（新课衔接站）专题07 露在外面的面 -2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题07 露在外面的面 （导图+5个知识点+5个易错点+2个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：露在外面的面的定义 2 知识点02：如何确定露在外面的面 2 知识点03：露在外面的面的面积计算 2 知识点04：露在外面的面的应用 3 知识点05：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：忽视观察角度和摆放方式 3 易错知识点02：重叠面的处理不当 3 易错知识点03：面积单位换算错误 4 易错知识点04：空间想象能力不足 4 易错知识点05：忽视题目中的附加条件 4 考点培优讲练 4 考点1：表面涂色的正方体 4 考点2：组合体的表面积（长方体和正方体） 8 真题汇编拔尖练 12 知识点01：露在外面的面的定义 露在外面的面指的是长方体（或其他立体图形）在特定摆放或堆叠方式下，能够被直接观察到的面。这些面没有被其他物体或面所遮挡。 知识点02：如何确定露在外面的面 1. 观察法： 直接观察长方体的摆放方式，确定哪些面是露在外面的。 注意考虑不同视角下的观察结果，确保全面、准确地识别露在外面的面。 2. 想象与推理： 对于复杂堆叠或摆放的长方体组合，可以通过想象或推理来确定露在外面的面。 想象光线从不同方向照射长方体，哪些面会被光线直接照射到，即为露在外面的面。 3. 标记与记录： 在解题过程中，可以使用标记或记录的方式来帮助确定露在外面的面。 例如，可以在图纸上画出长方体的摆放方式，并用不同颜色或符号标记露在外面的面。 知识点03：露在外面的面的面积计算 1. 单个长方体的露外面积： 对于单个长方体，露在外面的面的面积即为这些面的实际面积之和。 使用长方形面积公式（长×宽）来计算每个露在外面的面的面积，并将它们相加。 2. 长方体组合的露外面积： 对于由多个长方体组合而成的物体，露在外面的面的面积计算可能更为复杂。 需要分别计算每个长方体的露在外面的面的面积，并考虑它们之间的重叠部分（如果有的话）。 重叠部分通常不计入露在外面的面的面积中，因为它们被其他长方体所遮挡。 知识点04：露在外面的面的应用 1. 实际问题解决： 露在外面的面的知识点在解决实际问题中具有广泛应用。 例如，在计算建筑物外墙的涂料用量时，需要考虑露在外面的墙面的面积。 又如，在摆放家具时，需要考虑家具露在外面的面的美观性和实用性。 2. 空间想象与推理能力培养： 通过解决露在外面的面的相关问题，可以培养学生的空间想象能力和推理能力。 这些能力在数学学习和日常生活中都具有重要意义。 知识点05：注意事项 1. 准确识别露在外面的面： 在解题过程中，要准确识别哪些面是露在外面的，避免遗漏或错误计算。 2. 考虑不同视角下的观察结果： 露在外面的面可能会因观察视角的不同而发生变化。因此，在解题时需要考虑不同视角下的观察结果。 3. 注意单位换算： 在计算露在外面的面的面积时，需要注意单位换算问题。确保所有面积的单位一致，以便进行准确的计算。 易错知识点01：忽视观察角度和摆放方式 错误表现：学生在确定露在外面的面时，容易忽视观察角度和长方体的摆放方式，导致判断错误。 正确做法：需要明确题目中给出的观察角度和长方体的具体摆放方式，从多个角度观察，确保全面、准确地识别露在外面的面。 易错知识点02：重叠面的处理不当 错误表现：在计算露在外面的面的面积时，学生容易忽视重叠部分，将每个面的面积简单相加，导致结果偏大。 正确做法：需要仔细分析露在外面的面，确定哪些面是重叠的，重叠部分不应计入总面积。在计算时，可以先分别计算每个面的面积，然后减去重叠部分的面积。 易错知识点03：面积单位换算错误 错误表现：在计算露在外面的面的面积时，学生容易忽视面积单位的换算，导致计算结果不准确。 正确做法：需要明确题目中给出的面积单位，如果单位不统一，需要进行换算。在计算过程中，要注意保持单位的一致性，避免单位换算错误。 易错知识点04：空间想象能力不足 错误表现：对于一些复杂的长方体堆叠或摆放方式，学生由于空间想象能力不足，难以准确判断露在外面的面。 正确做法：可以通过多观察、多实践来培养空间想象能力。例如，使用实物模型进行摆放和观察，或者通过画图来辅助理解和判断。同时，多做一些相关练习题，提高解题能力和空间想象能力。 易错知识点05：忽视题目中的附加条件 错误表现：题目中可能给出一些附加条件，如“不考虑底面”、“只计算前面和侧面的面积”等，学生容易忽视这些条件，导致计算结果不符合题目要求。 正确做法：需要仔细阅读题目，明确题目中的附加条件，并根据这些条件来确定露在外面的面和计算面积的方式。 考点1：表面涂色的正方体 【典例精讲】（20-21五年级下·陕西西安·期末）把27个相同的小正方体拼成一个大正方体，把它的表面全部涂色。 (1)两面涂色的有( )块。 (2)三面涂色的有( )块。 (3)没有涂色的有( )块。 【答案】(1)12 (2)8 (3)1 【思路点拨】（1）小正方体组成的大正方体的每个顶点处的小正方体三面涂色，位于每条棱非两端的都是两面涂色，一个正方体有12条棱，每条棱上1块，有12块两面涂色； （2）大正方体有8个顶点，三面涂色是8块； （3）处于每个面非边缘的小正方体一面涂色，即小正方体位于每个面中间的1面涂色，大正方体有6个面，一面涂色的就是6块；用27减去三面涂色的块数，减去两面涂色的块数减去一面涂色的块数，即可求出没有涂色的块数。 【规范解答】（1）两面涂色的有12块 （2）三面涂色的有8块 （3）一面涂色的有6块 没涂色的： 27－12－8－6 ＝15－8－6 ＝7－6 ＝1（块） 没有涂色的有1块。 【考点评析】弄清位于什么位置上的小正方体三面涂色，位于什么位置上的小正方体两面涂色，位于什么位置上的小正方体一面涂色是解答本题的关键。 【变式1】（20-21五年级下·广东深圳·期末）将6个棱长是1厘米的小正方体按如图的方式摆放在桌面，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】 21 21 【思路点拨】有从上、左、右、前、后五个方向看到的面露在外面，左面和右面看到小正方形面数量一样，前面和后面看到的小正方形面数量一样；据此解答即可。 【规范解答】从上面看到3个小正方形面，从左右面看到各3个小正方形面，从前后面各看到6个小正方形面 3＋3×2＋6×2 ＝3＋6＋12 ＝21（个） 1×1×21＝21（平方厘米） 【考点评析】按一定的顺序计算立体图形从外面看到的面，避免出现遗漏和重复。 【变式2】（21-22五年级下·山西吕梁·期中）4个小正方体堆放在墙角处，图①有( )个面露在外面，图②有( )个面露在外面。发现相同个数的小正方体( )不同，( )也不同。 【答案】 9 8 摆法 露在外面的面的个数 【思路点拨】通过数图①露在外面的面，前面、左面、和上面分别有4个面、3个面和2个面露在外面，共有4＋3＋2＝9（个）个面露在外面；通过数图②露在外面的面，前面、左面、和上面分别有2个面、2个面和4个面露在外面，共有2＋2＋4＝8（个）面露在外面。据此得出结论。 【规范解答】根据分析可知：4个小正方体堆放在墙角处，图①有9个面露在外面，图②有8个面露在外面。发现相同个数的小正方体摆法不同，露在外的面的个数也不同。 【考点评析】此题考查了露在外的面的个数，锻炼了学生的空间想象力和抽象思维能力。 【变式3】（19-20五年级下·广东湛江·期末）如图，几个棱长是2分米的正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( ) 平方分米。 【答案】 15 60 【思路点拨】从正面看有6个面露在外面，从上面看有4个面露在外面，从右面看有5个面露在外面，将所有露在外面的面的个数相加即可；用露在外面的面的总个数乘每个面的面积即可。 【规范解答】6＋4＋5＝15（个）； 2×2×15 ＝4×15 ＝60（平方分米） 【考点评析】分别求出从正面、上面和右面看到的露在外面的面的个数是解答本题的关键，进而求出露在外面的面的总个数和面积。 【变式4】（20-21五年级下·辽宁·期中）下图是由同样大小的小正方体堆放起来的，每个小正方体的棱长是1厘米，这堆小正方体露在外面的面积是( )平方厘米。 【答案】15 【思路点拨】观察图形，可以从正、侧、上三个方向观察各有几个小正方形的面露在外面，求出露在外面的总个数，已知一个正方形的棱长，求出一个正方形的面积，再乘总露在外面的面，即可解答。 【规范解答】（6＋5＋4）×（1×1） ＝（11＋4）×1 ＝15×1 ＝15（平方厘米） 【考点评析】本题考查学过的露在外面的面的知识解答，要记住从三个方向观察，仔细认真观察。 【变式5】（21-22五年级下·广东湛江·期末）把一个长是12厘米、宽是8厘米、高是6厘米的长方体木块表面涂成红色，然后切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成( )块小正方体，只有3面涂色的小正方体有( )块，只有2面涂色的小正方体有( )块，只有1面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 【答案】 72 8 28 28 8 【思路点拨】根据长方体切割正方体的特点可得：12÷2＝6块，8÷2＝4块，6÷2＝3块，将各条棱上所得的正方体块数相乘可以求得小正方体的总块数；3面涂色的木块在顶点位置，2面涂色的木块在棱上非顶点的位置，1面涂色的木块在每个面上非棱上的位置，没有涂色的木块用所有小木块的数量减去涂色木块的数量求解。 【规范解答】12÷2＝6（块） 8÷2＝4（块） 6÷2＝3（块） 可以切成：6×4×3＝72（块）； 3面涂色的木块在顶点位置，所以只有8块； 2面涂色的木块在棱上非顶点的位置 （6－2）×4＋（4－2）×4＋（3－2）×4 ＝4×4＋2×4＋1×4 ＝16＋8＋4 ＝28（块） 1面涂色的木块在每个面上非棱上的位置 （6－2）×（4－2）×2＋（6－2）×（3－2）×2＋（4－2）×（3－2）×2 ＝4×2×2＋4×1×2＋2×1×2 ＝16＋8＋4 ＝28（块） 没有涂色的数量为： 72－8－28－28＝8（块） 【考点评析】本题主要考查了染色问题，掌握涂色面数不同的小木块所在位置是本题解题的关键。 考点2：组合体的表面积（长方体和正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）把3个棱长为3分米的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】 7 63 【思路点拨】观察可知，从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面露在外面，从右面看有2个面露在外面，再用加法计算一共有多少个面露在外面。接着根据，计算一个面的面积，有几个面再乘几，即可得露在外面的总面积。 【规范解答】从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面露在外面，从右面看有2个面露在外面。 （个） （平方分米） 有7个面露在外面，露在外面的面积是63平方分米。 【变式1】（23-24五年级下·广东揭阳·期中）求下图的表面积。（单位：cm） 【答案】252平方厘米 【思路点拨】观察图形可知，这个立体图形的表面积比长方体和正方体的表面积之和少了2个小正方形的面积。长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【规范解答】（10×6＋6×3＋10×3）×2＋3×3×（6－2） ＝（60＋18＋30）×2＋3×3×4 ＝108×2＋36 ＝216＋36 ＝252（平方厘米） 则这个图形的表面积是252平方厘米。 【变式2】（22-23五年级下·甘肃定西·阶段练习）求出下面放在地面上的物体露在外面的面积。（单位：cm） 【答案】148cm2 【思路点拨】观察图形可知，正方体与长方体有重合的部分，把正方体的上面向下平移，补给长方体的上面；这样长方体露在外面的面积是上面、前后面、左右面共5个面的面积之和，根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”即可求出这5个面的面积之和； 而正方体露在外面的面积只有4个面（前后面和左右面）的面积，根据“棱长×棱长×4” 即可求出这4个面的面积之和； 最后把长方体露在外面的面积加上正方体露在外面的面积，即是放在地面上的物体露在外面的面积。 【规范解答】8×3＋8×4×2＋3×4×2＋3×3×4 ＝24＋64＋24＋36 ＝148（cm2） 放在地面上的物体露在外面的面积是148cm2。 【变式3】（2024五年级下·辽宁·专题练习）下图是摆放在桌子上的3个正方体，有（    ）个面露在外面。 A．16 B．14 C．12 【答案】C 【思路点拨】 前面、后面、左面、右面和上面露在外面，其中前面和后面看到的形状一样，左面和右面看到的形状一样，观察可知，前面看有3个小正方形，右面看有2个小正方形，上面看有2个小正方形，前面看到的个数×2＋右面看到的个数×2＋上面看到的个数＝露在外面的个数，据此分析。 【规范解答】3×2＋2×2＋2 ＝6＋4＋2 ＝12（个） 有12个面露在外面。 故答案为：C 【变式4】．（23-24五年级下·广东湛江·期中）4个棱长为6cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【答案】 8 288 【思路点拨】露在外面的是前面、上面和右面，从前面看有4个小正方形，从上面看有2个小正方形，从右面看有2个小正方形，将前面、上面和右面小正方形的个数相加是露在外面的面；先求出一个小正方形的面积，再乘露在外面的小正方形的个数即可。 【规范解答】4＋2＋2＝8（个） 36×8＝288（cm2） 有8个面露在外面，露在外面的面积是288cm2。 【变式5】（22-23五年级下·广东揭阳·期末）下图中，3个棱长为acm正方体摆放在桌面上，露在外面的面积是( )cm2。    【答案】12a2 【思路点拨】有从上、左、右、前、后五个方向看到的面露在外面，左面和右面看到的小正方形面数量一样，前面和后面看到的小正方形面数量一样；据此解答即可。 【规范解答】从上面看到2个小正方形面， 从右面看到2个小正方形面， 从前面看到3个小正方形面， 2＋2×2＋3×2 ＝2＋4＋6 ＝6＋6 ＝12（个） a×a×12 ＝a2×12 ＝12a2（cm²） 露在外面的面积是12a2cm2。 【考点评析】按一定的顺序计算立体图形从外面看到的面，避免出现遗漏和重复。 1．（23-24五年级下·四川成都·期末）用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体（如图）、拿走两个小正方体，剩下部分的表面积与原长方体相比，表面积增加最多的是（    ）。 A．拿走①② B．拿走②③ C．拿走③⑤ 【答案】C 【思路点拨】根据选项分析，看拿走两个小正方体，减少的面和增加的面比较，增加部分的面积是露出部分的面积，找出比较完后增加最多的即可； 拿走①②，会减少5个小正方形的面，同时又增加5个小正方形的面，表面积不变； 拿走②③，则会减少4个小正方形的面积，同时增加6个小正方形的面积，相当于增加了2个小正方形的面积； 拿走③⑤，会减少3个小正方形的面积，同时增加7个小正方形的面积，相当于增加了4个小正方形的面积，据此即可选择。 【规范解答】由分析可知： 拿走③⑤表面积增加的最多。 故答案为：C 2．（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）cm2。 A．9cm2 B．27cm2 C．81cm2 D．100cm2 【答案】C 【思路点拨】根据正方体表面积的特征可知，正方体的六个面都是相等的正方形，观察可知，从上面可以看到3个正方形，从正面可以看到3个正方形，从右边可以看到3个正方形，即一共可以看到个正方形，根据，代入数据计算正方形的面积再乘，即可得解。 【规范解答】 （cm2） 如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是81cm2。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·陕西咸阳·期末）如图，把一些棱长为1厘米的小正方体搭成一个3×3×3的大正方体，这时天天从最上层拿走一个小正方体，表面积的变化不可能是（    ）。 A．不变 B．表面积比原来增加2平方厘米 C．表面积减少2平方厘米 D．表面积比原来增加4平方厘米 【答案】C 【思路点拨】大正方体由小正方体组成，拿走一个小正方体时，需要分析其对表面积的影响，据此解答。 【规范解答】A．如果拿走最上层角上的小正方体，原来角上的小正方体露在外面的有3个面，拿走后新露出的面也是3个，所以表面积不变，选项不符合题意； B．如果拿走最上层棱上（非角上）的小正方体，原来棱上的小正方体露在外面的有2个面，拿走后新露出的面是4个，增加了2个面，1×1×2＝2（平方厘米），所以表面积增加2平方厘米，选项不符合题意； C．从最上层拿走任意位置的一个小正方体，表面积都不可能减少2平方厘米，选项符合题意； D．如果拿走最上层面上（非棱上、非角上）的小正方体，原来面上的小正方体露在外面的有1个面，拿走后新露出的面是5个，增加了4个面，1×1×4＝4（平方厘米），所以表面积增加4平方厘米，选项不符合题意。 故答案为：C 4．（23-24五年级下·福建泉州·期末）把5个棱长为1dm的正方体纸箱如图放在墙角，露在外面的面积是（    ）。 A．13dm2 B．12dm2 C．11dm2 D．10dm2 【答案】B 【思路点拨】把从各个方向看到的露在外面的面的个数加起来，然后乘每个面的面积，计算露在外面的面积即可。 【规范解答】1×1×（4＋3＋5） ＝1×12 ＝12（dm2） 则露在外面的面积是12 dm2。 故答案为：B 5．（20-21五年级下·四川成都·期末）将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 【答案】C 【思路点拨】1个小正体有5个面露在外面，再增加一个正方体，2个小正方体有8个面露在外面；3个小正方体有11个面露在外面．每增加1个正方体漏在外面的面就增加3个即：n个正方体有5＋（n﹣1）×3；由此求解。 【规范解答】根据题干分析可得，n个正方体有5＋（n﹣1）×3＝3n＋2； 所以8个小正方体时，露在外部的面有： 3n＋2＝3×8＋2＝26（个） 故答案为：C 【考点评析】解答此题应根据题意，进行推导，得出规律：即1个小正方体露出5个面，每增加1个小正方体增加3个面；进行解答即可。 6．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，把5个棱长为10厘米的正方体堆放在墙角，露在外面的有( )个面，面积是( )平方厘米。 【答案】 11 1100 【思路点拨】根据图示可知，正方体因为放在墙角处，所以有三面靠墙的在内部，所以露在外部的有：正面3个正方形，右面4个正方形，上面4个正方形，一共有3＋4＋4＝11（个）正方形面，每个小正方形面的面积是10×10＝100（平方厘米），据此再乘11就是露在外部的总面积。 【规范解答】3＋4＋4 ＝7＋4 ＝11（个） 10×10×11 ＝100×11 ＝1100（平方厘米） 露在外面的有11个面，面积是1100平方厘米。 7．（23-24五年级下·广东惠州·期末）如图，几个棱长是2分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。 【答案】48 【思路点拨】露在外面的面是前面，上面和右面，从前面看有3个小正方形，从上面看有5个小正方形，从右面看有4个小正方形，将从前面，上面和右面看到的小正方形的个数相加，根据正方形面积＝边长×边长，求出一个小正方形的面积，乘露在外面的个数即可。 【规范解答】2×2×（3＋5＋4） ＝4×12 ＝48（平方分米） 露在外面的面积是48平方分米。 8．（22-23五年级下·安徽安庆·期末）两个相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积是，原来一个正方体的表面积是( )。 【答案】54 【思路点拨】把两个相同的正方体拼成一个长方体，则长方体的表面积相对于两个正方体减少了2个面的面积，即由10个正方体的面组成。已知长方体表面积，可求出每个正方体面的面积，再乘6，据此可得出每个正方体的表面积。 【规范解答】90÷（12－2）×6 ＝90÷10×6 ＝9×6 ＝54（） 所以原来一个正方体的表面积是54。 9．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，一个表面涂色的正方体沿棱长平均分成三段，其中三面涂色的小正方体有8个。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据题意，三个面均为涂色的是各顶点处的小正方体，正方体有8个顶点，所以一共有8块三面涂色的小正方体。 【规范解答】由分析可知： 一个表面涂色的正方体沿棱长平均分成三段，其中三面涂色的小正方体有8个。原题干说法正确。 故答案为：√ 10．（21-22五年级下·广东深圳·期末）如图，从正方体的上面挖去一个小正方体之后，表面积会减少。( ) 【答案】× 【思路点拨】大正方体挖去一个小正方体，仔细观察，凹下去图形是4个面的面积，而原来缺失的是2个面的面积，所以大正方体的表面积和以前相比，多了2个面的面积，据此解答。 【规范解答】根据分析，这个组合体的表面积与之前相比，表面积增加了。所以原题的说法是错误的。 故答案为：× 【考点评析】从一个立体图形中挖去部分后，再观察这个立体图形的表面积有什么变化，这种题有一定的难度，需要同学们仔细看图、认真分析，培养空间观察和想象能力。 11．（21-22五年级下·山西吕梁·期末）如下图，一些棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是68平方厘米。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据图示露在外面的面有：前面6个，右面6个，上面5个，总计17个，首先求出1个正方形的面积，然后乘17即可求出露在外面的面积。 【规范解答】2×2×17 ＝4×17 ＝68（平方厘米） 故答案为：√ 【考点评析】数清楚露在外面的面是解答本题的关键。 12．（23-24五年级下·福建南平·期中）笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】12600平方厘米 【思路点拨】因为是放在墙角处，所以露在外部的有：正面5个正方形，右面5个正方形，上面4个正方形，一共有5＋5＋4＝14个，每个小正方形面的面积是30×30＝900平方厘米，据此再乘14就是露在外部的总面积。 【规范解答】5＋5＋4 ＝10＋4 ＝14（个） 30×30×14 ＝900×14 ＝12600（平方厘米） 答：露在外面的面积是12600平方厘米。 13．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 【答案】（1）152个；608平方厘米； （2）77个；308平方厘米 【思路点拨】（1）按照图1的方式摆放，就是2个正方体放在一起摆放，一层一层的往上叠加。一层是前后各有2个，就是4个，上面是2个，左右各1个，就是2个。二层是前后各2×4＝8个，上面是2个，左右各2个就是2×2＝4个。第三层是前后共3×4＝12个，上面是2个，左右共3×2＝6个。也就是每增加一层前后就多4个，左右就多2个，上面的不变。根据这样的规律，每2个为一组，50个正方体就有25层小正方体，就有25层4个的前后小正方形，25层2个的左右小正方形，再加上2个上面的小正方形。就有152个面露在外面，一个正方体的一个正方形面的面积＝棱长×棱长。即152个小正方形的面积＝152×每个正方形的面积。 （2）按照图2的方式摆放，一层只有1个正方体，是5个面露在外面。二层是每边放2个，一共4个，上面是2×2＝4个，前后左右4个面，每个面是2个。第三层每边是3个，一共9个，上面是3×3＝9个，前后左右4个面，每个面是3个。根据以上的规律，49个小正方体就是每边7个，上面是7×7＝49个，前后左右每一面是7个，一共有28个面，合在一起就是77个面。即77个小正方形的面积＝77×每个正方形的面积。 【规范解答】（1）50÷2＝25（组）    2＋25×4＋25×2 ＝2＋100＋50 ＝152（个）    152×2×2＝608（平方厘米） 答：有152个面露在外面，露在外面的面积是608cm2。 （2）49＝7×7    7×7＋4×7 ＝49＋28 ＝77（个）    2×2×77＝308（平方厘米） 答：有77个面露在外面，露在外面的面积是308平方厘米。 14．（22-23五年级下·广东揭阳·期末）如图所示，某艺术馆要给墙角处的三个正方体木箱（大小一样）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一个木箱的棱长是20厘米，则一共需要多少克油漆？ 【答案】70克 【思路点拨】先数出露在的面的个数，从正面看有3个面露在外面，从上面看有2个面积露在外面，从右边看有2个面露在外面，一共有3＋2＋2个面露在外面；再根据正方形面积公式：面积＝边长×边长，代入数据，求出正方体一个面的面积，再乘露在外面面的个数，求出需要刷油漆的面积，再乘250，即可求出需要油漆的数量。 【规范解答】3＋2＋2 ＝5＋2 ＝7（个） 20厘米＝0.2米 0.2×0.2×7×250 ＝0.04×7×250 ＝0.28×250 ＝70（克） 答：一共需要70克油漆。 【考点评析】解答本题的关键是数清楚露在外面面的个数，注意单位名数的换算。 15．（22-23五年级下·广东揭阳·期中）7个棱长为5分米的正方体纸箱放在墙角（如下图），露在外面的面积是多少平方分米？ 【答案】300平方分米 【思路点拨】上面有4个面露在外面，前面有4个面露在外面，右面有4个面露在外面， 一共有12个面露在外面。每个露在外面的面都是正方形，用边长×边长求出每个面的面积，再将其乘12，求出露在外面的面积和。 【规范解答】5×5×12＝300（平方分米） 答：露在外面的面积是300平方分米。 【考点评析】本题考查了露在外面的面，能数清一共有几个面露在外面是解题关键。 16．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）5个棱长为30cm的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有（    ）个面露在外面。 （2）露在外面的面积是（    ）cm²。 （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 【答案】（1）10   （2）9000 （3）可能会也可能不会。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 【思路点拨】（1）观察图形即可； （2）根据正方形的面积＝边长×边长，求出一个面的面积，再乘10即可； （3）摆法不同露在外面的面的个数不同；据此解答。 【规范解答】（1）通过观察可知有10个面露在外面。 （2）30×30×10 ＝900×10 ＝9000（cm2） （3）当如下图摆放时： 露在外面的面有11个， 面积为：30×30×11 ＝900×11 ＝9900（cm2） 9900cm2≠9000cm2； 当如下图摆放时： 露在外面的面有10个， 面积为：9000cm2 故露在外面的面可能会也可能不会变化。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 答：（1）有10个面露在外面。 （2）露在外面的面积是9000cm²。 （3）露在外面的面可能会也可能不会变化。因为改变摆法，露出面的数量可能发生变化，也可能不变。 【考点评析】本题主要考查学生空间想象能力，能够构想出不同摆法是解题的关键。 17．（17-18五年级下·全国·课后作业）下面各个图形中分别有几个面露在外面？露在外面的面积是多少？（图中小正方体的棱长2cm） 【答案】（平方厘米） 答：均为16个面，露在外面的面积是64平方厘米． 【规范解答】略 18．（23-24五年级下·陕西西安·期中）求下面立体图形的表面积。（单位：分米） 【答案】216平方分米 【思路点拨】观察图形可知，通过右上角3个截面的平移，这个形体的表面积等于棱长是6分米的正方体的表面积。正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【规范解答】6×6×6＝216（平方分米） 则这个立体图形的表面积是216平方分米。 19．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）下面是棱长2cm的小正方体搭成的立体图形，求露在外面的面积。 　　　　　　　　　　　　　　　 【答案】52cm2；48cm2 【思路点拨】（1）露在外部的有：上面3个面，正面5个正方形，侧面5个正方形，一共有3＋5＋5＝13（个），每个面的面积是2×2＝4（cm2），据此再乘13就是露在外部的总面积。 （2）露在外部的有：上面4个面，正面4个正方形，侧面4个正方形，一共有4＋4＋4＝12（个），每个面的面积是2×2＝4（cm2），据此再乘12就是露在外部的总面积。 【规范解答】（1）2×2＝4（cm2） 4×（3＋5＋5） ＝4×13     ＝52（cm2） （2）2×2＝4（cm2） 4×（4＋4＋4） ＝4×12     ＝48（cm2） 【考点评析】本题考查了立体图形露在外面的面的面积，关键是数清楚露在外面的面的个数。 20．（19-20五年级下·辽宁·期末）王老师家新买一套住房，客厅长6米，宽4米，高3米。王老师这样装修客厅： ①在地面铺边长为0.5米的地板块。请你算一算，王老师至少要买多少块地板块？ ②用立邦漆粉刷四周墙面和顶棚，每平方米大约需要1.2千克。王老师至少要买多少千克立邦漆？（扣除10平方米的门窗面积） 【答案】①96块； ②88.8千克 【思路点拨】①根据长方形的面积公式求出地面的面积，地面的面积÷一块方砖的面积＝地板的块数，由此可以解决问题。②粉刷墙面不包括地面及门窗面积，利用长方体的表面积公式求出粉刷面积，再乘每平方米用漆量即可。 【规范解答】①（6×4）÷（0.5×0.5） ＝24÷0.25 ＝96（块） 答：王老师至少要买96块地板。 ②（6×4＋6×3×2＋4×3×2－10）×1.2 ＝（24＋36＋24－10）×1.2 ＝74×1.2 ＝88.8（千克） 答：王老师至少要买88.8千克立邦漆。 【考点评析】本题主要考查长方体的表面积计算公式在实际问题中的应用。 21．（19-20五年级下·北京·单元测试）将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？ 【答案】面积减少了，减少了100cm2 【思路点拨】观察可知，将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，减少了4个接触面的面积，用一个面的面积×4＝减少的面积，据此解答。 【规范解答】5×5×4 ＝25×4 ＝100（cm2） 答：长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，面积减少了，减少了100cm2。 【考点评析】本题考查了立体图形的切拼，每拼一次减少两个面。 22．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）将小正方体按下图方式摆放在地面上。 （1）完成表格。 小正方体的个数 3 6 9 12 15 … 露在外面的面/个 … （2）你发现了什么规律？ 【答案】（1） 小正方体的个数 3 6 9 12 15 … 露在外面的面/个 13 20 27 34 41 … （2）我发现：每增加3个小正方体，露在外面的面就增加7个。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题07 露在外面的面 （导图+5个知识点+5个易错点+2个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：露在外面的面的定义 2 知识点02：如何确定露在外面的面 2 知识点03：露在外面的面的面积计算 2 知识点04：露在外面的面的应用 3 知识点05：注意事项 3 易错知识指引 3 易错知识点01：忽视观察角度和摆放方式 3 易错知识点02：重叠面的处理不当 3 易错知识点03：面积单位换算错误 4 易错知识点04：空间想象能力不足 4 易错知识点05：忽视题目中的附加条件 4 考点培优讲练 4 考点1：表面涂色的正方体 4 考点2：组合体的表面积（长方体和正方体） 6 真题汇编拔尖练 7 知识点01：露在外面的面的定义 露在外面的面指的是长方体（或其他立体图形）在特定摆放或堆叠方式下，能够被直接观察到的面。这些面没有被其他物体或面所遮挡。 知识点02：如何确定露在外面的面 1. 观察法： 直接观察长方体的摆放方式，确定哪些面是露在外面的。 注意考虑不同视角下的观察结果，确保全面、准确地识别露在外面的面。 2. 想象与推理： 对于复杂堆叠或摆放的长方体组合，可以通过想象或推理来确定露在外面的面。 想象光线从不同方向照射长方体，哪些面会被光线直接照射到，即为露在外面的面。 3. 标记与记录： 在解题过程中，可以使用标记或记录的方式来帮助确定露在外面的面。 例如，可以在图纸上画出长方体的摆放方式，并用不同颜色或符号标记露在外面的面。 知识点03：露在外面的面的面积计算 1. 单个长方体的露外面积： 对于单个长方体，露在外面的面的面积即为这些面的实际面积之和。 使用长方形面积公式（长×宽）来计算每个露在外面的面的面积，并将它们相加。 2. 长方体组合的露外面积： 对于由多个长方体组合而成的物体，露在外面的面的面积计算可能更为复杂。 需要分别计算每个长方体的露在外面的面的面积，并考虑它们之间的重叠部分（如果有的话）。 重叠部分通常不计入露在外面的面的面积中，因为它们被其他长方体所遮挡。 知识点04：露在外面的面的应用 1. 实际问题解决： 露在外面的面的知识点在解决实际问题中具有广泛应用。 例如，在计算建筑物外墙的涂料用量时，需要考虑露在外面的墙面的面积。 又如，在摆放家具时，需要考虑家具露在外面的面的美观性和实用性。 2. 空间想象与推理能力培养： 通过解决露在外面的面的相关问题，可以培养学生的空间想象能力和推理能力。 这些能力在数学学习和日常生活中都具有重要意义。 知识点05：注意事项 1. 准确识别露在外面的面： 在解题过程中，要准确识别哪些面是露在外面的，避免遗漏或错误计算。 2. 考虑不同视角下的观察结果： 露在外面的面可能会因观察视角的不同而发生变化。因此，在解题时需要考虑不同视角下的观察结果。 3. 注意单位换算： 在计算露在外面的面的面积时，需要注意单位换算问题。确保所有面积的单位一致，以便进行准确的计算。 易错知识点01：忽视观察角度和摆放方式 错误表现：学生在确定露在外面的面时，容易忽视观察角度和长方体的摆放方式，导致判断错误。 正确做法：需要明确题目中给出的观察角度和长方体的具体摆放方式，从多个角度观察，确保全面、准确地识别露在外面的面。 易错知识点02：重叠面的处理不当 错误表现：在计算露在外面的面的面积时，学生容易忽视重叠部分，将每个面的面积简单相加，导致结果偏大。 正确做法：需要仔细分析露在外面的面，确定哪些面是重叠的，重叠部分不应计入总面积。在计算时，可以先分别计算每个面的面积，然后减去重叠部分的面积。 易错知识点03：面积单位换算错误 错误表现：在计算露在外面的面的面积时，学生容易忽视面积单位的换算，导致计算结果不准确。 正确做法：需要明确题目中给出的面积单位，如果单位不统一，需要进行换算。在计算过程中，要注意保持单位的一致性，避免单位换算错误。 易错知识点04：空间想象能力不足 错误表现：对于一些复杂的长方体堆叠或摆放方式，学生由于空间想象能力不足，难以准确判断露在外面的面。 正确做法：可以通过多观察、多实践来培养空间想象能力。例如，使用实物模型进行摆放和观察，或者通过画图来辅助理解和判断。同时，多做一些相关练习题，提高解题能力和空间想象能力。 易错知识点05：忽视题目中的附加条件 错误表现：题目中可能给出一些附加条件，如“不考虑底面”、“只计算前面和侧面的面积”等，学生容易忽视这些条件，导致计算结果不符合题目要求。 正确做法：需要仔细阅读题目，明确题目中的附加条件，并根据这些条件来确定露在外面的面和计算面积的方式。 考点1：表面涂色的正方体 【典例精讲】（20-21五年级下·陕西西安·期末）把27个相同的小正方体拼成一个大正方体，把它的表面全部涂色。 (1)两面涂色的有( )块。 (2)三面涂色的有( )块。 (3)没有涂色的有( )块。 【变式1】（20-21五年级下·广东深圳·期末）将6个棱长是1厘米的小正方体按如图的方式摆放在桌面，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式2】（21-22五年级下·山西吕梁·期中）4个小正方体堆放在墙角处，图①有( )个面露在外面，图②有( )个面露在外面。发现相同个数的小正方体( )不同，( )也不同。 【变式3】（19-20五年级下·广东湛江·期末）如图，几个棱长是2分米的正方体堆放在墙角处，有( )个面露在外面，露在外面的面积是( ) 平方分米。 【变式4】（20-21五年级下·辽宁·期中）下图是由同样大小的小正方体堆放起来的，每个小正方体的棱长是1厘米，这堆小正方体露在外面的面积是( )平方厘米。 【变式5】（21-22五年级下·广东湛江·期末）把一个长是12厘米、宽是8厘米、高是6厘米的长方体木块表面涂成红色，然后切成棱长是2厘米的小正方体，可以切成( )块小正方体，只有3面涂色的小正方体有( )块，只有2面涂色的小正方体有( )块，只有1面涂色的小正方体有( )块，没有涂色的小正方体有( )块。 考点2：组合体的表面积（长方体和正方体） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）把3个棱长为3分米的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )平方分米。 【变式1】（23-24五年级下·广东揭阳·期中）求下图的表面积。（单位：cm） 【变式2】（22-23五年级下·甘肃定西·阶段练习）求出下面放在地面上的物体露在外面的面积。（单位：cm） 【变式3】（2024五年级下·辽宁·专题练习）下图是摆放在桌子上的3个正方体，有（    ）个面露在外面。 A．16 B．14 C．12 【变式4】．（23-24五年级下·广东湛江·期中）4个棱长为6cm的正方体木箱放在墙角处（如图），有( )个面露在外面，露在外面的面积是( )cm2。 【变式5】（22-23五年级下·广东揭阳·期末）下图中，3个棱长为acm正方体摆放在桌面上，露在外面的面积是( )cm2。    1．（23-24五年级下·四川成都·期末）用棱长为1厘米的小正方体拼成一个大长方体（如图）、拿走两个小正方体，剩下部分的表面积与原长方体相比，表面积增加最多的是（    ）。 A．拿走①② B．拿走②③ C．拿走③⑤ 2．（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，把4个棱长3cm的正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是（    ）cm2。 A．9cm2 B．27cm2 C．81cm2 D．100cm2 3．（23-24五年级下·陕西咸阳·期末）如图，把一些棱长为1厘米的小正方体搭成一个3×3×3的大正方体，这时天天从最上层拿走一个小正方体，表面积的变化不可能是（    ）。 A．不变 B．表面积比原来增加2平方厘米 C．表面积减少2平方厘米 D．表面积比原来增加4平方厘米 4．（23-24五年级下·福建泉州·期末）把5个棱长为1dm的正方体纸箱如图放在墙角，露在外面的面积是（    ）。 A．13dm2 B．12dm2 C．11dm2 D．10dm2 5．（20-21五年级下·四川成都·期末）将小正方体按下面的方式摆放在桌面上。8个小正方体按这种方式摆放，有（    ）个面露在外面。 A．40 B．29 C．26 D．24 6．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）如图，把5个棱长为10厘米的正方体堆放在墙角，露在外面的有( )个面，面积是( )平方厘米。 7．（23-24五年级下·广东惠州·期末）如图，几个棱长是2分米的正方体堆放在墙角，露在外面的面积是( )平方分米。 8．（22-23五年级下·安徽安庆·期末）两个相同的正方体拼成一个长方体，长方体表面积是，原来一个正方体的表面积是( )。 9．（2024六年级下·全国·专题练习）如图，一个表面涂色的正方体沿棱长平均分成三段，其中三面涂色的小正方体有8个。( )（判断对错） 10．（21-22五年级下·广东深圳·期末）如图，从正方体的上面挖去一个小正方体之后，表面积会减少。( )（判断对错） 11．（21-22五年级下·山西吕梁·期末）如下图，一些棱长为2厘米的小正方体堆放在墙角处，露在外面的面积是68平方厘米。( )（判断对错） 12．（23-24五年级下·福建南平·期中）笑笑搬了8个棱长为30厘米的正方体纸箱放在墙角（如图），露在外面的面积是多少平方厘米？ 13．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）把棱长为2cm的小正方体摆放在地面上。 （1）如果按图1方式摆放50个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ （2）如果按图2方式摆放49个这样的小正方体，有几个面露在外面？露在外面的面积是多少平方厘米？ 14．（22-23五年级下·广东揭阳·期末）如图所示，某艺术馆要给墙角处的三个正方体木箱（大小一样）露在外面的面刷油漆，每平方米需要250克油漆，已知一个木箱的棱长是20厘米，则一共需要多少克油漆？ 15．（22-23五年级下·广东揭阳·期中）7个棱长为5分米的正方体纸箱放在墙角（如下图），露在外面的面积是多少平方分米？ 16．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）5个棱长为30cm的正方体纸箱放在墙角（如图）。 （1）有（    ）个面露在外面。 （2）露在外面的面积是（    ）cm²。 （3）改变摆法，露在外面的面积会发生变化吗？为什么？ 17．（17-18五年级下·全国·课后作业）下面各个图形中分别有几个面露在外面？露在外面的面积是多少？（图中小正方体的棱长2cm） 18．（23-24五年级下·陕西西安·期中）求下面立体图形的表面积。（单位：分米） 19．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）下面是棱长2cm的小正方体搭成的立体图形，求露在外面的面积。 　　　　　　　　　　　　　　　 20．（19-20五年级下·辽宁·期末）王老师家新买一套住房，客厅长6米，宽4米，高3米。王老师这样装修客厅： ①在地面铺边长为0.5米的地板块。请你算一算，王老师至少要买多少块地板块？ ②用立邦漆粉刷四周墙面和顶棚，每平方米大约需要1.2千克。王老师至少要买多少千克立邦漆？（扣除10平方米的门窗面积） 21．（19-20五年级下·北京·单元测试）将3个棱长为5cm的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积与原来的3个正方体的表面积之和相比，会发生变化吗？变化了多少？ 22．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）将小正方体按下图方式摆放在地面上。 （1）完成表格。 小正方体的个数 3 6 9 12 15 … 露在外面的面/个 … （2）你发现了什么规律？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$