第七章相交线与平行线（B卷·培优卷·单元重点综合测试）-2024-2025学年七年级数学下册单元速记·巧练（人教版2024，江西专用）

第七章 相交线与平行线（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 2．下列说法中正确的个数有（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两条直线相交，对顶角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．如图，将周长为8 的△ABC沿BC 方向平移2个单位长度得到△DEF，则四边形 ABFD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 4．如图，直线 ，且分别与直线 交于 、 两点，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 ，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 5．如图所示，嘉琪骑自行车自处沿正东方向前进，到达处后，行驶方向改为南偏东，行驶到处仍按正东方向行驶，则在处嘉琪向左拐弯的角度是（　　） A． B． C． D． 6．学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在　 　点. 8．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m². 9．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是　 　． 10．如图，是一块从一个边长为25cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝8cm，则这个剪出的图形的周长是　 　cm． 11．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝　 　． 12．直角三角形 从 点出发沿着 方向匀速平移得到三角形 （如图1），当 点平移至 点时停止运动（如图2）.若 ，当点 恰好将 分为 两部分时，四边形 的面积为 ，那么平移的距离是　 　. 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB的理由. 14．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°．求∠AGD的度数． 15．已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．AD与BE平行吗？为什么？ ​ 16．如图，AC⊥BC，BD平分∠ABE，CD//AB交BD于点D，∠1＝25°，求∠2的度数． 17．如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由.完成下列推理过程： 解：AB∥MN.理由如下： ∵EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）， ∴∠CFE=∠CMD=90°，（　 　） ∴EF∥DM，（　 　） ∴∠2=∠CDM，（　 　） ∵∠1=∠2，（已知）， ∴∠1=∠　 　（　 　） ∴MN∥CD，（　 　） ∵∠3=∠C，（已知）， ∴AB∥CD，（　 　）， ∴AB∥MN.（　 　） 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，点A，B，C在一条直线上，点D是直线外一点，连接，过点A作于E，交于点F，过点B作于G，若．求证：平分． 19．如图，，点O是上一点，直线经过点O，且平分，过点A作于点A，且； （1）求的度数； （2）连接，若，求的度数． 20．已知：如图是一个跳棋棋盘，游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角。跳动时，每-步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1跳到终点角∠3写出其中两种不同路径， 路径1：∠1∠9∠3． 路径2：∠1∠12∠6∠10∠3． 试一试： （1）从起始角∠1跳到终点角∠8； （2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？ 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理． （1）任务一：如图2，求证：； （2）任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由． 22．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． （2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为_▲_； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° （1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由； （2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？ （3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？ （2、3小题只需选一题说明理由） 试卷第2页，共36页 1 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第七章 相交线与平行线（B卷·培优卷） 班级___________ 姓名___________ 学号____________ 分数____________ 考试范围：全章的内容； 考试时间：120分钟； 总分：120分 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 1．如图，点在的延长线上，下列条件中不能判定的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】A.根据同旁内角互补，两直线平行判定符合题意； B.根据内错角相等，两直线平行判定符合题意； C.根据内错角相等，两直线平行判定符合题意； D.∠1和∠2是AC和BD被AD所截形成的内错角，故只能判定AC∥BD，因此不符合题意； 故答案为：D. 2．下列说法中正确的个数有（　　） ①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行；③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短；④两条直线相交，对顶角相等. A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【解析】解：①经过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，错误，应该是同一平面内； ②经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行，正确； ③连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短，正确； ④两条直线相交，对顶角相等，正确； 故答案为：C. 3．如图，将周长为8 的△ABC沿BC 方向平移2个单位长度得到△DEF，则四边形 ABFD的周长为（　　） A．10 B．12 C．14 D．16 【答案】B 【解析】由题意可知DF=AC，AD=CF=2， ∴四边形ABFD的周长=AB+BF+DF+AD =AB+BC+CF+AC+AD =△ABC的周长+CF+AD =8+2+2 =12， 故答案为：B． 4．如图，直线 ，且分别与直线 交于 、 两点，把一块含 角的三角尺按如图所示的位置摆放，若 ，则 的度数是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】解：∵ ∴ 由图形可得 可得 故答案为：B. 5．如图所示，嘉琪骑自行车自处沿正东方向前进，到达处后，行驶方向改为南偏东，行驶到处仍按正东方向行驶，则在处嘉琪向左拐弯的角度是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【解析】解：如图 由题意可得， ∠FNH=90°-65°=25° ∵MF∥EG ∴∠GEH=∠FNH=25° 即：在E处嘉琪向左拐弯的角度是25° 故答案为：A. 6．学习平行线后，张明想出了过已知直线外一点画这条直线的平行线的新方法，他是通过折一张半透明的纸得到的．观察图（1）～（4），经两次折叠展开后折痕CD所在的直线即为过点P与已知直线a平行的直线．由操作过程可知张明画平行线的依据有（　　） ①同位角相等，两直线平行； ②两直线平行，同位角相等； ③内错角相等，两直线平行； ④同旁内角互补，两直线平行． A．①③ B．①②③ C．③④ D．①③④ 【答案】D 【解析】解：由作图可知，a⊥AB，CD⊥AB， ∴可以利用同位角相等，两直线平行或内错角相等，两直线平行或同旁内角互补，两直线平行，判定CD a， 故答案为：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7．如图，在铁路旁有一李庄，现要建一火车站，为了使李庄人乘车最方便，在铁路线上选一点来建火车站，应建在　 　点. 【答案】A 【解析】解：根据垂线段最短可得：应建在A点， 故答案为：A. 8．如图是一块长方形的场地，长AB=a(m)，宽AD=b(m).已知从A，B两处入口的小路宽都为1m，两小路汇合处路宽为2m，其余部分种植草坪，则草坪的面积为　 　m². 【答案】(ab-a-2b+2) 【解析】解：由图片可看出，种植草坪的面积正好可以拼成一个长方形，且这个长方形的长为(a-2)m，这个长方形的宽为(b-10)m， ∴草坪的面积为：(a-2)(b-1)=(ab-a-2b+2)m2. 故答案为：(ab-a-2b+2). 9．如图，将一副三角板和一张对边平行的纸条按下列方式摆放，两个三角板的一直角边重合，含30°角的直角三角板的斜边与纸条一边重合，含45°角的三角板的一个顶点在纸条的另一边上，则∠1的度数是　 　． 【答案】15° 【解析】解：如图，过A点作AB∥a， ∴∠1=∠2， ∵a∥b， ∴AB∥b， ∴∠3=∠4=30°， 而∠2+∠3=45°， ∴∠2=15°， ∴∠1=15°． 故答案为：15°． 10．如图，是一块从一个边长为25cm的正方形BCDM材料中剪出的垫片，经测得FG＝8cm，则这个剪出的图形的周长是　 　cm． 【答案】116 【解析】把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，如图： 这个垫片的周长： BC+CD+DE+EF+FG+GH+HA+AB =4 BC+FG+EK =25×4+8×2=116(cm)． 故答案为：116． 11．如图，已知，点分别在上，点在两条平行线之间，与的平分线交于点．若，，则＝　 　． 【答案】32° 【解析】解：如图，过点G，M，H分别作GN∥AB，MP∥AB，KH∥AB， ∵AB∥CD， ∴GN∥CD，MP∥CD，KH∥CD， ∴∠AEG=∠EGN，∠GHK=∠NGH，∠KHF=∠HFD， ∴∠AEG+∠GHK+∠KHF=∠EGN+∠NGH+∠HFD， ∴∠AEG+∠FHG=∠EGH+∠HFD， ∵∠EGH=84°，∠HFD=20°， ∴∠AEG+∠FHG=84°+20°=104°， ∵EM平分∠AEG，MH平分∠FHG， ∴，， ∴， ∵∠KHF=∠HFD=20°， ∴∠AEM+∠MHK=∠AEM+∠MHF-∠KHF=52°-20°=32°， ∵MP∥AB，AB∥KH， ∴MP∥KH， ∴∠EMP=∠AEM，∠PMH=∠MHK， ∴∠AEM+∠MHK=∠EMP+∠PMH=∠EMH=32°. 故答案为：32°. 12．直角三角形 从 点出发沿着 方向匀速平移得到三角形 （如图1），当 点平移至 点时停止运动（如图2）.若 ，当点 恰好将 分为 两部分时，四边形 的面积为 ，那么平移的距离是　 　. 【答案】 或 【解析】解：如图： 直角三角形 从 点出发沿着 方向匀速平移得到三角形 ， 平移的距离为 ， ， ， ， 当 时， ，则 ，解得 ； 当 时， ，则 ，解得 ； 综上所述，平移的距离为 或 . 故答案： 或 . 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13．如图，OC是∠AOB的平分线，且∠1＝∠2，试说明EF∥OB的理由. 【答案】解：∵OC是∠AOB的平分线 ∴∠1＝∠BOC ∵∠1＝∠2 ∴ ∠2＝∠BOC ∴EF∥OB 14．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=80°．求∠AGD的度数． 【答案】解：∵EF∥AD， ∴∠2=∠3， ∵∠1=∠2， ∴∠1=∠3， ∴DG∥AB， ∴∠AGD=180°-∠BAC=180°-80°=100°． 15．已知，如图，BCE、AFE是直线，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4．AD与BE平行吗？为什么？ ​ 【答案】解：AD∥BE，理由如下： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等）； ∵∠3=∠4（已知）， ∴∠3=∠BAE（等量代换）； ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）， 即∠BAF=∠DAC， ∴∠3=∠DAC（等量代换）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）． 【解析】解：AD∥BE，理由如下： ∵AB∥CD（已知）， ∴∠4=∠BAE（两直线平行，同位角相等）； ∵∠3=∠4（已知）， ∴∠3=∠BAE（等量代换）； ∵∠1=∠2（已知）， ∴∠1+∠CAF=∠2+∠CAF（等式的性质）， 即∠BAF=∠DAC， ∴∠3=∠DAC（等量代换）， ∴AD∥BE（内错角相等，两直线平行）． 16．如图，AC⊥BC，BD平分∠ABE，CD//AB交BD于点D，∠1＝25°，求∠2的度数． 【答案】解：∵BD平分∠ABE，∠1＝25°， ∴∠ABC＝2∠1＝50°， ∵CD∥AB， ∴∠DCE＝∠ABC＝50°， ∵AC⊥BC， ∴∠ACE＝90°， ∴∠2＝90°-50°＝40°． 17．如图，EF⊥AC于点F，DB⊥AC于点M，∠1=∠2，∠3=∠C，请问AB与MN平行吗？说明理由.完成下列推理过程： 解：AB∥MN.理由如下： ∵EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）， ∴∠CFE=∠CMD=90°，（　 　） ∴EF∥DM，（　 　） ∴∠2=∠CDM，（　 　） ∵∠1=∠2，（已知）， ∴∠1=∠　 　（　 　） ∴MN∥CD，（　 　） ∵∠3=∠C，（已知）， ∴AB∥CD，（　 　）， ∴AB∥MN.（　 　） 【答案】垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CDM；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行. 【解析】解：AB∥MN.理由如下： ∵EF⊥AC，DB⊥AC，（已知）， ∴∠CFE=∠CMD=90°，（垂直的定义） ∴EF∥DM，（同位角相等，两直线平行） ∴∠2=∠CDM，（两直线平行，同位角相等） ∵∠1=∠2，（已知）， ∴∠1=∠CDM（等量代换） ∴MN∥CD，（内错角相等，两直线平行） ∵∠3=∠C，（已知）， ∴AB∥CD，（内错角相等，两直线平行）， ∴AB∥MN.（平行于同一直线的两条直线平行） 故答案为：垂直的定义；同位角相等，两直线平行；两直线平行，同位角相等；CDM；等量代换；内错角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；平行于同一直线的两条直线平行. 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18．如图，点A，B，C在一条直线上，点D是直线外一点，连接，过点A作于E，交于点F，过点B作于G，若．求证：平分． 【答案】解： ∵于E(已知)， ∴(垂直的定义)， 同理， ∴(等量代换)， ∴ (同位角相等，两直线平行)， ∴(两直线平行，同位角相等)， 且(两直线平行，内错角相等)， 又∵(已知)， ∴(等量代换) ， ∴平分 (角平分线的定义)． 19．如图，，点O是上一点，直线经过点O，且平分，过点A作于点A，且； （1）求的度数； （2）连接，若，求的度数． 【答案】（1）解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的度数为； （2）解：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 即的度数为． 20．已知：如图是一个跳棋棋盘，游戏规则是：一个棋子从某一个起始角开始，经过若干步跳动以后，到达终点角。跳动时，每-步只能跳到它的同位角或内错角或同旁内角的位置上，例如：从起始角∠1跳到终点角∠3写出其中两种不同路径， 路径1：∠1∠9∠3． 路径2：∠1∠12∠6∠10∠3． 试一试： （1）从起始角∠1跳到终点角∠8； （2）从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能否跳到终点角∠8？ 【答案】（1）解：路径：； （2）解： 从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，能跳到终点角∠8 ，其路径为：. 【解析】（1）同位角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同位角；内错角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的两旁，则这样一对角叫做内错角；同旁内角：两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线(截线)的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此逐个判断可找出从起始角∠1跳到终点角∠8的路径； （2）根据同位角、内错角、同旁内角定义定义逐个判断可找出从起始角∠1依次按同位角、内错角、同旁内角的顺序跳，跳到终点角∠8的路径. 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21．阅读下列材料，完成相应任务． 台球中的数学 如图1是台球桌面实物图，图2是抽象出的数学图形，已知长方形桌面中，，一个球在桌面上的点处滚向桌边，碰到上的点后反弹，再碰到边上的点后，再次反弹进入底袋点．在球碰到桌边反弹的过程中，击出线与桌边的夹角等于反弹线与桌边的夹角，同理． （1）任务一：如图2，求证：； （2）任务二：如图3，若球在桌面的点处，经过两次反弹后碰到边上的点处，若，请你判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1）证明：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴． （2）解：由题意可知，， ∵， ∴， ∵，， ∴ ， ∴． 22．【探究学习】小学阶段，我们可以通过“拼”角、“折”角，观察得到三角形内角和为180°．现在我们学习了平行线的性质，就可以证明此结论的正确性了． （1）如图1，过的顶点A作BC的平行线ED，请你证明三角形的内角和为180°； 【解题反思】平行线具有“等角转化”的功能． （2）【迁移应用】健康骑行越来越受到老百姓的喜欢，自行车的示意图如图2，其中． ①若，，则的度数为_▲_； ②若，，求的度数． （3）如图3，若，点P在AB，CD外部，请直接写出，，之间的关系． 【答案】（1）解：∵，∴，， ∵，∴． （2）解：①100° ②过E作 ∵，∴， ∴，， ∴， ∵，∴， ∴． （3）​​​​​​​ 【解析】解：（2）①过点作， ， ， ， ， ， 故答案为：； （3）过点作， ， ， ， ， ． 六、解答题（本大题共12分） 23．如图1，CE平分∠ACD，AE平分∠BAC，∠EAC+∠ACE=90° （1）请判断AB与CD的位置关系并说明理由； （2）如图2，在（1）的结论下，当∠E=90°保持不变，移动直角顶点E，使∠MCE=∠ECD，当直角顶点E点移动时，问∠BAE与∠MCD是否存在确定的数量关系？ （3）如图3，在（1）的结论下，P为线段AC上一定点，点Q为直线CD上一动点，当点Q在射线CD上运动时（点C除外）∠CPQ+∠CQP与∠BAC有何数量关系？ 【答案】（1）解：∵CE平分∠ACD，AE平分∠BAC， ∴∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE， ∵∠EAC+∠ACE=90°， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∴AB∥CD； （2）∠BAE+ ∠MCD=90°； 过E作EF∥AB， ∵AB∥CD， ∴EF∥AB∥CD， ∴∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE， ∵∠E=90°， ∴∠BAE+∠ECD=90°， ∵∠MCE=∠ECD， ∴∠BAE+ ∠MCD=90°； （3）∵AB∥CD， ∴∠BAC+∠ACD=180°， ∵∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°， ∴∠BAC=∠PQC+∠QPC． 【解析】【分析】（1）先根据CE平分∠ACD，AE平分∠BAC得出∠BAC=2∠EAC，∠ACD=2∠ACE，再由∠EAC+∠ACE=90°可知∠BAC+∠ACD=180，故可得出结论；（2）过E作EF∥AB，根据平行线的性质可知EF∥AB∥CD，∠BAE=∠AEF，∠FEC=∠DCE，故∠BAE+∠ECD=90°，再由∠MCE=∠ECD即可得出结论；（3）根据AB∥CD可知∠BAC+∠ACD=180°，∠QPC+∠PQC+∠PCQ=180°，故∠BAC=∠PQC+∠QPC． 试卷第2页，共36页 1 / 18 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