向左平移个单位长度，再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的 C．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向左平移个单位长度 D．横坐标缩短到原来的，再把所得图象上各点向右平移个单位长度 【答案】A 【详解】将函数的图象上所有的点向左平移个单位长度得到， 再把所得图象上各点的横坐标缩短到原来的得到． 也可以将函数的图象上所有的点横坐标缩短到原来的得到， 再向左平移个单位长度得到． 故选：A. 变式2-3．函数的图象可由的图象至少向右平移 个单位长度得到. 【答案】 【详解】解：， 所以的图像至少向右平移个单位长度得到. 故答案为: . 【点睛】本题考查了辅助角公式的应用，考查了三角函数图像的平移变换.本题的关键是对目标函数的解析式进行整理变形. 考点03 异名三角函数图象变换过程 【方法点拨】利用诱导公式进行函数名的改变，使得两个函数名相同 例5．要得到函数的图象，可以将函数的图象（   ） A．向右平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向左平移个单位长度 【答案】B 【详解】因为， ， 所以将的图象向左平移个单位可得到的图象. 故选：B. 例6．（多选）其中能把函数的图象变为的图象变换是（    ） A．把函数图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度 B．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 C．把函数图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍 D．把函数图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍 【答案】ABC 【详解】对于A，把函数的图象上每点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍，再向右平移个单位长度得到； 对于B，把函数的图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的可得，故B正确； 对于C，把函数的图象向左平移个单位长度，再把每一点的横坐标和纵坐标都变为原来的倍可得，故C正确； 对于D，把函数的图象向右平移个单位长度，再把每一点的横坐标变为原来的2倍，纵坐标变为原来的倍可得； 故选：ABC 变式3-1．（多选）为了得到函数的图象，只要把函数图象上所有的点（    ） A．向左平移个单位长度 B．向右平移个单位长度 C．向左平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】AD 【详解】把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，A正确； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，B错误； 把函数图象上所有的点向左平移个单位长度， 可得函数的图象，C错误； 把函数图象上所有的点向右平移个单位长度， 可得函数的图象，D正确； 故选：AD. 变式3-2．为了得到函数的图象，只需将函数的图象（    ） A．向左平移个单位长度 B．向左平移个单位长度 C．向右平移个单位长度 D．向右平移个单位长度 【答案】B 【详解】因为 ， 则向左平移个单位后得， 故选：B. 变式3-3．要得到函数的图象，只需将函数的图象上所有的点的（    ） A．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 B．横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 C．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向左平行移动个单位长度 D．横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），再向右平行移动个单位长度 【答案】A 【详解】令， A，函数图象上所有的点横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）时， 函数为， 若图象再向左平行移动个单位长度， 则函数为，A正确； 经检验，BCD均不合要求. 故选：. 考点04 求图象变换前后的解析式 例7．将函数的图象向右平移个单位后，得到函数的图象，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数的图象向右平移个单位后， 得到的图象， 所以. 故选：A. 例8．将函数的图象先向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为，所以将的图象向左平移个单位长度， 可得的图象， 再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变， 可得， 故选：A． 变式4-1．将函数的图象向左平移个单位长度后得到的图象，则在上的值域为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】， 图象向左平移个单位长度，得到， 上，， 则在上的值域为. 故选：C. 变式4-2．将函数的图象向左平移个单位长度，得到的新函数为偶函数，则的最小值为 ． 【答案】 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度， 得到函数的图象，且该函数为偶函数， 则，解得， 因为，则当时，取最小值. 故答案为：. 变式4-3．将函数图象向右平移个单位长度，得到函数图象，则 . 【答案】 【详解】易知， 向右平移个单位长度得到函数， 可得. 故答案为： 考点05 图象变换前后的重合问题 例9．（多选）已知函数的图象关于直线对称，且函数的图象向右平移个单位长度之后与原来的图象重合，则的值可以为（    ） A． B． C． D． 【答案】BD 【详解】函数的图象向右平移个单位长度之后得到了函数的图象， 由两函数图象完全重合知，所以. 又，故或. 又函数的图象关于直线对称， 当时，，则， 又，故； 当时，，则， 又，故. 故选：BD 例10．已知函数与的图象分别向右平移个单位长度和个单位长度后，所得图象重合，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】依题意，得， 所以或， 得或（不恒成立，舍去）， 故选：A. 变式5-1．若函数（）的图象向右平移个单位长度后与原图象重合，则的最小值为（    ） A．5 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后， 所得图象对应的函数为． 因为平移后的图象与原图象重合，所以有（）， 即（），又，所以的最小值为3． 故选：B 变式5-2．把函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，图象的对称轴与图象的对称轴重合，则的值可能为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得，与函数对称轴相同， 则， 得，所以的值可能为. 故选：C. 变式5-3．已知函数和的图象以每秒个单位的速度向左平移，的图象以每秒个单位的速度向右平移，若平移后的两个函数图象重合，则需要的时间至少为（    ） A．1秒 B．2秒 C．3秒 D．4秒 【答案】B 【详解】经过时间， 平移后可得， 平移后可得， 由两函数图象重合知，， 所以，即，由，可知. 故选：B 考点06 由图象变换研究函数性质 例11．已知函数的最小正周期是，将的图象向右平移个单位后得到函数的图象，若为偶函数，则正实数的最小值是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为函数， 函数的最小正周期是且，则，解得， 所以 将的图象向右平移个单位后得到函数的图象， 则， 若为偶函数，则，， 解得，，可知当时，正实数取得最小值. 故选：A. 例12．将函数的图象向右平移个单位长度，在纵坐标不变的情况下，再把平移后的函数图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象，则函数所具有的性质是（    ） A．图象关于直线对称 B．曲线与直线的所有交点中，相邻交点距离的最小值为 C．的一个单调递增区间为 D．图象关于点成中心对称 【答案】B 【详解】因为， 所以向右移个单位得函数解析式为， 又图象上每个点的横坐标变为原来的2倍，得到函数的图象， 所以， 对于A，因为，所以直线不是图象的对称轴，故A错误； 对于B，因为， 所以由函数图象性质可知曲线与直线的所有交点中， 相邻交点距离的最小值为，故B正确； 对于C，令， 所以当时的单调递增区间为，故C错误； 对于D，因为，所以直线不是图像的对称中心，故D错误. 故选：B. 【点睛】思路点睛：求解曲线与直线的所有交点中相邻交点距离的最小值时树形结合根据图象性质即可求解. 变式6-1．将函数的图象向左平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，可以得到函数的图象，若在上没有零点，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】将函数的图象向左平移个单位长度，得到， 再把所得函数图象的横坐标变为原来的倍，得到函数的图象，即 因为，所以， 因为在上无零点，所以， 即，解得， 因为，所以，. 故选：A 变式6-2．已知函数，先将函数的图象向右平移个单位长度，再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象．若函数的图象关于y轴对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】先将函数的图象向右平移个单位长度， 得到的图象， 再将图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到的图象， 因为函数的图象关于y轴对称，所以，即， 又因为，所以，所以， 所以． 故选：C． 变式6-3．将函数的图象向右平移个单位长度后，所得函数为奇函数，则 . 【答案】/ 【详解】将函数的图象向右平移个单位长度后，可得的图象， 根据所得函数为奇函数，可得 ，即，因为，令，可得， 故答案为： 考点07 三角函数图象变换综合应用 例13．已知函数. (1)若的最小正周期为，求的值； (2)将函数的图象向下平移1个单位长度，得到函数的图象，若函数在区间上没有最值，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：由函数 ， 因为的最小正周期为，所以，所以. （2）解：由（1）知， 将的图象向下平移1个单位长度，可得， 因为，可得， 令，则转化为函数在区间上无最值， 因为函数的单调区间为， 则满足，解得， 上述不等式组有正数解，则应满足，所以， 所以或， 当时，得；当时，得， 综上，实数的取值范围是. 例14．第一次诊断性考试数学试题）将函数图象上的所有点经过平移和伸缩变换得到函数的图象，若点被变换成了点，且，则的所有可能值之和为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意得，所有点经过平移和伸缩变换得到函数， 点被变换成了点， 即先变换为，再变换为，即， 所以，即或, 又因为，所以或， 则的所有可能值之和为， 故选：A. 变式7-1．（多选）已知函数，将的图象上所有点向右平移个单位长度，然后横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象.若为偶函数，且最小正周期为，则下列说法正确的是（　　） A．的图象关于对称 B．在上单调递减 C．≥的解为 D．方程在上有2个解 【答案】AC 【详解】将的图象上所有点向右平移个单位长度， 可得， 横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变， 可得， 由为偶函数，且最小正周期为， 则，且， 解得，， 所以， 对于A，当时，，即， 故的图象关于对称，故A正确； 对于B，由，则， 正弦函数的单调递减区间为， 由不是的子集，故B不正确； 对于C，≥，即，即， 即， 解得，故C正确； 对于D，，即， 作出函数图象与的图象，如下： 由图象可知，两函数的图象在上交点个数为个，故D不正确. 故选：AC 变式7-2．已知函数的最大值为2． (1)求常数的值； (2)求函数的单调递减区间和对称轴方程； (3)把函数的图象先向右平移个单位长度，再向下平移1个单位长度，得到函数的图象．若方程在上恰好有两个不同的根，求的值． 【答案】(1) (2)单调递减区间为；对称轴为； (3) 【详解】（1）解：因为 ， 所以， 解得； （2）解：因为， 由， 解得， 所以函数的单调递减区间为； 由， 可得， 所以函数的对称轴为； （3）解：由题意可得， 因为，所以，， 由，可得， 所以， 由正弦函数的对称性可知， 所以， 且，， , 所以 . 变式7-3．已知函数相邻两零点的距离为，且，将图象向左平移个单位长度，再将所得图象上的所有点保持纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍后得到函数的图象．若存在非负实数使得，在内恰好有8个零点，则所有符合条件的值组成的集合为 ． 【答案】 【详解】由函数相邻两零点的距离为，可得，可得， 则，因为，则， 所以，可得， 则， 令且，此时， 则且， 则上述方程在实数范围内一定有两个异号的根，不妨设， ①当时，，此时，无解， 对于在内有6个零点，内都有8个零点，内有10个零点，则或； ②当时，，此时，在内有6个零点，在内有8个零点，在内有9个零点，故； ③当时，，此时，令， 因为，则，故在内有6个零点，在内有8个零点，在内有10个零点，故， 综上可得，． 故答案为：. 考点08 三角函数在物理中的应用 【方法点拨】(1)常涉及的物理学问题有单摆、光波、电流、机械波等，其共同的特点是具有周期性． (2)明确物理概念的意义，此类问题往往涉及诸如频率、振幅等概念，因此要熟知其意义并与对应的三角函数知识结合解题． 例15．如图，弹簧挂着的小球上下振动，它在（单位：s）时相对于平衡位置（静止时的位置）的高度（单位：）由关系式确定，其中，，.已知在时，小球位于最高点，且最高点与最低点间的距离为. (1)求小球相对平衡位置的高度和时间之间的函数关系； (2)每秒钟小球能往复振动多少次？ 【答案】(1)，. (2)次. 【详解】（1）因为小球振动过程中最高点与最低点的距离为，所以. 因为在时，小球位于最高点，所以，解得，. 因为，所以. 所以，. （2）小球振动的频率，即每秒钟小球能往复振动次. 例16．阻尼器是一种以提供阻力达到减震效果的专业工程装置．由物理学知识可知，某阻尼器的运动过程可近似为单摆运动，其离开平衡位置的位移和时间的函数关系为，如图．若该阻尼器在摆动过程中连续三次到达同一位置的时间分别为，且，则在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：由，得， 所以，，则， 令，得， 解得， 所以在一个周期内阻尼器离开平衡位置的位移小于的总时间为： ， 故选：D 变式8-1．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】C 【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A错误； 令，所以，又，所以， 因为，所以或. 又，所以，所以.故B错误； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减，因为， 所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D错误. 故选：C. 变式8-2．（多选）在物理学中，把物体受到的力（总是指向平衡位置）正比于它离开平衡位置的距离的运动称为“简谐运动”.在适当的直角坐标系下，某个简谐运动可以用函数（，，）的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A．，频率为，初相为 B．函数的图象关于直线对称 C．函数在上的值域为 D．若在上恰有4个零点，则m的取值范围是 【答案】BD 【详解】根据函数的图象，，，故，所以； 当时，， 所以，，整理得，， 由于，所以当时，，故． 对于A，，频率为，初相为，故A错误； 对于B：当时，，故B正确； 对于C：由于，故，故，故C错误； 对于D：，则，若在上恰有4个零点， 则，解得， 故的取值范围是，D正确． 故选：BD． 变式8-3．在近期学校组织的论文展示大赛中，同学们发现数学在音乐欣赏中起着重要的作用纯音的数学模型是三角函数如音叉发出的纯音振动可表示为，其中表示时间，表示纯音振动时音叉的位移我们听到的每个音是由纯音合成的，若某合音的数学模型为函数，且声音的质感与的参数有关，比如：音调与声波的振动频率有关，频率低的声音低沉，频率高的声音尖利． （1）当时，函数的对称中心坐标为 ； （2）当时，合音的音调比纯音 （填写“高”或“低”）． 【答案】 低 【详解】当时，时，函数的对称中心坐标为； 当时，，函数的最小正周期为，函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为，，函数的最小正周期为， 因此函数的最小正周期为，频率为，的周期为，频率为， 所以比的频率低，即合音的音调比纯音音调低． 故答案为：；低 考点09 三角函数在圆周中的应用 例17．如图所示，一半径为4米的水轮，水轮圆心距离水面2米，已知水轮每60秒逆时针转动一圈，如果当水轮上点从水中浮现时（图中点）开始计时，则下列说法错误的是（    ） A．点第一次到达最高点需要20秒 B．当水轮转动155秒时，点距离水面1米 C．当水轮转动50秒时，点在水面下方，距离水面2米 D．点距离水面的高度（米）与时间（秒）之间的函数解析式为 【答案】B 【详解】设点距离水面的高度为（米）与时间（秒）之间的函数解析式为，， 由题意，，，解得, ，则. 当时，，则， 又，则. 综上，，故D正确； 令，则， 若，得秒，故A正确； 当秒时，米，故B不正确； 当秒时，米，故C正确. 故选：B. 例18．已知现代600千瓦风力发电机上，每个扇叶长度为20m，对应塔高（旋转中心距离地面的高度）为60m，扇叶逆时针方向每分钟旋转27转．若点为扇叶尖上一点，当位于最低点时开始计时，则离地面的距离（单位：m）与其转动时间（单位：s）的函数关系式为（    ）（角速度圆半径转过的弧度/运动时间） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以旋转中心为原点，扇叶长度为半径建立平面直角坐标系． 由题意可得点作匀速圆周运动的角速度为， 可得秒后点旋转过的弧度为， 设函数，由题可得， 所以，当时，， 代入可得，则得， 则. 故选：A. 变式9-1．如图是一个摩天轮的示意图，该摩天轮半径为圆上最低点与地面距离为且摩天轮转动一圈，图中与地面垂直，游客从处进入座舱，逆时针转动后到达处，设点到地面的距离为 (1)试将表示成关于的函数； (2)由于建筑物的阻挡，当座舱离地面的高度不低于33m时，乘客方可观看远处的无人机表演，已知无人机表演共持续求乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）因为摩天轮距离地面高度是周期变化，且与三角函数有关， 不妨设开始转动后距离地面的高度， 由题可知，，， 所以，， 因为，解得，此时， 因为时，代入有, 解得， 故 . （2）令，即， 即， 解得， 所以一个周期内可观看无人机表演的时间有， 因为摩天轮转动一圈，无人机表演共持续， ，即摩天轮再次期间恰好转圈，所以， 即乘坐摩天轮可观看无人机表演的总时长的最大值为. 变式9-2．（多选）“乡村振兴”是新时代响应习主席社会主义核心价值观的重要举措，秦岭山中镇水县乾祐河畔某乡镇游乐中心欲对游乐设施——摩天轮的运行参数进行核算，以利于该镇游乐设施的进一步发展.如图，该摩天轮的半径为，其中心点距离地面的高度为，摩天轮按逆时针方向匀速转动，且每20分钟转一圈，若摩天轮上点的起始位置在最高点处，则摩天轮转动过程中（    ） A．转动10分钟后点距离地面 B．若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的 C．第17分钟和第43分钟，点距离地面的高度相同 D．摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于的时间为分钟 【答案】ACD 【详解】设转动过程中，点离地面距离的函数为：， 由题意得：，又，即， 不妨取满足题意的，所以， 选项A，转到后，点距离地面的高度为，故A正确； 选项B，若摩天轮转速减半，则转动一圈所需的时间变为原来的2倍，故B不正确； 选项C，因为 ， ，所以， 即第和第点距离地面的高度相同，故C正确； 选项D，令，则， 由，解得， 所以，即摩天轮转动一圈，点距离地面的高度不低于m的时间为， 故D正确； 故选：ACD. 变式9-3．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（如图）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做逆时针匀速圆周运动，筒车转轮的中心O到水面的距离h为1.5m，筒车的半径r为2.5m，筒转动的角速度为，如图所示，盛水桶M（视为质点）的初始位置距水面的距离为3m，则3s后盛水桶M到水面的距离近似为（    ）（，）． A．4.5m B．4.0m C．3.5m D．3.0m 【答案】B 【详解】根据题意，建立如下所示平面直角坐标系： 根据题意，盛水桶M到水面的距离与时间满足：； 因为筒转动的角速度为，故； 又；，解得，则； 又当时，，则，，则； 故当时，. 故选：B. 考点10 三角函数在生活中的应用 【方法点拨】（1）读懂题目中的“文字”“图象”“符号”等语言，理解所反映的实际问题的背景，得出相应的数学问题；（2）整理数据，引入变量，找出变化规律，运用已掌握的三角函数知识、物理知识及其他相关知识建立关系式，即建立三角函数模型（3）利用所学的三角函数知识解答得到的三角函数模型，求得结果；（4）将所得结论翻译成实际问题的答案 例19．电影《流浪地球》中反复出现这样的人工语音：“道路千万条，安全第一条.行车不规范，亲人两行泪”成为网络热句.讲的是“开车不喝酒，喝酒不开车”.2019年，公安部交通管理局下发《关于治理酒驾醉驾违法犯罪行为的指导意见》，对综合治理酒驾醉驾违法犯罪行为提出了新规定，根据国家质量监督检验检疫总局下发的标准，车辆驾驶人员饮酒后或者醉酒后驾车血液中的酒精含量阈值见表.经过反复试验，一般情况下，某人喝一瓶啤酒后酒精在人体血液中的变化规律的“散点图”见图，且图表所示的函数模型，x表示时间，车辆驾枝人员血液酒精含量测值： 驾驶行为类别 阈值（mg/100mL） 饮酒驾车 醉酒驾车 根据上述条件，回答以下问题： (1)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时血液中的酒精含量达到最大值？最大值是多少？ (2)试计算某人喝1瓶啤酒后多少小时才可以驾车？（时间x以整小时计）（参考数据：，） 【答案】(1)1.5小时，最大值是53毫克/百毫升 (2)6小时 【详解】（1）由图可知，当函数取得最大值时，. 此时. 当时，即时，函数取得最大值为， 故喝一瓶啤酒后1.5小时血液中的酒精达到最大值，最大值是53毫克/百毫升; （2）由题意知当车辆驾驶人员血液中的酒精小于20毫克/100毫升可以驾车，此时， 由，即， 解得， ，的最小值为6，故某人故喝一瓶啤酒后6小时才可以驾车. 例20．某市物价局调查了某种治疗H1N1流感的常规药品在2014年每个月的批发价格和该药品在药店的销售价，调查发现，该药品的批发价格按月份以12元/盒为中心价随某一正弦型曲线上下波动，且3月份的批发价格最高，为14元/盒，7月份的批发价格最低，为10元/盒．该药品在药店按月份以14元/盒为中心价随另一正弦型曲线上下波动，且5月份的销售价格最高，为16元/盒，9月份的销售价格最低，为12元/盒． (1)求该药品每盒的批发价格和销售价格关于月份的函数解析式； (2)假设某药店每月初都购进这种药品盒，且当月售完，求该药店在2014年哪些月份是盈利的？说明你的理由． 【答案】(1)，； (2)在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的，理由见解析． 【详解】（1）由题意， 设，由已知，，． 又周期，则． 从而． 因为，则，即，可取． 故该药品每盒的批发价格函数解析式为． 同理，该药品每盒的销售价格函数解析式为． （2）设该药店第月购进这种药品盒所获利润为元，则 ， 由，得，即， 所以，， 即，， 因为且，则， 故该药店在2014年4月、5月、6月、7月、8月、12月是盈利的． 变式10-1．某地区的一种特产水果最早一批在每年11月上市，上市初期产量较低，因此价格居高且逐渐上涨，中期产量增大时价格逐渐下跌，后期又由于供应量不足价格上涨，其销售价格（单位：元/千克）随着月份的变化满足函数（，其中1表示十一月份，2表示十二月份，…），经调查统计，一月份该水果的平均销售价格为10元/千克，五月份该水果的平均销售价格为6元/千克． (1)求函数的解析式； (2)若该水果价格小于7元/千克时，果农就会联合批发商积极拓宽外销渠道，则每年哪几个月份需要采取外销策略？ 【答案】(1) (2)每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略 【详解】（1）由题意可得：，解得， 所以． （2）令，即， 则，解得， 因为，则，故可取6，7，8， 因此每年4月、5月、6月这三个月需要采取外销策略． 变式10-2．海水受日月引力会产生潮汐．以海底平面为基准，涨潮时水面升高，退潮时水面降低．现测得某港口某天的时刻与水深的关系表如下所示：（3.1时即为凌晨3点06分） 时刻：x（时） 0 3.1 6.2 9.3 12.4 15.5 18.6 21.7 24 水深：y（米） 5.0 7.4 5.0 2.6 5.0 7.4 5.0 2.6 4.0 (1)根据以上数据，可以用函数来近似描述这一天内港口水深与时间的关系，求出这个函数的解析式； (2)某条货船的吃水深度（水面高于船底的距离）为4.2米．安全条例规定，在本港口进港和在港口停靠时，船底高于海底平面的安全间隙至少有2米，根据（1）中的解析式，求出这条货船最早可行的进港时间及这条货船一天最多可以在港口中停靠的总时长． 【答案】(1) (2)最早可行的进港时间为 1 时 2 分， 5 时 10 分出港；这条货船一天中最多可以在港口中停靠的总时长为8小时16分. 【详解】（1）由表格可知y的最大值为7.4，最小值为2.6， 所以， 由表格可知， 所以， 所以， 将点代入可得：， 所以， 解得， 因为，所以， 所以. （2）货船需要的安全水深为 米, 所以进港条件为 . 令 , 即, 所以, 解得, 因为， 所以时，, 时， 因为（时） 时 2 分, （时） 时 10 分. （时） 时 26 分，（时） 时 34 分. 因此，货船可以在 1 时 2 分进港，早晨 5 时 10 分出港；或在下午 13 时 26 分进港，下午 17 时 34 分出港. 则该货船最早进港时间为1时2分，停靠总时长为8小时16分钟. 变式10-3．音乐喷泉曲线形似藤蔓上挂结的葫芦，也可称为“葫芦曲线”.它的性质是每经过相同的时间间隔，它的振幅就变化一次.如图所示，某一条葫芦曲线的方程为，其中表示不超过x的最大整数.若该条曲线还满足，经过点.则该条葫芦曲线与直线交点的纵坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】将点代入葫芦曲线的方程可得， 即，由可得， 因此曲线方程为， 当时，可得， 所以交点的纵坐标为. 故选：C 1．（2024高三·全国·专题练习）已知函数的部分图象如图所示，则函数的解析式为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【详解】设的最小正周期为， 由图可知，，即，且，所以， 此时，将代入得， 即，且，则， 可得，解得，所以. 故选：D. 2．（2024-25高二上·陕西西安·阶段练习）将函数（其中）的图像向右平移个单位长度，所得图像关于直线对称，则的最小值是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，图像平移后的函数的解析式为， 因为该图像关于直线对称， 所以，，解得，， 因为，所以当时，取得最小值． 故选：B． 3．（2024高二上·辽宁·学业考试）如图为一个摩天轮示意图，该摩天轮圆半径为4.8m，圆上最低点与地面距离为0.8m，60s转动一周.图中与地面垂直，从开始逆时针转动，经过到达.设点与地面的距离为.若与的函数解析式为，其中，则的值为（   ）    A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意从开始逆时针转动，60s转动一周，故点A在圆上转动的角速度是， 所以. 故选：B 4．（2024-25高三上·天津·阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，其中，，则以下说法正确的个数为（    ） ①函数的最小正周期是； ②函数的图象关于直线对称； ③把函数图像上的点纵坐标不变，横坐标缩短为原来的，得到的图象； ④当时， A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【详解】由图象知：，解得，故①错误； 所以，解得. 将代入得， 所以，即， 又因为，所以，. 当时，， 所以函数的图象关于直线对称，故②正确； 把函数图像上的点横坐标缩短为原来的， 得到，故③正确； 当时，， ，，故④错误. 所以说法正确的是②③. 故选：C. 5．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，把图像上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图像向左平移个单位长度，得到函数的图像，若，则取最大值时，（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 ， 则， ， 当时，取最大值， 此时． 故选：D 6．（2023-24高三上·江苏淮安·期中）如图，是轮子外边沿上的一点，轮子的半径为0.5（单位：）.若轮子从图中位置向右匀速无滑动滚动，设当滚动的水平距离为（单位：）时，点距离地面的高度为（单位：），则下列说法中正确的是（    ） A．当时，点恰好位于轮子的最高点 B．，其中 C．当时，点距离地面的高度在下降 D．若，，则的最小值为 【答案】B 【详解】如图，过分别作地平线的垂线，垂足分别为，过作于，记， 又轮子的半径为0.5，则有，得到， 在中，，所以， 故， 对于选项A，当时，，所以选项A错误； 对于选项B，，所以选项B正确； 对于选项C，当时，，又，所以在区间上先减后增，故选项C错误； 对于选项D，由，得到， 由，得到或，， 又，当，时，满足，此时，故选项D错误， 故选：B. 7．（2024-25高三上·湖南·阶段练习）（多选）已知函数的图象如图所示，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．函数在区间单调递增 D．当时，函数有8个零点 【答案】ACD 【详解】对于选项A，由图知，，得到， 则，选项A正确； 对于选项B，，又因为， 所以，故选项B错误； 对于选项C，当时，，单调递增，所以选项C正确； 对于选项D，， 整理得，， 令，得 观察图象知，和在上共8个交点， 所以在上共有8个零点，故选项D正确. 故选：ACD 8．（2024高三·全国·专题练习）（多选）已知函数为偶函数，其图象与直线的两个交点的横坐标分别为，若的最小值为，将的图象向右平移个单位长度，得到的图象，则下列说法正确的是（    ） A． B．是函数图象的一个对称中心 C．函数在上单调递减 D．若方程在上有两个不等实根，则 【答案】AC 【详解】的最大值为， 由题意的最小值为， 即函数的最小正周期为，又，则． 又因为函数为偶函数，所以． 又由，得， 所以， A项，由题意，， 所以，故A正确； B项，，故B错误； C项，， 由，解得， 当时，，故函数在上单调递减，故C正确； D项，当时，， 当时，由，得，解得， 此时方程在上仅有一个实根，故D错误． 故选：AC． 9．（2024-25高一上·全国·课后作业）将函数的图象向左平移半个最小正周期，得到函数的图象，则函数的一个对称中心为 ． 【答案】（答案不唯一） 【详解】因为函数的最小正周期为， 故， 令，解得， 当时，可得函数的一个对称中心为. 故答案为：（答案不唯一，满足即可）． 10．（2023-24高一下·北京东城·期末）某实验室一天的温度（单位：）随时间t（单位：h）的变化近似满足函数关系：，，a，b为正实数，若，，则该实验室这一天的最大温差为 ；若该实验室这一天的最大温差为10，则的最大值为 ． 【答案】 4 【详解】因为， 且的最小正周期，即正好为一个满周期， 可知的最大值为，最小值为， 可得最大温差为， 若，，则最大温差； 若该实验室这一天的最大温差为10，即，可得， 又因为a，b为正实数，则，可得， 当且仅当时，等号成立， 所以的最大值为. 故答案为：4；. 11．（2025高三·全国·专题练习）已知函数，将的图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再向右平移个单位长度后，得到函数的图象，则 .将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象，若在区间上有3个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【详解】函数图象上各点的横坐标变为原来的（纵坐标不变）， 可得的图象，再向右平移个单位长度， 可得的图象. 将的图象上各点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）， 得到函数， 当时，， 因为在区间上有3个零点，故， 解得，则的取值范围为. 故答案为：； 12．（2024-25高一上·全国·课后作业）已知函数． (1)利用“五点法”画出函数在一个周期内的图象； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再将得到图象上各点的横、纵坐标均变为原来的，得到函数的图象，求函数的解析式． 【答案】(1)答案见解析 (2) 【详解】（1）列表： 0 0 8 0 0 描点连线； （2）将函数的图象向右平移个单位长度， 得到， 再将得到图象上各点的横坐标变为原来的，得到函数的图象， 再将得到图象上各点的纵坐标变为原来的，得到函数． 13．（2024-25高三上·湖南郴州·期末）已知函数的部分图象如图所示.    (1)求的解析式； (2)若在区间上存在最小值，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由图可得， 由，则最小正周期，即， 又当时，取到最大值，则， 所以，又，所以， 所以； （2）当时，， 若函数在区间上存在最小值，则，解得， 所以实数的取值范围为. 14．（2023-24高一下·江西南昌·期中）4月11日至13日，我校组织高一高二全体师生一千六百余人前往九江、景德镇、上饶、抚州等地开展为期三天的融研学实践活动，汤显祖文化馆是此次研学的路线点之一，该文化馆每年都会接待大批游客.在该文化馆区的一家专门为游客提供住宿的客栈中，工作人员发现为游客准备的食物有些月份剩余较多，浪费很严重.为了控制经营成本，减少浪费，计划适时调整投入.为此他们统计每个月入住的游客人数，发现每年各个月份来客栈入住的游客人数呈周期性变化，并且有以下规律：①每年相同的月份，入住客栈的游客人数基本相同；②入住客栈的游客人数在2月份最少，在8月份最多，相差约400；③2月份入住客栈的游客约为100人，随后逐月递增，在8月份达到最多. (1)试用一个正弦型三角函数描述一年中入住客栈的游客人数与月份之间的关系； (2)请问客栈在哪几个月份要准备400份以上的食物？ 【答案】(1) (2)6，7，8，9，10月份 【详解】（1）设该函数为（，，），其中． 根据①，可知这个函数的周期是12； 由②，可知最小，最大，且，故该函数的振幅为200； 由③，可知在上是增函数，且，所以． 根据上述分析可得，故， 由，解得， 当时，最小，当时，最大， 故，且，可得， 由，得． 所以入住客栈的游客人数与月份之间的函数关系式为. （2）由条件，可知， 化简得，即， 解得，, 因为，且，所以， 即客栈在月份要准备400份以上的食物． 15．（2024-25高三上·黑龙江牡丹江·阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两对称轴间的距离为. (1)求的解析式及单调减区间； (2)将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的(纵坐标不变)，得到函数的图象，当时，求方程的所有根之和. 【答案】(1)，单调减区间为 (2) 【详解】（1）由题意可知，函数， 又因为函数为奇函数，所以可得， 又，解得， 因为函数图象的相邻两对称轴间的距离为， 可得周期，由可得.故函数. 令，可得单调减区间为 （2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象， 再把横坐标缩小为原来的，得到函数 由方程得或， 即或（舍）； 当时，，所以或或或; 即方程有四个实数根，不妨设为； 可得. 所以，故所有根之和为. 16．（2023-24高一下·山东威海·期末）已知函数，对，有. (1)求的值及的单调递增区间； (2)若，，求； (3)将函数图象上的所有点，向右平移个单位后，再将所得图象上的所有点，纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到函数的图象.若，，求实数的取值范围. 【答案】(1)，单调递增区间为（） (2) (3)或 【详解】（1）， 因为对，有，可得当时，取得最值， 所以，， 可得，，又， 所以， 所以， 由，，可得，， 所以的单调递增区间为（）. （2）由，，， 可得，， 所以， 所以. （3）将函数图象上的所有点，向右平移个单位后得到 函数的图象，进而可得， 令， 只需， 令， 因为，所以， 所以， 因为，可得， 所以， 因为，所以当时，， 所以，即，解得或. 所以实数的取值范围为或. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$