（新课衔接站）专题04 长方体的认识（长方体和正方体的特质） -2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优真题讲练讲义（学生版+教师版）

2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 长方体的认识（长方体和正方体的特质） （导图+2个知识点+5个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：长方体和正方体的各部分名称： 2 知识点02： 长方体和正方体的特征 2 易错知识指引 3 易错知识点01：长方体的基本特征理解不清 3 易错知识点02：长方体的长、宽、高识别错误 3 易错知识点03：长方体的表面积和体积计算混淆 4 易错知识点04：长方体的空间想象能力不足 4 易错知识点05：长方体的实际应用问题理解不深 4 考点培优讲练 4 考点1：长方体的认识及特征 4 考点2：正方体的认识及特征 8 考点3：长方体有关棱长的应用 11 考点4：正方体有关棱长的应用 13 真题汇编拔尖练 16 知识点01：长方体和正方体的各部分名称： 在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。 知识点02： 长方体和正方体的特征 3. 长方体和正方体的异同点 4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体 5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。 易错知识点01：长方体的基本特征理解不清 易错点：混淆长方体的面和棱的数量或特性。 详细解释：学生可能错误地认为长方体只有4个面或10条棱，或者无法准确区分长方体的相对面和相对棱。 防范措施：通过实物模型或图示，明确展示长方体的6个面和12条棱，并强调相对面和相对棱的特性。 易错知识点02：长方体的长、宽、高识别错误 易错点：无法准确识别或区分长方体的长、宽、高。 详细解释：学生可能在观察长方体时，无法准确判断哪个尺寸是长，哪个是宽，哪个是高，尤其是在长方体非标准放置时。 防范措施：通过旋转和变换长方体的位置，让学生练习识别不同方向上的长、宽、高，并强调长、宽、高的相对性。 易错知识点03：长方体的表面积和体积计算混淆 易错点：在计算长方体的表面积或体积时，混淆公式或参数。 详细解释：学生可能在计算表面积时使用体积的公式，或者在计算体积时使用表面积的公式，导致结果错误。 防范措施：明确区分表面积和体积的公式，并通过大量练习加深理解和记忆。同时，强调表面积和体积的物理意义，帮助学生理解其区别。 易错知识点04：长方体的空间想象能力不足 易错点：无法准确想象或构建长方体的空间形态。 详细解释：学生可能在面对涉及长方体空间位置、方向或大小变化的问题时，无法准确想象或构建出相应的长方体形态。 防范措施：通过实物模型、三维软件或虚拟现实技术，帮助学生增强空间想象能力。同时，鼓励学生多进行空间几何的实践活动，如搭建长方体模型等。 易错知识点05：长方体的实际应用问题理解不深 易错点：无法将长方体的知识应用于实际问题中。 详细解释：学生可能在面对涉及长方体实际应用的问题时，无法准确理解题意，或者无法将长方体的知识转化为解决问题的有效方法。 防范措施：通过大量实际问题的案例分析，帮助学生理解长方体的知识在实际生活中的应用。同时，鼓励学生多进行实际问题的思考和探索，培养解决问题的能力。 考点1：长方体的认识及特征 【典例精讲】（23-24五年级下·四川成都·期末）用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【答案】80 【思路点拨】题目中的相交于同一个顶点的三条棱的长度就是长方体的长、宽、高，根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算即可。 【规范解答】 （cm） 用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长80cm的铁丝。 【变式1】（23-24五年级下·四川成都·期末）下面长方体的三条棱中不能确定长方体的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】A 【思路点拨】要想确定长方体的形状和大小，则需要知道长方体的长、宽、高，据此逐一分析各项即可。 【规范解答】 A．该图只知道长方体的长和宽，所以无法确定长方体的形状和大小； B．该图知道长方体的长、宽和高，可以确定长方体的形状和大小； C．该图知道长方体的长、宽和高，可以确定长方体的形状和大小； D．该图知道长方体的长、宽和高，可以确定长方体的形状和大小。 故答案为：A 【变式】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。 【答案】①③④⑤⑥⑦ 【思路点拨】长方体中：长4条棱相等，宽4条棱相等，高4条棱相等；且长方体对面形状，大小完全一样，这6个面需要两两相等。据此解答。 【规范解答】②和⑧，找不到与其形状相同的图形，排除。剩下的①和③都是长6厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；④和⑤都是长8厘米，宽6厘米的长方形，形状完全相同；⑥和⑦都是长8厘米，宽4厘米的长方形，形状完全相同；且它们两两比较，都有相同长度的边，可以拼合在一起，组成长8厘米，宽6厘米，高4厘米的长方体。所以这6个面的编号分别是①③④⑤⑥⑦。 【变式3】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）数学课上，元元正在用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架（如图）。 (1)接着拼，元元还需要( )个橡皮泥小球，( )根10cm的小棒，( )根6cm的小棒和( )根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)如果把长方体框架的所有棱都粘上胶带，至少需要( )cm长的胶带。 【答案】(1) 5 1 2 3 10 6 3 (2)76 【思路点拨】（1）根据长方体的特征可知，长方体有6个面、8个顶点、12条棱，相对的四条棱长度相等。按长度可分为三组，每一组有4条棱。现图形有3个橡皮泥小球代表有3个顶点，所以还需要（8－3）个橡皮泥小球；现图形有3根10cm、2根6cm、1根3cm的小棒，所以还需要（4－3）根10cm的小棒，（4－2）根6cm的小棒，（4－1）根3cm的小棒，搭成一个长为10cm、宽为6cm、高为3cm的长方体框架。 （2）把长方体框架的所有棱都粘上胶带，即求出长方体的棱长和，根据长方体的棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，代入数据，计算即可。 【规范解答】（1）小球：8－3＝5（个） 10cm：4－3＝1（根） 6cm：4－2＝2（根） 3cm：4－1＝3（根） 所以元元还需要5个橡皮泥小球，1根10cm的小棒，2根6cm的小棒和3根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长10cm、宽6cm、高3cm的长方体框架。 （2）（10＋6＋3）×4 ＝19×4 ＝76（cm） 所以至少需要76cm长的胶带。 【变式4】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 【答案】1.62米 【思路点拨】在计算捆一圈的长度时，需要考虑到杂志的长、宽、高，分别计算出两个长、两个宽和四个高的长度，再相加得到总长度。然后，再加上打结时两端预留的绳子长度，即可得到妈妈一共用掉的绳子长度。最后，将长度单位从厘米转换为米。 【规范解答】2×26＋2×21＋4×12 ＝52＋42＋48 ＝142（厘米） 142＋10×2 ＝142＋20 ＝162（厘米） 162厘米＝1.62米 答：妈妈一共用掉了1.62米绳子。 考点2：正方体的认识及特征 【典例精讲】．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）如图是一个正方体，下面关于这个正方体的说法正确的是（    ）。 A．与a相等的棱有9条。 B．与b平行的棱有4条。 C．从上面、左面和前面看到的形状都不相同。 D．若要拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，一共需要4个如图所示的正方体。 【答案】D 【思路点拨】根据正方体的特征可知： A．这是一个正方体，那么a＝b＝c，正方体有12条棱，12条棱的长度相等。 B．正方体的a、b、c都各有4条，分别平行并且相等 C．正方体有6个面都是正方形，6个面完全相同。 D．长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，即长和宽各摆2个小正方体，高摆1个小正方体。 【规范解答】A．正方体有12条棱，与a相等的棱有11条。原说法错误。 B．与b平行的棱有3条。原说法错误。 C．从上面、左面和前面看到的形状都是相同的正方形。原说法错误。 D．如下图，用4个正方体，就能拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体。原说法正确。 故答案为：D 【变式1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图是一个( )体，它的( )面和( )面是完全相同的正方形，它有( )条棱长度相等，都是( )米。当它的长缩短( )米时，它就变成了一个正方体。 【答案】 长方 左 右 8 6 12 【思路点拨】 观察图形可知，这是一个长18米、宽6米、高6米的长方体； 它的左右面是6×6的正方形，所以有8条棱的长度都是6米； 要使这个长方体变成一个正方体，根据正方体的特征可知，长18米要缩短到6米，据此解答。 长方体的特征：长方体有6个面，有三组相对的面完全相同，一般情况下六个面都是长方形，特殊情况时有两个面是正方形，其他四个面都是长方形，并且这四个面完全相同。 正方体的特征：12条棱长度都相等。 【规范解答】如图是一个长方体，它的左面和右面是完全相同的正方形，它有8条棱长度相等，都是6米。当它的长缩短12米时，它就变成了一个正方体。 【变式2】（22-23五年级下·浙江金华·期末）3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成( )种不同形状的长方体（包括正方体）。 【答案】10 【思路点拨】根据长方体棱长的特征：长方体有12条棱，相对的四条棱长度相等，按长度可分为三组，每一组有4条棱；正方体特征：12条棱长度都相等，据此可以列表解答。 【规范解答】由分析可得： 一组棱长 一组棱长 一组棱长 第1种 4根3厘米 4根3厘米 4根3厘米 第2种 4根4厘米 4根4厘米 4根4厘米 第3种 4根5厘米 4根5厘米 4根5厘米 第4种 4根5厘米 4根4厘米 4根3厘米 第5种 4根5厘米 4根4厘米 4根4厘米 第6种 4根5厘米 4根3厘米 4根3厘米 第7种 4根4厘米 4根3厘米 4根3厘米 第8种 4根4厘米 4根4厘米 4根3厘米 第9种 4根5厘米 4根5厘米 4根3厘米 第10种 4根5厘米 4根5厘米 4根4厘米 如表，3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成10种不同形状的长方体（包括正方体）。 【考点评析】本题考查了长方体的棱长特征，需要学生可以列举出所有的可能，其中不能漏项，不能重复。 【变式3】（21-22五年级下·辽宁沈阳·期末）一个正方体，有三个面上分别画上了一个图形（如图1）。把这个正方体像图2那样翻动，得到的图形正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】A 【思路点拨】不论怎样翻动，三个面上的图形相对位置不会改变。长方形与正方形有一个公共顶点，用长方形、正方形与三角形不相连，据此即可作出选择。 【规范解答】由分析可得：一个正方体，有三个面上分别画上了一个图形（如图1）。把这个正方体像图2那样翻动，得到的图形正确的是。 故答案为：A 【考点评析】关键抓住三个图形的相对位置不会改变的这一特征。 【变式4】（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 【答案】 4 3 2 【思路点拨】由图示可知，一共有24个小正方体组成，长由几个小正方体组成，就是几cm，同理求得长方体的宽和高，据此解答。 【规范解答】如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是4cm。宽是3cm，高是2cm。 【考点评析】本题考查简单的立体图形拼组知识，结合题意分析解答。 考点3：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）儿童节当天，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长50米，宽25米，高40米，至少要用多少米长的彩灯线？（底边不装） 【答案】310米 【思路点拨】观察图形可知，彩灯线的长度包括长方体大楼的2条长、2条宽和4条高，据此把它们长度相加即可解答。 【规范解答】50×2＋25×2＋40×4 ＝100＋50＋160 ＝310（米） 答：至少要用310米长的彩灯线。 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬( )cm。 【答案】10 【思路点拨】根据题意可知：蚂蚁从A点沿着一个长方体框架的棱爬到B点，至少应爬一个高、一个长、一个宽，10cm就是长方体的长宽高的和，据此即可解答。 【规范解答】在如图的长方体中，相交于同一顶点的三条棱长之和是10cm，至少要爬10cm。 故答案为：10 【变式2】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）笑笑要用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根就能决定这个长方体框架的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【思路点拨】长方体一个顶点处连接的三条棱就是长方体的长宽高，所以一个顶点处连接的三条棱就能决定这个长方体框架的形状和大小，据此解答即可。 【规范解答】根据分析可得，就能决定这个长方体框架的形状和大小。 故答案为：B 【变式3】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）有一根铁丝，恰好可以围成一个长9厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个最大的正方体，围成的正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】7厘米 【思路点拨】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4计算出铁丝总长度，也就是正方体棱长总和，再根据正方体棱长总和=棱长×12，将数据代入求出棱长。 【规范解答】（9＋4＋8）×4 ＝21×4 ＝84（厘米） 84÷12＝7（厘米） 答：围成的正方体的棱长是7厘米。 【变式4】（21-22五年级下·黑龙江大庆·期末）下图中，A面的面积是40cm2。那么： (1)B面的面积是( )cm2。 (2)要做这个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 【答案】(1)56 (2)80 【思路点拨】（1）根据图分析，A面是一个长方形，宽是5cm，面积是40cm2，长方形面积公式：面积＝长×宽，代入数据求出A面的长是多少。A面的长，也是B面的长，同时也是整个长方体的长，B面的宽为7cm，代入长方形面积公式可求B面面积。 （2）根据长方体的特征，它有12条棱，分为3组，每组4条棱的长度相等，长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，从图上可知该长方体高为5cm，宽为7cm，再利用上一问求出的长方体的长，计算即可。 【规范解答】（1）（1）40÷5＝8（cm） 8×7＝56（cm2） B面的面积是56cm2。 （2）（8＋7＋5）×4 ＝（15＋5）×4 ＝20×4 ＝80（cm） 要做这个长方体框架，至少需要80cm的铁丝。 【考点评析】本题主要考查了长方形的面积公式和长方体的特征及棱长总和的计算方法，根据棱长总和的计算方法解决问题。 考点4：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·广东惠州·期末）挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【答案】7 【思路点拨】铁丝长度相当于正方体棱长总和，根据正方体棱长总和＝棱长×12，求出铁丝长度，再根据长方体的高＝棱长总和÷4－长－宽，列式计算即可。 【规范解答】6×12＝72（cm） 72÷4－6－5 ＝18－6－5 ＝7（cm） 高是7cm。 【变式1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图是王叔叔用木条做成的长方体框架。 （1）制作这个长方体框架至少需要多少厘米木条？ （2）张叔叔用同样长的木条制作一个正方体框架，正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】（1）420厘米 （2）35厘米 【思路点拨】 （1）求制作这个长方体框架至少需要木条的长度，就是求长方体的棱长总和；根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据计算求解。 （2）已知用同样长的木条制作一个正方体框架，那么正方体的棱长总和等于这些木条的长度之和，即上一题中长方体的棱长总和；根据正方体的棱长总和＝棱长×12可知，正方体的棱长＝棱长总和÷12，据此求解。 【规范解答】 （1）4分米＝40厘米 （40＋23＋42）×4 ＝105×4 ＝420（厘米） 答：制作这个长方体框架至少需要420厘米木条。 （2）420÷12＝35（厘米） 答：正方体框架的棱长是35厘米。 【变式2】．（22-23五年级下·陕西榆林·期末）李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长为7dm、宽为2dm、高为6dm的长方体框架，若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )dm。（接口处忽略不计） 【答案】5 【思路点拨】根据长方体的棱长和＝（长＋宽＋高）×4，正方体的棱长和＝棱长×12，据此求出长方体的棱长和，再除以12即可。 【规范解答】（7＋2＋6）×4 ＝（9＋6）×4 ＝15×4 ＝60（dm） 60÷12＝5（dm） 即这个正方体框架的棱长是5dm。 【考点评析】此题主要考查长方体和正方体的棱长和公式。 【变式3】（19-20五年级下·广东揭阳·期中）一根铁丝正好可以焊接成一个长15厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体框架，如果把这根铁丝焊成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【答案】11厘米 【思路点拨】根据长方体的棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，求出长方体的棱长总和；长方体棱长总和与正方体棱长总和相等，根据正方体棱长总和公式：棱长总和＝棱长×12，棱长＝棱长总和÷12，代入数据，求出正方体棱长。 【规范解答】（15＋10＋8）×4÷12 ＝（25＋8）×4÷12 ＝33×4÷12 ＝132÷12 ＝11（厘米） 答：这个正方体的棱长是11厘米。 【考点评析】熟练掌握和灵活运用长方体棱长总和公式、正方体棱长总和公式是解答本题的关键。 【变式4】（22-23五年级下·四川成都·期末）用一根72厘米长的铁丝刚好焊接成个正方体框架，这个正方体框架的每条棱长是这根铁丝的，每条棱的长度是（    ）厘米。（损耗和接口处忽略不计）。 【答案】；6 【思路点拨】根据正方体的特征，正方体有12条棱长，这12条棱的长度相等，求正方体框架的每条棱长是这根铁丝的几分之几，用1÷12解答；求每条棱的长度，用铁丝的长度÷12解答。 【规范解答】1÷12＝ 72÷12＝6（厘米） 用一根72厘米长的铁丝刚好焊接成个正方体框架，这个正方体框架的每条棱长是这根铁丝的，每条棱的长度是6厘米。 【考点评析】本题考查分数与除法的关系，明确正方体的12条棱的长度都相等是解题的关键。 1．（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体中，相交于一个顶点的三条棱长分别是1cm、2cm、3cm，把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大的是（    ）。 A．3cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 【答案】B 【思路点拨】根据长方体的长、宽、高的意义可知，相交于一个顶点的三条棱的长度分别叫作长方体的长、宽、高。把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大就是这个长方体的最大面的面积。根据长方形面积公式：S＝ab，把数据代入公式解答。 【规范解答】2×3＝6（cm2） 则占用桌面面积最大是6cm2。 故答案为：B 2．（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 【答案】C 【思路点拨】从3个小立方体上的数可知，与写有数字1的面相邻的面上数字是2，3，4，6，则写有数字1的面与写有数字5的面相对；与写有数字6的面相邻的面上数字是4，1，5，3，则写有数字6的面与写有数字2的面相对；与写有数字3的面相邻的面上数字是1，2，5，6，则写有数字3的面与写有数字4的面相对，据此解答。 【规范解答】根据分析可知，与2相对的面是6。 故答案为：C 3．（23-24五年级下·广东揭阳·期中）一个长方体的棱长总和是120cm，长是10cm，宽是6cm，高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．14 D．16 【答案】C 【思路点拨】根据长方体的棱长总和＝（长＋宽＋高）×4可得，用棱长总和除以4计算出（长＋宽＋高）的和，再用长，宽，高的和分别减去长，宽，所得结果即为该长方体的高，据此解答。 【规范解答】120÷4＝30（cm） 30－10－6＝14（cm） 因此这个长方体的高是14cm。 故答案为：C 4．（23-24五年级下·广东深圳·期中）用一根铁丝正好制成一个棱长为8分米的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6分米的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（    ）。 A．12分米 B．16分米 C．48分米 D．36分米 【答案】A 【思路点拨】正方体的棱长总和＝棱长×12，先求出正方体的棱长总和，棱长总和不变，利用长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，即可计算出长方体灯笼框架的高。 【规范解答】长方体灯笼框架的高是： （分米） 这个长方体灯笼框架的高是12分米。 故答案为：A 5．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）把棱长是2厘米的3个小正方体拼成一个长方体，这个长方体棱长的总和是（　　）厘米。 A．72 B．56 C．40 D．24 【答案】C 【思路点拨】将3个棱长为2厘米的正方体拼成一个长方体只有一种拼法，即拼成一个长为（23）厘米的长方体，新的长方体的长为6厘米，宽为2厘米，高为2厘米，再根据长方体的棱长和公式即可得到答案。 【规范解答】4×（2＋2＋6） ＝4×10 ＝40（厘米） 故答案为：C 【考点评析】解题关键为：三个小正方体如何拼成一个长方体。 6．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）长方体有( )个顶点，( )条棱，( )个面，相对的面的面积( )，长方体所有面的面积之和就是它的( )。 【答案】 8 12 6 相等 表面积 【思路点拨】根据长方体的特征可知，长方体有6个面，12条棱，相对的四条棱长度相等。 长方体有8个顶点，每个顶点连接三条棱。每组相对的面完全相同，所以相对面的面积相等。根据长方体的表面积公式可知，长方体所有面的面积之和就是它的表面积。 【规范解答】长方体有8个顶点，12条棱，6个面，相对的面的面积相等，长方体所有面的面积之和就是它的表面积。 7．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体底面的面积是( )平方厘米，左面的面积是( )平方厘米。 从前面看：    从上面看： 【答案】 6 4 【思路点拨】观察一个长方体，从前面看到的是长方体的长和高，从上面看到的是长方体的长和宽，因此该长方体的长是3厘米，宽是2厘米，高是2厘米；这个长方体底面的面积＝长×宽，左面的面积＝宽×高，代入相应数值计算即可解答。 【规范解答】3×2＝6（平方厘米） 2×2＝4（平方厘米） 因此这个长方体底面的面积是6平方厘米，左面的面积是4平方厘米。 8．（22-23五年级下·广东清远·期中）一个正方体的礼品盒，它的棱长是7dm，在所有的棱上粘上彩带，需要彩带( )dm。 【答案】84 【思路点拨】正方体有12条棱，并且每条棱的长度相等，所以用“棱长×12”即可求出彩带的长度。 【规范解答】由分析可知： 12×7＝84（dm） 所以需要彩带84dm。 【考点评析】本题考查正方体的棱长之和，学生需熟知正方体的特征，以及棱长之和的算法。 9．（22-23五年级下·辽宁·课前预习）通过测量，我的文具盒长( )厘米，宽( )厘米，高( ) 厘米。（取整厘米数） 【答案】 15 3 2 【思路点拨】相交于一个顶点的三条棱分别是长方体的长、宽、高，据此解答。 【规范解答】通过测量，我的文具盒长15厘米，宽3厘米，高2厘米。（答案不唯一） 【考点评析】本题考查了长方体的认识和应用。 10．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）把棱长为4厘米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体木块，可以分成( )个小正方体木块。 【答案】64 【思路点拨】正方体的棱长被分成的份数＝原棱长新棱长，据此可得每条棱被分为：41＝4（份），接下来由444，即可计算出最终答案。 【规范解答】每条棱被分为：41＝4（份） 444＝64（个） 一共被分割成64个小正方体木块。 【考点评析】本题属于正方体的切拼问题，掌握此种问题的求解方法是关键。 11．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）淘气用两根同样长的铁丝，一根刚好围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，另一根刚好围成一个正方体框架，围成的正方体框架的棱长是多少厘米？ 【答案】6厘米 【思路点拨】根据题意，结合长方体的棱长和公式：（长＋宽＋高）×4，算出一根铁丝的长度，再结合正方体的棱长和公式：棱长×12，算出正方体框架棱长的长度即可。 【规范解答】（8＋6＋4）×4 ＝18×4 ＝72（厘米）   72÷12＝6（厘米） 答：围成的正方体框架的棱长是6厘米。 12．（23-24五年级下·广东惠州·期中）小明的好朋友要过生日了，小明准备用彩色纸把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 【答案】2.5米 【思路点拨】要求捆扎一个这样的礼品盒需要多长的丝带，由图示可知，捆扎的丝带中含有2条长、2条宽、4条高，且还需加上接头处丝带10分米，据此解答。 【规范解答】3×2＋2.5×2＋1×4＋10 ＝6＋5＋4＋10 ＝11＋4＋10 ＝15＋10 ＝25（分米） 25分米＝2.5米 答：需要2.5米的丝带。 13．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）看图回答问题。 （1）和a，b，c分别平行的棱各有几条？ （2）和b相交并垂直的棱有几条？ （3）观察图形，可以发现： 相对的棱互相（    ）；每条棱都有（    ）条棱和它平行且相等。每条棱都有（    ）条棱和它相交且垂直。 【答案】（1）3；3；3 （2）4 （3）平行；3；4 【思路点拨】（1）根据长方体的特征，长方体的12条棱分为互相平行的3组，每组4条棱的长度相等，据此解答； （2）与a相交并垂直的棱有4条，分别是两条高、两条宽； （3）通过观察图形可知：相对的棱互相平行且相等，每条棱都有3条棱和它平行且相等；每条棱都有4条棱和它相交且垂直，据此解答即可。 【规范解答】（1）答：和a，b，c分别平行的棱都各有3条。 （2）答：和b相交并垂直的棱有4条。 （3）相对的棱互相平行；每条棱都有3条棱和它平行且相等。每条棱都有4条棱和它相交且垂直。 【考点评析】此题考查的目的是理解掌握长方体的特征及应用。 14．（21-22五年级下·辽宁大连·期末）淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。 【答案】见详解 【思路点拨】根据长方体面的特征：相对的两个面相等，据此画出长方体纸盒的草图，即可解答。 【规范解答】纸盒的底面是长15厘米；宽是6厘米； 前面和后面的两个面是长是15厘米，宽是10厘米； 侧面两个面是长是6厘米，宽是10厘米； 用五张纸板做一个无盖的长方体纸盒； 图如下： 【考点评析】利用长方体的特征进行解答。 15．（21-22五年级下·辽宁锦州·期末）灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼。元宵节就要到了，笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图，单位：cm），至少需要多少厘米的木条？ 【答案】240厘米 【思路点拨】根据题意，求制作这个长方体灯笼的框架，需要多少厘米的木条，就是求这个长方体的棱长总和，根据长方体棱长总和公式：棱长总和＝（长＋宽＋高）×4，代入数据，即可解答。 【规范解答】（30＋15＋15）×4 ＝（45＋15）×4 ＝60×4 ＝240（厘米） 答：至少需要240厘米的木条。 【考点评析】利用长方体棱长总和的公式进行解答，关键是熟记公式。 16．（21-22五年级下·四川成都·期末）某超市要做一个长2.8米，宽0.4米，高0.8米的玻璃柜台。需要先用角铁做一个长方体框架再安装玻璃。至少需要多少米的角铁？ 【答案】16米 【思路点拨】根据题意，求角铁的长度就是求长方体的棱长之和。长方体的棱长之和＝（长＋宽＋高）×4，据此代入数据计算。 【规范解答】（2.8＋0.4＋0.8）×4 ＝4×4 ＝16（米） 答：至少需要16米的角铁。 【考点评析】长方体框架的总长就是长方体的棱长之和。掌握长方体的棱长之和公式是解题的关键。 17．（2018五年级下·云南·专题练习）学校有一栋长方体形状的教学楼（如图），现在准备买彩灯线装饰教学楼的除地面外的8条棱，每捆灯线80m，学校应买几捆灯线？（单位：m） 【答案】解：12×2+20×4+15×2 =24+80+30 =134(m) 80×2=160(m) 答：学校应买2捆灯线． 【规范解答】长12米的有2条，长20米的有4条，长15米的有2条，把这些长度相加就是灯线的长度，然后根据每捆灯线的长度判断需要的捆数即可． 18．（19-20六年级上·全国·课后作业）如图是一个立方体，在它的表面涂上红色，然后按所画的线把它切成许多相同的小立方体，那么你能说说从中可以知道什么吗？比如，表面有红色的立方体有多少个？表面没有红色的立方体有多少个？……你觉得这些立方体的个数有规律吗？ 【答案】表面有红色的立方体有26个，没有红色的立方体有1个。 有规律：8个顶点处的立方体都是3面涂色的，每条棱上中间的立方体都是2面涂色的，每个面中间的立方体都是一面涂色的，剩下的就是没有涂色的。 【规范解答】先确定切成小立方体的个数，然后根据规律判断出1面涂色、2面涂色和3面涂色的小立方体的个数，再确定没有涂色的个数。 19．（23-24五年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个无盖的长方体金鱼缸的“底面”和“前面”（玻璃四周每相邻两个点之间的长度相等）。请你在图中画出其他三个面。 【答案】见详解 【思路点拨】无盖长方体金鱼缸有5个面，分别是底面，前面、后面、左面、右面，前后面完全一样，左右面完全一样，根据给出的底面和前面可知，长方体的长5格，宽3格，高2格，后面是长5格，宽2格的长方形，左面和右面都是长3格，宽2格的长方形，据此作图。 【规范解答】 20．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）张强要做一个无盖的长方体鱼缸。你能帮他在下面的长方形玻璃中选择合适的玻璃吗？ （在选择的玻璃上画“√”） 【答案】 【思路点拨】因为这个鱼缸无盖，所以只需要选择5个长方形玻璃并且有4个长方形是两两一致的，同时不同的长方形之间，它们的长或者宽必须相等，这样子才能使其拼成个长方体，据此解答。 【规范解答】 【考点评析】熟练掌握长方体的结构特征。 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年北师大版数学五年级寒假学习培优讲义（新课衔接） 专题04 长方体的认识（长方体和正方体的特质） （导图+2个知识点+5个易错点+4个考点讲练+拔尖训练） 目录 导图知识荟萃 2 新知预习强化 2 知识点01：长方体和正方体的各部分名称： 2 知识点02： 长方体和正方体的特征 2 易错知识指引 3 易错知识点01：长方体的基本特征理解不清 3 易错知识点02：长方体的长、宽、高识别错误 3 易错知识点03：长方体的表面积和体积计算混淆 4 易错知识点04：长方体的空间想象能力不足 4 易错知识点05：长方体的实际应用问题理解不深 4 考点培优讲练 4 考点1：长方体的认识及特征 4 考点2：正方体的认识及特征 6 考点3：长方体有关棱长的应用 7 考点4：正方体有关棱长的应用 8 真题汇编拔尖练 9 知识点01：长方体和正方体的各部分名称： 在长方体或正方体中，围成的长方形或正方形叫作长方体或正方体的面；面和面相交的边叫作棱；棱和棱相交的点叫作顶点。 知识点02： 长方体和正方体的特征 3. 长方体和正方体的异同点 4. 长方体和正方体的关系：正方体可以看成是长、宽、高都相等的特殊的长方体 5. 长方体和正方体特征的应用：判断所给图形能否组成长方体，可以根据长方体的特征一组一组地进行寻找，看看能否找到3组相对应的面。 易错知识点01：长方体的基本特征理解不清 易错点：混淆长方体的面和棱的数量或特性。 详细解释：学生可能错误地认为长方体只有4个面或10条棱，或者无法准确区分长方体的相对面和相对棱。 防范措施：通过实物模型或图示，明确展示长方体的6个面和12条棱，并强调相对面和相对棱的特性。 易错知识点02：长方体的长、宽、高识别错误 易错点：无法准确识别或区分长方体的长、宽、高。 详细解释：学生可能在观察长方体时，无法准确判断哪个尺寸是长，哪个是宽，哪个是高，尤其是在长方体非标准放置时。 防范措施：通过旋转和变换长方体的位置，让学生练习识别不同方向上的长、宽、高，并强调长、宽、高的相对性。 易错知识点03：长方体的表面积和体积计算混淆 易错点：在计算长方体的表面积或体积时，混淆公式或参数。 详细解释：学生可能在计算表面积时使用体积的公式，或者在计算体积时使用表面积的公式，导致结果错误。 防范措施：明确区分表面积和体积的公式，并通过大量练习加深理解和记忆。同时，强调表面积和体积的物理意义，帮助学生理解其区别。 易错知识点04：长方体的空间想象能力不足 易错点：无法准确想象或构建长方体的空间形态。 详细解释：学生可能在面对涉及长方体空间位置、方向或大小变化的问题时，无法准确想象或构建出相应的长方体形态。 防范措施：通过实物模型、三维软件或虚拟现实技术，帮助学生增强空间想象能力。同时，鼓励学生多进行空间几何的实践活动，如搭建长方体模型等。 易错知识点05：长方体的实际应用问题理解不深 易错点：无法将长方体的知识应用于实际问题中。 详细解释：学生可能在面对涉及长方体实际应用的问题时，无法准确理解题意，或者无法将长方体的知识转化为解决问题的有效方法。 防范措施：通过大量实际问题的案例分析，帮助学生理解长方体的知识在实际生活中的应用。同时，鼓励学生多进行实际问题的思考和探索，培养解决问题的能力。 考点1：长方体的认识及特征 【典例精讲】（23-24五年级下·四川成都·期末）用铁丝围一个长方体框架，使相交于同一个顶点的三条棱的长度分别是5cm、6cm、9cm，则至少需要长( )cm的铁丝。 【变式1】（23-24五年级下·四川成都·期末）下面长方体的三条棱中不能确定长方体的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． D． 【变式】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）在下面图中选出6个面，使它们组成一个长方体。这6个面分别是( )（填序号）。 【变式3】（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）数学课上，元元正在用一些小棒和橡皮泥小球拼搭长方体框架（如图）。 (1)接着拼，元元还需要( )个橡皮泥小球，( )根10cm的小棒，( )根6cm的小棒和( )根3cm的小棒，就可以拼搭成一个长( )cm、宽( )cm、高( )cm的长方体框架。 (2)如果把长方体框架的所有棱都粘上胶带，至少需要( )cm长的胶带。 【变式4】（23-24五年级下·山西吕梁·期末）收纳是一个重要的生活习惯，学会收纳能让我们的生活井井有条。妈妈把杂志分类整理打包放进储物间，如图是她捆好后的样子，打结时两端各留10厘米长的绳子，妈妈一共用掉了多少米绳子？ 考点2：正方体的认识及特征 【典例精讲】．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）如图是一个正方体，下面关于这个正方体的说法正确的是（    ）。 A．与a相等的棱有9条。 B．与b平行的棱有4条。 C．从上面、左面和前面看到的形状都不相同。 D．若要拼成一个长、宽、高分别是2a、2b、c的长方体，一共需要4个如图所示的正方体。 【变式1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图是一个( )体，它的( )面和( )面是完全相同的正方形，它有( )条棱长度相等，都是( )米。当它的长缩短( )米时，它就变成了一个正方体。 【变式2】（22-23五年级下·浙江金华·期末）3厘米、4厘米、5厘米长的小棒各有12根，用其中的小棒，可以搭成( )种不同形状的长方体（包括正方体）。 【变式3】（21-22五年级下·辽宁沈阳·期末）一个正方体，有三个面上分别画上了一个图形（如图1）。把这个正方体像图2那样翻动，得到的图形正确的是（    ）。 A． B． C． 【变式4】（20-21五年级下·陕西咸阳·期中）如图的长方体是由棱长为1cm的小正方体摆成的，它的长是( )cm，宽是( )cm，高是( )cm。 考点3：长方体有关棱长的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·陕西西安·期末）儿童节当天，为了增添节日气氛，工作人员准备在外形是长方体的少年宫科技楼的四周装上彩灯线。大楼长50米，宽25米，高40米，至少要用多少米长的彩灯线？（底边不装） 【变式1】（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体相交于同一顶点的三条棱的长度之和是10cm（如图），一只蚂蚁从点A沿着长方体的棱爬到点B，至少要爬( )cm。 【变式2】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）笑笑要用学具棒搭一个长方体框架，搭了其中的三根就能决定这个长方体框架的形状和大小的是（    ）。 A． B． C． 【变式3】（23-24五年级下·陕西渭南·期末）有一根铁丝，恰好可以围成一个长9厘米，宽4厘米，高8厘米的长方体框架，如果用这根铁丝围成一个最大的正方体，围成的正方体的棱长是多少厘米？ 【变式4】（21-22五年级下·黑龙江大庆·期末）下图中，A面的面积是40cm2。那么： (1)B面的面积是( )cm2。 (2)要做这个长方体框架，至少需要( )cm的铁丝。 考点4：正方体有关棱长的应用 【典例精讲】（23-24五年级下·广东惠州·期末）挂灯笼是中秋节传统习俗之一，是吉瑞祥和的象征。学校开展了“巧手制灯笼，欢喜迎中秋”活动，东东用一根铁丝制作一个棱长为6cm的正方体灯笼框架（铁丝没有剩余），如果想改成长6cm，宽是5cm的长方体，则高是( )cm。 【变式1】（23-24五年级下·辽宁·课后作业）如图是王叔叔用木条做成的长方体框架。 （1）制作这个长方体框架至少需要多少厘米木条？ （2）张叔叔用同样长的木条制作一个正方体框架，正方体框架的棱长是多少厘米？ 【变式2】．（22-23五年级下·陕西榆林·期末）李华有两根一样长的铁丝，将一根铁丝刚好折成一个长为7dm、宽为2dm、高为6dm的长方体框架，若将另一根折成一个最大的正方体框架，这个正方体框架的棱长是( )dm。（接口处忽略不计） 【变式3】（19-20五年级下·广东揭阳·期中）一根铁丝正好可以焊接成一个长15厘米、宽10厘米、高8厘米的长方体框架，如果把这根铁丝焊成一个正方体，这个正方体的棱长是多少厘米？ 【变式4】（22-23五年级下·四川成都·期末）用一根72厘米长的铁丝刚好焊接成个正方体框架，这个正方体框架的每条棱长是这根铁丝的，每条棱的长度是（    ）厘米。（损耗和接口处忽略不计）。 1．（23-24五年级下·福建泉州·期末）一个长方体中，相交于一个顶点的三条棱长分别是1cm、2cm、3cm，把这个长方体整个放在桌面上，占用桌面面积最大的是（    ）。 A．3cm2 B．6cm2 C．8cm2 D．12cm2 2．（23-24五年级下·福建南平·期中）如图：一个正方体六个面上各有一个数字，分别是1、2、3、4、5、6，观察下图，与2相对的面是（    ）。 A．4 B．5 C．6 D．无法确定 3．（23-24五年级下·广东揭阳·期中）一个长方体的棱长总和是120cm，长是10cm，宽是6cm，高是（    ）cm。 A．4 B．6 C．14 D．16 4．（23-24五年级下·广东深圳·期中）用一根铁丝正好制成一个棱长为8分米的正方体灯笼框架，如果用同样长的铁丝正好制成一个长和宽都是6分米的长方体灯笼框架，那么这个长方体灯笼框架的高是（    ）。 A．12分米 B．16分米 C．48分米 D．36分米 5．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）把棱长是2厘米的3个小正方体拼成一个长方体，这个长方体棱长的总和是（　　）厘米。 A．72 B．56 C．40 D．24 6．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）长方体有( )个顶点，( )条棱，( )个面，相对的面的面积( )，长方体所有面的面积之和就是它的( )。 7．（23-24五年级下·山西吕梁·期中）观察一个长方体，从前面和上面看到图形如下图所示。这个长方体底面的面积是( )平方厘米，左面的面积是( )平方厘米。 从前面看：    从上面看： 8．（22-23五年级下·广东清远·期中）一个正方体的礼品盒，它的棱长是7dm，在所有的棱上粘上彩带，需要彩带( )dm。 9．（22-23五年级下·辽宁·课前预习）通过测量，我的文具盒长( )厘米，宽( )厘米，高( ) 厘米。（取整厘米数） 10．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）把棱长为4厘米的正方体木块分割成棱长为1厘米的小正方体木块，可以分成( )个小正方体木块。 11．（22-23五年级下·山西吕梁·阶段练习）淘气用两根同样长的铁丝，一根刚好围成一个长8厘米、宽6厘米、高4厘米的长方体框架，另一根刚好围成一个正方体框架，围成的正方体框架的棱长是多少厘米？ 12．（23-24五年级下·广东惠州·期中）小明的好朋友要过生日了，小明准备用彩色纸把礼品盒包装一下（如下图），要捆扎这个礼品盒，如果接头处共长10分米，需要多少米的丝带？ 13．（22-23四年级上·辽宁·单元测试）看图回答问题。 （1）和a，b，c分别平行的棱各有几条？ （2）和b相交并垂直的棱有几条？ （3）观察图形，可以发现： 相对的棱互相（    ）；每条棱都有（    ）条棱和它平行且相等。每条棱都有（    ）条棱和它相交且垂直。 14．（21-22五年级下·辽宁大连·期末）淘气要用下面的五张纸板做一个无盖的长方体纸盒，请你帮助他画出纸盒的草图，并在图上标出长、宽、高的数据。 15．（21-22五年级下·辽宁锦州·期末）灯笼起源于2100多年前的西汉时期，是一种古老的汉族传统工艺品。每年的农历正月十五元宵节前后，人们都会挂起象征团圆意义的红灯笼。元宵节就要到了，笑笑想动手制作一个长方体灯笼的框架（如下图，单位：cm），至少需要多少厘米的木条？ 16． （21-22五年级下·四川成都·期末）某超市要做一个长2.8米，宽0.4米，高0.8米的玻璃柜台。需要先用角铁做一个长方体框架再安装玻璃。至少需要多少米的角铁？ 17．（2018五年级下·云南·专题练习）学校有一栋长方体形状的教学楼（如图），现在准备买彩灯线装饰教学楼的除地面外的8条棱，每捆灯线80m，学校应买几捆灯线？（单位：m） 18．（19-20六年级上·全国·课后作业）如图是一个立方体，在它的表面涂上红色，然后按所画的线把它切成许多相同的小立方体，那么你能说说从中可以知道什么吗？比如，表面有红色的立方体有多少个？表面没有红色的立方体有多少个？……你觉得这些立方体的个数有规律吗？ 19．（23-24五年级下·陕西咸阳·期中）如图是一个无盖的长方体金鱼缸的“底面”和“前面”（玻璃四周每相邻两个点之间的长度相等）。请你在图中画出其他三个面。 20．（19-20五年级下·辽宁·单元测试）张强要做一个无盖的长方体鱼缸。你能帮他在下面的长方形玻璃中选择合适的玻璃吗？ （在选择的玻璃上画“√”） 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $$