（新课衔接站）专题06 长方体的表面积 -2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题06 长方体的表面积 （导图+3个知识点+5个易错点+5个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：正方体展开图的特点 2 知识点02：长方体展开图的特点 3 知识点03：长方体和正方体与展开图之间的对应关系 3 易错知识指引 3 易错知识点01：表面积公式的应用错误 3 易错知识点03：表面积与体积的混淆 4 易错知识点04：实际问题中的表面积计算 4 易错知识点05：表面积的估算与精确计算 4 考点培优讲练 4 考点1：长方体表面积的计算 4 考点2：长方体表面积的应用 6 考点3：正方体表面积的计算 7 考点4：正方体表面积的应用 8 考点5：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 9 真题汇编拔尖练 11 知识点01：正方体展开图的特点 （1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。 （2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。 （3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。 （4）正方体的展开图，可分四个类型. “一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个 “二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个 “二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个 “三三”型：两侧各三个 知识点02：长方体展开图的特点 长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。 知识点03：长方体和正方体与展开图之间的对应关系 （1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。 （2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。 易错知识点01：表面积公式的应用错误 易错点：混淆长方体表面积的公式。 详细解释：学生可能会将长方体表面积的公式记错或混淆 防范措施：通过多次默写和练习，确保学生准确记忆长方体表面积的公式。同时，可以通过实物模型或图示，帮助学生理解公式中各项的含义和来源。 易错点：在计算表面积时，忽视单位换算 详细解释：题目中给出的长、宽、高单位可能不同（如厘米和米），学生在计算时可能会忽视单位换算，导致结果错误。 防范措施：在计算前，先检查长、宽、高的单位是否一致，如果不一致，需要进行单位换算。同时，强调在计算过程中保持单位的一致性。 易错知识点03：表面积与体积的混淆 易错点：混淆表面积和体积的概念和公式。 详细解释：学生可能会将表面积和体积的公式混淆，或者在计算时误用对方的公式。 防范措施：通过对比和区分表面积和体积的概念、公式和物理意义，帮助学生明确两者的区别。同时，通过大量练习加深理解和记忆。 易错知识点04：实际问题中的表面积计算 易错点：无法准确将实际问题转化为表面积计算问题。 详细解释：学生在面对涉及长方体表面积的实际问题时，可能会因为对问题的理解不够深入，而无法准确地将问题转化为表面积计算问题。例如，在计算无盖长方体盒子的表面积时，可能会错误地计算了所有六个面的面积。 防范措施：通过大量实际问题的案例分析，帮助学生理解长方体表面积在实际生活中的应用。在解题时，先明确问题的具体要求（如无盖、无底等），再准确计算相应的表面积。 易错知识点05：表面积的估算与精确计算 易错点：无法准确估算长方体的表面积。 详细解释：学生在面对需要估算长方体表面积的问题时，可能会因为缺乏估算技巧或经验，而导致估算结果与实际值相差较大。 防范措施：通过教授估算技巧和方法（如四舍五入、取整等），帮助学生提高估算能力。同时，鼓励学生多进行估算和精确计算的对比练习，以加深对表面积计算的理解。 考点1：长方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·广东深圳·期末）将四个长10cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1】（23-24五年级下·陕西西安·期末）做一个无盖的长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。 (1)用上面的( )号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号） (2)做好这个鱼缸，至少需要( )平方分米的玻璃。 【变式2】（23-24五年级下·安徽淮北·期末）用铁丝焊接一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，至少要用( )cm的铁丝。要在长方体框架表面贴上彩纸，至少要用彩纸( )cm2。（接头处忽略不计） 【变式3】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）城内完小开展第二课堂活动。在手工课上，学生每人准备了一张边长是20厘米的正方形卡纸，用它来制作一个底面是正方形的无盖的长方体盒子。 （1）请你设计一种简单的裁剪方法，并且尽量充分利用这张卡纸，将裁剪方法画在上图中（长方体的棱长均为整厘米数）。 （2）在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【变式4】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）笑笑用卡纸准备给快过生日的妈妈做一个礼物包装盒，如下图（单位：厘米）。如何计算出“做一个这样的包装盒至少要用多少卡纸”？笑笑是这样想的： (1)8×5计算出( )面的面积。 (2)12×8计算出( )面的面积。 (3)12×5计算出( )面的面积。 (4)8×5＋12×8＋12×5计算出( )的面积。 (5)（8×5＋12×8＋12×5）×2计算出( )的面积。 考点2：长方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）把如图的长方体切成两个长方体，切法（    ）增加的表面积最少。 A． B． C． 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。 （1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？ （2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？ 【变式2】（23-24五年级下·陕西咸阳·期末）一根铁丝做一个长20厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体框架，至少需要( )厘米的铁丝；用纸板将框架四周围起来做成一个无盖的长方体盒子，至少需要纸板( )平方厘米。 【变式3】（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）蜜蜜家洗手间的长是1.8米，宽是1.2米，高是2.3米，门窗的面积是1.56平方米，现在要在洗手间的四壁和地面贴上防滑瓷砖。贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【变式4】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图，将一个长方体的高减少5厘米，正好得到一个正方体，这个长方体的表面积减少了160平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 考点3：正方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 【变式1】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）五•一节时，妈妈把4盒长2分米、宽1分米、高1分米的礼盒包装成一个大长方体邮寄给外婆，怎样包装用包装纸最少，至少是多少平方分米？ 【变式2】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【变式3】（23-24五年级下·广东深圳·期中）安安用两个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了48cm2，原来每个正方体的表面积是（    ）cm2。 A．288 B．144 C．216 D．576 【变式4】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）下面是小明用8块小正方体（小正方体的棱长为1厘米）拼成的不同的立体图形。 A．   B．   C． （1）哪一种拼出的长方体的表面积最大？最大是多少？ （2）哪一种拼出的长方体的表面积最小？最小是多少？ 考点4：正方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西榆林·期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个正方体框架（没有剩余），若要在这个正方体框架的表面焊上一层铁皮，至少需要( )平方厘米的铁皮。 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体木块可以截成两个完全相同的正方体，这两个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了50cm2。原来长方体的表面积是( )cm2。 【变式2】（22-23五年级下·陕西西安·期末）有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【变式3】（20-21五年级下·广东深圳·期中）用一根48厘米长的铁丝围成一个正方体框架，并用彩纸糊上框架表面，糊上这个正方体框架至少需要彩纸( )平方厘米。 【变式4】（22-23五年级下·山西吕梁·期中）用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 考点5：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是（    ）。 A． B． C． D． 【变式1】．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 【变式2】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）把两块长8米，宽5米，厚4米的长方体木块拼成一个长方体，这个长方体表面积最大是（    ）。 A．328平方米 B．288平方米 C． 232平方米 D． 208平方米 【变式3】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 【变式4】（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【变式5】（23-24五年级下·广东湛江·期末）实验小学录制了两盒英语听力磁带（如图），尺寸是10厘米×7厘米×1厘米，准备考试时使用。请你设计一个最省纸的包装方案（画图表示你设计的包装方案），并计算出至少需要多少平方厘米的包装纸？ 1．（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 2．（23-24五年级下·广东惠州·期末）一根长方体木料长3米，宽和高都是3分米，把它锯成5段，表面积最少增加（    ）。 A．27平方分米 B．36平方分米 C．45平方分米 D．72平方分米 3．（23-24五年级下·广东湛江·期末）有两盒磁带，用下面三种方式包装，第（    ）种包装方式最省包装纸。（接缝处不计） A． B． C． 4．（19-20五年级下·河南驻马店·期末）一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成一个棱长为10cm的正方体，它的表面积增加（    ）cm2。 A．400 B．64 C．160 5．（20-21五年级下·辽宁·期末）把三个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体包装成一个长方体，外面包上包装纸，要使包装纸最省，最少需要包装纸（    ）cm2。 A．808 B．1024 C．1240 6．（23-24五年级下·陕西汉中·期末）将下图沿虚线折成正方体，汉字“祝”相对面的汉字是( )，“你”相对面的汉字是( )。 7．（23-24五年级下·陕西宝鸡·期末）如图（单位：cm），沿虚线可以折成一个( )，这个立体图形中有( )个面是正方形，这个立体图形的表面积是( )cm2。 8．（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，将4个棱长为6cm的小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和( )（填“增加”或“减少”）( )cm2。 9．（20-21五年级下·四川成都·期末）木工师傅用两个长方体材料拼成了一个置物台（如图），这个置物台的表面积是( )平方分米。 10．（21-22五年级下·四川成都·期末）一个表面涂满了颜料的长方体小盒子平放在桌面上（如图1），它的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。现在将它沿着最长的棱翻转一次（如图2位置），接又沿着最长的棱翻转第二次（如图3），然后又沿着最长的棱翻转第三次……这样一共翻转了7次后拿走小盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹。 如果从第一次翻转后形成印迹开始算起，到第7次翻转结束，留下的印迹总面积是( )平方厘米。 11．（23-24五年级下·广东惠州·期末）包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸。( )（判断对错） 12．（22-23五年级下·陕西安康·期中）用两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是12平方厘米。( )（判断对错） 13．（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，没有发生变化。( )（判断对错） 14．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 15．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）求下面图形的表面积。 16．（20-21五年级下·广东深圳·期末）某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 17．（22-23五年级下·广东清远·期末）有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 18．（23-24五年级下·福建泉州·期末）笑笑是学校的“环保卫士”，她用长方形硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如图），专门给妈妈放各种小装饰品。 （1）这个长方体收纳盒长（ ），宽（ ），高（ ）。 （2）笑笑在长方体收纳盒外面和里面每个面都粘贴上一层彩色的布进行装饰，至少需要多少平方厘米的布料？ 19．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）新学期到了，学校发起了“爱书、护书”倡议活动。妙妙要为每本新书都粘上塑料膜，下图是数学书的测量数据，如果在它的外面（三个面）粘书膜，至少需要多大面积的塑料膜？（单位：厘米） 20．（22-23五年级下·四川成都·期末）一个长方体木块表面积是268平方厘米，底面是面积为27平方厘米的正方形。在它的上方粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好是长方体上底面各边的三等分点（如图所示）。这个组合体的表面积是多少平方厘米？ 21．（21-22五年级下·广东湛江·期末）有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 22．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗和黑板面积共18平方米。如果要粉刷四周墙壁和顶面，平均每平方米用涂料0.25千克，那么需要涂料多少千克？ 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题06 长方体的表面积 （导图+3个知识点+5个易错点+5个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：正方体展开图的特点 2 知识点02：长方体展开图的特点 3 知识点03：长方体和正方体与展开图之间的对应关系 3 易错知识指引 3 易错知识点01：表面积公式的应用错误 3 易错知识点03：表面积与体积的混淆 4 易错知识点04：实际问题中的表面积计算 4 易错知识点05：表面积的估算与精确计算 4 考点培优讲练 4 考点1：长方体表面积的计算 4 考点2：长方体表面积的应用 9 考点3：正方体表面积的计算 12 考点4：正方体表面积的应用 15 考点5：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 18 真题汇编拔尖练 22 知识点01：正方体展开图的特点 （1）沿着正方体的棱剪开，可以把正方体展开成一个平面图形，这个平面图形就是正方体的展开图。在展开图中，正方体的6个面是相连的，相对的面完全隔开。 （2）将展开图沿虚线（折痕）向内折，能重新折叠成正方体。 （3）正方体的展开图是由6个大小、形状完全相同的正方形组成的组合图形。 （4）正方体的展开图，可分四个类型. “一四一”型：中间四个正方形相连，两侧各一个 “二三一”型：中间三个正方形相连，两侧分别是两个和一个 “二二二”型：中间两个正方形相连，两侧各两个 “三三”型：两侧各三个 知识点02：长方体展开图的特点 长方体相对的面大小、形状完全相同，并且相对的面完全隔开；长方体上、下两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和宽；前、后两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的长和高；左、右两个面的面积相等，长和宽分别是长方体的宽和高。 知识点03：长方体和正方体与展开图之间的对应关系 （1）长方体和正方体的每一个面都与其他四个面相邻，但只有一个相对的面，所以只要找到一组相对的面，也就同时确定了它们与其他四个面的相邻关系，从而能够通过想象把展开图还原成立体图形。 （2）判断一个图形折叠后相对应的面，可以根据长方体、正方体展开图的特点，先确定一个面为下面，再想象折叠的过程，从而找出相对的面，也可以用实物折一折，直观地找一找。 易错知识点01：表面积公式的应用错误 易错点：混淆长方体表面积的公式。 详细解释：学生可能会将长方体表面积的公式记错或混淆 防范措施：通过多次默写和练习，确保学生准确记忆长方体表面积的公式。同时，可以通过实物模型或图示，帮助学生理解公式中各项的含义和来源。 易错点：在计算表面积时，忽视单位换算 详细解释：题目中给出的长、宽、高单位可能不同（如厘米和米），学生在计算时可能会忽视单位换算，导致结果错误。 防范措施：在计算前，先检查长、宽、高的单位是否一致，如果不一致，需要进行单位换算。同时，强调在计算过程中保持单位的一致性。 易错知识点03：表面积与体积的混淆 易错点：混淆表面积和体积的概念和公式。 详细解释：学生可能会将表面积和体积的公式混淆，或者在计算时误用对方的公式。 防范措施：通过对比和区分表面积和体积的概念、公式和物理意义，帮助学生明确两者的区别。同时，通过大量练习加深理解和记忆。 易错知识点04：实际问题中的表面积计算 易错点：无法准确将实际问题转化为表面积计算问题。 详细解释：学生在面对涉及长方体表面积的实际问题时，可能会因为对问题的理解不够深入，而无法准确地将问题转化为表面积计算问题。例如，在计算无盖长方体盒子的表面积时，可能会错误地计算了所有六个面的面积。 防范措施：通过大量实际问题的案例分析，帮助学生理解长方体表面积在实际生活中的应用。在解题时，先明确问题的具体要求（如无盖、无底等），再准确计算相应的表面积。 易错知识点05：表面积的估算与精确计算 易错点：无法准确估算长方体的表面积。 详细解释：学生在面对需要估算长方体表面积的问题时，可能会因为缺乏估算技巧或经验，而导致估算结果与实际值相差较大。 防范措施：通过教授估算技巧和方法（如四舍五入、取整等），帮助学生提高估算能力。同时，鼓励学生多进行估算和精确计算的对比练习，以加深对表面积计算的理解。 考点1：长方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·广东深圳·期末）将四个长10cm，宽7cm，高3cm的长方体盒子，用彩纸包在一起，最省包装纸的方法是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【思路点拨】要想最省包装纸，应是表面积最小的那一个，依据长方体表面积计算公式：长方体表面积＝2×（长×宽＋长×高＋宽×高），逐一计算他们的表面积进行比较即可。 【规范解答】 A. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2厘米 S＝2×（20×14＋20×2＋14×2） ＝2×（280＋40＋28） ＝2×348 ＝696（平方厘米） B. 长：10厘米，宽：7厘米，高：2×4＝8（厘米） S＝2×（10×7＋10×8＋7×8） ＝2×（70＋80＋56） ＝2×206 ＝412（平方厘米） C. 长：10×2＝20（厘米），宽：7厘米，高：2×2＝4（厘米） S＝2×（20×7＋10×4＋7×4） ＝2×（140＋40＋28） ＝2×208 ＝416（平方厘米） D. 长：10×2＝20（厘米），宽：7×2＝14（厘米），高：2×2＝4（厘米） S＝2×（20×14＋20×4＋14×4） ＝2×（280＋80＋56） ＝2×416 ＝832（平方厘米） 832＞696＞416＞412，即D＞A＞C＞B， 最省包装纸的应是表面积最小的那一个。 故答案为：B 【变式1】（23-24五年级下·陕西西安·期末）做一个无盖的长方体鱼缸，用了下面几块长方形玻璃。 (1)用上面的( )号玻璃做鱼缸底最合适。（填序号） (2)做好这个鱼缸，至少需要( )平方分米的玻璃。 【答案】(1)① (2)90 【思路点拨】（1）根据题意，选择只有一个的尺寸作为鱼缸的底，选择长和宽匹配的长方形作为鱼缸的围边，以确定能组成无盖长方体鱼缸。 （2） 求至少需要多少平方分米的玻璃，就是求这个无盖长方体鱼缸的表面积，即五个面的面积之和，即为①＋②＋③＋④＋⑤玻璃的和，依据长方形面积公式：长方形面积＝长×宽。将数据代入公式计算即可。 【规范解答】（1）对比5个长方形，单独尺寸的只有①长方形玻璃，所以选择①作为鱼缸的底，其它玻璃作为围边。用上面的①号玻璃做鱼缸底最合适。 （2）鱼缸的表面积： 3×6＋4×6＋3×4＋4×6＋3×4 ＝18＋24＋12＋24＋12 ＝42＋12＋24＋12 ＝54＋24＋12 ＝78＋12 ＝90（平方分米） 做好这个鱼缸，至少需要90平方分米的玻璃。 【变式2】（23-24五年级下·安徽淮北·期末）用铁丝焊接一个长8cm、宽5cm、高2cm的长方体框架，至少要用( )cm的铁丝。要在长方体框架表面贴上彩纸，至少要用彩纸( )cm2。（接头处忽略不计） 【答案】 60 132 【思路点拨】长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，据此代入数据，求出铁丝长度和彩纸面积即可。 【规范解答】铁丝长度： （cm） 彩纸面积： （cm2） 所以至少要用60cm的铁丝，至少要用彩纸132cm2。 【考点评析】本题考查长方体的棱长和、表面积，解答本题的关键是掌握长方体的棱长和、表面积计算公式。 【变式3】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）城内完小开展第二课堂活动。在手工课上，学生每人准备了一张边长是20厘米的正方形卡纸，用它来制作一个底面是正方形的无盖的长方体盒子。 （1）请你设计一种简单的裁剪方法，并且尽量充分利用这张卡纸，将裁剪方法画在上图中（长方体的棱长均为整厘米数）。 （2）在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）见详解 （2）72平方厘米 【思路点拨】（1）从“底面是正方形，无盖的长方体盒子”可知：有5个面，底面是正方形，其余是前后左右面，4个面是完全一样的。只要在这张卡纸的4个角各剪去一个相同的小正方形，小正方形的边长就是长方体盒子的高。据此解答。 （2）求出长方体的长、宽、高的数值，再求出的前后左右面4个面的面积之和即可。 【规范解答】（1）按要求画图如下： （裁剪方法不唯一） （2）这个长方体的长＝宽： 20－1×2 ＝20－2 ＝18（厘米）   高：1厘米    18×1×4＝72（平方厘米） 答：在这个盒子四周都贴上彩纸，至少需要72平方厘米的彩纸。 【变式4】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）笑笑用卡纸准备给快过生日的妈妈做一个礼物包装盒，如下图（单位：厘米）。如何计算出“做一个这样的包装盒至少要用多少卡纸”？笑笑是这样想的： (1)8×5计算出( )面的面积。 (2)12×8计算出( )面的面积。 (3)12×5计算出( )面的面积。 (4)8×5＋12×8＋12×5计算出( )的面积。 (5)（8×5＋12×8＋12×5）×2计算出( )的面积。 【答案】(1)上 (2)正 (3)左 (4)正、上、左三个面 (5)长方体六个面 【思路点拨】我们需要明确长方体表面积的计算方法。长方体有6个面，分别为正面、后面、左面、右面、上面和下面。相对的两个面面积相等。 （1）根据题意，8×5是指上面或下面长方形的长和宽，依据长方形的面积公式＝长×宽，据此解答。 （2）根据题意，12×8是指正面或后面长方形的长和宽，依据长方形的面积公式＝长×宽，据此解答。 （3）根据题意，12×5是指左面或右面长方形的长和宽，依据长方形的面积公式＝长×宽，据此解答。 （4）根据题意，8×5＋12×8＋12×5是指一个正面、一个上面、一个左面的面积之和。 （5）根据题意，（8×5＋12×8＋12×5）×2，依据长方体表面积公式：长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2 【规范解答】（1）8×5计算出上面的面积； （2）12×8计算出正面的面积； （3）12×5计算出左面的面积； （4）8×5＋12×8＋12×5计算出正、上、左三个面的面积； （5）（8×5＋12×8＋12×5）×2计算出长方体六个面的面积。 考点2：长方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）把如图的长方体切成两个长方体，切法（    ）增加的表面积最少。 A． B． C． 【答案】C 【思路点拨】根据长方体切割的特点，明确将一个长方体切成两个长方体，如果平行于上、下底面切割，表面积增加2个（长×宽）的面积；如果平行于前、后面切割，表面积增加2个（长×高）的面积；如果平行于左、右面切割，表面积增加2个（宽×高）的面积。分别计算出三种切法增加的表面积，再比较，即可得出哪种切法增加的表面积最少。 【规范解答】A．表面积增加：9×5×2＝90（dm2） B．表面积增加：9×3×2＝54（dm2） C．表面积增加：5×3×2＝30（dm2） 30＜54＜90 切法增加的表面积最少。 故答案为：C 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一种无盖帆布收纳箱的形状是长方体，为了让收纳箱稳固，里面配置了一个与收纳箱长、宽、高完全相同的金属支架，如下图。 （1）焊制收纳箱的金属支架至少需要多长的金属条？ （2）加工制作这个收纳箱至少需要多大的帆布（手柄共用布0.6平方分米）？ 【答案】（1）40.8分米； （2）86平方分米 【思路点拨】（1）观察可知，金属支架＝长×2＋宽×4＋高×4，据此列式解答。 （2）根据题意，由于是无盖的帆布收纳箱，只求出这个长方体除了上底面之外的五个表面积和再加上手柄共用的布即可。根据长方体表面积公式：长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）5×2＋4.2×4＋3.5×4 ＝10＋16.8＋14 ＝26.8＋14 ＝40.8（分米） 答：焊制收纳箱的金属支架至少需要40.8分米的金属条。 （2）5×4.2＋（5×3.5＋4.2×3.5）×2＋0.6 ＝21＋（17.5＋14.7）×2＋0.6 ＝21＋32.2×2＋0.6 ＝21＋64.4＋0.6 ＝85.4＋0.6 ＝86（平方分米） 答：加工制作这个收纳箱至少需要86平方分米的帆布。 【变式2】（23-24五年级下·陕西咸阳·期末）一根铁丝做一个长20厘米，宽8厘米，高10厘米的长方体框架，至少需要( )厘米的铁丝；用纸板将框架四周围起来做成一个无盖的长方体盒子，至少需要纸板( )平方厘米。 【答案】 152 720 【思路点拨】根据题意，用一根铁丝做一个长方体框架，求至少需要铁丝的长度，就是求这个长方体框架的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解； 用纸板将框架四周围起来做成一个无盖的长方体盒子，求至少需要纸板的面积，就是求长方体的下面、前后面、左右面共5个面的面积之和；根据“长×宽＋长×高×2＋宽×高×2”，代入数据计算求解。 【规范解答】（20＋8＋10）×4 ＝38×4 ＝152（厘米） 20×8＋20×10×2＋8×10×2 ＝160＋400＋160 ＝720（平方厘米） 至少需要152厘米的铁丝，至少需要纸板720平方厘米。 【变式3】（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）蜜蜜家洗手间的长是1.8米，宽是1.2米，高是2.3米，门窗的面积是1.56平方米，现在要在洗手间的四壁和地面贴上防滑瓷砖。贴瓷砖的面积是多少平方米？ 【答案】14.4平方米 【思路点拨】把洗手间看作长方体，其长宽高已知，贴瓷砖的面积是四周四个面加底面的面积和扣除掉门窗面积，据此解答。 【规范解答】 （平方米） 答：贴瓷砖的面积是14.4平方米。 【变式4】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图，将一个长方体的高减少5厘米，正好得到一个正方体，这个长方体的表面积减少了160平方厘米。原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】544平方厘米 【思路点拨】根据题意，长方体的高减少5厘米，表面积减少160平方厘米，变成一个正方体，说明原来长方体的长、宽相等；减少的表面积是4个完全一样的长方形的面积，长方形的宽是5厘米，长是原来长方体的长或宽；先用减少的表面积除以4，求出一个长方形的面积，再除以5，即可求出原来长方体的长、宽；再用长方体的长或宽加上5厘米，求出原来长方体的高；最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原来长方体的表面积。 【规范解答】长方体的长、宽是： 160÷4÷5 ＝40÷5 ＝8（厘米） 原来长方体的高是：8＋5＝13（厘米） 原来长方体的表面积： （8×8＋8×13＋8×13）×2 ＝（64＋104＋104）×2 ＝272×2 ＝544（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是544平方厘米。 【考点评析】本题考查长方体表面积公式的运用，关键是分析出减少的表面积是哪些面的面积，以此为突破口，求出原来长方体的长、宽、高是解题的关键。 考点3：正方体表面积的计算 【典例精讲】（23-24五年级下·广东湛江·期末）一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积增加了18cm2，原来长方体木块的表面积是( )cm2。 【答案】90 【思路点拨】根据题意，一个长方体木块截成两个相同的正方体后，表面积会增加两个截面的面积；由正方体的特征可知，截面是相同的正方形； 用增加的表面积除以2，求出正方体一个面的面积；根据正方体的表面积公式S＝6a2，求出一个正方体的表面积，再乘2求出两个正方体的表面积，最后减去增加的表面积，即是原来长方体的表面积。 【规范解答】正方体一个面的面积：18÷2＝9（cm2） 1个正方体的表面积：9×6＝54（cm2） 2个正方体的表面积：54×2＝108（cm2） 原来长方体的表面积：108－18＝90（cm2） 原来长方体木块的表面积是90cm2。 【变式1】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）五•一节时，妈妈把4盒长2分米、宽1分米、高1分米的礼盒包装成一个大长方体邮寄给外婆，怎样包装用包装纸最少，至少是多少平方分米？ 【答案】包装方法见详解；24平方分米 【思路点拨】已知4盒礼盒都是长2分米、宽1分米、高1分米的小长方体，小长方体的六个面中，2×1＞1×1，把小长方体最大的面重合在一起，最省包装纸。 如下图，包装成的大长方体的长是2分米，宽和高都是1×2＝2分米，即把4个长方体的礼盒包装成了一个棱长为2分米的正方体，根据正方体的表面积公式S＝6a2，即可求出至少用包装纸的面积。 【规范解答】如图： 1×2＝2分米 包装纸至少用了： 2×2×6＝24（平方分米） 答：把4个礼盒包装成一个正方体时，所用的包装纸最少，至少是24平方分米。 【变式2】（23-24五年级下·辽宁丹东·期中）由一个大正方体、四个中正方体、四个小正方体拼成如图所示的立体图形，已知大、中、小三个正方体的棱长分别为6厘米、2厘米、1厘米。那么，这个立体图形的表面积是( )平方厘米。 【答案】296 【思路点拨】观察图形可知，这个组合图形的表面积可以看做是棱长6厘米的正方体的表面积与棱长2厘米的正方体的4个面的面积与棱长是l厘米的正方体的4个面的面积之和，据此利用正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据计算即可解答。 【规范解答】1×1×4×4＋2×2×4×4＋6×6×6 ＝4×4＋4×4×4＋36×6 ＝16＋16×4＋216 ＝16＋64＋216 ＝80＋216 ＝296（平方厘米） 这个立体图形的表面积是296平方厘米。 【变式3】（23-24五年级下·广东深圳·期中）安安用两个完全一样的正方体拼成一个长方体，拼成后的长方体表面积比原来两个正方体的表面积之和减少了48cm2，原来每个正方体的表面积是（    ）cm2。 A．288 B．144 C．216 D．576 【答案】B 【思路点拨】两个正方体拼成一个长方体后，表面积是减少了小正方体的两个面的面积，用减少的面积÷2，求出小正方体一个面的面积；进而求出正方体的表面积。 【规范解答】48÷2×6 ＝24×6 ＝144（cm2） 原来每个正方体的表面积是144cm2。 故答案为：B 【变式4】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）下面是小明用8块小正方体（小正方体的棱长为1厘米）拼成的不同的立体图形。 A．   B．   C． （1）哪一种拼出的长方体的表面积最大？最大是多少？ （2）哪一种拼出的长方体的表面积最小？最小是多少？ 【答案】（1）A；34平方厘米 （2）C；24平方厘米 【思路点拨】 已知三个不同的立体图形是由8块棱长为1厘米的小正方体拼成，先数出三种图形长、宽、高各有几个小正方体，再乘每个小正方体的棱长，求出各图形的长、宽、高的长度（当长、宽、高相等时拼成的是正方体）；根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，分别计算出各图形的表面积，再比较，得出结论。 【规范解答】A： 长：1×8＝8（厘米） （8×1＋8×1＋1×1）×2 ＝（8＋8＋1）×2 ＝17×2 ＝34（平方厘米） B： 长：1×4＝4（厘米） 高：1×2＝2（厘米） （4×1＋4×2＋1×2）×2 ＝（4＋8＋2）×2 ＝14×2 ＝28（平方厘米） C： 棱长：1×2＝2（厘米） 2×2×6＝24（平方厘米） 因为34＞28＞24，所以A的表面积＞B的表面积＞C的表面积。 （1）答：A的表面积最大，最大是34平方厘米。 （2）答：C的表面积最小，最小是24平方厘米。 考点4：正方体表面积的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西榆林·期末）用一根长96厘米的铁丝焊一个正方体框架（没有剩余），若要在这个正方体框架的表面焊上一层铁皮，至少需要( )平方厘米的铁皮。 【答案】384 【思路点拨】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长＝棱长总和÷12，正方体表面积＝棱长×棱长×6，列式解答即可。 【规范解答】96÷12＝8（厘米） 8×8×6 ＝64×6 ＝384（平方厘米） 至少需要384平方厘米的铁皮。 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体木块可以截成两个完全相同的正方体，这两个正方体的表面积之和比原来长方体的表面积增加了50cm2。原来长方体的表面积是( )cm2。 【答案】250 【思路点拨】由题意可知，把这个长方体木块正好可以锯成2个大小完全相同的正方体，表面积比原来的长方体增加了两个正方形的面积，据此求出正方体一个面的面积，再乘10就是原来长方体的表面积。 【规范解答】50÷2×10 ＝25×10 ＝250（平方厘米） 所以原来长方体的表面积是250平方厘米。 【变式2】（22-23五年级下·陕西西安·期末）有二根同样长的铁丝，一根围成了一个长9厘米，宽6厘米，高6厘米的长方体，另一根围成了一个正方体。 （1）围成的正方体的棱长是多少厘米？ （2）在这个正方体的表面贴上彩纸，需要多少平方厘米的彩纸？ 【答案】（1）7厘米；（2）294平方厘米 【思路点拨】（1）根据长方体棱长和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据求出一个铁丝的长度，两根铁丝长度相同，根据正方体的棱长和＝棱长×12，用铁丝长度除以12即可求出正方体的棱长。 （2）根据正方体的表面积＝棱长×棱长×6，代入数据即可求出彩纸的面积。 【规范解答】（1）（9＋6＋6）×4÷12 ＝21×4÷12 ＝84÷12 ＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 （2）7×7×6＝294（平方厘米） 答：在这个正方体的表面贴上彩纸，需要294平方厘米的彩纸。 【变式3】（20-21五年级下·广东深圳·期中）用一根48厘米长的铁丝围成一个正方体框架，并用彩纸糊上框架表面，糊上这个正方体框架至少需要彩纸( )平方厘米。 【答案】96 【思路点拨】根据题意，48厘米是正方体的棱长和，正方体的棱长和÷12＝正方体的棱长；彩纸的面积即为正方体的表面积，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，据此解答。 【规范解答】（厘米） （平方厘米） 即至少需要彩纸96平方厘米。 【变式4】（22-23五年级下·山西吕梁·期中）用硬纸做两个盒子，一个是长方体，它的长是1分米，宽8厘米，高6厘米。另一个是正方体，它棱长是8厘米，计算一下，哪个盒子用的材料多？多多少？ 【答案】正方体；多8平方厘米。 【思路点拨】先换算成统一单位，1分米厘米，将数值代入长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，正方体的表面积＝棱长×棱长×6，然后进行比较即可。 【规范解答】1分米厘米 （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） 答：正方体盒子用料多，多8平方厘米。 【考点评析】此题主要考查正方体、长方体的表面积公式在实际生活中的应用，关键是熟记公式。 考点5：立体图形的切拼（长方体、正方体的表面积） 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西汉中·期末）把4个长是10厘米、宽是8厘米、高是1厘米的长方体盒子放在一起用彩纸包装起来。下面最节省包装纸的方案是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】要想最省包装纸，就是求这4个长方体拼成大长方体后的表面积最小，即求出哪种包装方式下，拼成的大长方体的表面积与原来四个长方体的表面积之和相比，减少的面的面积最大，就最省包装纸。 【规范解答】A．减少的表面积： 10×8×6 ＝80×6 ＝480（平方厘米） B．减少的表面积： 10×1×4＋8×1×4 ＝40＋32 ＝72（平方厘米） C．减少的表面积： 10×8×4＋10×1×4 ＝80×4＋40 ＝320＋40 ＝360（平方厘米） D．减少的表面积： 8×1×6＝48（平方厘米） 480＞360＞72＞48 所以下面最节省包装纸的方案是A。 故答案为：A 【变式1】．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，（    ）。 A．增加了 B．减少了 C．不变 D．无法判断 【答案】C 【思路点拨】原来大正方体的表面积需要计算小长方体上面、正面、右面的面积，挖掉小长方体后剩下物体的表面积需要计算小长方体下面、后面、左面的面积，其余部分面积不变，小长方体相对的面完全相同，则表面积不变；据此选择。 【规范解答】由分析可得：在一个棱长是10cm的正方体的一角，切去一个小长方体（如下图），它的表面积和原正方体的表面积相比，不变。 故答案为：C 【变式2】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）把两块长8米，宽5米，厚4米的长方体木块拼成一个长方体，这个长方体表面积最大是（    ）。 A．328平方米 B．288平方米 C． 232平方米 D． 208平方米 【答案】A 【思路点拨】根据题意，首先，我们要理解如何拼接这两块木块以得到最大的表面积。为了得到最大的表面积，我们应该让两块木块的最小面（即宽×高）面对面地拼接。这样，拼接后的长方体的长将是两块木块的长之和，即 2×L＝2×8＝16米。宽和高则保持不变，即宽＝5米和厚＝4米。（如图所示） 长方体的表面积公式计算：S＝2×（L×W＋W×H＋H×L） 【规范解答】S＝2×（16×5＋5×4＋4×16） ＝2×（80＋20＋64） ＝2×164 ＝328（平方米） 这个长方体表面积最大是328平方米。 故答案为：A 【变式3】（22-23五年级下·安徽安庆·期末）有12个棱长1厘米的小正方体，拼成一个长方体，有几种不同的拼法？怎样拼，表面积最小？是多少？（计算说明） 【答案】有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：3厘米、2厘米、2厘米，表面积最小，是32平方厘米。 【思路点拨】正方体体积＝棱长×棱长×棱长，则小正方体体积1立方厘米，则拼成的长方体体积为12立方厘米，长方体体积＝长×宽×高，已知体积为12立方厘米，可组合出长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米几种拼接方法。根据长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，计算得出表面积，据此可得出答案。 【规范解答】12个棱长1cm的小正方体，拼成一个长方体，有4种拼法。即长、宽、高分别为：1厘米、1厘米、12厘米；1厘米、2厘米、6厘米；1厘米、3厘米、4厘米；2厘米、2厘米、3厘米。组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体，可计算表面积分别为： （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米） （平方厘米），则四种拼法中组成的长方体表面积最小的是长3厘米、宽2厘米、高2厘米的长方体面积最小。 答：有4种拼法；拼成的长方体长、宽、高分别为：2厘米、2厘米、3厘米表面积最小，是32平方厘米。 【变式4】（22-23五年级下·黑龙江大庆·期中）如下图，把一个长方体木块正好锯成三个大小相等的小正方体，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了36平方厘米，原来长方体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】126平方厘米 【思路点拨】根据题意，把一个长方体木块平行于底面锯成三个大小相等的小正方体，说明原长方体的长、宽相等，它们的表面积的和比原来长方体表面积增加了4个底面的面积； 用增加的表面积36平方厘米除以4，求出原长方体的底面积为9平方厘米，因为底面是一个正方形，根据正方形的面积＝边长×边长，得出原长方体的长、宽都是3厘米，再乘3，即是原长方体的高； 最后根据长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，求出原长方体的表面积。 【规范解答】36÷4＝9（平方厘米） 9＝3×3 所以原长方体的长、宽都是3厘米； 原长方体的高：3×3＝9（厘米） 原长方体的表面积： （3×3＋3×9＋3×9）×2 ＝（9＋27＋27）×2 ＝63×2 ＝126（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是126平方厘米。 【变式5】（23-24五年级下·广东湛江·期末）实验小学录制了两盒英语听力磁带（如图），尺寸是10厘米×7厘米×1厘米，准备考试时使用。请你设计一个最省纸的包装方案（画图表示你设计的包装方案），并计算出至少需要多少平方厘米的包装纸？ 【答案】图见详解；208平方厘米 【思路点拨】 根据题可知，长和宽的长度都比高要大，要最省纸，那么两个长方体拼在一起的时候要表面积减少的最多，即如图：，把两盒英语磁带最大的面（即长×宽）重合在一起，这样最省纸，再根据长方体表面积公式：表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】 如图： 长是10厘米，宽是7厘米，高是1×2＝2（厘米）。 （10×7＋10×2＋7×2）×2 ＝（70＋20＋14）×2 ＝（90＋14）×2 ＝104×2 ＝208（平方厘米） 答：至少需要208平方厘米的包装纸。 1．（22-23五年级下·广东清远·期末）把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了（    ）。 A．32平方厘米 B．16平方厘米 C．8平方厘米 D．4平方厘米 【答案】B 【思路点拨】根据题意作图如下： 从图中可知：这个长方体的表面积比3个正方体的表面积和减少了4个面的面积，即减少的面积＝棱长×棱长×4；分别代入数据计算即可。 【规范解答】2×2×4＝16（平方厘米） 把3个棱长是2厘米的小正方体拼成一个长方体，表面积减少了16平方厘米。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·广东惠州·期末）一根长方体木料长3米，宽和高都是3分米，把它锯成5段，表面积最少增加（    ）。 A．27平方分米 B．36平方分米 C．45平方分米 D．72平方分米 【答案】D 【思路点拨】根据题意，把一个长方体木料锯成5段，则要锯5－1＝4次；每锯1次增加2个切面的面积，锯4次增加8个切面的面积；从这个长方体木料的长、宽、高可知，“宽×高”的面积最小，要使锯成5段增加的表面积最少，那么要平行于“宽×高”的面锯4次，表面积最少增加8个“宽×高”的面积。 【规范解答】3米＝30分米 3×3＜30×3 5－1＝4（次） 3×3×（4×2） ＝9×8 ＝72（平方分米） 表面积最少增加72平方分米。 故答案为：D 3．（23-24五年级下·广东湛江·期末）有两盒磁带，用下面三种方式包装，第（    ）种包装方式最省包装纸。（接缝处不计） A．B． C． 【答案】C 【思路点拨】包装两盒磁带，让长方体磁带中面积最大的面重合，会使拼成的长方体表面积最小，这样最省包装纸。 【规范解答】 A．把长方体的左右面重合在一起，会减少2个长方体的左面或右面； B．把长方体的前后面重合在一起，会减少2个长方体的前面或后面； C．把长方体的上下面重合在一起，会减少2个长方体的上面或下面； 从图中可知，这个长方体的上、下面的面积最大，让长方体的上下面重合在一起，减少的表面积最多，所以第C种包装方式最省包装纸。 故答案为：C 4．（19-20五年级下·河南驻马店·期末）一个长方体（如图），如果高增加4cm，就变成一个棱长为10cm的正方体，它的表面积增加（    ）cm2。 A．400 B．64 C．160 【答案】C 【思路点拨】若高增加4cm，该长方体就变成一个棱长为10cm的正方体，则原长方体的长和宽都是10cm，高是6cm，增加了四个相同长方形的面积，长方形的长是10厘米，宽是4厘米，据此解答。 【规范解答】由分析可知，表面积增加了： 10×4×4 ＝40×4 ＝160（cm2） 故选择：C 【考点评析】此题考查了立体图形的切拼，明确表面积增加的部分包含哪些面是解题关键。 5．（20-21五年级下·辽宁·期末）把三个长10cm、宽8cm、高6cm的长方体包装成一个长方体，外面包上包装纸，要使包装纸最省，最少需要包装纸（    ）cm2。 A．808 B．1024 C．1240 【答案】A 【思路点拨】根据长方体的表面积的意义，长方体的6个面的总面积叫做长方体的表面积；已知将3个长是10厘米，宽是8厘米，高是6厘米的长方体盒子包装，求怎样包装最省纸，也就是求怎样包装它的表面积最小，把每个盒子的最大的面重合（长×宽的面重合），即（10×8）的面重合最省纸；由此包装成的长方体的长为：10cm、宽为8cm、高为6×3＝18cm；，求此长方体的表面积即可。 【规范解答】（10×8＋6×3×10＋6×3×8）×2 ＝（80＋180＋144）×2 ＝404×2 ＝808（平方厘米） 故答案为：A。 【考点评析】此题主要根据长方体的特征和长方体的表面积的计算方法解决问题。 6．（23-24五年级下·陕西汉中·期末）将下图沿虚线折成正方体，汉字“祝”相对面的汉字是( )，“你”相对面的汉字是( )。 【答案】 程 似 【思路点拨】通过正方体展开图形找相对面时，首先在同层中隔一面寻找，再在异层中隔两面寻找，剩下的两面自然相对。即祝的相对面是程，你相对面是似，前相对面是锦。据此解答。 【规范解答】由分析可知，汉字“祝”相对面的汉字是“程”，“你”相对面的汉字是“似”。 7．（23-24五年级下·陕西宝鸡·期末）如图（单位：cm），沿虚线可以折成一个( )，这个立体图形中有( )个面是正方形，这个立体图形的表面积是( )cm2。 【答案】 长方体 2 78 【思路点拨】由图可知，若将中间四条边都是虚线的长方形看作底面，则沿虚线可将图形折成一个长宽高分别是5厘米，3厘米，3厘米的长方体，其中该长方体的左右两个面均为边长为3厘米的正方形。将长宽高代入长方体表面积公式计算即可求出表面积。据此解答。 【规范解答】3×5×4＋3×3×2 ＝60＋18 ＝78（平方厘米） 所以，该图形沿虚线可以折成一个长方体，这个立体图形中有2个面是正方形，这个立体图形的表面积是78cm2。 8．（23-24五年级下·四川成都·期末）如图，将4个棱长为6cm的小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和( )（填“增加”或“减少”）( )cm2。 【答案】 减少 216 【思路点拨】看图可知，将4个小正方体拼成一个大长方体，大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少了6个正方形的面，减少的面积＝正方体棱长×棱长×6，据此分析。 【规范解答】6×6×6＝216（cm2） 大长方体的表面积会比原小正方体的表面积之和减少216cm2。 9．（20-21五年级下·四川成都·期末）木工师傅用两个长方体材料拼成了一个置物台（如图），这个置物台的表面积是( )平方分米。 【答案】226 【思路点拨】 观察图形可知，这个置物台的表面积分为两部分，一部分是长是5分米，宽是4分米，高是7分米的长方体的表面积，另一边部分是长是5分米，宽是4分米，高是2分米长方体的上下两个面的面积与前后两个面的面积和，即4个面的面积和，根据长方体表面积公式：（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（5×4＋5×7＋4×7）×2＋5×4×2＋5×2×2 ＝（20＋35＋28）×2＋20×2＋10×2 ＝（55＋28）×2＋40＋20 ＝83×2＋40＋20 ＝166＋40＋20 ＝206＋20 ＝226（平方分米） 【考点评析】解答本题的关键是求这个组合图形的表面积时要去掉重合部分的面积。 10．（21-22五年级下·四川成都·期末）一个表面涂满了颜料的长方体小盒子平放在桌面上（如图1），它的长是5厘米，宽是4厘米，高是2厘米。现在将它沿着最长的棱翻转一次（如图2位置），接又沿着最长的棱翻转第二次（如图3），然后又沿着最长的棱翻转第三次……这样一共翻转了7次后拿走小盒子，这时桌面上留下了颜料的印迹。 如果从第一次翻转后形成印迹开始算起，到第7次翻转结束，留下的印迹总面积是( )平方厘米。 【答案】100 【思路点拨】由题干中的长方体可知，上下两个面大小相等，左右两个侧面相等，前后两个面相等。第一层1次翻转后右侧面向下，第2次翻转后上面向下，第3次翻转后左侧面向下，第4次翻转后下面向下……据此分析解答。 【规范解答】7÷2＝3（个）……1（次） （5×2＋5×4）×3＋5×2 ＝（10＋20）×3＋10 ＝90＋10 ＝100（平方厘米） 【考点评析】解决本题的关键是理解每次翻转后那个面向下，并且知道长方形的面积公式。 11．（23-24五年级下·广东惠州·期末）包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸。( ) 【答案】√ 【思路点拨】根据长方体表面积的意义可知，要想省包装纸，就要把长方体最大的面重叠起来，使重叠的面积最大，其表面积最小，据此判断即可。 【规范解答】由分析可得：包装时重叠的面越大，表面积越小，越节约包装纸，原题说法正确。 故答案为：√ 12．（22-23五年级下·陕西安康·期中）用两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是12平方厘米。( ) 【答案】× 【思路点拨】用2个棱长是1厘米的正方体拼成的长方体的长为2厘米、宽为1厘米、高为1厘米，根据“长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2”，求出表面积即可。 【规范解答】（2×1＋1×1＋2×1）×2 ＝（2＋1＋2）×2 ＝5×2 ＝10（平方厘米） 所以，用两个棱长为1厘米的正方体拼成一个长方体，长方体的表面积是10平方厘米；原题干说法错误。 故答案为：× 【考点评析】本题主要考查立体图形的切拼及长方体表面积公式，解题的关键是构想出拼成的长方体的长、宽、高。 13．（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，没有发生变化。( ) 【答案】× 【思路点拨】两个立体图形（比如正方体之间、圆柱之间）拼起来，因为面数目减少，所以表面积减少；反之，一个立体图形分割开，因为面数目增加，所以表面积增加；据此解答。 【规范解答】将一个长方体分割成2个长方体，2个长方体的表面积之和与原长方体的表面积相比，增加了两个切面，表面积增加；原说法错误。 故答案为：× 【考点评析】本题考查立体图形的切拼及长方体表面积的认识。 14．（23-24五年级下·陕西西安·期末）如图是一个长方体的展开图，求出它的表面积。 【答案】616cm2 【思路点拨】通过观察长方体的展开图可知，这个长方体的长是14cm，宽是10cm，高是7cm，根据长方体的表面积公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把数据代入公式解答。 【规范解答】（14×10＋14×7＋10×7）×2 ＝（140＋98＋70）×2 ＝308×2 ＝616（cm2） 15．（23-24五年级下·辽宁·课后作业）求下面图形的表面积。 【答案】864cm2 【思路点拨】从图中可知，正方体的右上角拿掉了一个小正方体后，减少了小正方体的3个面，同时又露出了小正方体的3个面，所以剩下部分的表面积和原来正方体的表面积一样大。 根据正方体的表面积公式S＝6a2，代入数据计算即可求出图形的表面积。 【规范解答】12×12×6 ＝144×6 ＝864（cm2） 图形的表面积是864cm2。 16．（20-21五年级下·广东深圳·期末）某小区新建一个长20米、宽12米、深2米的游泳池。 （1）该游泳池占地面积是多少平方米？ （2）在游泳池底面和内壁贴上瓷砖，至少需要瓷砖多少平方米？ 【答案】（1）240平方米 （2）368平方米 【思路点拨】（1）求游泳池的占地面积就是求长方体的底面积，利用“长方形的面积＝长×宽”求出教室的占地面积； （2）求需要瓷砖的面积，就是求这个游泳池5个面的面积和，即游泳池的表面积，根据长方体表面积公式：表面积＝长×宽＋（长×高＋宽×高）×2，代入数据，即可解答。 【规范解答】（1）20×12＝240（平方米） 答：游泳池占地面积是240平方米。 （2）20×12＋（20×2＋12×2）×2 ＝240＋（40＋24）×2 ＝240＋64×2 ＝240＋128 ＝368（平方米） 答：至少需要瓷砖368平方米。 17．（22-23五年级下·广东清远·期末）有A、B、C三种规格的纸板各四张（如下图），请你从中选出六张纸板做成一个长方体，说说你选择这六张纸板的理由，再求出：这个长方体的表面积是多少？ 【答案】理由见详解；190平方分米 【思路点拨】长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 从图中可知，三种规格的纸板分别是“7×5”、“7×6”、“5×5”，其中“7×6”的纸板无法与其他规格的纸板做成长方体，所以只能选择“7×5”的纸板4张、“5×5”的纸板2张，做成一个两个面是正方形的长方体。 根据长方形的面积＝长×宽，求出6个面的面积，相加即是这个长方体的表面积。 【规范解答】选4张A纸板、2张C纸板可做成一个长方体。 5×7×4＋5×5×2 ＝140＋50 ＝190（平方分米） 答：选择这六张纸板的理由：根据长方体的特征，相对的面完全相同，结合三种规格纸板的尺寸，需要选择4张A纸板、2张C纸板才能做成一个长方体。这个长方体的表面积是190平方分米。 18．（23-24五年级下·福建泉州·期末）笑笑是学校的“环保卫士”，她用长方形硬纸板制作了一个无盖的长方体收纳盒（如图），专门给妈妈放各种小装饰品。 （1）这个长方体收纳盒长（ ），宽（ ），高（ ）。 （2）笑笑在长方体收纳盒外面和里面每个面都粘贴上一层彩色的布进行装饰，至少需要多少平方厘米的布料？ 【答案】（1）28厘米；20厘米；6厘米 （2）2272平方厘米 【思路点拨】（1）看图可知，长方体的长＝长方形硬纸板的长－裁去的正方形边长×2、宽＝长方形硬纸板的宽－裁去的正方形边长×2，高＝裁去的正方形边长，据此分析。 （2）用长方形硬纸板的面积减去4个边长是6厘米的正方形的面积，再乘2，就是需要布料的面积。长方形面积＝长×宽，正方形面积＝边长×边长。 【规范解答】（1）40－6×2 ＝40－12 ＝28（厘米） 32－2×2 ＝32－12 ＝20（厘米） 这个长方体收纳盒长28厘米，宽20厘米，高6厘米。 （2）（40×32－6×6×4）×2 ＝（1280－144）×2 ＝1136×2 ＝2272（平方厘米） 答：至少需要2272平方厘米的布料。 19．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）新学期到了，学校发起了“爱书、护书”倡议活动。妙妙要为每本新书都粘上塑料膜，下图是数学书的测量数据，如果在它的外面（三个面）粘书膜，至少需要多大面积的塑料膜？（单位：厘米） 【答案】954.2平方厘米 【思路点拨】图中数学书是长方体，长方体相对的两个面面积相等。已知要在三个面粘书膜，粘书膜的三个面为前、后面和一个侧面，三个面均为长方形，其中前、后面两个长方形的长为26厘米、宽为18厘米，侧面长方形的长为26厘米、宽为0.7厘米，根据长方形的面积＝长×宽解答即可。 【规范解答】0.7×26＋18×26×2 ＝18.2＋468×2 ＝18.2＋936 ＝954.2（平方厘米） 答：至少需要954.2平方厘米的塑料膜。 20．（22-23五年级下·四川成都·期末）一个长方体木块表面积是268平方厘米，底面是面积为27平方厘米的正方形。在它的上方粘了一个正方体木块，正方体的四个顶点正好是长方体上底面各边的三等分点（如图所示）。这个组合体的表面积是多少平方厘米？ 【答案】328平方厘米 【思路点拨】观察图形可知，组合体的表面积＝长方体的表面积＋正方体的底面积×4；正方体木块的底面积等于长方体的底面积减去4个小直角三角形的面积，因为正方形四个顶点正好是长方体上底面各边的三等分点，所以直角三角形的两条直角边分别为×正方形边长和×正方形边长；根据三角形面积公式：面积＝底×高÷2，三角形面积＝×正方形边长××正方形边长÷2，由此可知，一个三角形面积＝×正方形面积，4个三角形面积＝×正方形面积，代入数据，求出4个三角形面积，再用正方形面积－4个三角形面积，求出正方体的一个底面的面积，即可求出组合体的表面积。 【规范解答】根据分析可知，4个三角形面积： ×27＝12（平方厘米） 正方形面积：27－12＝15（平方厘米） 组合体表面积： 268＋15×4 ＝268＋60 ＝328（平方厘米） 答：这个组合体的表面积是328平方厘米。 【考点评析】解答本题的关键是根据正方形的四个顶点正好是长方体上底面各边的三等分点，求出4个三角形的面积与正方形面积之间的关系，进而解答。 21．（21-22五年级下·广东湛江·期末）有一个棱长是5厘米的正方体，在它的前面打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一个边长为1厘米的正方形孔洞（打通）， 两个孔洞相交。求剩余部分的表面积是多少平方厘米？ 【答案】180平方厘米 【思路点拨】根据在正方体打一个边长为1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一个边长为5厘米的正方形空洞（打通），可知棱长是5厘米的正方体表面积减少了4个边长是1厘米的正方形面积，即减少的面积为：1×1×4＝4平方厘米；同时也增加了8个长是5厘米，宽是1厘米的长方形面积，再从中去掉一个棱长1厘米的正方体的表面积，根据正方体表面积公式：棱长×棱长×6；长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据，即可求出剩余面积，据此解答。 【规范解答】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6 ＝25×6－1×4＋5×8－1×6 ＝150－4＋40－6 ＝146＋40－6 ＝186－6 ＝180（平方厘米） 答：剩余部分的表面积是180平方厘米。 【考点评析】解答本题的关键是两个空洞相交，需要减去重复的面积，即一个正方体的表面积，利用正方体表面积公式，长方体表面积公式，进行解答。 22．（20-21五年级下·辽宁·课后作业）一间教室长8米，宽6米，高3米，门窗和黑板面积共18平方米。如果要粉刷四周墙壁和顶面，平均每平方米用涂料0.25千克，那么需要涂料多少千克？ 【答案】需要涂料28.5千克。 【解析】长方体的表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，本题中不粉刷底面，所以只需要计算1个长×宽，即粉刷的面积＝长×宽＋（长×高＋宽 ×高）×2－门窗和黑板的面积，再用粉刷的面积×每平方米用涂料的千克数即可得出总共需要涂料的千克数。 【规范解答】[6×8＋（6×3＋3×8）×2－18]×0.25 ＝[48＋（18＋24）×2－18]×0.25 ＝[48＋42×2－18]×0.25 ＝[48＋84－18]×0.25 ＝114×0.25 ＝28.5（千克） 答：需要涂料28.5千克。 【考点评析】解答有关长方体计算的实际问题，一定要搞清所求的是什么，再进一步选择合理的计算方法进行计算解答问题。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$